16.1 第1课时 变量与函数的概念及函数的表示方法 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 16.1 第1课时 变量与函数的概念及函数的表示方法 第16章 函数及其图象 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 16.1 第1课时 变量与函数的概念及函数的表示方法 一、核心知识点梳理 （一）变量与常量 1. 定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 2. 关键要点：① 变量和常量是相对的，取决于具体的变化过程；② 常量可以是具体的数，也可以是固定不变的字母（如π）；③ 一个变化过程中，可能有多个变量（通常有两个变量：自变量和因变量）。 3. 示例：汽车以60km/h的速度行驶，行驶路程s（km）与行驶时间t（h）的变化过程中，速度60km/h是常量，s和t是变量。 （二）函数的概念 1. 定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说x是自变量，y是x的函数（也可称y是因变量）。 2. 核心特征（判断函数的关键）：① 有两个变量；② 自变量x的取值有范围（自变量的取值范围）；③ 对于x的每一个取值，y都有且只有一个值与之对应（唯一性）。 3. 注意：① 若y是x的函数，当x取不同值时，y的值可以相同，但x取同一个值时，y只能有一个值；② 自变量的取值范围需满足：使函数表达式有意义（如分母不为0、根号下非负），且符合实际意义（如时间、长度不能为负数）。 （三）函数的表示方法 常用的有三种表示方法，可根据实际情况选择，三种方法可相互转化： 1. 解析法 - 定义：用数学式子（解析式）表示两个变量之间的函数关系，是最常用、最简洁的表示方法。 - 示例：s = 60t（路程与时间的函数）、y = 2x + 1（一次函数）、$$y = \frac{1}{x}$$（反比例函数，x≠0）。 - 优点：简洁明了，便于计算、推理和分析；缺点：不够直观，无法直接看出变量间的变化趋势。 2. 列表法 - 定义：将自变量x的取值和对应的函数值y列成表格，直观呈现变量间的对应关系。 - 示例：汽车行驶时间t与路程s的对应表格：t（h）1234s（km）60120180240 - 优点：直观易懂，能快速找到自变量对应的函数值；缺点：只能呈现有限个自变量的取值，无法反映变量间的整体变化规律。 3. 图象法 - 定义：在平面直角坐标系中，以自变量x的值为横坐标，对应的函数值y的值为纵坐标，描出对应的点，所有这些点组成的图形叫做函数的图象。 - 示例：一次函数y = 2x + 1的图象是一条直线，反比例函数$$y = \frac{1}{x}$$的图象是双曲线。 - 优点：直观形象，能清晰反映变量间的变化趋势（上升、下降、不变）；缺点：无法精确得到具体的函数值，需要通过图象估计。 （四）自变量的取值范围 1. 确定原则：① 使函数解析式有意义；② 符合实际问题的意义（优先考虑）。 2. 常见情况： - 解析式为整式（如y = 2x + 3）：自变量x可取全体实数； - 解析式为分式（如$$y = \frac{1}{x-2}$$）：自变量x需满足分母不为0（即x≠2）； - 解析式含二次根号（如$$y = \sqrt{x+1}$$）：自变量x需满足根号下的式子非负（即x≥-1）； - 实际问题（如时间、人数、长度）：自变量x需满足实际意义（如时间t≥0，人数为正整数）。 二、易错点警示（高频易错） 1. 混淆变量与常量：忽略“常量是数值不变的量”，误将固定字母（如π）当作变量；或在不同变化过程中，误判变量和常量。 2. 判断函数时忽略“唯一性”：认为只要有两个变量就是函数，忽略“x的每一个取值，y有唯一确定的值对应”（如x² + y² = 1，一个x对应两个y，不是函数）。 3. 确定自变量取值范围时，只考虑解析式有意义，忽略实际意义（如求“长方形的面积y与长x的函数”，x需满足x>0，而非全体实数）。 4. 图象法判断函数时，误将非函数图象当作函数（如平行于y轴的直线x = 2，一个x对应无数个y，不是函数图象）。 5. 三种表示方法转化错误：列表法中漏填对应值，图象法中描点错误，解析法中写错解析式。 三、典型题型解析（巩固核心） 题型1：判断变量、常量 例1：指出下列变化过程中的变量和常量： （1）圆的周长C与半径r的关系为$$C = 2\pi r$$； （2）购买单价为5元的笔记本，付款金额y（元）与购买数量x（本）的关系。 解：（1）变量：C、r；常量：2、π； （2）变量：y、x；常量：5。 题型2：判断是否为函数 例2：下列关系式中，y是x的函数的有（ ） ① y = 3x ② $$y = x^2$$ ③ x + y = 5 ④ $$y^2 = x$$ ⑤ $$y = \frac{1}{x-1}$$ 解：①②③⑤是函数，④不是函数； 理由：④中，对于x的每一个正数取值，y有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一性”；其余关系式中，x的每一个取值，y都有唯一确定的值对应。 题型3：确定自变量的取值范围 例3：求下列函数中自变量x的取值范围： （1）$$y = 2x - 5$$ （2）$$y = \frac{3}{x+2}$$ （3）$$y = \sqrt{x-3}$$ （4）y = x² - 2x + 1（x为正整数） 解：（1）x可取全体实数； （2）分母x + 2 ≠ 0，解得x ≠ -2； （3）根号下x - 3 ≥ 0，解得x ≥ 3； （4）x为正整数（1，2，3，…）。 题型4：函数的三种表示方法及转化 例4：已知函数$$y = 2x - 1$$，完成下列问题： （1）用列表法表示x取-1、0、1、2时的函数值； （2）判断点（3，5）是否在该函数的图象上； （3）若x = m时，y = 7，求m的值。 解：（1）列表如下： x-1012y-3-113 （2）将x = 3代入解析式，得y = 2×3 - 1 = 5，与点的纵坐标相等，故点（3，5）在该函数的图象上； （3）将y = 7代入解析式，得7 = 2m - 1，解得m = 4。 四、课堂练习题 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列变化过程中，变量是（ ） 2. 下列关系式中，y不是x的函数的是（ ） 3. 函数$$y = \frac{1}{x-3}$$中，自变量x的取值范围是（ ） 4. 已知函数y = 3x + 1，当x = 2时，函数值y为（ ） 5. 下列关于函数表示方法的说法，正确的是（ ） 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 在路程s、速度v、时间t的变化过程中，若速度v固定，则常量是______，变量是______。 2. 若y是x的函数，当x = -1时，y = 2；当x = 2时，y = ______（写出一个符合条件的函数值即可）。 3. 函数$$y = \sqrt{2x + 4}$$中，自变量x的取值范围是______。 4. 用列表法表示函数y = x + 2时，若x取0、1、2，则对应的y值分别是______。 5. 函数的三种表示方法是______、______、______。 三、解答题（共30分） 1. （8分）指出下列函数中的自变量、因变量和常量： 2. （8分）判断下列关系式是否为函数，说明理由： 3. （14分）已知函数$$y = \frac{x-2}{x+1}$$，完成下列问题： 参考答案 一、选择题 二、填空题 三、解答题 1. （1）自变量：x；因变量：y；常量：5、-3； 2. （1）是函数，理由：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值对应； 3. （1）分母x + 1 ≠ 0，解得x ≠ -1； 2026年4月7日星期二10时33分9秒 2026年4月7日星期二10时33分15秒 变量与函数 8 6 4 2 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T / ℃ t/h 问题1 如图是某地一天内的气温变化图： 思考 这张图告诉我们哪些信息 ? 从图中我们可以看到，随着时间 t (h) 的变化，气温 T (℃) 也随之变化. 1 看图回答: (1) 这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别是多少 ? 任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温. 分别为－1℃、2℃、5℃ 8 6 4 2 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T / ℃ t/h (2) 这一天中 ，最高气温是多少 ? 最低气温是多少 ? 最高气温是5℃．最低气温是－4℃ . 8 6 4 2 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T / ℃ t/h (3) 这一天中 ，哪些时段的气温在逐渐升高 ? 哪些时段的气温在逐渐降低? 这一天中，3 时 ~ 14 时的气温在逐渐升高， 0 时 ~ 3 时和 14 时 ~ 24 时的气温在逐渐降低　 8 6 4 2 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T / ℃ t/h 问题2 小蕾在过 14 岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表: 观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的 ? 在哪一段时间内体重增加较快 ? 周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重/kg 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 随着年龄的增长，小蕾的体重也随之增长，且在 1—2 岁增加较快. 问题3 收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米 (m)和千兹 (kHz) 为单位标刻的 ，下面是一些对应的数值: 波长 λ / m 300 500 600 1000 1500 频率 f / kHz 1000 600 500 300 200 观察上表回答： (1)波长 l 和频率 f 数值之间有什么关系 ? λ f ＝300 000，或者 300 000 λ f = (2)波长 λ 越大，频率 f 就_____ . 越小 问题4 圆的面积随着半径的增大而增大，如果用 r 表示圆的半径、用 S 表示圆的面积，则 S 与 r 之间满足下列关系: 半径 r / m 1 1.5 2 2.6 3.2 ··· 圆面积 S / cm2 ··· S = _______ . 利用这个关系式，试求出半径为 1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表： πr² π 2.25π 4π 6.76π 10.24π 越大 由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就______. 思考 在上述4个问题中，都是一些变化的过程， 出现了各种各样的数量，你认为可以怎样分类？ 变量 常量 数值发生变化的量 数值始终不变的量 问题 1 中的时间 t 、气温 T ； 问题 2 中的周岁、体重； 问题 3 中的波长 λ 、频率 f ； 问题 4 中的圆面积 S、半径 r . 问题 3 中的300 000； 问题 4 中的π. 像这样，在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量 (variable). 在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量 (constant) . 在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律. 知识要点 例1 指出下列事件过程中的常量与变量. (1) 某水果店橘子的单价为 5 元／千克，买 a 千克橘子的总价为 m 元，其中常量是 ，变量是 ； (2) 圆的周长 C 与半径 r 之间的关系式是 C ＝ 2πr，其中常量是 ，变量是 ； (3) 三角形的一边长 5 cm，它的面积 S (cm2) 与这边上的高 h (cm) 的关系式 中，其中常量是 ，变量是 . 5 a ，m 2，π C， r S，h 典例精析 上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关. 试说出上面四个问题中的自变量与因变量. 一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量 ，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量 ， y 是因变量. 此时也称 y 是 x 的函数. 知识要点 例3 下列关于变量 x ，y 的关系式：y = 2x + 3； y = x2 + 3；y = 2|x|；④ ；⑤y2 - 3x = 10，其中表示 y 是 x 的函数关系的是 ．  判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应. 一个 x 值有两个 y 值与它相对应 典例精析 函数的表示方法 表示函数关系的方法通常有三种： 问题 3 中的： f = 函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式。 问题 4 中的： S = πr² . (1) 解析法 2 (2) 列表法， 周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重/kg 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 问题 3 中波长与频率的关系表： 如问题 2 中小蕾的体重表： 波长 λ / m 300 500 600 1000 1500 频率 f / kHz 1000 600 500 300 200 (3) 图象法，问题1 所示的气温曲线图。 8 6 4 2 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T / ℃ t/h 在研究函数时，必须注意自变量的取值范围， 实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义. 解析法 列表法 图象法 定义 实例 问题3，4 问题2，3 问题1 优点 函数三种表示方法的区别 用数学式子表示函数关系的方法 通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法 准确地反映了函数随自变量变化的数量关系 具体反映了函数随自变量变化的数值对应关系 直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律 返回 1．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是(　　) D 中考考法 18 返回 2．下列说法不正确的是(　　) A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a B．圆面积公式S＝πr2中的π是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量 D 中考考法 19 返回 3．某种树木的分枝生长规律如下表所示，则预计到第7年时，树木的分枝数为________，其中自变量是________，因变量是____________． 13 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 分枝数 1 1 2 3 5 8 年份 分枝数 中考考法 20 返回 4．下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下时弹跳高度b(cm)与下落高度d(cm)之间的关系，则d与b之间的关系式是____________． d＝2b d/cm 50 80 100 150 b/cm 25 40 50 75 中考考法 21 5．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据，如下表所示， 温度/℃ －20 －10 0 10 20 30 声速/(m/s) 318 324 330 336 342 348 中考考法 22 返回 则下列说法错误的是(　　) A．在这个变化中，温度是自变量，声速是因变量 B．空气的温度每升高10 ℃，声速就增加6 m/s C．由表中数据可推测，在一定范围内，空气温度越高，声速越快 D．当空气温度为20 ℃时，声音5 s可以传播1 740 m D 中考考法 23 ①②③ m －3 －2 －1 1 2 3 n －2 －3 －6 6 3 2 返回 中考考法 24 7．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，AC＝10．AD平分∠BAC，交BC于点D．动点Q从点B出发，沿BC－CA的折线路径，以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒． (1)当点Q在AC边上运动时，线段AQ(AQ>0) 的长为______________(用含t的代数式 表示)； 18－t 中考考法 25 (2)设△ADQ的面积为S，请用含t的代数式表示S． 中考考法 26 中考考法 27 返回 中考考法 28 在某一变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 解析法，列表法和图象法 变量与函数的概念及其表示方法 常量与变量 函数 函数的表示方法 如果在一个变化过程中，有两个变量 ，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应， 称 y 是 x 的函数 6．[邢台月考]下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是____________．(填序号) ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式y＝中，y是x的函数； ③下表中，n是m的函数； ④如图，曲线表示 y是x的函数． 【解】在△ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝8，AC＝10，∴AB＝＝6.过D作DE⊥AC于E，如图． ∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，∴BD＝DE. ∵S△ADC＝CD·AB＝AC·DE，CD＝8－BD， ∴6(8－BD)＝10BD，∴BD＝3. 当0≤t<3时，S＝×(3－t)×6＝－3t＋9； 当3<t≤8时，S＝×(t－3)×6＝3t－9； 当8<t<18时，S＝×(18－t)×3＝－t＋27. 综上所述，S＝ $