2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷）专题九 “综合与探究”题解题策略

2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷） 专题九 “综合与探究”题解题策略 山西中考几何“综合与探究”题是山西中考的压轴题，难度大、综合性强，通常以三角形、四边形、圆等为背景，通过图形变换（旋转、折叠、平移等）或动点问题，考查几何性质、规律探究以及综合运用能力。终极心法：“特例入手找规律，模型识别化熟悉，严谨证明是根本，方法迁移破难题。” 遇压轴题不慌，按步骤拆解，必能攻克。 如果题目是标准图形（按比例绘制），且允许使用直尺、量角器，对于猜想环节，可以直接测量，快速得到线段长度或角度，帮助猜想。但最终必须用推理证明。 对于动点问题，将动点移到起点、终点、中点等特殊位置，计算此时的值，这往往是临界值或最值 考虑动点运动到边界（重合、共线）的情形，有助于确定范围或发现不变关系。 六大核心模型与快招 模型名称 常见背景 关键辅助线与结论 快招 手拉手（旋转全等） 共顶点的两个等腰三角形（等边、等腰直角）绕公共顶点旋转。 连接对应点，得新三角形全等（SAS）。对应线段夹角等于旋转角。 “共顶点，等线段，必有全等；找旋转，构全等，拉手线是关键。” 一线三垂直（K型图） 直角顶点在一条直线上，两侧作垂线。 得两个直角三角形相似或全等。用于证明线段相等或成比例。 “直角顶点在线上，左右垂直现相似；若等边则现全等，勾股方程可列得。” 中点模型 出现多个中点，或中点与平行组合。 构造中位线，得平行且等于底边一半；直角三角形斜边中线等于斜边一半。 “多个中点想中位，斜边中线一半随；有中点，可倍长，构造全等平行现。” 折叠（轴对称）模型 矩形、三角形沿某直线折叠。 折痕是对称轴，对应点连线被垂直平分。出现等腰、勾股方程。 “折叠即对称，全等加垂直；设未知，列方程，勾股定理是利器。” 动点路径问题 点、线运动，求路径长或最值。 确定动点轨迹（线段、圆弧），利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”等。 “动点问题先定轨，常见是线或是弧；最值问题化折直，将军饮马胡不归。” 圆中多解分类 圆与三角形、四边形结合，点的位置不确定。 注意圆心角、圆周角关系，弦所对弧的优弧、劣弧。 1．综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题.如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边三角形（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由．请你解答； 深入探究： （2）老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： ①“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； ②“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 2．综合与探究 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点F落在边上，折痕分别交于点D，E．再将该纸片沿过点E的直线折叠，使点A的对应点H落在的延长线上，折痕交于点G，如图2所示． 数学思考： （1）四边形的形状为______． 深入探究： （2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若F为的中点，试猜想线段与的位置关系和数量关系，并说明理由． （3）“智慧小组”提出问题：若点C的对应点F落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长． 3．综合与探究 在数学活动课上，张老师和同学们一起以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，，点E，F分别在直线上，连接．将沿折叠得到，点A的对应点为． 初步探究： (1)如图2，若点E与点B重合，点恰好落在边上，请判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当时，调整点E的位置，使点恰好落在边上，求的长． 拓展延伸： (3)如图4，F是边的中点，点E在射线上，改变点E的位置，在折叠的过程中，若以点、D、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出线段的长． 4．综合与探究 问题情境： 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处． 操作发现： （1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由； （2）如图，当时，求BP的长； 深入探究： （3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度． 5．综合与探究 在数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，，点，分别是边上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为． 【初步探究】 （1）如图2，若点与点重合，点恰好落在边上，求证：四边形是正方形． 【深入探究】 （2）如图3，若点是的中点，改变点的位置，延长交于点，猜想与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，若点是的中点，改变点的位置，在折叠的过程中，若以为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出线段的长． 6．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 7．综合与探究问题情境：如图1，数学活动课上，老师让同学们制作两个全等的直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片重合放置，其中，将保持固定，绕点按逆时针方向旋转． (1)初步探究：“善思小组”提出问题：如图2，若，当点落在边上时，连接，取的中点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． (2)深入探究：“博学小组”提出问题：如图3，当绕点按逆时针方向旋转时，连接，取的中点，连接交于点，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)拓展延伸：当绕点按逆时针方向旋转时，连接，是射线上的一点，连接，过点作的垂线交于点，若是的三等分点，请直接写出的值． 8．综合与探究 问题情景 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．在矩形中，，点E是射线上一点，连接，将沿折叠，点A的对应点为点F． 初步探究 (1)如图1，当点E和点B重合时，交于点H，则与的数量关系为________； 深入探究 (2)如图2，点E在线段上，分别交于M，N两点，将沿折叠，点F的对应点G恰好落在上，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求的长． 拓展延伸 (3)若，，在点E的运动过程中，当时，请直接写出所有满足条件的的长． 9．综合与探究 问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 10．综合与探究 【问题背景】 活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形变换中的数学结论．如图，在矩形中，，．点G在边上，将沿折叠，点C的对应点为H，连接． 【猜想证明】 （1）若先将矩形对折得到折痕，再展开，点H刚好落在折痕上． ①如图1，请判断是什么特殊的三角形，并说明理由． ②如图2，若与的交点为M，连接，交于点N，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图3，若先将矩形对折两次得到三条折痕，再展开，点H刚好落在最上面一条折痕上，请你直接写出的面积． 11．综合与探究 问题情境：学习完特殊的平行四边形和相似三角形有关知识后，老师组织了一节富有创意的数学活动课，引导同学们从图形变换的角度展开深度探究． 创新小组以矩形边的旋转变换为研究对象，并观察由此产生的几何性质． 如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转（）得到线段，过点作，交直线于点． 猜想证明： 小组内同学探究思路遵循特殊到一般的探究： （1）当时，四边形的形状最特殊，此时形状为________； （2）如图2，当时，连接，猜想，和之间的数量关系，并说明理由； 综合应用： （3）在旋转过程中，当直线经过边的中点时，与直线交于点，直接写出的长． 1．（2024山西中考真题）综合与探究 问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，． ①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积． 1．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景探究翻折变化产生的几何问题．已知菱形中，对角线，将沿直线翻折得到，过点A作的平行线交射线于点，过点作的平行线交射线于点． (1)初步探究：如图1，勤思小组先分析了点恰好与点重合时的情形，他们发现此时点与点也重合．求此时的度数； (2)深入思考：如图2，敏学小组进一步探究点与点不重合的情形．他们在探究中提出如下问题．请你解答： ①如图2，当点在的延长线上时，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； ②在度数变化的过程中，连接，是否存在某一时刻，使四边形的面积是菱形面积的一半？若存在，请直接写出相应的的正切值；若不存在，说明理由． 2．综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 3．综合与探究 问题情境：在四边形中，是上一点，将沿折叠，点落在对角线所在直线上的点处． (1)猜想证明：如图1，当四边形是正方形时，延长交线段于点，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)类比探究：如图2，当四边形是菱形时，延长交线段于点，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用：当四边形是菱形时，直线交直线于点，若，请直接写出线段的长． 4．综合与探究 问题情境： 如图1，已知，平分，过点分别作于点，于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图2，直角三角板（足够大）的直角顶点在线段上，两直角边，分别交两边于点．请探究和之间的数量关系，并说明理由． （3）将图2中的Rt沿着线段的方向平移，使点与点重合，Rt的两直角边分别交直线于点．将平移后的绕点顺时针旋转若干角度，使，若，请直接写出的长度． 5．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题．已知矩形中，．点E是平面内的一个动点，且，的平分线交射线于点F，连接，过点E作的平行线交直线于点G，连接． (1)初步思考：如图1，点E在矩形内部，猜想四边形的形状，并证明你的结论； (2)深入探究：如图2，已知，当点E落在边上，且恰好是的中点时，求此时的长； (3)保持（2）中矩形的形状大小不变，继续改变点E的位置．若，请直接写出所有满足条件的的长． 6．综合与探究 问题背景 数学课上、同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开数学活动，如图1，在中，，点是的中点，过点作交于点，连接，点是的中点，点是的中点，连接． 初步探究： （1）与的数量关系为________； 深入探究 （2）如图2将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，点是的中点，点是的中点，连接，，和． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求证：； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，点是的中点，过点作于点，将绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的的值． 第一招 测量法 第二招 特殊位置法 第三招 极端位置法 快 招 应 用 真 题 回 顾 模 拟 预 测 专 题 解 读 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷） 专题九 “综合与探究”题解题策略（解析版） 山西中考几何“综合与探究”题是山西中考的压轴题，难度大、综合性强，通常以三角形、四边形、圆等为背景，通过图形变换（旋转、折叠、平移等）或动点问题，考查几何性质、规律探究以及综合运用能力。终极心法：“特例入手找规律，模型识别化熟悉，严谨证明是根本，方法迁移破难题。” 遇压轴题不慌，按步骤拆解，必能攻克。 如果题目是标准图形（按比例绘制），且允许使用直尺、量角器，对于猜想环节，可以直接测量，快速得到线段长度或角度，帮助猜想。但最终必须用推理证明。 对于动点问题，将动点移到起点、终点、中点等特殊位置，计算此时的值，这往往是临界值或最值 考虑动点运动到边界（重合、共线）的情形，有助于确定范围或发现不变关系。 六大核心模型与快招 模型名称 常见背景 关键辅助线与结论 快招 手拉手（旋转全等） 共顶点的两个等腰三角形（等边、等腰直角）绕公共顶点旋转。 连接对应点，得新三角形全等（SAS）。对应线段夹角等于旋转角。 “共顶点，等线段，必有全等；找旋转，构全等，拉手线是关键。” 一线三垂直（K型图） 直角顶点在一条直线上，两侧作垂线。 得两个直角三角形相似或全等。用于证明线段相等或成比例。 “直角顶点在线上，左右垂直现相似；若等边则现全等，勾股方程可列得。” 中点模型 出现多个中点，或中点与平行组合。 构造中位线，得平行且等于底边一半；直角三角形斜边中线等于斜边一半。 “多个中点想中位，斜边中线一半随；有中点，可倍长，构造全等平行现。” 折叠（轴对称）模型 矩形、三角形沿某直线折叠。 折痕是对称轴，对应点连线被垂直平分。出现等腰、勾股方程。 “折叠即对称，全等加垂直；设未知，列方程，勾股定理是利器。” 动点路径问题 点、线运动，求路径长或最值。 确定动点轨迹（线段、圆弧），利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”等。 “动点问题先定轨，常见是线或是弧；最值问题化折直，将军饮马胡不归。” 圆中多解分类 圆与三角形、四边形结合，点的位置不确定。 注意圆心角、圆周角关系，弦所对弧的优弧、劣弧。 1．综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题.如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边三角形（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由．请你解答； 深入探究： （2）老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： ①“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； ②“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）① ，证 明 见 解 析；②线段的长为或 【分析】（1）根据性质的性质和等边三角形的性质推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据菱形的性质可得，由（1）知，得到，可推出，由，可得，得到是等边三角形，推出，得到，结合，即可求解；②过点作于点，求出，，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是菱形， ，， ， ， ， 即， 是等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ， ； （2）①，证明 如 下 ： 四边形是菱形， ，，， ， 由（1）知， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）知， ， ， ； ②过点作于点， ，， ，， 如图2，当点在线段上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即； 如图3，当点在线段的延长线上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识． 2．综合与探究 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点F落在边上，折痕分别交于点D，E．再将该纸片沿过点E的直线折叠，使点A的对应点H落在的延长线上，折痕交于点G，如图2所示． 数学思考： （1）四边形的形状为______． 深入探究： （2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若F为的中点，试猜想线段与的位置关系和数量关系，并说明理由． （3）“智慧小组”提出问题：若点C的对应点F落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长． 【答案】（1）矩形；（2），详见解析；（3）面积的最大值是6，的长是3 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形判定与性质及二次函数的应用； （1）证明即可证明结论； （2）先证明，再证明，从而证明结论； （3）先证明，设，则，根据相似三角形性质得出，进而求出面积，再根据二次函数性质求出最值． 【详解】解：（1）由折叠得：， ， 四边形矩形； （2）． 理由：如解图，连接． 由（1）知四边形是矩形，则． ∵F为的中点， ∴． ∴． ∴． 由折叠的性质，得． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）面积的最大值为6，此时． 设，则． ， 则． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴当时，取最大值，最大值为6．此时． 3．综合与探究 在数学活动课上，张老师和同学们一起以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，，点E，F分别在直线上，连接．将沿折叠得到，点A的对应点为． 初步探究： (1)如图2，若点E与点B重合，点恰好落在边上，请判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当时，调整点E的位置，使点恰好落在边上，求的长． 拓展延伸： (3)如图4，F是边的中点，点E在射线上，改变点E的位置，在折叠的过程中，若以点、D、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出线段的长． 【答案】(1)正方形；理由见解析 (2)2.5 (3)4或或或 【分析】（1）由矩形的性质可得．由折叠的性质得，，可证四边形为正方形； （2）过点F作于点G，根据折叠的性质，得，，．再证，根据对应边成比例即可求解； （3）分，，三种情况，画出图形，分别计算即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形． 理由如下： ∵四边形是矩形， ∴． 根据折叠的性质，得，． ∴． ∴四边形为矩形． 又∵， ∴四边形为正方形． （2）解：如解图1，过点F作于点G，则． ∴四边形为矩形． 又∵，， ∴． 根据折叠的性质，得，，． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． ∴， ∴， ∴，即． （3）解：分以下三种情况讨论： ①当时，如解图2， 点E与点B重合， ， ∴， ∴． ②当时，有两种情况， 当点E在线段上时，如解图3，过点作于K，交于点H，过点F作于M， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， 根据折叠的性质，得，，． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． ∴， ∴， 解得， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如解图4， 同理可得． ③当时，如解图5． ，， 是等边三角形． ∴， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为4或或或． 4．综合与探究 问题情境： 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处． 操作发现： （1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由； （2）如图，当时，求BP的长； 深入探究： （3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度． 【答案】 （1）当时，是等腰直角三角形，见解析； （2）的长为； （3）的长度为或4cm． 【分析】（1）由折叠的性质，可得，，可得，，即可得的形状； （2）证明，由相似三角形的性质，可得的长； （3）分两种情况讨论，先证由点，点，点，点所构成的四边形是平行四边形，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当时，是等腰直角三角形． 理由如下： ∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵沿着折叠， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∴是等腰直角三角形． （2）解：由折叠可得， ∵， ∴． ∴，，三点在同一条直线上， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 解得，． ∴的长为． （3）解：∵沿着折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， 分两种情况： 情况，如图，当点在的延长线上时，连接交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴， 情况，如图，当点在上时，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即点与点重合（如图）， 答：的长度为或4cm． 【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题． 5．综合与探究 在数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，，点，分别是边上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为． 【初步探究】 （1）如图2，若点与点重合，点恰好落在边上，求证：四边形是正方形． 【深入探究】 （2）如图3，若点是的中点，改变点的位置，延长交于点，猜想与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，若点是的中点，改变点的位置，在折叠的过程中，若以为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）或或 【分析】（1）根据矩形性质得出，，，根据折叠得出，，，，证明四边形是菱形，根据，四得出边形是正方形即可； （2）连接，证明即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】证明：（1）∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）；理由如下： 连接，如图所示： ∵E为中点， ∴， 根据折叠可知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）∵点F为的中点， ∴， 根据折叠可知：，， 当时，过点作于点G，延长，交于点H，过点F作于点M，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 同理得：四边形为矩形， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即此时； 当时，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时，过点F作，连接，交于点H，如图所示： ∵，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵F为的中点，， ∴， 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：． 综上分析可知：或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 6．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 【答案】(1)，见解析； (2)①； ②平移的距离是或． 【分析】根据矩形、正方形、菱形的性质，勾股定理解三角形，平移的性质求解即可，关键是进行分情况分析． （1）根据题意可知，由勾股定理得，结合，即可证得结论； （2）①根据题意得到，由勾股定理求得，结合可求得，进而求得，即可解答； ②分三种情况讨论：；；；分别利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ∵点G在边的延长线上， ， ，即． （2）解：①∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ，点G在边的延长线上， ， ； ②平移的距离是或． 如图1，若， ∴点在线段的垂直平分线上， 由①得， ∴； 若，连接，过点作于点M，过点作的延长线于点N，如图所示： ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 此时； 如图3，若，过点G作，过点作的延长线于点M， 根据题意得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 7．综合与探究问题情境：如图1，数学活动课上，老师让同学们制作两个全等的直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片重合放置，其中，将保持固定，绕点按逆时针方向旋转． (1)初步探究：“善思小组”提出问题：如图2，若，当点落在边上时，连接，取的中点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． (2)深入探究：“博学小组”提出问题：如图3，当绕点按逆时针方向旋转时，连接，取的中点，连接交于点，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)拓展延伸：当绕点按逆时针方向旋转时，连接，是射线上的一点，连接，过点作的垂线交于点，若是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转可得，则是等边三角形，然后由三线合一得到，而，再由有三个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）过点E作交的延长线于点F，交于点M，利用平行线分线段成比例定理证明是的中位线，则，然后证明，则，可得，记与相交于点N，由全等三角形得到，再结合对顶角以及平行线的性质即可证明位置关系； （3）过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点，然后分两种情况讨论，当点为靠近点的三等分点时，则，证明即可求解的值，当点为靠近点的三等分点时，同理可求． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： 由旋转可得 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∵点是的中点， ∴，即， ∴ ∴四边形是矩形； （2）解：，，理由如下： 过点E作交的延长线于点F，交于点M ∴ ∵P是的中点， ∴， ∴ ∴是的中位线 ∴ 根据旋转的性质可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， 记与相交于点N， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，即． （3）解：当点为靠近点的三等分点时，则，过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点， ∴ 由旋转可得， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 当点为靠近点的三等分点时，则，过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点， ∴ 由旋转可得， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或． 8．综合与探究 问题情景 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．在矩形中，，点E是射线上一点，连接，将沿折叠，点A的对应点为点F． 初步探究 (1)如图1，当点E和点B重合时，交于点H，则与的数量关系为________； 深入探究 (2)如图2，点E在线段上，分别交于M，N两点，将沿折叠，点F的对应点G恰好落在上，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求的长． 拓展延伸 (3)若，，在点E的运动过程中，当时，请直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)； (2)①四边形是菱形，见解析；②； (3)1或11 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可获得答案； （2）①根据折叠的性质证明，，，进而证明，再证明四边形是平行四边形，结合即可证明四边形是菱形；②延长交于点H，设与交于点P，则四边形是矩形，结合①可知，，进而解得，利用勾股定理解得，然后证明，结合相似三角形的性质求解即可； （3）当点E在线段上时，若，过点C作于点G，则，由勾股定理得，设，则，，，证明，在，和中计算的长度；当点E在线段的延长线上时，若，过点C作于点H，分别延长，交于点P，与交于点Q，设，则，，，易得，进而解得的长度，再在中计算的长度． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， 当点E和点B重合时，由折叠的性质，可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①四边形是菱形，理由如下： 沿折叠得到，点A的对应点为点F， ，， 沿折叠得到，点F的对应点为点G， ， 四边形是矩形， ，即， ∴，即， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； ②如图1，延长交于点H，设与交于点P，则四边形是矩形， ，， 由①知，， ， ， 在中，， 四边形是矩形， ， ，， ， ，即， 解得； （3）沿折叠得到，点A的对应点为点F， ∴，， 如图2，当点E在线段上时，， 过点C作于点G，则， 在中，由勾股定理得， 设，则，，， ∵， ∴，即， ∵在和中，，， 且， ∴， 又∵， ∴， 在中，，， ， 在中，， ， 在中，， 如图3，当点E在线段的延长线上时，， 过点C作于点H，分别延长，交于点P，与交于点Q， 设，则，，， 易得， ，， ， ， ， ∴在，， 综上，的长为1或11． 【点睛】本题综合性强，难度较大，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 9．综合与探究 问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）存在；理由见解析；（3）或 【分析】（1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）过点作交于点，同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）存在， 理由如下：如图，过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ， ， ． 当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ，， ， ， 综上：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． 10．综合与探究 【问题背景】 活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形变换中的数学结论．如图，在矩形中，，．点G在边上，将沿折叠，点C的对应点为H，连接． 【猜想证明】 （1）若先将矩形对折得到折痕，再展开，点H刚好落在折痕上． ①如图1，请判断是什么特殊的三角形，并说明理由． ②如图2，若与的交点为M，连接，交于点N，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图3，若先将矩形对折两次得到三条折痕，再展开，点H刚好落在最上面一条折痕上，请你直接写出的面积． 【答案】（1）①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析；（2）的面积为． 【分析】题目主要考查矩形与折叠，解三角形，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据矩形及折叠的性质得出，再由各边长及三角函数得出，确定，得出，再由等边三角形的判定即可证明； ②由①得：，，利用相似三角形的判定和性质得出，确定，连接，再利用菱形的判定和性质得出四边形为菱形，，结合等边三角形的判定和性质证明即可； （2）过点H作，根据折叠的性质得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，得出，结合图形求面积即可． 【详解】解：（1）①是等边三角形，理由如下： ∵矩形，，，沿折叠，点C的对应点为H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②，理由如下： 由①得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图所示： 由①得是等边三角形， 同理是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 由①得，， 同理得：， ∴， ∴， ∴； （2）过点H作，如图所示： ∵矩形，，，折叠， ∴， ∴， 根据题意得四边形为矩形， ∴， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 11．综合与探究 问题情境：学习完特殊的平行四边形和相似三角形有关知识后，老师组织了一节富有创意的数学活动课，引导同学们从图形变换的角度展开深度探究． 创新小组以矩形边的旋转变换为研究对象，并观察由此产生的几何性质． 如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转（）得到线段，过点作，交直线于点． 猜想证明： 小组内同学探究思路遵循特殊到一般的探究： （1）当时，四边形的形状最特殊，此时形状为________； （2）如图2，当时，连接，猜想，和之间的数量关系，并说明理由； 综合应用： （3）在旋转过程中，当直线经过边的中点时，与直线交于点，直接写出的长． 【答案】（1）正方形（2），理由见解析（3）的长为或 【分析】（1）当时，落在边上，易得四边形为正方形； （2）连接, 过点作于点，由旋转的性质得，再证明，可得，再证明是等腰直角三角形，可得，再由三点在同一直线上，可得，在中，,可得，再求解即可； （3）分两种情况：当点在的延长线上时；当点在上时；利用旋转的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，当时，落在边上， 由旋转得：， ， ， 四边形为正方形； 故答案为：正方形； （2）. 理由：如图，连接, 过点作于点. 四边形是矩形， ， 由旋转得， 在和中，, ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 三点在同一直线上， 在中，, ； （3）设 如图，当点在的延长线上时，连接， ， ， ， ， ， ， 由（2）得， ，， ， ， ， ， ， 中，， ， 解得：（舍去）， ； 如图，当点在上时，连接， 同理可得， ， ， 由（2）得， ，， ， ， ， ， ， 中，， ， 解得：（舍去）， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，熟练运用这些知识是关键． 1．（2024山西中考真题）综合与探究 问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，． ①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）矩形，理由见解析；（2）①，理由见解析；②或 【分析】（1）由和菱形性质得，．可证四边形为矩形； （2）①由菱形和旋转得性质证，可证； ②分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）四边形为矩形．理由如下： ，     ， 四边形为菱形， ∴， ∴， ， ∴， 四边形为矩形． （2）①．理由如下： ∵四边形为菱形， ， 旋转得到， ， ， ， ， ， ， ． ②解：如图所示，当点N在线段上时，过点A作于P， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由旋转知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ； 当点N在线段延长线上时，在上，过点A作于K，连接，如图所示：    由旋转知：，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴ 四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形的面积是或． 【点睛】本题是正方形，菱形综合题，主要考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形的应用，四边形的面积等知识，熟练掌握特殊图形的性质与判定，添加正确的辅助线是解题关键． 1．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景探究翻折变化产生的几何问题．已知菱形中，对角线，将沿直线翻折得到，过点A作的平行线交射线于点，过点作的平行线交射线于点． (1)初步探究：如图1，勤思小组先分析了点恰好与点重合时的情形，他们发现此时点与点也重合．求此时的度数； (2)深入思考：如图2，敏学小组进一步探究点与点不重合的情形．他们在探究中提出如下问题．请你解答： ①如图2，当点在的延长线上时，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； ②在度数变化的过程中，连接，是否存在某一时刻，使四边形的面积是菱形面积的一半？若存在，请直接写出相应的的正切值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①，见解析；②存在，或1 【分析】本题主要考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． （1）由折叠的性质可得，进而得到，再根据菱形的性质可得是等边三角形即可解答； （2）①先根据折叠的性质可得四边形是平行四边形，再证明可得，最后根据线段的和差及等量代换即可解答；②分点E在上和F在上两种情况，分别运用菱形的判定与性质、正方形的判定与性质以及正切的定义即可解答． 【详解】（1）解：沿翻折得到， ． ，且与重合， ． 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形． ． （2）解：①，证明如下： 证明：沿直线翻折得到， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， ． ， ． ， ， ②如图：当点E在上时， 由题意可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵菱形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过F作交延长线于N，连接交于O，则， ∴， ∴， 又∵， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 如图：当F在上时，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图：作于N， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴与O重合， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 综上，存在两种四边形面积是菱形面积的情形，此时的正切值为或1． 2．综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 【答案】四边形是正方形．理由见解析； ，理由见解析； 或． 【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可证：，，从而可证四边形是正方形； 根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，从而可证，根据平行线的性质可得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得； 利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 四边形是矩形， 四边形是正方形； ， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ． 由旋转的性质，得，，， ， ， ， 由折叠的性质，知， 在中，， ，即； 解：或， 理由如下： 如下图所示， ， ， 在中，， 根据旋转的性质可得：， 则， ，， ，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质和旋转的性质找到边之间的关系． 3．综合与探究 问题情境：在四边形中，是上一点，将沿折叠，点落在对角线所在直线上的点处． (1)猜想证明：如图1，当四边形是正方形时，延长交线段于点，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)类比探究：如图2，当四边形是菱形时，延长交线段于点，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用：当四边形是菱形时，直线交直线于点，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，证明见解析 (3)的长为1或5 【分析】（1）由正方形的性质得出，由折叠得到，即可求出，得到； （2）由菱形的性质得到，因此，由折叠可得，从而得到，再根据三角形的内角和定理证明，即可得到； （3）分两种情况讨论：①点在线段上；②点在延长线上．证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：． 理由：四边形是正方形， ． 由折叠可得， ， ． （2）解：（1）中结论仍成立． 证明：四边形是菱形， ， ． 由折叠可得， 又， ∴， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：分两种情况讨论： ①如图1，当点在线段上时． ， ， ． ， ， ∴， ． ②如图2，当点在延长线上时． ， ， ． ， ，解得， ． 综上所述，的长为1或5． 4．综合与探究 问题情境： 如图1，已知，平分，过点分别作于点，于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图2，直角三角板（足够大）的直角顶点在线段上，两直角边，分别交两边于点．请探究和之间的数量关系，并说明理由． （3）将图2中的Rt沿着线段的方向平移，使点与点重合，Rt的两直角边分别交直线于点．将平移后的绕点顺时针旋转若干角度，使，若，请直接写出的长度． 【答案】（1）正方形，理由见解析；（2），见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明四边形是正方形是解题的关键． （1）先根据题意可证明四边形是矩形，再由角平分线的性质可得，据此可证明四边形是正方形； （2）过点F作交于Q，可证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，则，由勾股定理得，则； （3）分点M在点O上方和下方两种情况，导角证明，通过勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解（1）四边形是正方形，理由如下： ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2），理由如下： 如图所示，过点F作交于Q， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）如图所示，当点M在点O上方时，设交于K， ∵， ∴， 由正方形的性质可得， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在点O下方时， 同理可证明， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 5．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题．已知矩形中，．点E是平面内的一个动点，且，的平分线交射线于点F，连接，过点E作的平行线交直线于点G，连接． (1)初步思考：如图1，点E在矩形内部，猜想四边形的形状，并证明你的结论； (2)深入探究：如图2，已知，当点E落在边上，且恰好是的中点时，求此时的长； (3)保持（2）中矩形的形状大小不变，继续改变点E的位置．若，请直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明，可得，，同理，再由，可得到，从而得到，即可解答； （2）延长交于点H，连接，证明四边形为矩形，可得，，再结合点E是的中点，可得垂直平分，可得到为等边三角形，从而得到，，再证明为等边三角形，可得，在中，利用勾股定理解答即可； （3）连接交于点P，由（1）得：四边形是菱形，由（2）得：，然后分两种情况：当点F在边上时；当点F在的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵四边形为矩形，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，延长交于点H，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 即垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 解得：； （3）解：连接交于点P， 由（1）得：四边形是菱形，由（2）得：， ∴， 如图，当点F在边上时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 如图，当点F在的延长线上时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 6．综合与探究 问题背景 数学课上、同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开数学活动，如图1，在中，，点是的中点，过点作交于点，连接，点是的中点，点是的中点，连接． 初步探究： （1）与的数量关系为________； 深入探究 （2）如图2将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，点是的中点，点是的中点，连接，，和． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求证：； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，点是的中点，过点作于点，将绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）；（2）①平行四边形，理由见解析；②见解析；（3）或 【分析】（1）根据中位线的性质得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，即可得出答案； （2）①根据中位线的性质得出，，，，即可得出结论； ②连接、，证明，得出即可； （3）连接，根据勾股定理和直角三角形性质求出，，求出， ，分两种情况讨论：当在旋转过程中时，当在旋转过程中时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵点D为的中点，G为的中点， ∴， ∵，F为的中点， ∴， ∴； （2）①四边形为平行四边形；理由如下： ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形； ②连接、，如图所示： ∵， ∴， 根据旋转可知：， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接， ∵点D为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵点D为的中点， ∴， 当在旋转过程中时，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴是以为底的等腰三角形， ∴此时符合题意， ∵， ∴； 当在旋转过程中时，过点D作于点H，连接，过点B作于点G，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是以为底的等腰三角形， ∴此时符合题意， ∵，， ∴． 综上分析可知：．满足条件的的值为或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第一招 测量法 第二招 特殊位置法 第三招 极端位置法 真 题 回 顾 模 拟 预 测 快 招 应 用 专 题 解 读 学科网（北京）股份有限公司 $