福建泉州实验中学2025-2026学年九年级下学期阶段考试（1）数学试卷

泉州实验中学2026届初三下学期阶段考试(1) 数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1,下列实数为无理数的是() A.-3 B.√5 C. D.0.3 2.下列式子为最简二次根式的是() A.0.5 B.⑧ c D.5 3.据国内AI产品榜统计数据，某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数(DAU) 迅速突破两千万大关，达22150000.将数据22150000用科学记数法表示为() A.0.2215×107B.2.215×10% C.22.15×109 D.2.215×107 4.下列运算中，结果正确的是（) A.a2.a=as B.a3+a3=2a% c.(a2'=a D.a+a2=2a3 5,关于二次函数y=-2(x-4)+6,下列说法正确的是（) A.最大值为4B.最小值为4C.最大值为6 D.最小值为6 6.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某 品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至 三月销售量平均每月增长率为x,则可列方程为() A.8000(1+2x)=1200 B.8000(1+x)=12000 C.8000+8000(1+x)+8000(1+x)=12000D.8000×2(1+x)=12000 7.如图为一次函数y=:+b的图象，关于x的不等式k(x-3)+b<0的解集为() A.x<-4 B.x>-4 C.r<2 D.x>2 8.在同一直角坐标系中，函数y=r+m和y=-mx2-2x+1（m是常数，且m≠0)的图象 可能是() 9.如图，分别以长方形ABCD的边AD,CD为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是 S,和S2,且∠ADE=90°，∠CDF=90°，若S,+S=28,AF=10,则阴影部分的面积为() A.28 B.24 C.22 D.18 10.点P(,y),2(32,乃2)在抛物线y=x2-2mx+m2+m上，其中m-2<x<m+1, x3=1-2m,若对于任意x,x,都有另<，则m的取值范围为（) A.m≥1 B.ms-号或m≥1C.ms0或m≥1 D.m>1 3 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11.若√-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 12.因式分解：x2-4= 13.将函数y=-4x的图象沿y轴向下平移2个单位后，所得到的函数图象对应的函数表达 式是 试卷第1页，共5页 14.如图，过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图象交于A(m,n), B(m-6,n-6)两点，则k的值为 15.若关于x的分式，2+ 2-xx-2 =3无解，则a的值是】 16.如图，菱形ABCD边长为4，E是BC中点，F为CD上一点，BF交AE于点G, ∠AGB=∠C=45°，DF的长度是 三、解答题（共86分） 17.(8分)计算：4-2025°+5-. 3(x+1)≤2.x+4 18.(8分)解不等式组： x45>+3. 2 19.(8分)先化简，再求值： 1+3）x+1 、-2-4r+4,其中x=-3. 20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+4)x+m+3=0. (1)若方程有一实数根为3，求m的值： (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根， 21.(8分)阅读感悟：代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数 知识来证明某个数学命题的正确性. (1)解决“已知实数x、y满足x>y>0,证明：x2-y2>0”这一问题可用两种方法证明，请将 下面的证明过程填写完整. 证法1：因为x2-y2=（x+y)·(),且x>y>0, 所以x+y_0,r一y_0,(在横线上填上适当的不等符号) 所以x2-y2>0. 证法2：因为r>y且x,y均为正， 所以x>一，w>一（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以x2>y(不等式的传递性) 所以x2-y2>0. (2)请你尝试证明：若a<b,则+也<b. 2 试卷第2页，共5页 22.(10分)实验宝有两个小型水箱，初始状态下，甲水箱为空，乙水箱已有20升水.实 验开始后，甲水箱开启注水模式，以α升/秒的速度匀速注水：同时乙水箱开启放水模式， 匀速向外排水.8秒时，甲、乙水箱分别达到实验预设的水量阙值，暂停注水和放水操作， 保持水量稳定：24秒时，乙水箱切换为注水模式，以号升/秒的速度匀速向水箱内注水：30 秒时，甲、乙两个水箱的水量恰好相同，均为b升.之后，甲、乙水箱同时开启排水模式 以相同的速度匀速排水，直至水箱排空.甲、乙水箱的水量y(单位：升)与实验时间x(单 位：秒)间的函数关系如图所示.请结合图象解答下列问愿. (I)a=,b=: (2)求线段MN所在直线的函数表达式： 20G (3)甲、乙两个水箱在实验进行到多少秒时，它们的水量差为2升？ 16- 8 2430 46 23.(10分)“智能引领未来，科技赋能生活'，为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗 地机器人（如图)，但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清 洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污溃的处理.具体流程如下： ①机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息： ②系统生成污溃分布图，将污溃点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处 理工时： ③系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污潢点信息完成清洁 工作. 由于近期赛事安排紧淡，为了进一步提高消洁效率，体育馆又购置了一台同品牌 的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍)，并将人工清洁外包给 甲、乙两个清洁团队. 已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为(a2-b)平方米，第二层需清扫 的面积为(a-b)平方米，其中0<b<a<5b 任务一计算机器人的工作效率 原购置的洗地机器人每小时消洁面积相当于一个消洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平 方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时.求原购置的机器人每小 时清洁面积. 任务二比较机器人的清洁时长 体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪 台机器人先完成基础清洁任务 任务三设计人工消洁方案 某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的 消洁团队，如表1.甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足 0.5小时按0.5小时算. 表1 任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时(min) B 观众席 甲 75 P 比赛场地 乙 40 P 出入通道 甲、乙合作 35 P 内场角落 乙 70 试卷第3页，共5页 表2 团队 基础收费（元) 工时费（元小时） 甲 500 1200 乙 800 1000 请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用.（转场时间忽略不计） (要求：①每个任务包由系统分配的团队完成：②每个团队的工时从开始工作算起到本团 队所有任务结束：③甲乙合作的任务需两个团队同时开始：①设计的清洁方案需包含清洁 流程、完成时间和外包费用：⑤所有的任务包的任务都要完成). 24.(12分)【问题呈现】如图①，△ABC是⊙0的内接正三角形，点P是劣弧AB上一点， 连接PA、PB、PC.求证：PC=PA+PB. 【问题解决】小明利用旋转，将△PBC绕点C按顺时针的方向旋转60°至△EAC,如图②， 可知∠EAC=∠PBC,PB=AE, ~P、B、C、A四点共圆， .∠PBC+∠PAC=180°. .∠EMC+∠PAC=180°」 ·P、A、E三点共线. 证明过程缺失 (1)请你补全余下的证明过程. 【拓展应用】已知△ABC是⊙O的内接正三角形，点P是劣弧AB上一点， (2)若⊙O的半径为2，则四边形APBC周长的最大值为 (3)将△PBC绕点C按顺时针的方向旋转60°至△EAC,使△PCE的面积最大，用圆规和 无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形，并说明理由（不写做法，保留作图痕迹，作图 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑)： -7E 】 0° 图① 图② 图③ 小时 试卷第4页，共5页 25.(14分)知图，一条地物线)=am+x+2与×轴相交于4(-10,80.0)两点，与y 轴相交于点C,顶点是点D (1)求抛物线对应的函数表达式 2)点P是抛物线上的点，当∠ABC=)∠PMB时，请直接写出满足条件的点P坐标： (⊙)将抛物线y=a心+6c十向左平移1个单位，向下平移3个单位得到一条新抛物线，它 的顶点为2.直线I过点F(O,-2),且与新抛物线交于点M、N,MG⊥x轴于点G、NH⊥x 111 轴于点H,求证：MG+O0 试卷第5页，共5页《泉州实验中学2026届初三下学期阶段考试(1)》参考答案 一、选择题 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B D D A & B B 10.B 【详解】解：y=x2-2mx+m2+m=(x-m}+m,y2=(1-2m-m)2+m=(（1-3m)}'+m, 抛物线开口向上，y在m-2<x<m+1内的最大值出现在区间端点离对称轴x=m更远的 点， 若对于，2，都有<2成立，需保证x在取值范围m-2<x<m+1内，两端点的函数值 均小于y2, 当x=m-2时，y=(m-2-m)+m=4+m,当x=m+1时，y=(m+1-m)+m=1+m, 1+m<4+m.4+m≤(1-3m)+m,化简，得3m2-2m-12≥0，解得：m≤-或m21, m的取值范围为m≤-亏或m≥1.放选B, 二、填空题 11.x≥3 12.x+2x-213.y=-4x-2 14.9 15.1或3 16.25 16.【详解】解：如图所示，过点E作EH L BC,交CD于点H,延长DC,AE交于点1， :四边形ABCD是菱形，AB∥CD,÷∠BAE=∠I,∠ABE=∠ICE, D 点E是BC中点，BE=CE=BC=2,aMBE2CE(AS), ..CI=AB=4, G ~∠BCD=45°，EH L BC,△HEC为等腰直角三角形， ∴HE=CE=2,∠EHC=45°，÷CH=VCE2+HE2=2N2, Fm=CH+C1=2N2+4, '∠EGF=∠AGB=45°=∠BCF,且∠FBC=180°-∠BFC-∠BCF, ∠I=180°-∠BFC-∠EGF,÷∠FBC=∠I,又：∠EHC=∠BCF=45°，△BCFAIHE, C-CCF-BCHE-4x2=4-2DF-CD-CF-4-(4-2)-2 “HEW HI 22+4 17.5 【详解】解：V4-2025°+h5- =2-1+5-1…6咯2) =V5. 3(x+1)≤2x+4① 18.【详解】解：(2) x+5>+3@ 2 由①，得：x≤1： …3 由②，得：x>-7:…6 -7<x≤1.……8 x+1 19.【详解】解： 1+ 3 x-2 x2-4x+4 =x-2+3】 r+1 x-2x-2(x-2月 …2 答案第1页，共7页 =x+xx-2) x-2x+1 .…4 =x-2,、-.…6 当x=-3时，原式=-3-2=-5.8 20.【详解】(1)解：方程有一实数根为3， 32+3(m+4)+m+3=0, 解得m=-6:…4 (2)证明：根据题意可得：a=1,b=m+4,c=m+3, ∴△=b3-4ac=(m+4)-4x1×(m+3) =m2+4m+4 =(m+2)20,..8 无论m取何值，方程总有实数根. 21.【详解】(1)请将下面的证明过程填写完整， 证法1：因为x2-y2=(x+y)·(x-y),且t>y>0, 所以x+y之0：.Sy之0：（在横线上填上适当的不等符号） 所以x2-y2>0 证法2：因为X>y且x,y均为正， 所以x2>,>y2(宋等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变)所以x2>y (不等式的传递性) 所以x2-y2>0. （2)解：a<b, a+b<2b, 4叶b<b.…8 2 22.【详解】(1)=3，b=24·-2 (2)解：设线段MW所在直线的函数表达式为y=x+b(k≠0)，把M(0,20),N(8,16)代 入得： b=20 8k+b=16' 解得： 2, …3 b=20----4 线段MW所在直线的函数表达式为y=-+20:~--( 1 (3)解：设甲水箱在注水过程中水箱内水量与注水时间的函数表达式为y=红('≠O),把 (8,24)代入得：8k'=24, 解得：k'=3, “甲水箱在注水过程中水箱内水量与注水时间的函数表达式为y=3x: 当x≤8时， 2x+20-3x=2, 解得：x=9或x= 当8<x<24时，甲、乙两个水箱中水量始终相差8升，不符合题意： 当24≤x<30时，24+(24-2-16)÷4=28.5（秒）： 当30≤x≤46时，两个水箱内水量相同，不符合题意： 答案第2页，共7页 综上，甲、乙两个水箱在实验进行到9秒或号秒或285秒时，它们的水量差为2升。一1口 > 23.【详解】任务一： 解：设原购置的机器人每小时清洁x平方米， 1200-2=2400 根据题意可得1 62 解得x=2400, 经检验，x=2400是原分式方程的解， ∴原购置的机器人每小时清洁2400平方米.-·~ 任务二： 解：(a2-b2)-(a-b) =a2-b2-(a2-2ab+b2） =a2-b2-a2+2ab-b2 =2ab-2b2, :0<b<a<5b, .2ab>2b2, 2ab-2b2>0, a2-b>(a-b)}, :新购置机器人清洁第一层，原机器人清洁第二层， 设原机器人的工作效率为m,新购置的机器人的工作效率为”， 根据题意可得0<m<n≤1.5m, 又a2-b2>(a-b)>0, .a-b>a-8 n 1.5m a2-63(a-b) 1.5mm -a-b2(a+b)-3(a-b) 3 =a-bSb-a .m3 b<a<5b, a-b>0,5b-a>0, a-b56-0>0, m 3 .a2-b2(a-b) 1.5mm a-6>(a-b n m ·原机器人先完成基础清洁任务.·一、 任务三： 解：依据完成时间最少为优先原则，最佳人工清洁方案为： 清扫流程：甲乙两个团队先合作完成乃任务包后，甲团队完成P任务包，乙团队完成P和P 任务包： 完成时间：35+40+70=145(min):甲工时为35+75=110(min),乙工时为 35+40+70=145(min): 外包费用：110÷60≈2(h),145÷60=2.5(h),500+1200×2+800+1000×2.5=6200(元)· 0 答案第3页，共7页 24.【详解】(1)由题意可知∠EAC=∠PBC,PB=AE. P、B、C、A四点共圆， ÷.∠PBC+∠PAC=180°. ÷∠EAC+∠PAC=180° P、A、E三点共线. ~△ABC绕点C顺时针旋转60°至△EAC, CP=CE,∠PCE=60°. ÷△PCE是等边三角形. PE=PC. P、A、E三点共线， PE PA+AE. PB=AE, :.PC=PA+PB.---- (2)解：如图，过点O作OH⊥AB于H,则AB=2AH, :△ABC是等边三角形， ÷AB=BC=AC,∠ACB=60°， ∠AOB=2∠ACB=120°， OA=OB, ÷∠0AB=∠0BA=180°-120 =30°， 2 :0H=0A=x2=1, 2 2 ~OH⊥AB, ∴AH=VOA-0H2=V22-12=√5， :AC=BC=AB=2AH=23, 由问题解决可知PC=PA+PB, 四边形C地形PaC=AC+PA+PB+BC=2AB+PC. :PC为⊙O的弦， 当PC为直径时，PC最大，最大值为4. C四边形MPac大=2W5+2W3+4=4+45-…6 (3)拓展应用：解：(1)作射线CO交⊙O于点P.以CA为一边，在∠PCA外作∠ACE=∠BCP, 在CE上取CE=PC,连接PA、PB,则此时P、A、E三点共线，△PCE为所求： 证明：过点E作ED⊥PC于点D, E '∠ACE=∠BCP,△ABC是等边三角形， :∠PCE=∠BCA=60°， CE=PC, “△PCE是等边三角形， :ED⊥PC, 4CD-C 在RtACED中，ED=VCE2-CD, CEPC CD-PC, 图③ n=hc-G-层ae-9c. 答案第4页，共7页 -9C,为定位， 4 ∴当PC取最大值时，S心x取最大值 ~PC是⊙O的弦， 当PC为直径时，PC取得最大值，-、-≥ ②5.详解D解：将A-L,O,BB,0两点代入y=a+bx土专得 3 a-b+3=0 1 a=-- 2 2 ，解得 3a+3b+2 =0 b=1 因此，抛物线对应的函数表达式为y=-号+x+ 2 3 3 (2)解：由(1)知抛物线表达式为y=一2X+x+ 当x=0时，y=2' D 则c引， 作BC的中垂线交x轴于点E,连接CE,则CE=BE, ∴.∠ECB=∠ABC, ∴.∠AEC=∠ABC+∠BCE=2∠ABC, :a0叭、co》 0c=3, P .OB=3、 设OE=m,则CE=BE=3-m, 在Rt△COE中，由勾股定理得：m2+ 3 2) =(3-m) 解得m=9 g小 设直线CE的解析式为y=c+方， 将得入y=+号得：号+号-0， 9 解得=子》 “直线c6的解折式为y=一专x+号 4 过点A作AP∥CE,交y轴于点2，交抛物线于点P,则∠PAB=∠CEA=2∠ABC, 设直线P的解析式为y=音+a, 将4(-1,0)代入y=号*n得：号-+n=0, 4 答案第5页，共7页 解得n=- 3 44 直线P的解析式为y=3x3 = 联立 3 1+ ,3 y=- 21 17 r= 3 [x=-1 解得 或 80 = y=0’ 9 唱-》： 将x=0代入=号得：=剂 4。 selo-). 作点卫关于x轴的对称点卫，连接AQ, 2GAB-BAFAC 设直线AQ的表达式为y=kx+b, 将小-10)和C个到代入y=x+A得： -k+b=0 6-号 k3 解得 4 4 4 “直线40的表达式为y=x+3 4.,4 y= 联立 +有 1 3 2 1 x= 解得 3 x=-1 或 16 y=9 y=0’ r69 综上所述，点P的坐标为P 9哦传】一7》 1 3 (3)证明：由(1)知抛物线)=-2+x+-2x+1°+2， 答案第6页，共7页 平移后新的抛物线解折式为y=-1, .顶点2(0，-1)，即02=1， 设过点F(0,-2)的直线/的解析式为y=kx-2, y=k,x-2 联立 整理得x2+2-2=0, 设交点M(:,y)、N(x2,y2), 由韦达定理得x+x2=-2k、xx3=-2, ∴2+x2=(x+x)-2x出=(-2k°-2x(-2)=4k2+4, MG1x箱于点G、N上轴于点I,且八=-1<0、为=-1<0， c=b-+1、wa=-+1, +,1t1 2+)+2。 ++2 242+4)+2 六wcm+11G++可++14(2++ 1 =1, 09 +11 MGMi-00·、14 答案第7页，共7页