19.3.2 第1课时 菱形的性质（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦菱形的性质，涵盖定义、边与对角线特性及面积计算。通过图片视频欣赏导入，对比矩形由平行四边形角特殊化的过程，引导学生从边的角度将平行四边形特殊化，构建从平行四边形到菱形的知识支架。 其亮点在于设计折纸剪切、折叠探究活动，培养学生几何直观与空间观念，通过严谨证明推导性质发展推理能力，结合菱形花坛等实例及面积多方法总结提升应用意识。学生能深化对菱形性质的理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

19.3.2 菱形 第19章 四边形 第1课时 菱形的性质 优翼八下数学教学课件（HK） 情景引入 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 导入新课 欣赏视频：前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中的菱形一样，那么什么是菱形呢？它有什么特点？这节课让我们一起来学习吧！ 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就变成矩形. 有一个角是直角 菱形的性质 新课讲授 思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形. 菱形 邻边相等 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 归纳总结 活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面的视频： 点击视频开始播放← 问题2 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量 上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？ 活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的 图形 (如图)，并回答以下问题： 问题1 菱形是轴对称图形吗? 如果是， 指出它的对称轴. 是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线 平分一组对角. 求证：(1) AB = BC = CD = AD； (2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC， ∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB， ∠ABD =∠CBD. 证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等). 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD =AD. A B C O D 证一证 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. (2) ∵ AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中，OB = OD， ∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD， 即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC. 同理可证∠DCA =∠BCA， ∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD. A B C O D 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 平行四边形的性质 菱形的特殊性质 归纳总结 例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长． 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD， AO＝ AC，BO＝ BD. ∵ AC＝6 cm，BD＝12 cm， ∴ AO＝3 cm，BO＝6 cm. 在 Rt△ABO 中，由勾股定理得 ∴ 菱形的周长为 4AB＝4× ＝ (cm)． 典例精析 例2 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF. 证明：连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC 平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC. ∵ CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵ AC＝AC，∴△ACE≌△ACF. ∴ AE＝AF. 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角． 归纳 证明：∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴ AD∥BC，AD＝BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB. ∴∠DAE＝∠AEB. ∵ AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB. ∴∠ABC＝∠DAE.  ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.  又∵ AD＝BA，∴△AOD≌△BEA. ∴ AO＝BE. 例3 如图，E为菱形ABCD的边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. A B C D O E 1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则 △ABD 的周长是 (　　) A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 C 练一练 2. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______. 第 1 题图 第 2 题图 6 cm 问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢? 能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E， 则 S菱形ABCD = 底×高 = BC·AE. E 菱形的面积 问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积. A B C D O 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. ∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC = AC·BO + AC·DO = AC·(BO + DO) = AC·BD. 你有什么发现？ 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 例4 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h. 解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12， ∴ S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30. ∴ S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120. 而菱形两组对边的距离相等， ∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h. ∴ 13h＝120，解得 h＝ . A B C D O 菱形的面积计算有如下方法：① 一边长与两对边的距离 (即菱形的高) 的积；② 四个小直角三角形的面积之和 (或一个小直角三角形面积的 4 倍)；③ 两条对角线长度乘积的一半． 归纳 例5 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到 0.01 m 和 0.1 m2）. A　 B　 C　 D　 O　 解：∵ 花坛 ABCD 是菱形， 【变式题】如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为 1∶2，周长是 8 cm．求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积． 解：（1）∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = BC，AC⊥BD，AD∥BC. ∴∠ABC +∠BAD = 180°. ∵∠ABC 与∠BAD 的度数比为 1∶2， ∴∠ABC = ×180° = 60°. ∴ △ABC 是等边三角形，∠ABO = ∠ABC = 30°. ∵ 菱形 ABCD 的周长是 8 cm，∴ AB = 2 cm. ∴ OA = AB = 1 cm，AC = AB = 2 cm. ∴ BD = 2OB = cm. = ×2× = （cm2）. 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形求解，当菱形中有一个角是 60° 或 120° 时，菱形可被一条对角线分为两个等边三角形. 归纳 （2）S菱形ABCD = AC•BD 练一练 如图，已知菱形的两条对角线分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为（　　） A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm B 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 C 2. 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，则△ABD 的周长等于（ ） A. 18 B. 16 C. 15 D. 14 B 当堂练习 23 3. 根据下图填一填： （1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm， 那么它的边长是 ______. （2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°， 则∠BAC＝_____°. （3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm， 则菱形的边长是______. 3 cm 30 A B C O D 5 cm (4) 菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角 线长为 11 cm，菱形的周长为_______. 44 cm (5) 菱形的面积为 64 cm2，两条对角线的比为 1∶2， 那么菱形最短的那条对角线长为_______. 8 cm A B C O D 4. 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中 对角线 BD 长 10 cm. 求：(1) 对角线 AC 的长度； (2) 菱形 ABCD 的面积. 解：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴∠AED = 90°， (2) 菱形 ABCD 的面积为 ∴ AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm). D B C A E 26 5. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD =∠CBE． 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ CB = CD，CA 平分∠BCD． ∴∠BCE =∠DCE． 又 CE = CE， ∴△BCE≌△DCE (SAS)． ∴∠CBE =∠CDE． ∵ 在菱形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠AFD =∠EDC． ∴∠AFD =∠CBE． A D C B F E 6. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点，CD ＝5 cm，OD＝3 cm；过点 C 作 CE∥DB，过点 B 作 BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E. (1) 求 OC 的长； 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 在 Rt△OCD 中， 由勾股定理得 OC＝4 cm. 解：∵ CE∥DB，BE∥AC， ∴ 四边形 OBEC 为平行四边形. 又∵ AC⊥BD，即∠COB＝90°， ∴ 平行四边形 OBEC 为矩形. ∵ OB＝OD＝3 cm， ∴ S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12 (cm2). 6. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点，CD ＝5 cm，OD＝3 cm；过点 C 作 CE∥DB，过点 B 作 BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E. (2) 求四边形 OBEC 的面积． 菱形的性质 菱形的性质 有关计算 边 1. 周长 = 边长的四倍 2. 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半 角 对角线 1. 两组对边平行且相等； 2. 四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补 1. 两条对角线互相垂直平分； 2. 每一条对角线平分一组对角 课堂小结 $