精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学等校2025-2026学年下学期阶段性素养评价（一）高二数学

2026年春期阶段性素养评价（一） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某研究小组收集了10组数据，计算得到相关系数，则以下结论最合理的是（ ） A. 与正相关且线性关系很强 B. 与负相关且线性关系很强 C. 与正相关但线性关系很弱 D. 与负相关但线性关系很弱 2. 将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则数列的前5项和为（ ） A. 220 B. 124 C. 370 D. 225 3. 在等比数列中，首项为，公比为q，命题A：数列为递减数列；命题B：数列首项，公比；则命题A是命题B的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知具有相关关系的变量，它们之间的一组数据如表所示，若关于的回归方程为，则（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列前n项和为，则的值为（ ） A. 83 B. 108 C. 75 D. 63 6. 已知数列的前n项和，则的值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 在数列中，，则的值为（ ） A. 2+ln99 B. 2+ln100 C. 2+ln101 D. 8. 已知数列满足，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线必经过样本数据的中心点； B. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； C. 越接近1，相关性越强； D. 在独立性检验中，值越大，说明两个变量有关系的可能性越小 10. 南阳市政府围绕国家、省大力发展战略性新兴产业总体部署，助力科技型中小企业发展，在2025年年初为某高科技项目注入了启动资金500万元，已知该项目每年可获利20%，但由于竞争激烈，该项目每年年底需从利润中取出60万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设第n年年初该项目的资金为万元．（取）则下列叙述正确的是（ ） A. B. 与的递推公式为 C. 按照计划2031年年初该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标 D. 令，则（精确到1） 11. 已知数列满足：，记为数列的前n项和，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记为数列的前n项和，已知，且，则____ 13. 如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆，如此下去，则前10个内切圆的面积和_____． 14. 已知数列，满足，则____ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价（元）与网上月销量（万件）的数据如下： （1）求相关系数（保留3位小数），并说明与的线性相关程度； （2）建立关于的线性回归方程； （3）若月销量不低于万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 16. 已知数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知为数列的前项和，若，且数列为等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的首项为1，且，求数列的前n项和. 18. 高中推行“双休”以来，学生周六周日在家使用手机的时间增加，为了研究学生“双休日”在家使用手机时间长短与学习成绩的关系，特从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查；将学生成绩分为“优秀”和“不优秀”两类，使用手机时间“长”（大于等于3小时／天）和“短”（小于3小时／天）两类，调查结果如下： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 使用手机时间长 70 使用手机时间短 60 100 总计 90 完成上表，并根据完成的表格解决下面问题： （1）现从这200名学生中随机选取一名学生，用频率估计概率，求该生“使用手机时间短”且“成绩优秀”的概率； （2）在“使用手机时间长”的学生中，求该生“成绩不优秀”的概率； （3）是否有99％的把握认为学生使用手机时间长短与学生成绩有关． （参考公式：） 附：当时，有99％的把握判断变量A，B有关联． 19. 设n个不同的元素1，2，3，…，n的一个排列中，若每个元素都不在原来的位置，则称该排列为一个错位排列（也叫“错排”），记为n个元素的错位排列的总数． （1）求 （2）求证：是等比数列； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期阶段性素养评价（一） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某研究小组收集了10组数据，计算得到相关系数，则以下结论最合理的是（ ） A. 与正相关且线性关系很强 B. 与负相关且线性关系很强 C. 与正相关但线性关系很弱 D. 与负相关但线性关系很弱 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以变量与负相关； 因为，非常接近于1，所以相关性很强. 2. 将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则数列的前5项和为（ ） A. 220 B. 124 C. 370 D. 225 【答案】D 【解析】 【分析】先列举出两数列的项，找到它们的公共项，总结出其规律，求和即得. 【详解】数列的项依次为，而数列的项依次为， 故两数列的公共项依次为，即， 故数列的前5项和为. 3. 在等比数列中，首项为，公比为q，命题A：数列为递减数列；命题B：数列首项，公比；则命题A是命题B的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及等比数列的性质求解. 【详解】当，时，，所以， 即，所以数列为递减数列； 若数列为递减数列，不妨取，此时数列为：，是递减数列，但是不满足，公比. 综上可知，不能推出，,所以命题A是命题B的必要不充分条件. 4. 已知具有相关关系的变量，它们之间的一组数据如表所示，若关于的回归方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 代入回归方程后可得，故. 5. 等比数列前n项和为，则的值为（ ） A. 83 B. 108 C. 75 D. 63 【答案】D 【解析】 【详解】因为，由片段和性质得， 即解得，即. 6. 已知数列的前n项和，则的值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故A正确. 7. 在数列中，，则的值为（ ） A. 2+ln99 B. 2+ln100 C. 2+ln101 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得， 则 . 8. 已知数列满足，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， ， ， ， ， 所以数列的周期为3，即. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线必经过样本数据的中心点； B. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； C. 越接近1，相关性越强； D. 在独立性检验中，值越大，说明两个变量有关系的可能性越小 【答案】AC 【解析】 【详解】回归直线必经过样本数据的中心点，故A正确； 回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B错误； 越接近1，代表变量之间的相关性越强，故C正确； 在独立性检验中，值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，故错误. 10. 南阳市政府围绕国家、省大力发展战略性新兴产业总体部署，助力科技型中小企业发展，在2025年年初为某高科技项目注入了启动资金500万元，已知该项目每年可获利20%，但由于竞争激烈，该项目每年年底需从利润中取出60万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设第n年年初该项目的资金为万元．（取）则下列叙述正确的是（ ） A. B. 与的递推公式为 C. 按照计划2031年年初该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标 D. 令，则（精确到1） 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意，先写出数列递推式，构造等比数列，求出其通项公式，计算即可判断A，C；再利用分组求和与等比数列求和公式计算判断D项. 【详解】依题意，，故B正确； 对于A，因，代入上式，可得，即A正确； 对于C，由可得， 且，则数列是首项为200，公比为的等比数列， 故，即. 因，则，故C错误； 对于D， ，故D正确. 11. 已知数列满足：，记为数列的前n项和，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意写出数列前项，可判断AB；根据累加法计算可判断C；根据迭代法计算可判断D. 【详解】由题意可知，数列的前项分别为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由可得， 则， 所以， 因为，所以，故C正确； 对于D，因为， 所以 ， 所以，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记为数列的前n项和，已知，且，则____ 【答案】 【解析】 【分析】先利用和的关系将已知等式转为的递推式，求出的通项公式后再写出的通项公式. 【详解】因为，所以整理得， 又，所以是以为公比的等比数列， 其通项公式为，所以，， 从而时， 因为不满足上式，所以. 13. 如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆，如此下去，则前10个内切圆的面积和_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求得第一个内切圆的面积，然后求出相邻两个内切圆之间的递推关系，最后利用等比数列前项和公式求得前10个内切圆的面积和. 【详解】设第个内切圆半径为，第一个正三角形边长为， 则第一个内切圆半径 ，面积， 后一个内接正三角形的边长是前一个正三角形边长的， 因此后一个内切圆半径满足，​ 那么面积满足， 即所有内切圆的面积构成首项，公比的等比数列， 则前10个内切圆的面积和. 14. 已知数列，满足，则____ 【答案】 【解析】 【分析】通过构造等差数列，结合等差数列的通项公式求解即可． 【详解】解：， ，即，， 数列是首项为1，公差为1的等差数列， ， ． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价（元）与网上月销量（万件）的数据如下： （1）求相关系数（保留3位小数），并说明与的线性相关程度； （2）建立关于的线性回归方程； （3）若月销量不低于万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 【答案】（1），与完全线性负相关. （2） （3）定价最高为元. 【解析】 【小问1详解】 ，， 故 ， 故与完全负相关. 【小问2详解】 ，故， 故回归方程为. 【小问3详解】 由题设，此时，故，故定价最高为元. 16. 已知数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）已知关于的一元二次方程，解方程得到； （2）先求数列的通项，再用错位相减法求和. 【小问1详解】 因为，所以， 因为各项均为正数，所以， 所以，； 【小问2详解】 ， 两式相减，得 ， 所以. 17. 已知为数列的前项和，若，且数列为等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的首项为1，且，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求等差数列的通项公式，从而得到，再由求. （2）先利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项求和法求. 【小问1详解】 由题意，， 因为数列为等差数列，设公差为，则， 所以， 所以. 当时，； 当时，. 当时，上式亦成立. 所以. 【小问2详解】 因为时，， 所以，，，，…，， 各式相乘得：， 又，所以，. 当时，上式亦成立. 所以， 所以. 18. 高中推行“双休”以来，学生周六周日在家使用手机的时间增加，为了研究学生“双休日”在家使用手机时间长短与学习成绩的关系，特从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查；将学生成绩分为“优秀”和“不优秀”两类，使用手机时间“长”（大于等于3小时／天）和“短”（小于3小时／天）两类，调查结果如下： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 使用手机时间长 70 使用手机时间短 60 100 总计 90 完成上表，并根据完成的表格解决下面问题： （1）现从这200名学生中随机选取一名学生，用频率估计概率，求该生“使用手机时间短”且“成绩优秀”的概率； （2）在“使用手机时间长”的学生中，求该生“成绩不优秀”的概率； （3）是否有99％的把握认为学生使用手机时间长短与学生成绩有关． （参考公式：） 附：当时，有99％的把握判断变量A，B有关联． 【答案】（1） （2） （3）有的把握认为学生使用手机时间长短与学习成绩有关 【解析】 【分析】（1）根据表格，利用频率直接计算即可； （2）根据表格，利用频率直接计算即可； （3）计算，与比较，得出结论即可. 【小问1详解】 根据题意，完成表格如下： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 使用手机时间长 30 70 100 使用手机时间短 60 40 100 总计 90 110 200 由上表知，“使用手机时间短”且“成绩优秀”的人数为， 所以随机抽取一名学生，该生“使用手机时间短”且“成绩优秀”的概率. 【小问2详解】 因为使用手机时间长的学生共有人，其中成绩不优秀的有人， 所以在“使用手机时间长”的学生中抽取一名学生，该生“成绩不优秀”的概率. 【小问3详解】 因为， 所以有的把握认为学生使用手机时间长短与学习成绩有关. 19. 设n个不同的元素1，2，3，…，n的一个排列中，若每个元素都不在原来的位置，则称该排列为一个错位排列（也叫“错排”），记为n个元素的错位排列的总数． （1）求 （2）求证：是等比数列； （3）求证：. 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据具体情况判断即可； （2）通过考虑第个元素的去向，找到和的关系，然后对递推关系式进行变形构造，利用等比数列定义证明； （3）利用（2）中结论得到的通项公式，变形并累加后得到与要证的结果相近的形式，再利用裂项相消进一步化简，最后选取合适的下标得到结果. 【小问1详解】 时，只有一个元素，无法错排，所以； 时，有两个元素，只有一种错排即，所以； 时，有三个元素，有两种错排和，所以. 【小问2详解】 对于，假设第个元素放在了第个位置，，考虑第个元素的去向： 若放在第个位置，则意味着第个元素和第个元素互相交换了位置， 剩下的个元素进行错排，有种方法；若没有放在第个位置， 我们可以把第个位置看作是第个元素的“原位置”（因为它不能去那里）， 这等价于剩下的个元素（包括第个元素）进行错排，有种方法， 对每个进行考虑即可得， 所以， 所以是等比数列，公比为. 【小问3详解】 由（2）可知，， 也即，，两边同时除以得到， 对到进行累加，有， 左边裂项相消，得到即， 令即可化为. 【点睛】这类问题抓住递推关系是核心，通过分析增加的元素在后一种情况里找到所包含的前面的情况，即可顺利构建出递推关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $