第十九章 四边形（单元自测·基础卷）数学新教材沪科版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章四边形基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 6 7 8 9 10 A A B 6 B 0 0 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.13 12.6√3 13.70°/70度 14168/618 2525 三、解答题（共9小题，共90分） 15.(8分) 【详解】解：如图，延长BE交AC的延长线于点F,过C作CH⊥BF于H,则EH=FH=EF, :在ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,D是AB的中点， C CD-4D-DB-48-5, 将△ACD沿CD折叠， .CE=CA=6,DE=DA=5 设∠ABC=a,则∠A=90°-a, DC=DA .∠CDA=180°-2LA=2a :折叠， .∠CDE=LCDA=2a .∠BDE=180°-4a 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：DE=DA=DB a∠D8E=l80-∠BDEl=2a ∠FBC=∠ABC=a 又：BC⊥AC, ∠ACB=∠FCB BC=BC .△ABC≌△FBC(ASA .∠F=∠A,CF=CA=CE=6,FB=AB=I0 由S,g=)CFBC=FB.CH得CH=6x8_24 10 5 .BE=FB-2FH=10-2× 1814 55 11424168 S.BCE=BE.CH=2x5525(8分 16.(8分) 【详解】(1)解：四边形的内角和为4-2×180°=360°；五边形的内角和为5-2)×180°=540°；(4分) (2)解：由题意得，n-2×180°=1800°， 解得n=12.(8分) 17.(8分) 【详解】证明：连接AC交BD于点O, ABCD, 0A=0C,0B=0D, BE=DF, :.0B+BE=OD+DF, 0F=0E, :四边形AECF是平行四边形. 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C (8分) 18.(8分) 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是菱形， ·AC L BD, ∴∠C0D=90°， :CE⊥AC,DE⊥BD, ∴∠0DE=∠0CE=90°， :.四边形0CED是矩形；(4分) (2)解：：四边形0CED是矩形， ∴0D=CE=1,0C=DE=2, :四边形ABCD是菱形， .AC=20C=4,BD=20D=2, 5m=号C×D=日×4×2=4.（8分】 2 19.(10分) 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD, :ZABE ZCDF :AE⊥BD,CF⊥BD ∴.LAEB=∠CFD=90°， △AEB≌△CFD(AAS, AE=CF;(5分) (2)解：在口ABCD中，AC=6,BD=10, 40-34c-,B0-号D-5 :AB⊥AC, 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△AB0中，AB=VB02-A02=4, :AE⊥BD 5m440-04E,4x3 ·AE=12 在R648E,E=0-AE=5.(10分) 20.(10分) 【详解】(1)解：如图，△ABC即为所求； T--T 由图可知，∠ACB=90°，AC=4,BC=3, AB=VAC2+BC2=V4+22=5,△ABC的面积为2×4×3=6：(5分) (2)解：如图，四边形ABCD即为所求. B 由图及勾股定理可知，AD=BC=4,AB=DC=V2+22=√5， :.四边形ABCD是平行四边形， 口ABCD的底BC=4,BC边上的高为2 :口ABCD的面积为4×2=8.(10分) 21.(12分) 4/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：过点D作DE⊥BC,垂足为E, ∠A=90°， .AB∥DE, AD//BC :.四边形ABED是矩形， .AB DE=3,AD=BE=6, .CE=4, ·CD=VDE2+CE2=5; A D (6分) E 2解：由题意可得：当0<1名时，PC10-4 当1≤6时，PC=4-10 (3)解：①DP=DC, 则PE=CE=4, BP=6-4=2, 21 =42: ∴.t= D E ②CD=CP,则CP=5, BP=10-5=5或BP=10+5=15, :1=2或t=4 5 15 4 D B PE .(12分) 海←g二D阳1·出宽卵平D晋DdV示颗 5/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22.(12分) 【详解】(1)解：BE=AG,BE⊥AG,证明如下： 令BE与AC相交于点S,交AG于点T,如下图所示： G :四边形ACEF和BCGH为正方形， ∴AC=EC,BC=CG,∠ECA=∠GCB=90°， :∠ECB=LECA+LACB,∠GCA=LECA+∠ACB, :LECB=∠GCA,结合AC=EC,BC=CG, △ECB≌△ACG(SAS), .EB=AG,ZCEB=ZCAG, :LCES+∠ESC=90°，LESC=LAST, .∠CAG+∠AST=90°， .∠ATS=90°， .BE⊥AG, 综上，BE和AG的关系为BE=AG,BE⊥AG;(4分) (2)解：连接AE、BG、EG,如下图所示： :EB⊥AG,EB=AG=V10, S图边形ABGE=SHEG+SABG 号4GxE+4Gx87 -2GxET) 6/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 1 =AGx EB 1 x10x0 2 =5, 故四边形ABGE的面积是5；(8分) (3)解：连接AE、BE、BG、AG,如下图所示： M B D 4 由(1)中可得BE=AG,BE⊥AG, :点D为AB中点、M为AE中点， :MDIEB,MD=1EB, 、) 同理可得ONII AG,DN= MD=DN,MD⊥DN, 2 S.MDN= 22 :EB≤EC+BC, EB≤7， Sovs。x72=49 8 8, ÷aDMN的面积最大值为 8:(12分) 23.(14分) 【详解】(1)解：∠ABC=∠B',AB'=AC' 理由如下：：A'B'∥BA,B'C'∥CB,C'A'∥AC, .四边形ABCB'为平行四边形，四边形ACBC'为平行四边形， :ZABC=ZB',AC'=BC,AB'=BC, .AB'=AC'.(4分) (2)解：存在. 7110 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第一种情况，当BD为对角线时，如图： 5 4 B \D A1 D以 -5-4-3-2-1912345x -2 :四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD =BC, B(0,2,C-4,2, BC∥x轴，BC=4, AD=4, :A1,0)在x轴上， :点D在x轴上，设点D坐标为(d,0), 1-d=4, d=-3 D的坐标是(-3,0)； 第二种情况，当CD为对角线时，如图： \D. A D -5-4-3-2-1012345x :四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD,BD AC, B(0,2,C-4,2, BC∥x轴，BC=4, AD=4, :A(1,0)在x轴上， 8/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点D在x轴上，设点D坐标为k,0), .k-1=4, k=5, .D的坐标是5,0)： 第三种情况，当AD为对角线时，如图： 5 B A -5-4-3-2-1012345x 2 :四边形ABDC是平行四边形， AB=CD,AB∥CD, ·.AB平移后得到CD, :A1,0)平移后得到C(-4,2), ·点A平移到点C坐标变化规律是横坐标减5，纵坐标加2 .B(0,2)平移后得到D(-5,4) 综上所述，点D坐标为(-5,4)或(-3,0)或5,0).(10分) (3)结合题目条件可以得到这样的结论：AB,BC,AC都是△A'B'C'的中位线， 由(1)已证四边形BCAC'和四边形ABCB'是平行四边形， .BC=AC'=AB',AC=BC',AB=B'C, .A是B'C的中点， :AC=AC,AB∥AB, 四边形ABA'C是平行四边形， .AC=A'B,AB=A'C, .AC=A'B=BC',AB=B'C=A'C, :B是A'C'的中点，C是AB的中点， .AB,BC,AC都是AA'B'C'的中位线.(14分) 9/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10/10………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 四边形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（本题4分）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，已知在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（   ） A．18 B．30 C．32 D．36 4．（本题4分）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）下列说法错误的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的每一条对角线平分一组对角 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 7．（本题4分）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 8．（本题4分）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 9．（本题4分）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，点O为菱形的对称中心，过点O分别作，的垂线，交各边于点M，N，P，Q．若，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）一个多边形的内角和是外角和的5倍多，则这个多边形的边数为________ 12．（本题5分）如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 13．（本题5分）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 14．（本题5分）如图，在中，，，，D是的中点，连接，将沿折叠，使点A落在点E，连接，则的面积为________． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 16．（本题8分）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形． 17．（本题8分）如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 18．（本题8分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 19．（本题10分）如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F． (1)求证：； (2)若，，，则的长度为__________． 20．（本题10分）已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； (2)在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 21．（本题12分）如图，在四边形中，，，，，．点P从点B出发，沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动的时间为t秒． (1)的长为________． (2)求的长（用含t的代数式表示）． (3)直接写出是以为腰的等腰三角形时t的值． 22．（本题12分）已知， (1)感知：如图①，在外分别作正方形和，连结和，判断线段和的关系，并说明理由． (2)探索：在图①中，连、、，当时，则四边形的面积是________． (3)应用：如图②在外分别作正方形和，是的中点，，分别是正方形的中心，当，，则的面积最大值为________． 23．（本题14分）学完《平行四边形》后，老师布置了一道作业：如图，，，，与有什么关系？线段与线段呢？为什么？ 聪明的小华很快写出了过程，但不小心被墨水弄脏了． (1)请你帮小华补全解答过程； (2)聪明的小华受上面问题的解法的启发，编制了一道试题：在平面直角坐标系中，已知，问：在平面直角坐标系中是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标．请帮小华直接写出答案吧； (3)结合题目条件，你还能得到什么结论？请写出一个结论（与上述两个结论不同）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 四边形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（本题4分）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，已知在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（   ） A．18 B．30 C．32 D．36 4．（本题4分）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）下列说法错误的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的每一条对角线平分一组对角 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 7．（本题4分）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 8．（本题4分）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 9．（本题4分）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，点O为菱形的对称中心，过点O分别作，的垂线，交各边于点M，N，P，Q．若，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）一个多边形的内角和是外角和的5倍多，则这个多边形的边数为________ 12．（本题5分）如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 13．（本题5分）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 14．（本题5分）如图，在中，，，，D是的中点，连接，将沿折叠，使点A落在点E，连接，则的面积为________． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握以上知识点，添加辅助线是解 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 16．（本题8分）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形． 17．（本题8分）如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 18．（本题8分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 19．（本题10分）如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F． (1)求证：； (2)若，，，则的长度为__________． 20．（本题10分）已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； (2)在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 21．（本题12分）如图，在四边形中，，，，，．点P从点B出发，沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动的时间为t秒． (1)的长为________． (2)求的长（用含t的代数式表示）． (3)直接写出是以为腰的等腰三角形时t的值． 22．（本题12分）已知， (1)感知：如图①，在外分别作正方形和，连结和，判断线段和的关系，并说明理由． (2)探索：在图①中，连、、，当时，则四边形的面积是________． (3)应用：如图②在外分别作正方形和，是的中点，，分别是正方形的中心，当，，则的面积最大值为________． 23．（本题14分）学完《平行四边形》后，老师布置了一道作业：如图，，，，与有什么关系？线段与线段呢？为什么？ 聪明的小华很快写出了过程，但不小心被墨水弄脏了． (1)请你帮小华补全解答过程； (2)聪明的小华受上面问题的解法的启发，编制了一道试题：在平面直角坐标系中，已知，问：在平面直角坐标系中是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标．请帮小华直接写出答案吧； (3)结合题目条件，你还能得到什么结论？请写出一个结论（与上述两个结论不同）． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 四边形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形外角和和对角线数量公式．先利用正多边形外角和为360°求出边数，再根据n边形从一个顶点出发的对角线数量公式计算结果． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角是， ∴该正多边形的边数， ∵从边形的一个顶点出发的对角线数量为， ∴从正六边形一个顶点出发的对角线数量为． 故选：A 2．（本题4分）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 3．（本题4分）如图，已知在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（   ） A．18 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的周长为． 4．（本题4分）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出值，则即可求得； 【详解】解：由折叠可知： ∵矩形中， ∴ ∴ 故选：B ． 5．（本题4分）如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可求出的长． 【详解】解：设与交于点， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ， ． 6．（本题4分）下列说法错误的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的每一条对角线平分一组对角 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 【答案】C 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一判断，即可找出错误说法． 【详解】∵A选项，平行四边形的基本性质是对角线互相平分， ∴A说法正确； ∵B选项，菱形的性质包含每一条对角线平分一组对角， ∴B说法正确； ∵C选项，矩形的对角线性质是相等且互相平分，不互相垂直， ∴C说法错误； ∵D选项，正方形同时具备矩形和菱形的对角线性质，即对角线相等、互相垂直且平分， ∴D说法正确． 7．（本题4分）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可得到． 【详解】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中， ， 则， ， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． 8．（本题4分）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 9．（本题4分）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵点在上， ∴， 故选：D． 10．（本题4分）如图，点O为菱形的对称中心，过点O分别作，的垂线，交各边于点M，N，P，Q．若，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明是等边三角形，求出，同理可证，，都是等边三角形，求出，，，即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 同理可证，，，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴四边形的周长为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）一个多边形的内角和是外角和的5倍多，则这个多边形的边数为________ 【答案】13 【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和定理及多边形的外角和为，结合题中等量关系列出一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 解得． 12．（本题5分）如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 【答案】 【分析】先求出，，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 13．（本题5分）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 【答案】/70度 【分析】根据菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 14．（本题5分）如图，在中，，，，D是的中点，连接，将沿折叠，使点A落在点E，连接，则的面积为________． 【答案】/ 【分析】延长交的延长线于点，过C作于H，根据勾股定理求得斜边，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，以及折叠的性质得出，，证明得到，，利用三角形的等面积法和勾股定理分别求出，，进而可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，过C作于H，则， ∵在中，，是的中点， ∴，， ∵将沿折叠， ∴， 设，则， ∵ ∴ ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴，， 由得， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握以上知识点，添加辅助线是解 题的关键． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多边形内角和公式，解题的关键是熟练掌握边形内角和公式为． （1）直接根据多边形内角和公式求解即可； （2）由多边形内角和公式得到方程，即可求解． 【详解】（1）解：四边形的内角和为；五边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 16．（本题8分）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．运用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定即可． 【详解】证明：连接交于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 17．（本题8分）如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形． 18．（本题8分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，命题得证； （2）根据矩形和菱形的性质可得，，从而计算出菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 19．（本题10分）如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F． (1)求证：； (2)若，，，则的长度为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵ ∴，即 ∴， ∴在中，． 20．（本题10分）已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； (2)在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点、、，连接、、即可； （2）取格点、、、，连接、、、即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，，，， ∴，的面积为； （2）解：如图，四边形即为所求． 由图及勾股定理可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵的底，边上的高为 ∴的面积为． 21．（本题12分）如图，在四边形中，，，，，．点P从点B出发，沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动的时间为t秒． (1)的长为________． (2)求的长（用含t的代数式表示）． (3)直接写出是以为腰的等腰三角形时t的值． 【答案】(1)5 (2)当时，；当时， (3)或或 【分析】（1）D作，证明四边形是矩形，求出和，利用勾股定理即可求解； （2）分情况讨论进行求解； （3）分和两种情况，根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为E， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意可得：当时，； 当时，， （3）解：①， 则， ∴， ∴； ②，则， ∴或， ∴或； 综上：当是以为腰的等腰三角形时，t的值为或或． 22．（本题12分）已知， (1)感知：如图①，在外分别作正方形和，连结和，判断线段和的关系，并说明理由． (2)探索：在图①中，连、、，当时，则四边形的面积是________． (3)应用：如图②在外分别作正方形和，是的中点，，分别是正方形的中心，当，，则的面积最大值为________． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）令与相交于点，交于点，先证明，即可得，，通过等量代换即可得出，可证； （2）连接、、，由，可求出四边形的面积； （3）连接、、、，由（1）中可得，，由中点的性质，可得出，，，，故，通过图形判断出，即可求出的面积最大值． 【详解】（1）解：，，证明如下： 令与相交于点，交于点，如下图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∵，， ∴，结合，， ∴， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， 综上，和的关系为，； （2）解：连接、、，如下图所示： ∵，， ∴ ， 故四边形的面积是； （3）解：连接、、、，如下图所示： 由（1）中可得，， ∵点为中点、为中点， ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积最大值为； 【点睛】几何体中多小问的题型需要注意小问之间的连贯性，“手拉手”模型以及联立中点构造中位线是大多数几何体中的关键辅助线． 23．（本题14分）学完《平行四边形》后，老师布置了一道作业：如图，，，，与有什么关系？线段与线段呢？为什么？ 聪明的小华很快写出了过程，但不小心被墨水弄脏了． (1)请你帮小华补全解答过程； (2)聪明的小华受上面问题的解法的启发，编制了一道试题：在平面直角坐标系中，已知，问：在平面直角坐标系中是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标．请帮小华直接写出答案吧； (3)结合题目条件，你还能得到什么结论？请写出一个结论（与上述两个结论不同）． 【答案】(1)，．理由见详解 (2)存在；或或 (3)都是的中位线（答案不唯一） 【分析】（1）通过平行线判定平行四边形，再利用平行四边形的性质得出角和线段的关系． （2）根据平行四边形的性质，分情况讨论求出点的坐标． （3）依据前面所证的平行四边形，得出三角形中位线的结论． 【详解】（1）解：，． 理由如下：∵，，， ∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ∴，，， ∴． （2）解：存在． 第一种情况，当为对角线时，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴轴，， ∴， ∵在轴上， ∴点在轴上，设点坐标为， ∴， ∴ ∴的坐标是； 第二种情况，当为对角线时，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴轴，， ∴， ∵在轴上， ∴点在轴上，设点坐标为， ∴， ∴， ∴的坐标是； 第三种情况，当为对角线时，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴平移后得到， ∵平移后得到， ∴点平移到点坐标变化规律是横坐标减，纵坐标加 ∴平移后得到 综上所述，点坐标为或或． （3）结合题目条件可以得到这样的结论：都是的中位线， 由（1）已证四边形和四边形是平行四边形， ∴，，， ∴是的中点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴是的中点，是的中点， ∴都是的中位线． 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