精品解析：2026年河北保定市徐水区九年级下学期4月巩固练习数学

2026年河北省九年级巩固练习数学 本试卷共8页．总分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与2互为倒数的是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查倒数的概念，理解倒数的概念是解题的关键．根据“乘积为1的两个数互为倒数”计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 互为倒数的两个数的乘积为1， ∴ 与2互为倒数的数为 ． 故选：B． 2. 如图，是的外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 【详解】解：是的外角， ． 3. 河北省在每年4月23日“世界读书日”前后都会举办系列阅读活动．为了解学生们的阅读情况，数学老师统计某班40名学生30天内去图书馆的次数，并将结果绘制成如图所示的统计图，则40名学生去图书馆次数的众数是（ ） A. 2次 B. 10人 C. 3次 D. 3.5次 【答案】A 【解析】 【分析】根据一组数据中出现次数最多的是众数即可求解． 【详解】解：由统计图知，去图书馆2次的人数最多，故众数是2次． 4. 若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式两边乘同一个负数时不等号方向改变的性质，对已知不等式变形即可得到结果． 【详解】∵，根据不等式性质，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， 将不等式两边同时乘以， ∴． 5. 将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定棱在正方体中为含三角形面的顶面水平棱，将展开图折叠，验证各线段位置，确定与棱重合的线段． 【详解】解：将展开图折叠还原，棱为含三角形面的顶面水平棱，折叠后与棱重合，其余线段均不重合． 故选：A． 6. 数在如图所示的数轴上的大致位置可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出的值，再判断即可； 【详解】， 该数在和之间，且在靠近的位置， 大致位置可能是点． 7. 如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知条件中有，因此被覆盖住的条件应为，或者能够推导出． 【详解】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意； B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意． 8. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．平行于轴的直线分别交两图象于点，．过点，分别作轴的垂线，垂足为，，则图中阴影部分的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义，结合，得出，可得B正确，根据轴可得电流差为，可判断A错误；根据电流相同时，电阻的差值为，电阻相同时，电流的差值为，都不能用面积表示，可判断C、D错误；综上，即可得答案． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点， ∵平行于轴的直线分别交两图象于点，， ∴、两点的电流相等， ∴经过用电器的电流的差值为，故A选项错误，不符合题意， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积表示两款蓄电池的电压的差值，故B选项正确，符合题意， 当用电器的电流相同时，电阻的差值为，不能用面积表示，故C选项错误，不符合题意， 当用电器的电阻相同时，电流的差值为，不能用面积表示，故D选项错误，不符合题意． 9. 图1是以为直径的半圆形纸片，，沿垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，其中与交于点，如图2所示，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据题意可知半圆半径为2，由点C、D均在圆上且，可判定为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理求解． 【详解】解：连接，，O为圆心， ， 又， 为等边三角形， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及位似中心的确定，解题的关键是明确位似中心是对应顶点连线的公共交点，通过排除法排除无效对应情况，再验证有效对应下的交点． 先计算各线段长度确定位似比与初步对应关系；再根据位似中心在对应顶点连线上，验证四个选项是否在、上，排除、情况；最后针对的有效对应，求对应顶点连线的交点即位似中心． 【详解】解：假设、的对应情况成立: 设直线：，代入、，得，，即． 设直线：，代入、，得，，即． 验证选项A、：不在、上； B、：不在、上； C、：不在、上； D、：不在、上． 排除、的对应情况，仅保留． 设直线：，代入、，得． 设直线：，代入、，得． 联立，解得，，交点为． 故选：． 11. 已知两个正多边形的边数的比为，每个内角度数的比为，求这两个正多边形的边数．小明和小芳分别设了2种不同未知数，并列出方程．小明设两个正多边形的边数分别为和x，列得方程： 小芳设两个正多边形的每个内角度数分别为和，列得方程： ，则下列说法正确的是（ ） A. 小明的方法正确 B. 小芳的方法正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的边数与内角的关系．小明设边数分别为和x，则内角分别为和，根据其比为列方程；小芳设内角度数分别为和，则边数分别为和，根据其比为列方程，即可判断解答． 【详解】解：小明设边数为和x，则内角分别为和，根据其比为，列方程得， ， 即， 所以小明的方法正确． 小芳设内角度数为和，则边数分别为和，其比为，列方程得 ， 即 所以小芳的方法正确． 故两人方法都正确． 故选：C． 12. 任取一个非零整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数．就将该数除以2，这叫把该数进行1次运算．在平面直角坐标系中，将点(其中x与y均为非零整数）中的分别按上述运算得到新点的横、纵坐标．例如：点经过1次运算得到点，经过2次运算得到点；以此类推．若点（其中均为非零整数）经过10次运算后得到点，则点不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据给定运算规则，先验证得所有选项横坐标都符合要求，只需计算各选项纵坐标经过10次运算的结果，利用周期规律简化推导即可得到答案． 【详解】四个选项横坐标均为，为偶数，每次运算都除以2，经过10次运算后得，符合要求，只需验证纵坐标： A． 纵坐标 ∵是奇数，第1次运算得，第2次运算得，运算周期为2， ∴10次（偶数）运算后结果仍为，符合要求． B． 纵坐标 ∵第1次运算得，第2次运算得，运算周期为2，偶数次运算结果为. ∴10次运算后结果为，不符合要求． C． 纵坐标 ∵是偶数，连续10次除以2得. ∴10次运算后结果为，符合要求． D． 纵坐标 ∵前8次连续除以2得，剩余2次运算，由A的推导可知经过2次运算结果为. ∴10次运算后结果为，符合要求． 综上，点不可能是B选项． 故选：B. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图1所示的桔槔是一种原始的汲水工具，图2是示意图，架子水平地面EF，杠杆绕点旋转，当点旋转到时，的度数为_____． 【答案】 #46度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂线的定义，解题的关键是利用垂直关系判定，再由平行线的同位角相等直接求解角度． 由、得，与为同位角，根据两直线平行，同位角相等，直接得出的度数． 【详解】解：，(为铅垂线,垂直于水平面）， ， 与是同位角， ． 故答案为：． 14. 若与可以合并，则最小的正整数是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义，可合并的二次根式是同类二次根式，据此求出最小正整数． 【详解】解：， 因为与可以合并，所以与是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，因此最简形式的被开方数为，可得最小的正整数是． 15. 将三张大小一样的正方形纸片按如图所示的方式重叠地放置在长方形内部，．将中间的正方形纸片上下平移时，阴影部分的面积和不变．设，则每个正方形纸片的周长为_____（用含m的式子表示）． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、正方形和矩形的性质以及周长计算，解题的关键是利用阴影部分面积不变得出线段相等关系，进而推导出正方形的边长． 根据中间正方形上下平移时阴影部分面积不变，得出对应线段相等；利用矩形边长关系确定正方形边长为；根据正方形周长公式，边长乘以，计算出周长为． 【详解】解：如图． ∵中间的正方形纸片上下平移时，阴影部分的面积和不变， ∴， 由正方形及矩形性质可得： ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 即正方形的边长为． 则每个正方形的纸片的周长为． 16. 如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上，且，小明将矩形纸片沿着折叠，点，分别落到点，处．在点从点运动到点的过程中，当线段与边有交点时，设交点为点，则的最大值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、垂线段最短的应用，解题的关键是利用垂线段最短确定取最大值的条件，结合矩形边长进行计算． 过点作于点，由矩形性质得；由折叠性质得，结合得，故；由垂线段最短得，即；再由，当取最小值时,取得最大值． 【详解】解：过点F作，垂足为． 四边形是矩形， ，． 由折叠的性质可知，， ， ， ， ． 由垂线段最短可知，， 当且仅当时，，即． ，， ． ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分式计算的部分过程如图所示，按要求完成下列小题． 解： ……第一步 （1）第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了_____（填字母）； A．整式乘法 B．因式分解 （2）请你在图中的虚框中完成该分式的计算． 【答案】（1）B （2） 【解析】 【小问1详解】 解：第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了因式分解； 【小问2详解】 解： ． 18. 定义：使成立的一对有理数、称为“相伴有理数对”，记作．例如：因为，所以是“相伴有理数对”． （1）判断数对是否为“相伴有理数对”．并通过计算说明理由； （2）若是“相伴有理数对”．求的值； （3）若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】（1） 不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了对新定义的理解与应用、一元二次方程的求解以及代数式的化简求值，解题的关键是准确理解“相伴有理数对”的定义，将其转化为等式进行计算． （1）根据定义，分别计算与的值，比较是否相等； （2）将代入定义式，得到关于的方程，求解方程； （3）由是“相伴有理数对”得到，再将所求代数式展开，代入该等式化简求值． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， 不是“相伴有理数对”． 【小问2详解】 解：是“相伴有理数对”， ， 即， 整理得， 即， 解得． 【小问3详解】 解：是“相伴有理数对”， ， ． 19. 在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图1所示的正整数后，背面向上，洗匀放好． （1）以卡片上的数字作为三角形的三边长．从中随机抽取一张．上面的数字能构成三角形．该事件属于_____（填“随机”“必然”或“不可能”）事件； （2）先从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张，补全如图2所示的树状图．并求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．（勾股数指可以构成直角三角形三边的一组正整数） 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断哪些卡片上的数字能构成三角形，再由随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断即可； （2）先由勾股定理逆定理得到卡片上的数字是勾股数，画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：，卡片上的数字不能构成三角形；，卡片上的数字能构成三角形；，卡片上的数字能构成三角形；，卡片上的数字能构成三角形； ∴以卡片上的数字作为三角形的三边长．从中随机抽取一张．上面的数字能构成三角形．该事件属于随机事件； 【小问2详解】 解：由（1）知卡片上的数字不能构成三角形； 卡片上的数字能构成三角形，，则卡片上的数字不是勾股数； 卡片上的数字能构成三角形，，则卡片上的数字是勾股数； 卡片上的数字能构成三角形，，则卡片上的数字是勾股数， 补全树状图，如图所示： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数有2种， ∴抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率是 20. 如图1所示的开元寺塔位于河北省定州市，是现存最高的砖木结构古塔．某综合实践小组尝试利用无人机（无人机限高50米）测算开元寺塔的高度．如图2和图3，当无人机位于高度为28米的处（即米）时，测得塔顶处的仰角为． （1）若米，则开元寺塔的高度为_____米（用含的式子表示）； （2）嘉嘉发现．用现有数据．测量不出塔的高度．于是组内的淇淇又测量了下列两组数据：数据①：如图2，当无人机在处时，测得塔底处的俯角为；数据②：如图3，当无人机从处水平后退56米到达时，测得塔顶处的仰角为．请你任意选择一组数据．计算出开元寺塔的高度．（参考数据：，tan） 【答案】（1） （2）开元寺塔的高度为米 【解析】 【分析】（1）解求出，再由求解即可； （2）选用数据①，解求出即可；选用数据②，解求出即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 在中， ∴， ∴（米）； 【小问2详解】 解：选用数据①： 如图2，由题意得，， ∴在中，， ∴， ∴（米）； 选用数据②： 如图3，由题意得，，， 在中， 解得 ∴（米）， 答：开元寺塔的高度为米． 21. 某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库．甲平均每小时扫描200件快递入库，乙平均每小时送150件快递出库．某天仓库里原有若干件快递，甲工作2小时后，乙开始工作，又过了3小时后，甲离开，乙按原速工作．当天仓库里的快递数量（件）与时间（小时）之间的部分关系图象如图所示． （1）该天仓库里原有_____件快递，点的坐标为_____； （2）分别求和时，与之间的函数解析式； （3）已知仓库里的快递数量不少于件称作仓库“半饱和”，该天“半饱和”状态持续了小时，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意分析不同时间段快递数量的变化规律，结合函数图象求解． （1） 由图象直接读取原有快递数量，再根据甲的工作效率计算点A坐标； （2） 分时间段根据数量变化规律求函数解析式； （3） 结合“半饱和”状态的持续时间列方程求解． 【小问1详解】 解：由图象可知，当时，， 仓库里原有200件快递． 甲工作小时，入库快递数量为（件）， 点的纵坐标为，横坐标为， 点的坐标为． 故答案为：200；． 【小问2详解】 解：当时，甲、乙同时工作， 每小时净入库数量为（件）， 设函数解析式为， 将代入，且， ， 解得， ． 当时，． 当时，仅乙工作，每小时出库150件， 设函数解析式为， 将代入，且， ， 解得， ． 【小问3详解】 解： 第一段时，的最大值为600；第二段时，从600上升到750；第三段时，从750下降到， 若“半饱和”状态持续小时，则，仅与第二段（上升段）、第三段（下降段）各有一个交点， 设上升段交点横坐标为，下降段交点横坐标为，则， 由，得； 由，得． ， ， ， ， ． 22. 如图1和图2，在中，在边上（不与点重合），连接，并将绕点逆时针旋转90°得到． （1）如图1，连接，过点作，交于点 ①若，，则_____； ②求证：； （2）如图2，将沿翻折，得到，过点作于点，连接 ①判断与之间的数量关系，并说明理由； ②若的最小值为，请直接写出的长． 【答案】（1）①4，②见详解 （2）①见详解；②见详解 【解析】 【分析】（1）利用是等腰直角三角形得出，再结合得到是等腰直角三角形，从而直接得到的长度；②利用判定定理证明即可； （2）①利用翻折性质得到和对应边相等，结合旋转性质得到，通过角度推导证明，进而得到，最后证明．再利用等腰直角三角形的边长关系证明，从而利用两边成比例且夹角相等判定，得出；②利用第(1)问得到的，相似比为,即．当取得最小值时，也取得最小值1．的最小值是点到直线的距离，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 解：①中，， 是等腰直角三角形， ， 在上，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：4． ②， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由旋转性质：， ，又， ， ， ， 在和中： ， ． 【小问2详解】 解：①将沿翻折得到， ， ， 绕点逆时针旋转得到， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， (翻折性质)， ， ， 即：， ， ， 在中，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②由①知， ， 当取得最小值时，也取得最小值，即时， 的最小值是点到直线的距离， 是中点， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换和翻折变换的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定（两边成比例且夹角相等）、角度计算以及最值问题．解题的关键是利用旋转和翻折的性质得到对应角相等、对应边相等，结合等腰直角三角形的特殊角度关系（），通过角度计算和比例关系证明三角形全等或相似，从而得出结论． 23. 【综合与实践】中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分．数学课上老师让同学们在各种形状的卡纸上做出扇面． （1）小明想在如图所示的直径为的圆形卡纸（是直径）中，剪下扇形（点在上，且为扇形的圆心）作为扇面． ①的度数为_____； ②请利用直尺和圆规在图1中画出扇形； （2）小冀设计出如图所示的扇面，并标出相应数据：，（和所在圆的圆心是同一点），．要想准确在卡纸上画出该扇面，需要确定所在圆的圆心，如图所示． ①小冀发现，请你帮他证明这一结论； ②在①的基础上，请你通过计算判断，小冀设计的扇面能不能从一张直径为的圆形卡纸中完整裁出；（参考数据：） ③在①的基础上，小颖在如图3所示的正方形卡纸中完整裁出了小冀设计的扇面，且正方形的边分别与相切于点，点分别在边上，且整个图形关于直线成轴对称，请直接写出正方形卡纸的边长．（参考数据：， 【答案】（1）①；②见解析 （2）①证明见解析；②不能完整裁出，证明见解析；③​​​（或化简为） 【解析】 【分析】（）①利用圆周角定理(直径所对圆周角为直角)，直接得出的度数为；②通过作的垂直平分线找到点，再连接，画出符合要求的扇形； （）①设两弧的公共圆心角，利用弧长公式列出两弧的弧长表达式，作比后约去公共项，即可证明；②设两弧所在圆的半径分别为和，结合①的结论和求出，再代入弧长公式算出圆心角为，求出扇面最远距离，大于圆形卡纸直径，得出不能完整裁出的结论；③利用图形关于直线的轴对称性，结合，推导出的角度与边长，再由为等腰直角三角形求出的长度；接着根据切线性质得到，结合为等腰直角三角形，通过勾股定理算出，最后将与相加，得到正方形的边长． 【小问1详解】 ①解析：根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，是的直径，在上， ∴， ② 作图：作的垂直平分线，交于点，连接，即得扇形（保留垂直平分线作图痕迹即可）； 【小问2详解】 解：① 证明：设和的公共圆心角为， 根据弧长公式：​，​， 两式作比约去公共项，得​，结论得证， ② 结论：不能完整裁出  解析：连接，作，垂足为，则， 设，， 由①得，即， 又， 解得，，即：， 代入弧长公式得， 解得圆心角，即： ∴， 扇面最远距离为端点、的距离， 在中，，， ， ∴， 圆形卡纸直径为， ∵， ∴不能完整裁出； ③解：正方形卡纸的边长为（或）． 连接交点于，连接并延长交于，​ ∵整个图形关于直线成轴对称， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵正方形的边分别与相切于点， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， 即：， ∴， 解得：， （或）， 即：正方形卡纸的边长为（或）． 24. 如图1和图2，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求的值； （2）将抛物线沿轴平移得到抛物线，抛物线的对称轴为直线． ①抛物线的解析式为_____； ②在①的基础上，若对于任意实数，都有，求的最小整数值； （3）如图1，连接，是直线下方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标； （4）如图2，过点作两条直线分别交抛物线位于第四象限内的点，分别交轴于点，且．小明发现，当为定值时，直线必定经过某一定点，请你直接写出该定点的坐标（用含的式子表示）． 【答案】（1）1 （2）①∴；②2 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）代入抛物线解方程，即可求出答案； （2）①由，当抛物线的对称轴为直线，，②开口向上，根据对于任意实数，都有，得直线在抛物线下方或相切，当,得，得，即得； （3）当四边形的面积最大时，最大．过点M作轴于点D，交于点N，由，求出，由，求出直线的解析式为，设，，得，根据，得当时，四边形的面积最大，此时． （4）设，求出直线的解析式为，直线解析式为,直线解析式为，由，得，得，得，由，得，得，由，，，∴，得直线过定点 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点． ∴， 解得． 【小问2详解】 解：①由（1）得，， ∵抛物线沿轴平移得到抛物线的对称轴为直线， ∴； ②∵开口向上，对于任意实数，都有， ∴直线在抛物线下方或相切， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴d的最小整数解为2； 【小问3详解】 解：∵，而一定，随M的位置而变化， ∴当四边形的面积最大时，最大． 过点M作轴于点D，交于点N， 对， 令，则， 解得或， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，四边形的面积最大， 此时． 【小问4详解】 解：设，直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线解析式为，直线解析式为， 由（1）知，， 则， 解得， ∴； ， 解得， ∴； ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∴当时，， ∴直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省九年级巩固练习数学 本试卷共8页．总分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与2互为倒数的是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 如图，是的外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 河北省在每年4月23日“世界读书日”前后都会举办系列阅读活动．为了解学生们的阅读情况，数学老师统计某班40名学生30天内去图书馆的次数，并将结果绘制成如图所示的统计图，则40名学生去图书馆次数的众数是（ ） A. 2次 B. 10人 C. 3次 D. 3.5次 4. 若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（ ） A. B. C. D. 6. 数在如图所示的数轴上的大致位置可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（ ） A. B. C. D. 8. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．平行于轴的直线分别交两图象于点，．过点，分别作轴的垂线，垂足为，，则图中阴影部分的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 9. 图1是以为直径的半圆形纸片，，沿垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，其中与交于点，如图2所示，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知两个正多边形的边数的比为，每个内角度数的比为，求这两个正多边形的边数．小明和小芳分别设了2种不同未知数，并列出方程．小明设两个正多边形的边数分别为和x，列得方程： 小芳设两个正多边形的每个内角度数分别为和，列得方程： ，则下列说法正确的是（ ） A. 小明的方法正确 B. 小芳的方法正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 12. 任取一个非零整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数．就将该数除以2，这叫把该数进行1次运算．在平面直角坐标系中，将点(其中x与y均为非零整数）中的分别按上述运算得到新点的横、纵坐标．例如：点经过1次运算得到点，经过2次运算得到点；以此类推．若点（其中均为非零整数）经过10次运算后得到点，则点不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图1所示的桔槔是一种原始的汲水工具，图2是示意图，架子水平地面EF，杠杆绕点旋转，当点旋转到时，的度数为_____． 14. 若与可以合并，则最小的正整数是_____． 15. 将三张大小一样的正方形纸片按如图所示的方式重叠地放置在长方形内部，．将中间的正方形纸片上下平移时，阴影部分的面积和不变．设，则每个正方形纸片的周长为_____（用含m的式子表示）． 16. 如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上，且，小明将矩形纸片沿着折叠，点，分别落到点，处．在点从点运动到点的过程中，当线段与边有交点时，设交点为点，则的最大值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分式计算的部分过程如图所示，按要求完成下列小题． 解： ……第一步 （1）第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了_____（填字母）； A．整式乘法 B．因式分解 （2）请你在图中的虚框中完成该分式的计算． 18. 定义：使成立的一对有理数、称为“相伴有理数对”，记作．例如：因为，所以是“相伴有理数对”． （1）判断数对是否为“相伴有理数对”．并通过计算说明理由； （2）若是“相伴有理数对”．求的值； （3）若是“相伴有理数对”，求的值． 19. 在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图1所示的正整数后，背面向上，洗匀放好． （1）以卡片上的数字作为三角形的三边长．从中随机抽取一张．上面的数字能构成三角形．该事件属于_____（填“随机”“必然”或“不可能”）事件； （2）先从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张，补全如图2所示的树状图．并求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．（勾股数指可以构成直角三角形三边的一组正整数） 20. 如图1所示的开元寺塔位于河北省定州市，是现存最高的砖木结构古塔．某综合实践小组尝试利用无人机（无人机限高50米）测算开元寺塔的高度．如图2和图3，当无人机位于高度为28米的处（即米）时，测得塔顶处的仰角为． （1）若米，则开元寺塔的高度为_____米（用含的式子表示）； （2）嘉嘉发现．用现有数据．测量不出塔的高度．于是组内的淇淇又测量了下列两组数据：数据①：如图2，当无人机在处时，测得塔底处的俯角为；数据②：如图3，当无人机从处水平后退56米到达时，测得塔顶处的仰角为．请你任意选择一组数据．计算出开元寺塔的高度．（参考数据：，tan） 21. 某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库．甲平均每小时扫描200件快递入库，乙平均每小时送150件快递出库．某天仓库里原有若干件快递，甲工作2小时后，乙开始工作，又过了3小时后，甲离开，乙按原速工作．当天仓库里的快递数量（件）与时间（小时）之间的部分关系图象如图所示． （1）该天仓库里原有_____件快递，点的坐标为_____； （2）分别求和时，与之间的函数解析式； （3）已知仓库里的快递数量不少于件称作仓库“半饱和”，该天“半饱和”状态持续了小时，求的值． 22. 如图1和图2，在中，在边上（不与点重合），连接，并将绕点逆时针旋转90°得到． （1）如图1，连接，过点作，交于点 ①若，，则_____； ②求证：； （2）如图2，将沿翻折，得到，过点作于点，连接 ①判断与之间的数量关系，并说明理由； ②若的最小值为，请直接写出的长． 23. 【综合与实践】中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分．数学课上老师让同学们在各种形状的卡纸上做出扇面． （1）小明想在如图所示的直径为的圆形卡纸（是直径）中，剪下扇形（点在上，且为扇形的圆心）作为扇面． ①的度数为_____； ②请利用直尺和圆规在图1中画出扇形； （2）小冀设计出如图所示的扇面，并标出相应数据：，（和所在圆的圆心是同一点），．要想准确在卡纸上画出该扇面，需要确定所在圆的圆心，如图所示． ①小冀发现，请你帮他证明这一结论； ②在①的基础上，请你通过计算判断，小冀设计的扇面能不能从一张直径为的圆形卡纸中完整裁出；（参考数据：） ③在①的基础上，小颖在如图3所示的正方形卡纸中完整裁出了小冀设计的扇面，且正方形的边分别与相切于点，点分别在边上，且整个图形关于直线成轴对称，请直接写出正方形卡纸的边长．（参考数据：， 24. 如图1和图2，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求的值； （2）将抛物线沿轴平移得到抛物线，抛物线的对称轴为直线． ①抛物线的解析式为_____； ②在①的基础上，若对于任意实数，都有，求的最小整数值； （3）如图1，连接，是直线下方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标； （4）如图2，过点作两条直线分别交抛物线位于第四象限内的点，分别交轴于点，且．小明发现，当为定值时，直线必定经过某一定点，请你直接写出该定点的坐标（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $