精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2025-2026学年下学期九年级数学学情自测4

北京师范大学附属实验中学2025-2026学年初三第二学期数学 综合训练4 （满分：100分 时间：120分钟） 一、选择题：（每小题2分，共16分） 1. 在下列几何体中，主视图的形状跟下图一样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个几何体的主视图判断即可． 【详解】解：对于A，图中圆柱的主视图是长方形，符合题意； 对于B，图中圆锥的主视图是三角形，不符合题意； 对于C，图中几何体的主视图是三角形，不符合题意； 对于D，图中球的主视图是圆，不符合题意． 2. 从本语文教材、本数学教材、本英语教材中随机取出一本书，若选取每本教材的可能性相等，选取的书不是数学教材的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出所有教材的总数量，再求出不是数学教材的数量，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：总教材数量为本，其中不是数学教材的数量为本， 选取的书不是数学教材的概率为． 3. 实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数a，b在数轴上的位置可得，，再逐一判断即得答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴，，，， ∴选项A、B、C是错误的，选项D是正确的． 4. 关于的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根 C. 没有实根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可． 【详解】由关于的一元二次方程可得： ， ∴此方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 5. 太阳的质量约为，地球的质量约为，太阳质量大约是地球质量的（ ）倍． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用太阳质量除以地球质量，利用同底数幂的除法法则计算，再整理为标准科学记数法即可得到结果． 【详解】解：． 6. 如图，的半径为2，是的内接三角形，于D， 于E，当时，线段的长是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接，作，圆周角定理得到，进而求出，垂径定理求出的长，推出为的中位线，即可得出结果． 【详解】解：连接，作，则， ∵的半径为2，是的内接三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于D， 于E， ∴， ∴为的中位线， ∴． 7. 线段长为1，以为直径作，在上取点C（不与A、B重合），连接．设，下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆周角定理确定，得到α为的锐角，再结合锐角三角函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵为的直径，点C在上且不与A，B重合， ∴，可得，即α为锐角， 根据锐角三角函数定义，可得， ∵， ∴，， ∴，即，故C选项正确； 对其余选项验证： 当时，，故A选项错误， 当时，，故B选项错误， 当α趋近于时，趋近于1，趋近于0，此时，故D选项错误． 8. 如图，在函数（是常数且，）的图像上任取两点和（在左侧），分别过、作两条坐标轴的平行线，得到矩形（在左侧），连接、、，作直线分别交轴、轴于点、．在下列说法中，一定正确的是（ ） ①、、三点共线；②；③若，则；④四边形和四边形的面积都等于． A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先设反比例函数上点、，由题意确定矩形顶点，，①通过待定系数法求直线的正比例函数解析式，验证点坐标满足解析式，、、三点共线；②用待定系数法求直线的一次函数解析式，分别求出其与坐标轴交点、的坐标，通过两点间距离公式证明，进而得到；③利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合推导出等腰三角形，再结合平行线性质、三角形外角定理证明；④判断两个四边形为梯形，确定对应底和高，代入梯形面积公式化简，结合反比例函数的性质，证明两个四边形面积均等于． 【详解】解：设反比例函数（是常数且，）上的点，（在左侧，故）， ∵点、在反比例函数图像上， ∴，，即，， ∵过、作坐标轴的平行线，得矩形（在左侧）， ∴矩形顶点坐标为，， ①设直线的解析式为，将代入得 ， ∴，即直线：， 将​代入，得​， ∴点在直线上， ∴，，三点共线； 故①正确； ②设直线：，代入，得 ， 解得， ∴直线：， 令，得，令，得， ∴， ， ∴， ， ∴； 故②正确； ③如图，设，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，对角线互相平分，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵，且， ∴； 故③正确； ④， ， 故④正确； 综上，正确的有①②③④． 故选：D． 二、填空题：（每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式和分式的有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， 且， 解得且． 10. 分解因式： ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 11. 方程的解为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 检验：当时， ∴是原分式方程的解． 12. 某校从某年级名学生中随机抽取人调查每天运动时间，统计结果如下表所示，请你估计该校该年级每天运动时间达到小时的学生大约有_____________名． 时间（分） 人数 1 1 5 5 14 18 6 【答案】 【解析】 【分析】先将小时转换为分钟，得到所求范围，再计算样本中符合条件的人数，最后用总人数乘以该频率得到估计值． 【详解】解：小时分， 样本中运动时间不低于小时（即分）的人数为：（名）， 估计总体中符合条件的人数为：（名）． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的实数的一个值为___． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：“若，则”是假命题，则， 即， ， 当时，只要即可， 解得， 只要取中任意一个数即可， 则（答案不唯一）． 14. 如图，的面积为6，E是边上的点，连接、相交于点F，若，则的面积是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，，进而得出，再由相似三角形的性质结合题意得出，，设，则，，进而可得出，即可求出a的值，进而可得的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的面积是． 15. 如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度变为 _________ m． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，求出抛物线解析式，再根据水面下降1m，可得，求得对应的，即可求解． 【详解】解：如图，建立直角坐标系， 则顶点，， 可设抛物线解析式为： 将代入可得：，解得 抛物线解析式为： 水面下降，即，代入抛物线解析式可得： 解得，即 水面宽变为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是建立直角坐标系，正确求得抛物线解析式． 16. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学的各科考试成绩如下表所示，已知： ①每门功课五个人的分数各不相同，恰好分别为1，2，3，4，5； ②五个人的总分互不相同，按从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊； ③丙有四门功课的分数相同． 姓名 语文 数学 英语 物理 政治 总分 甲 24 乙 丙 丁 4 戊 5 3 （1）这五人的总分之和是_____________； （2）乙的语、数、英、物、政五门功课的分数依次是：_____________． 【答案】 ①. 75 ②. 【解析】 【分析】（1）根据每门功课的分数计算五人总分之和， （2）结合已知条件，逐步推理出各人的总分，再根据分数限制推出乙的各科分数. 【详解】解：（1）每门功课五个人分数为，每门功课分数和为，共有门功课，因此五人总分之和为； （2）∵甲总分为，五门满分， ∴甲的分数为个分和个分， ∵戊语文得分， ∴语文分在戊，甲的个分分布在数学，英语，物理，政治，甲语文得分； 根据条件③，丙有四门分数相同， ∵所有分已经用完（甲个，戊个）， ∴相同分数不可能为； ∵共有个分，已经用了甲语文分，丁英语分，仅剩个分，不够丙拿四门， ∴相同分数不可能为； 若相同分数为，则丙总分最多为，戊已有分，剩余三门最少加分，总分最少，此时丁需要小于，戊小于丁，矛盾， ∴相同分数不可能为； ∴丙四门相同分数只能为， 又∵戊数学已经得分，因此丙的数学不为，其余四门（语文，英语，物理，政治）均为，丙总分为，为丙数学分数，只能为； ∵总分排序甲>乙>丙>丁>戊，五人总分为， ∴乙+丙+丁+戊， 若丙总分或，总和超出， ∴丙总分只能为，得，即丙数学为，丙总分， ∴乙>>丁>戊，戊总分最少， ∴只能是乙，丙，丁，戊，满足， ∵戊已有语文，数学，剩余三门分数和为， ∴三门均为分，即戊英语，物理，政治都是， ∴英语剩下分给乙，乙英语得分； ∵丁总分，英语已经得分，因此剩下四门分数和为，物理，政治已经没有分， ∴丁物理+政治最少分， ∴丁语文+丁数学，可得丁语文，丁数学，丁物理，丁政治，满足和为； ∴乙各科分数： 语文：剩余分数为，得分； 数学：剩余分数为，得分； 英语：得分； 物理：剩余分数为，得分； 政治：剩余分数为，得分； ∴乙的五门分数依次为. 三、解答题：（第17~19题每题5分，第20题6分，第21、22题每题5分，第23、24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27、28题每题7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式，然后应用实数的运算法则即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 由①得，由②得， 不等式组的解为． 19. 已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可得，对化简变形再代入即可求得答案． 【详解】解：是方程的根， ，，即， 原式． 20. 在中，是边上的中线，点E在线段上，点F在线段的延长线上，，连接，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形． （2）若， ①依题意补全图2； ②求证：四边形为菱形. 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴ ， ∵ 是边上的中线， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形． （2） ①依题意补全图2，如图； ②证明：∵ ， ∴ ， ∵ 是边上的中线， ∴ ， 由（1）证明方法可得 四边形是平行四边形， ∴ 四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）证明，可得，再根据，即可得出结论； （2）由，可得，再由等腰三角形的性质可证，再利用菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质及菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质及菱形的判定是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，将直线平移，使其经过点，平移后的函数表达式变为． （1）求和的值； （2）当时，对于的每一个值，函数（为常数且）的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）且 【解析】 【分析】（1）先根据直线平移时的值不变得出的值，再将点的坐标代入直线解析式中求出的值； （2）先求出当时，对应的值，再将点的坐标代入函数中，求得对应的的值，然后结合图象即可求得． 【小问1详解】 解：将直线平移，平移后的函数表达式变为， ， ， 将点代入得， ，解得； 【小问2详解】 解：由（1）可知，一次函数的解析式为， 当时，， 将点代入中得， ，解得， 当时，对于的每一个值，函数（为常数且）的值都大于函数的值， 的取值范围为且． 22. 列方程解应用题： 有一批形状大小相同的长方形砖块，数量为偶数，且每块砖的长比宽多．若把这批砖按图方式横着铺，全长为；若把这批砖按图方式竖横相间铺，全长为．求每块砖的长． 【答案】每块砖的长为 【解析】 【分析】设每块砖的长为，则宽为，根据两种方式所用的砖块数量相同列方程求解即可． 【详解】解：设每块砖的长为，则宽为． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 每块砖的长为． 23. 为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 （1）写出表中m，n的值； （2）甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则_______（填“>”“=”或“<”）； （3）由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为70分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是_______（写出所有符合题意的序号）． ①平均数 ②中位数 ③众数 ④方差 【答案】（1）66，70 （2） （3）③ 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大，据此可得答案； （3）把甲中的一个60换成70后，中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化，不变的是众数． 【小问1详解】 解：把甲这七天的运动时长按照从低到高排列为60分，60分，66分，66分，70分，70分，70分， ∴甲的中位数为66分，即， ∵甲运动时长为70分的天数最多， ∴甲的众数为70分，即； 【小问2详解】 解：由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大， ∴； 【小问3详解】 解：把甲中的一个60换成70后， 新数据是： 60分，66分，66分，70分，70分，70分，70分， 中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化， ∴不变的是众数． 故答案是：③． 24. 如图，内接于，是的直径，与相交于点E，作于点F，过点B作直线，使得，直线交延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，点是的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ，即半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作出合适辅助线，构造相似三角形是解题关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，可得，进而可得，从而可得，然后求出，根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，作于H，由是中点和，可得是等边三角形，可得，，，由是的直径，，可证得，可得，求得，由勾股定理求得，由即可解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，作于H， 是中点， ， 又， ， ， ， 是等边三角形， ，，， 是的直径， ， 又， ， ， ， ， 由勾股定理得， ． 25. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取，两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录型弹簧和型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 型弹簧伸长长度 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 8.1 12.3 18.5 26.6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的坐标系中，已有图象和部分图象上的点，请补全的函数图象； （2）若两个弹簧所挂物体质量相同，当两个弹簧伸长长度相差最大时，它们各自所挂物体的质量约为_____________；（保留到个位） （3）重新取、型弹簧各一个，再次进行实验．在型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，若将一部分重物从型弹簧卸下，挂到型弹簧上（型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则此时弹簧伸长的长度约为_____________ ．（保留到） 【答案】（1） 补全的函数图象如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据补全的函数图象即可； （2）根据图象，分别求得、与的关系式为，再求出与的关系式，分析函数的增减性，结合自变量的取值范围，即可求解； （3）先求出初始状态下物体的质量，设需要挪动的物体质量为，分段讨论，根据调整后两个弹簧伸长长度一致列方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图象可知与是正比例函数， 设与的关系式为， 将代入得，解得， 与的关系式为． 根据图象可知，当时，与是正比例函数， 设与的关系式为， 将代入得， 与的关系式为， ， ， 随的增大而增大， 当时，的值最大，最大值为； 当时，与是二次函数， 设与的关系式为， 将，，代入得： ，解得， 与的关系式为， ， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，的值最大，最大值为； ， 当所挂物体质量约为时，型弹簧伸长长度与型弹簧伸长长度的差值最大． 【小问3详解】 解：当时，解得， 设需要挪动的物体质量为， 根据图象可知，当时，， ， 故，不符合题目要求， 由（2）可知，当时，与的关系式为， 根据题意，可得， 解得， 此时，不符合题意， 当时，与的关系式为， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，故舍去）， 此时， 即此时弹簧伸长的长度约为． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，长为． （1）求出抛物线的解析式； （2）直线交抛物线于、两点，点在点左侧．，为抛物线上不同的两点．抛物线上、两点及之间的部分记为图形；、两点及之间的部分记为图形．若存在点， 分别位于，上，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或且 【解析】 【分析】（1）对称轴为直线，可得、坐标，代入，可得，即可得抛物线的解析式； （2）抛物线与直线解析式联立，得到抛物线与直线交点坐标为和，根据题意，结合二次函数的图象和性质，进行分类讨论即可得的取值范围． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴、分别为和， ∴ ∴， ∴解析式为； 【小问2详解】 解：， 解得或， ∴抛物线与直线交点坐标为和， ∵，为抛物线上不同的两点， ∴， ∴， 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大． 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 当时，点在点右侧， 此时，只要让点在点的左侧即可， 即； 当时，点在点右侧， 此时只要让点在点的左侧即可， 即， 解得； 综上，或且． 27. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点关于直线的对称点为点，连接． （1）当时，补全图形，并证明：平分； （2）连接，若，求的大小． 【答案】（1） 补全图形如图所示； 证明：连接、、， ，， 是等边三角形， ，， 、关于直线对称， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 平分； （2） 【解析】 【分析】（1）按照旋转的性质补全图形，连接、、，根据旋转的性质和对称的性质证明和是等边三角形，从而证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可得证； （2）延长到，使得，连接、，根据旋转的性质和对称的性质证明，得到，证明，即可证得，再由，可求得，最后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长到，使得，连接、， ，，， ， 是等边三角形， ，， 、关于直线对称，， ，， ，即， ，，， ， ， ，，， ， ， ， ，即， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，P、Q为外两点，且，如果在圆上存在A、B两点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则线段上的任意点M都称为关于的菱形点． （1）当P坐标为时，在下列点中，的菱形点可能是_____________． ，，． （2）直线l为， ①如果直线l上的点是的菱形点，则t的取值范围是_____________． ②若直线l上存在线段，且上的所有点（不包括端点）都是关于某一线段的菱形点，则的最大长度为_____________，此时A的纵坐标为_____________． 【答案】（1）、 （2）①且；②最大为；或0 【解析】 【分析】（1）根据定义和菱形的性质，逐个坐标验证即可解答； （2）①根据题意可知，对于任意线段，点P和Q的轨迹为分别以点B和A为圆心，半径为2的半圆上（不包括端点），连接、，可得的最大值为4，则对于圆上任意线段，线段的轨迹在半径为2的和半径为4的之间的区域（不包括半径为2的的圆上，但包括半径为4的的圆上），然后求得当点P在直线l上时的横坐标，根据对称性即可得到答案； ②根据题意，线段都是与的交点，为了使最大，的运动轨迹需始终在的上下两侧，接着证明当点轨迹与相切，此时点处于所能达到的最左端位置，再接着证明当与相切时，达到最大值，最后利用解直角三角形求得答案． 【小问1详解】 解；①∵，即点不在线段上， ∴点不是的菱形点； ②当点在线段上，则此时点，且轴，如图所示， 连接交于点A，过点A作交于点A，交y轴于点C，连接， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴此时圆上存在A、B两点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， 即点是的菱形点； ③同②可得，点是的菱形点； 故答案为：、； 【小问2详解】 解：①若为对角线时，要使得是菱形，则的中点一定在内，而在外，且，无法找到这样的菱形满足条件， ∴一定为菱形的边， 那么只需要探究上的长为的弦，以去构造菱形，来确定的可行区域， ∵P、Q为外两点，且，A、B为圆上的两点，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，的半径为2， ∴， ∴对于任意线段，点P和Q的轨迹为分别以点B和A为圆心，半径为2的半圆上（不包括端点）， 连接、，则， ∵， ∴对于圆上任意线段，线段的轨迹在半径为2的和半径为4的之间的区域（不包括半径为2的的圆上，但包括半径为4的的圆上）， ∵直线上的点是的菱形点， ∴当点C在半径为4的和直线l的两个交点之间时（包括端点），均符合题意， 当点P在直线l与半径为4的的右交点时，此时O、B、P三点共线，，如图所示， ∵直线l与x轴的距离为2，， ∴此时点Q在轴上，且轴， ∴， 即此时； 同理，当点在左侧的交点时，； 综上，且； ②根据题意，直线l上存在线段，且上的所有点（不包括端点）都是关于某一线段的菱形点，那么线段都是与的交点， 如图，由（2）①可知，当在圆上任意位置，的运动轨迹如下，设交的交点为，交于点，作于点H， ∵为了使最大， ∴需始终在的上下两侧，如图所示： 当保证的运动轨迹需始终在的上下两侧的前提下，将固定在圆上某一位置，那么点点保持不动，当点绕点顺时针旋转时，向右移动，长度增大， ∵点的运动轨迹为以点为圆心，半径为2的半圆（不包括端点）， ∴当时，点与线段的距离最大，此时点到达最右侧位置， ∵菱形中，平行于， ∴此时，即当与相切时，达到最大值，如下图所示： 也就是说，只要找到点所能达到的最左端位置，且当与相切时，达到最大值， 在保证的运动轨迹需始终在的上下两侧的前提下，将点绕点逆时针旋转时，点向左移动， ∵点位于时，点与直线的距离为2，此时点轨迹与相切，此时点处于所能达到的最左端位置，如图所示， 此时， ∵，， ∴， ∴， ∵直线平行于轴， ∴， ∵当与相切时，达到最大值， ∵此时，四边形为菱形， ∴四边形为正方形， 过点作，此时， ∴， ∴， ∵点位置可以互换， ∴的最大值长度为，此时点的纵坐标为或0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学附属实验中学2025-2026学年初三第二学期数学 综合训练4 （满分：100分 时间：120分钟） 一、选择题：（每小题2分，共16分） 1. 在下列几何体中，主视图的形状跟下图一样的是（ ） A. B. C. D. 2. 从本语文教材、本数学教材、本英语教材中随机取出一本书，若选取每本教材的可能性相等，选取的书不是数学教材的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根 C. 没有实根 D. 无法确定 5. 太阳的质量约为，地球的质量约为，太阳质量大约是地球质量的（ ）倍． A. B. C. D. 6. 如图，的半径为2，是的内接三角形，于D， 于E，当时，线段的长是（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 线段长为1，以为直径作，在上取点C（不与A、B重合），连接．设，下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在函数（是常数且，）的图像上任取两点和（在左侧），分别过、作两条坐标轴的平行线，得到矩形（在左侧），连接、、，作直线分别交轴、轴于点、．在下列说法中，一定正确的是（ ） ①、、三点共线；②；③若，则；④四边形和四边形的面积都等于． A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：（每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 10. 分解因式： ____________． 11. 方程的解为_____________． 12. 某校从某年级名学生中随机抽取人调查每天运动时间，统计结果如下表所示，请你估计该校该年级每天运动时间达到小时的学生大约有_____________名． 时间（分） 人数 1 1 5 5 14 18 6 13. 能说明命题“若，则”是假命题的实数的一个值为___． 14. 如图，的面积为6，E是边上的点，连接、相交于点F，若，则的面积是_____________． 15. 如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度变为 _________ m． 16. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学的各科考试成绩如下表所示，已知： ①每门功课五个人的分数各不相同，恰好分别为1，2，3，4，5； ②五个人的总分互不相同，按从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊； ③丙有四门功课的分数相同． 姓名 语文 数学 英语 物理 政治 总分 甲 24 乙 丙 丁 4 戊 5 3 （1）这五人的总分之和是_____________； （2）乙的语、数、英、物、政五门功课的分数依次是：_____________． 三、解答题：（第17~19题每题5分，第20题6分，第21、22题每题5分，第23、24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27、28题每题7分，共68分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知a是方程的一个根，求代数式的值． 20. 在中，是边上的中线，点E在线段上，点F在线段的延长线上，，连接，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形． （2）若， ①依题意补全图2； ②求证：四边形为菱形. 21. 在平面直角坐标系中，将直线平移，使其经过点，平移后的函数表达式变为． （1）求和的值； （2）当时，对于的每一个值，函数（为常数且）的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 列方程解应用题： 有一批形状大小相同的长方形砖块，数量为偶数，且每块砖的长比宽多．若把这批砖按图方式横着铺，全长为；若把这批砖按图方式竖横相间铺，全长为．求每块砖的长． 23. 为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 （1）写出表中m，n的值； （2）甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则_______（填“>”“=”或“<”）； （3）由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为70分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是_______（写出所有符合题意的序号）． ①平均数 ②中位数 ③众数 ④方差 24. 如图，内接于，是的直径，与相交于点E，作于点F，过点B作直线，使得，直线交延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，点是的中点，，求的长． 25. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取，两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录型弹簧和型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 型弹簧伸长长度 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 8.1 12.3 18.5 26.6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的坐标系中，已有图象和部分图象上的点，请补全的函数图象； （2）若两个弹簧所挂物体质量相同，当两个弹簧伸长长度相差最大时，它们各自所挂物体的质量约为_____________；（保留到个位） （3）重新取、型弹簧各一个，再次进行实验．在型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，若将一部分重物从型弹簧卸下，挂到型弹簧上（型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则此时弹簧伸长的长度约为_____________ ．（保留到） 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，长为． （1）求出抛物线的解析式； （2）直线交抛物线于、两点，点在点左侧．，为抛物线上不同的两点．抛物线上、两点及之间的部分记为图形；、两点及之间的部分记为图形．若存在点， 分别位于，上，使得，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点关于直线的对称点为点，连接． （1）当时，补全图形，并证明：平分； （2）连接，若，求的大小． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，P、Q为外两点，且，如果在圆上存在A、B两点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则线段上的任意点M都称为关于的菱形点． （1）当P坐标为时，在下列点中，的菱形点可能是_____________． ，，． （2）直线l为， ①如果直线l上的点是的菱形点，则t的取值范围是_____________． ②若直线l上存在线段，且上的所有点（不包括端点）都是关于某一线段的菱形点，则的最大长度为_____________，此时A的纵坐标为_____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $