数列不等式恒成立求参数问题 讲义-2026届高三数学二轮复习

数列不等式恒成立求参数问题复习讲义 数列不等式恒成立求参数问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 将数列不等式恒成立转化为数列的最值求解，结合参数分离法或分类讨论法，把参数与数列项分离，通过求数列的最大/最小值（或上/下确界）确定参数范围；核心依据：，恒成立；恒成立，核心是分离参数/定数列范围，求最值定参数边界。 二、通用解题思路（两大主流法，优先参数分离） 方法1：参数分离法（首选，无分类讨论更简洁） 思路（四步法：分→化→求最值→定范围） 1. 分离参数：将不等式变形为或（为参数，为仅含的数列表达式），确保分离后系数符号不随变（避免不等号方向反转）； 1. 化简：对通分、变形，转化为易判单调性/求最值的形式（如分式、指数、二次型）； 1. 求的最值：用作差/作商/导数法判定的单调性，求其在上的最小/最大值（或极限上/下确界）； 1. 定参数范围：根据分离结果直接得范围——或。 关键：分离时严格判断不等号方向，仅当系数恒正/恒负时可分离，否则换分类讨论法。 方法2：分类讨论法（适用于参数无法分离的情况） 思路（四步法：构函数→判单调性→分情况→定范围） 1. 构造含参数列：令原不等式左边右边，将问题转化为，（或）恒成立； 1. 分析单调性：用作差法求，根据差值符号与参数的关系，划分参数临界值； 1. 分类讨论：按临界值将参数划分为不同区间，逐类判断在上的单调性，求每类下的最小/最大值； 1. 定参数范围：令每类下的最值满足（或），解不等式，取各区间的交集得最终范围。 关键：临界值从“差值为0/数列单调性反转”处选取，分类不重不漏。 三、高频考向及专属解法 考向1：通项为整式/分式型的恒成立（如恒成立） · 解法：参数分离得，求的最小值（作差判单调性，得时），故； · 技巧：分式型优先分离，转化为“对勾函数型”数列，结合正整数验证最值点。 考向2：通项为指数/对数型的恒成立（如恒成立） · 解法：参数分离得，令，作差法判单调性（先增后减），求，得； · 技巧：指数型数列常先增后减，需验证极值点附近的正整数项。 考向3：求和型数列不等式恒成立（如恒成立） · 解法：先求和化简得，再求的最小值（单调增取，先增后减求极值），故； · 技巧：无法直接求和时，先放缩求和得的下界，再求下界的最小值。 考向4：含参数列单调性引发的恒成立（如单调递增，求范围） · 解法：由恒成立，化简得关于的不等式，分离参数后求数列的最值，定范围； · 技巧：单调性恒成立本质是“差值恒正/恒负”，直接转化为参数不等式。 四、通用验证步骤 求出参数范围后，取边界值代入原不等式，验证是否满足恒成立；再取范围外的数代入，验证是否不成立，确保结果无漏解、增解。 例题分析 例1．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②. 【详解】（1）因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 例2．（25-26高三上·广西玉林·月考）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和． （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）;（ⅱ） 【详解】（1）因为，故，， 故即，， 而，故，故，故， 所以是首项为，公比为的等比数列，故. （2）（ⅰ）， ，故， 所以， 所以. （ⅱ）若对任意的，恒成立， 当为正偶数时，，因为，故为增数列， 故此时的最小值为，故； 当为正奇数时，，同理此时的最小值为，故， 故. 例3．（25-26高三上·辽宁朝阳·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在数列中，①， 又因为②，，所以得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）知，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为； （3）由（2）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即； 当时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． 例4．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 变式训练 变式1．（25-26高三上·河南驻马店·月考）设是数列的前n项和，已知，． (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）已知， 当时，， 两式相减得： ， 整理得： ，， 当时，， ，满足， 又， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证； （2）由(1)得， 因此： ， 设前项和为， 则， ， 两式相减得：， 即， 又数列前项和为， 因此； （3）由得：，因此， 化简不等式左边： ，， 因此， 不等式恒成立， 等价于对任意恒成立， 设 则 ， 当，， 即时，； 当时，， 因此的最大值为​，故， 即的取值范围为. 变式2．（25-26高二上·陕西西安·期末）在数列中，且． (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． (2)记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）. 【详解】（1）在数列中，且，则，， 所以数列是以1为公差的等差数列，，即. （2）（ⅰ）当时，，即， 当时，由， 得， 两式相减，得，即，而满足上式， 所以的通项公式为. （ⅱ）由（ⅰ）得， 则， 两式相减得， 所以. （ⅲ）， 当n为奇数时，由，得， 而数列递减，恒成立，则，即； 当n为偶数时，由，得，即，而数列递减，则， 所以实数的取值范围为. 变式3．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知数列满足 (1)求证：为等差数列； (2)设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）由． 则数列是以为首项，2为公差的等差数列. （2）， 所以数列的通项公式为； ①由（1）得; 则． 于是， 以上两式相减得： 所以 ②由，得．令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值． 由，即，解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是 变式4．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中 ，且满足 ，数列的前 n项和为，且满足 (1)分别求数列和的通项公式； (2)求数列 的前n项和； (3)若不等式 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由，有，有. 则数列是公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式为. 取n=1，由，有，解得， 当时，，则，即， 因此数列是首项为4，公比为2的等比数列，，经检验，n=1时该式成立， 所以数列的通项公式为. （2）由. 记， 有. 两式作差，得， 有，则. 所以. （3）不等式化为，即， 设，有， 当n=1时，；当时，， 所以在时单调递减， 当n为奇数时，，则， 由，得，即，解得， 当n为偶数时，，则，即， 由，得，解得. 所以实数的取值范围为. 实战演练 1．（25-26高二上·福建宁德·期末）已知数列满足，记. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)不等式对都成立，求实数的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【详解】（1）由， 得，即， 又， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得，，且， 所以， 则①， ， ①-②得， 所以； （3）要证， 即 对任意正整数都成立， 令，则， 则， 因为单调递减， 当时，，所以， 当时，， 当时，单调递减，所以， 即所以实数的最小值为. 2．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知等差数列和等比数列满足：，，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由，得，解得，因此， 由，得，而，则，， 所以数列和的通项公式分别为. （2）由（1）得， 所以数列的前项和 . （3）由（1）得，则， 于是， 两式相减得 ，因此， 不等式，令， 则当时，， 当时，，即，数列单调递减，又，则， 所以实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列不等式恒成立求参数问题复习讲义 数列不等式恒成立求参数问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 将数列不等式恒成立转化为数列的最值求解，结合参数分离法或分类讨论法，把参数与数列项分离，通过求数列的最大/最小值（或上/下确界）确定参数范围；核心依据：，恒成立；恒成立，核心是分离参数/定数列范围，求最值定参数边界。 二、通用解题思路（两大主流法，优先参数分离） 方法1：参数分离法（首选，无分类讨论更简洁） 思路（四步法：分→化→求最值→定范围） 1. 分离参数：将不等式变形为或（为参数，为仅含的数列表达式），确保分离后系数符号不随变（避免不等号方向反转）； 1. 化简：对通分、变形，转化为易判单调性/求最值的形式（如分式、指数、二次型）； 1. 求的最值：用作差/作商/导数法判定的单调性，求其在上的最小/最大值（或极限上/下确界）； 1. 定参数范围：根据分离结果直接得范围——或。 关键：分离时严格判断不等号方向，仅当系数恒正/恒负时可分离，否则换分类讨论法。 方法2：分类讨论法（适用于参数无法分离的情况） 思路（四步法：构函数→判单调性→分情况→定范围） 1. 构造含参数列：令原不等式左边右边，将问题转化为，（或）恒成立； 1. 分析单调性：用作差法求，根据差值符号与参数的关系，划分参数临界值； 1. 分类讨论：按临界值将参数划分为不同区间，逐类判断在上的单调性，求每类下的最小/最大值； 1. 定参数范围：令每类下的最值满足（或），解不等式，取各区间的交集得最终范围。 关键：临界值从“差值为0/数列单调性反转”处选取，分类不重不漏。 三、高频考向及专属解法 考向1：通项为整式/分式型的恒成立（如恒成立） · 解法：参数分离得，求的最小值（作差判单调性，得时），故； · 技巧：分式型优先分离，转化为“对勾函数型”数列，结合正整数验证最值点。 考向2：通项为指数/对数型的恒成立（如恒成立） · 解法：参数分离得，令，作差法判单调性（先增后减），求，得； · 技巧：指数型数列常先增后减，需验证极值点附近的正整数项。 考向3：求和型数列不等式恒成立（如恒成立） · 解法：先求和化简得，再求的最小值（单调增取，先增后减求极值），故； · 技巧：无法直接求和时，先放缩求和得的下界，再求下界的最小值。 考向4：含参数列单调性引发的恒成立（如单调递增，求范围） · 解法：由恒成立，化简得关于的不等式，分离参数后求数列的最值，定范围； · 技巧：单调性恒成立本质是“差值恒正/恒负”，直接转化为参数不等式。 四、通用验证步骤 求出参数范围后，取边界值代入原不等式，验证是否满足恒成立；再取范围外的数代入，验证是否不成立，确保结果无漏解、增解。 例题分析 例1．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 例2．（25-26高三上·广西玉林·月考）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和． （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围． 例3．（25-26高三上·辽宁朝阳·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 例4．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 变式训练 变式1．（25-26高三上·河南驻马店·月考）设是数列的前n项和，已知，． (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 变式2．（25-26高二上·陕西西安·期末）在数列中，且． (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． (2)记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 变式3．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知数列满足 (1)求证：为等差数列； (2)设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 变式4．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中 ，且满足 ，数列的前 n项和为，且满足 (1)分别求数列和的通项公式； (2)求数列 的前n项和； (3)若不等式 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 实战演练 1．（25-26高二上·福建宁德·期末）已知数列满足，记. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)不等式对都成立，求实数的最小值. 2．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知等差数列和等比数列满足：，，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $