精品解析：黑龙江大庆外国语学校2025-2026学年下学期教学质量检测高三数学

2025-2026学年度下学期 大庆外国语学校教学质量检测 高三数学 注意事项 1.考试时间120分钟，满分150分 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并准确填涂. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案的标号.非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4.按照题号在各答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效. 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出中不等式的解集，找出解集中的整数解，确定出即可得出答案． 【详解】由解得，或，即， ， . 故选：B． 2. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化为抛物线的标准方程即可得解. 【详解】由抛物线化为标准方程得， 则抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：A. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量数量积和模的坐标表示，结合投影向量的概念求解即可. 【详解】由，，得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象平移、伸缩变换的方法，即可得答案. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得， 再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得. 故选：B 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. ， 因为，所以， 因为，所以，所以. 6. 设，若为函数的极大值点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据极大值点的定义，结合二次函数的性质分类讨论求解即可. 【详解】由，， 则， 当，即时， 此时，则恒成立或恒成立， 则函数在上单调递增或单调递减，无极值，不满足题意； 当，即时，结合二次函数的性质可知， 要使为函数的极大值点， 则或，解得或. 故选：C. 7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率关系求出，由条件概率公式求得，根据全概率公式求得，再由条件概率公式求得. 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 8. 如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程得到韦达定理，结合焦半径公式可得，进而根据线面垂直，以及二面角的定义得，根据锐角三角函数计算长度，可得，利用两点距离公式即可求解. 【详解】因为，设直线为，， 联立与可得， 则，则， 故，解得， 故，解得， 故， 如图，以O为坐标原点，所在直线为x轴，在平面内作的垂线为y轴，过点O作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 过作平面于，过作于，连接， 由于轴，且轴，，平面，故轴平面， 平面，故轴，则 由于在直角坐标系中， 故， 因此在直角三角形中，， 因此在空间直角坐标系中，， 故， 故选：B 二、多选题 9. 在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则, 因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 10. 已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称 C. 当时 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】，拿换，得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得：， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，， 所以， 从而的值域为，在此区间上， 所以， 故恒成立，选项D正确. 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. 在底面上的投影是线段的中点 C. 与平面所成角大于 D. 与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别计算和判断A；设中点为，连接，若在底面上的投影是线段的中点应得，计算验证判断B；计算，根据勾股定理判断，则与平面所成角为，再计算判断C；计算以及，再利用向量的夹角公式判断D. 【详解】对于A，由题意， 所以 ， 又因为， 所以，A说法正确； 对于B，设中点为，连接， 则， 若在底面上的投影是线段的中点，则底面， 又底面，则应该有， 因为 ， 故此时与底面不垂直，B说法错误； 对于C，因为，， 所以， ， 在中，，，， 所以，所以， 所以与平面所成角为， 又因为，即， 所以与平面所成角大于，C说法正确； 对于D，因为 ， 所以，D说法正确； 故选：ACD 三、填空题 12. 的展开式的第三项的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用通项，直接展开求解即可． 【详解】的展开式的第三项是， 故答案为：． 13. 若函数是奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】由得， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称， 则方程根互为相反数，所以，所以， 所以函数的定义域为，， 因为， 所以，即，解得. 此时，定义域为，且满足， 所以. 14. 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先计算事件总数，因为，得到，然后看不同的大小组合，最后排序计算符合条件的总数，然后计算概率即可. 【详解】所有投掷结果共有种， 由，不妨设， 则， 事实上，对于其他排序可得类似结果，则 所以 我们不妨设，则，还有一个数为 显然， 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 所以一共有种； 故事件“”发生的概率为 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合向量法求线面角求解即可. 【小问1详解】 在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. 【小问2详解】 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则.又，故. 又，平面，则平面. 即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式； （2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 17. 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． （1）当时，求甲最终获胜的概率； （2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）甲最终获胜有两种情况：前2局赢、三场输一场赢两场，据此求解概率； （2）由（1）可得甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可. 【小问1详解】 记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为． 【小问2详解】 由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 18. 已知函数， （1）函数图像在处的切线与函数相切，求实数a的值； （2）函数与函数图像有两个不同交点， （i）求a的取值范围； （ii）若，证明：． 【答案】（1） （2）（i） ；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解 （2）转化为函数有两个零点，由导数判断单调性后列不等式求解， 由题意得的关系，将表示成的函数求最值，再由基本不等式证明 【小问1详解】 由得到， 所以，而，所以切线方程为 因为得， 由题意得：，解得． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得化简得，令 函数与函数图像有两个不同交点等价于有两个解 ，令，解得 所以时，，单调递增； 时，，单调递减． ， 而时，，时，， 所以，解得： 故的取值范围是 （ⅱ）由（ⅰ）可得：① ② ①+②得：③ ②-①得：④ 由③④消去a得： 令，所以， 令， ，， 令，则 故 所以在上单调递增，所以 所以，所以． 19. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上； （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2） （3）存在点，使得为定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组求解即可. （2）根据直线与圆相切得到，设出点坐标，结合二次函数性质求出，进而求得. （3）设出直线方程并与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，；求出直线、方程，得到点、坐标，结合对称列方程求出，求得为定值，再结合直角三角形的性质求解即可. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为，点在双曲线上， 所以，解得，. 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 圆：的圆心，半径为. 因为是圆上的动点，直线与圆相切，所以，. 所以. 设，因为点是双曲线上的动点，所以. 所以， 当时，取得最小值，此时， 所以. 【小问3详解】 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为. 联立，整理得， 且， 设，，则，， 直线的方程为， 令，则，即. 同理可得，. 因为关于原点对称，所以， 即， 整理得， 即， 整理得，即， 所以或. 若，则，则直线方程为，即， 此时直线过点，不符合题意. 若，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又，在中，为斜边， 所以当为中点时，. 因此存在点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期 大庆外国语学校教学质量检测 高三数学 注意事项 1.考试时间120分钟，满分150分 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并准确填涂. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案的标号.非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4.按照题号在各答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效. 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，若为函数的极大值点，则（　　） A. B. C. D. 7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称 C. 当时 D. 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. 在底面上的投影是线段的中点 C. 与平面所成角大于 D. 与所成角的余弦值为 三、填空题 12. 的展开式的第三项的系数是__________． 13. 若函数是奇函数，则______. 14. 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为_____. 四、解答题 15. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． （1）当时，求甲最终获胜的概率； （2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 18. 已知函数， （1）函数图像在处的切线与函数相切，求实数a的值； （2）函数与函数图像有两个不同交点， （i）求a的取值范围； （ii）若，证明：． 19. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上； （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $