7.3 万有引力理论的成就 学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

第七章 《万有引力与宇宙航行》新授课学案 第七章第3节　万有引力理论的成就 【基础辨析】 (1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。　(　　) (2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量。(　) (3)牛顿被称作第一个称出地球质量的人。(　　) (4)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量。(　　) (5)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。(　　) 【考点梳理】 考点一　天体质量和密度的计算 天体质量和密度的计算 (1)“自力更生法”：若已知天体自身的半径R和表面的重力加速度g，根据天体表面物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，得mg＝G，解得天体质量为M＝，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”。则该天体密度为ρ＝＝＝。 (2)“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星的运动周期T和轨道半径r计算中心天体的质量，依据是万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力G＝mr，解得M＝。 若中心天体的半径为R，则该中心天体的密度ρ＝，将M＝代入得：ρ＝。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。 【例1】宇航员在某星球表面(无空气)将小球从空中竖直向下抛出，测得小球速率的二次方与其离开抛出点的距离的关系图像如图所示(图中的b、c、d均为已知量)，该星球的半径为R，引力常量为G，将该星球视为球体，忽略该星球的自转。求： (1)该星球的质量M； (2)该星球的平均密度ρ。 【例2】“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步，已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆周，距月球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，试求： (1)月球的质量M； (2)月球表面的重力加速度g。 考点二　天体运动规律的应用 1．基本思路 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即G＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝man。 2．重要结论 项目 推导式 关系式 结论 v与r的关系 G＝m v＝ r越大， v越小 ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大， ω越小 T与r的关系 G＝mr T＝2π r越大， T越大 a与r的关系 G＝ma a＝ r越大， a越小 速记口诀：高轨低速大周期。 【例3】据中国气象局表示，针对我国出现的持续性雾霾天气，“风云三号”卫星能及时监测雾霾覆盖省份、覆盖面积和强度等情况。已知“风云三号”在距地球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。求“风云三号”卫星在轨道上的运行周期T。 【例4】(多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则(　　) A．b所需向心力最小 B．b、c的周期相同且大于a的周期 C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度 【习题巩固】 1．“科学真是迷人”，天文学家已经测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常量G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是(　　) A．M＝　 B．M＝　 C．M＝　 D．M＝ 2．在某星球表面，宇航员将一物块从距离地面高h处，由静止开始无初速度释放，经时间t落地。该星球可看作质量分布均匀的球体，半径为R(h≪R)，引力常量为G，不考虑星球的自转，不计一切阻力，则该星球的密度为(　　) A． B． C． D． 3．地球公转的轨道半径为R1，周期为T1，月球绕地球运转的轨道半径为R2，周期为T2，则太阳质量与地球质量之比为(　　) A．　　　　B． C． D． 4．(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是 A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径 5．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　) A．太阳对各小行星的引力相同 B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 6．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为(　　) A． B． C． D． 7.设火星探测器在距离火星表面h高度做周期为T的匀速圆周运动。已知火星的半径为R，引力常量为G。求： (1)探测到的火星质量； (2)探测到的火星表面的重力加速度； (3)探测到的火星的密度。 第七章第3节　万有引力理论的成就 答案+解析 【基础辨析】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 【考点梳理】 【例1】解析：(1)设该星球表面的重力加速度大小为g0，由匀变速直线运动的规律有 c－b＝2g0d 对该星球表面质量为m的物体，有mg0＝G 解得M＝； (2)该星球的体积为V＝πR3 又ρ＝ 解得ρ＝。 【例2】解析：(1)依据题意，由万有引力提供向心力，设“嫦娥一号”质量为m，则 G＝m(R＋H) 得M＝； (2)月球表面的物体所受的重力等于万有引力，对月球表面质量为m′的物体，有 G＝m′g 得g＝。 【例3】解析：在地球表面对质量为m′的物体有m′g＝G 设距地面高度为h的卫星的质量为m，有G＝m 联立解得T＝。 【例4】解析：选ABD。因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由F向＝知b所受的引力最小，A正确；由＝mrω2＝mr得T＝2π ，即人造地球卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确；由＝ma，得a＝，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；由＝，得v＝ ，即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D正确。 【习题巩固】 1.解析：选A。在月球表面，物体的重力与万有引力相等，则有G＝mg，可得月球的质量为M＝，故A正确，B错误；月球绕地球做圆周运动时，根据万有引力提供向心力得＝Mr，由于r表示月球绕地球运转的轨道半径，而R表示月球半径，可得地球的质量M地＝，故C、D错误。 2.解析：选A。由h＝gt2，得g＝；对星球表面质量为m的物体，有mg＝G，得M＝；设该星球的密度为ρ，则M＝ρ·πR3，联立解得ρ＝，故选A。 3.解析：选B。地球绕太阳公转和月球绕地球公转，都是万有引力提供向心力G＝mr，可得中心天体质量M＝；地球公转的轨道半径为R1，周期为T1，月球绕地球运转的轨道半径为R2，周期为T2，则太阳质量与地球质量之比为，故B正确。 4.解析：选AD。由万有引力提供向心力＝mr得M＝，因卫星质量m可约去，可见与卫星质量无关，故B、C错误，D正确；由r＝代入可得M＝，故A正确。 5.解析：选C。各小行星的质量不尽相同，到太阳的距离也不尽相同，故由F＝可知太阳对小行星的引力也不一定相同，A错误；太阳对小行星的引力提供了小行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力，由＝m＝mr＝ma可得T＝2π ，离太阳越远，周期越长，故各小行星的运行周期皆大于地球的公转周期即一年，B错误；由a＝可知小行星离太阳越远向心加速度越小，C正确；由v＝ 可知离太阳越远公转线速度越小，D错误。 6.解析：选B。物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋mR＝G，地球质量M＝πR3ρ，以上三式联立解得地球的密度ρ＝，故B正确，A、C、D错误。 7.解析：(1)探测器绕着火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故G＝m(R＋h) 解得火星质量M＝。 (2)火星表面的物体所受万有引力等于重力，故mg＝ 解得火星表面的重力加速度为g＝。 (3)火星的密度为ρ＝＝＝。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $第七章《万有引力与宇宙航行》新授课学案 第七章第3节万有引力理论的成就 【基础辨析】 ()地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。() (2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量。() (3)牛顿被称作第一个称出地球质量的人。() (4)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量。() (⑤)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。() 【考点梳理】 考点一天体质量和密度的计算 天体质量和密度的计算 (1)“自力更生法”：若已知天体自身的半径R和表面的重力加速度g,根据天体表面物体的重 力近似等于天体对物体的万有引力，得mg=6把，解符天体质圣为1管，因gR是天休自 R2 8R2 M 身的参量，故称“自力更生法”。则该天体密度为ρ= =G 3g 4 πR34 3 IR3 4mRG。 3 (2)“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星的运动周期T和轨道半径r计 算中心天体的质量，依据是万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力G=m4π2， 2 p少解得 =4π23 M 若中心天体的半径为R,则该中心天体的密度=4」 R3 ，将M=43 Gr代入得：p=3π GT2R3 当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R,则二3刀 G72 【例1】宇航员在某星球表面（无空气）将小球从空中竖直向下抛出，测得小球速率的二次方与 其离开抛出点的距离的关系图像如图所示（图中的b、c、d均为已知量），该星球的半径为R,引力 常量为G,将该星球视为球体，忽略该星球的自转。求： (I)该星球的质量M; (2)该星球的平均密度p。 d 1 第七章《万有引力与宇宙航行》新授课学案 【例2】“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步，已 知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆周，距月球表面高度为H,飞行周期为T,月球的半径为R, 试求： (1)月球的质量M (2)月球表面的重力加速度g。 考点二天体运动规律的应用 1.基本思路 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提 供，即G=m2 π2 =mro2=mr 72 =1ωV=1lC1c 2.重要结论 项目 推导式 关系式 结论 CMin 2 GM r越大， v与r的关系 v=个 r v越小 ω与r的关系 tin GM r越大， 2 =1ro2 0= 3 o越小 2]2 r越大， T与r的关系 2 =TJ T=2 GM T越大 r越大， a与r的关系 CAtin =ma a=GM 2 a越小 速记口诀：高轨低速大周期。 【例3】据中国气象局表示，针对我国出现的持续性雾霾天气，“风云三号”卫星能及时监测 雾霾覆盖省份、覆盖面积和强度等情况。已知“风云三号”在距地球表面高度为的轨道上做匀速 圆周运动，地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G。求“风云三号”卫星在 轨道上的运行周期T。 第七章《万有引力与宇宙航行》新授课学案 【例4】（多选）如图所示，α、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量 相等，且小于c的质量，则() A.b所需向心力最小 B.b、c的周期相同且大于a的周期 地球 C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度 【习题巩固】 1.“科学真是迷人”，天文学家已经测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球 运转的周期T等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常量G,用M 表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是() A.M=g G B.M=GR2 g C.M=4TR3 GT2 D.M=TR G 2.在某星球表面，宇航员将一物块从距离地面高h处，由静止开始无初速度释放，经时间t 落地。该星球可看作质量分布均匀的球体，半径为R(<《R),引力常量为G,不考虑星球的自转， 不计一切阻力，则该星球的密度为() 3h B. 3h 3h 3h A. C. D. 2 GRP 4 I GRP 8GRP 16元GRP 3.地球公转的轨道半径为R1,周期为T1,月球绕地球运转的轨道半径为R2,周期为T2,则 太阳质量与地球质量之比为( R RT C.R D.月 RT R RT R吃T 4.(多选通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周 运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是 A.卫星的速度和角速度 B.卫星的质量和轨道半径 C.卫星的质量和角速度 D.卫星的运行周期和轨道半径 3 第七章《万有引力与宇宙航行》新授课学案 5.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力， 并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( ) 小行星带 太阳 地球 A.太阳对各小行星的引力相同 B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 6.假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g,在赤 道的大小为：地球自转的周期为T,引力常量为G。地球的密度为() A.3π(g0-g) B. 3 go C.3π D.3r80 GT2go GT(g0-8） GT GTg 7.设火星探测器在距离火星表面h高度做周期为T的匀速圆周运动。已知火星的半径为R,引 力常量为G。求： ()探测到的火星质量： (2)探测到的火星表面的重力加速度： (3)探测到的火星的密度。 第七章《万有引力与宇宙航行》新授课学案 第七章第3节万有引力理论的成就答案+解析 【基础辨析】 (1)×(2)×(3)×(④)×（⑤）N 【考点梳理】 【例1】解析：(1)设该星球表面的重力加速度大小为g0,由匀变速直线运动的规律有 c-b=2god 对该星球表面质量为m的物体，有mgo=G R2 解得M=(c一b)R2 2Gd (2)该星球的体积为V=4πR 3 又p=M 解得p=3(c一b) 8πGdR 【例2】解析：(1)依据题意，由万有引力提供向心力，设嫦娥一号”质量为，则 GMimn 4π2 (R+H)2 72 (R+H) 得M=4π2(R+H)3 GT2 (2)月球表面的物体所受的重力等于万有引力，对月球表面质量为m的物体，有 CMtin R2 =m'g 得g=4r2(R+)3 R2T2 【例3】解析：在地球表面对质量为m的物体有g=G' R2 设距地面高度为h的卫星的质量为m,有G,,, 4π2(（R+h) (R+h)2= 72 联立解得T=2π(R十h) R+h R 【例4】解析：选ABD。因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由F=Gm知 2 2元 b所受的引力最小，A正确：由GMm =mro2=mr(T) 得T=2元 即人造地球卫星运动 GM 5 第七章《万有引力与宇宙航行》新授课学案 的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于α的周期，B正确：由Gm 2 =,得a=GM,即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小 2 相等且小于a的间心加速度，C错误；由=，得= 2 GM,即地球卫星的线速度与 其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于α的线速度，D正确。 〖习题巩固】 1解析：选A。在月球表面，物体的重力与万有引力相等，则有G=mg,可得月球的质量 R ，故A正确，B错误；月球绕地球做圆周运动时，根据万有引力提供向心力得GMM 为M=&R 2 ,由于，表示月球绕地球运转的轨道半径，而R表示月球半径，可得地球的质量M。一 =M4π2 4π23 故C、D错误。 GT 解析：选A。由)，得：老：对星球表面质量为山的物体，有mg把，得山 :设该星球的密度为p,则M=p号R3,联立解得p =&R2 3h 3 2πGR2，故选A。 3解析：选B。地球绕太阳公转和月球绕地球公转，都是万有引力提供向心力=m4 2 72, 可得中心天体质量M=4πr G72 ;地球公转的轨道半径为R1,周期为T,月球绕地球运转的轨道半径 为，周期为，则太阳质量与地球质量之比为R号 ,故B正确。 RT 2元2 4解析：选AD。由万有引力提供向心力G=m 得M4n G7，因卫星质量m可约 去，可见与卫星质量无关，故B、C错误，D正确：由r=Y代入可得M= ,故A正确。 Gw 5解析：选C。各小行星的质量不尽相同，到太阳的距离也不尽相同，故由P=GM可知太 2 阳对小行星的引力也不一定相同，A错误：太阳对小行星的引力提供了小行星绕太阳做匀速圆周运 21 动所需的向心力，由G=n卫 =mr 1 2 =a可得T=2π ，离太阳越远，周期越长， GM 故各小行星的运行周期皆大于地球的公转周期即一年，B错误；由=G4可知小行星离太阳越远 2 6 第七章《万有引力与宇宙航行》新授课学案 向心加速度越小，C正确；由v=一 GM可知离太阳越远公转线速度越小，D错误。 2m2 6解析：选B。物体在地球的两极时，o=G,物体在赤道上时，mg十7 R=GMin R2 地球质量M=4πRp,以上三式联立解得地球的密度p G7(g一g)，故B正确，A、C、D错 3元80 3 误。 7解析：(1)探测器绕着火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故G,M， 4π2 (R+h)2=m (R +) 解得火星质量M=4r2(R+h)3 GT2 (②)火星表面的物体所受万有引力等于重力，故mg=R GMm 解得火星表面的重力加速度为g=42(R十)3。 R272 。 4π2(R+h)3 3)火星的密度为p=4 =Gr=3元(R+h)3 4πR3 GTR3 >