19.3.1 第1课时 矩形的性质（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦矩形的定义、性质及直角三角形斜边上的中线性质，通过生活中长方形实例导入，结合平行四边形教具演示，引导学生建立矩形与平行四边形的联系，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言培养。通过小组测量实物猜想性质发展几何直观，证明过程与例题解析强化推理意识，折叠活动和模型总结提升应用意识。学生能在实践中探究，教师可依托结构化内容提升教学效率。

19.3.1 矩形 第19章 四边形 第1课时 矩形的性质 优翼八下数学教学课件（HK） 观察下面图形,长方形在生活中无处不在. 情景引入 导入新课 思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 你还能举出其他的例子吗？ 长方形 （也叫矩形） 活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察. 矩形的性质 新课讲授 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 归纳总结 平行四边形不一定是矩形. 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边，角，对角线等方面来考虑. 活动2： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） （2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC. ∴∠B +∠C = 180°. 又∵∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. (1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. 证一证 A B C D 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°. 在 △ABC 和 △DCB 中， AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴ AC = DB. A B C D O (2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还有以下性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 归纳总结 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB. A B C D O 例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4 ，求对角线的长. 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD. ∴ OA = OB. 又∵∠AOB = 60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴ OA = AB = 4. ∴ AC = BD = 2OA = 8. A B C D O 典例精析 矩形的对角线 相等且互相平分 例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD， DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC. E 证明：连接 DE. ∵ AD = AE，∴∠AED =∠ADE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠C = 90°. ∴∠ADE =∠CED. ∴∠CED =∠AED. 又∵ DF⊥AE， ∴ DF = DC. A B C D F 例3 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD = 8，AB = 4，求△BED 的面积． 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠A＝90°. ∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3. ∴ BE＝DE. 设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x. ∵ 在 Rt△ABE 中，AB2＋AE2＝BE2， ∴ 42＋(8－x)2＝x2，解得 x＝5，即 DE＝5. ∴ S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.  矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： 图形，对称轴： 条. 轴对称 2 练一练 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 点 O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB A B C D O C 2. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的______. 3. 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，∠DAE∶ ∠BAE＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数． 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1， ∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵ AE⊥BD， ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°. ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°. ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线 AC 剪去一半. B C O A 问题 Rt△ABC 中，BO 是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边 AC 有什么关系？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出证明 直角三角形斜边上的中线的性质 证明：延长 BO 至 D，使 OD = BO，连接 AD，CD. ∵ AO = OC，BO = OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC = 90°， ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BO 是 AC 上的中线. 求证：BO = AC. ∴ BO = BD = AC. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 性质 证一证 O C B A D 例4 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1) 若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； 解：∵ AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点， ∴ DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4. ∴ 四边形 AEDF 的周长为 AE＋DE＋DF＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18. (2) 求证：EF 垂直平分 AD. 证明：∵ DE＝AE，DF＝AF， ∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上， 即 EF 垂直平分 AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 归纳 例5 如图，已知 BD，CE 是△ABC 的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明：GF⊥DE. 解：连接 EG，DG. 由题意知∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵ 点 G 是 BC 的中点， ∴ EG＝ BC，DG＝ BC. ∴ EG＝DG. 又∵ 点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE. 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，从而将问题转化到等腰三角形中，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 归纳 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线. (1) 若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm； (2) 若∠C = 30°，AB = 5 cm，则 AC = _____ cm， BD = _____ cm. A B C D 6 10 5 练一练 归纳总结 直角三角形斜边上的中线的性质常见模型 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边上的中线长为 ( ) A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定 3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条 对角线相交所成的锐角是 ( ) A. 20° B. 40° C. 80° D. 10° A C C 当堂练习 4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm． 2.5 5. 如图，△ABC 中，E 在 AC 上，且 BE⊥AC，D 为 AB 中点，若 DE = 5，AE = 8，则 BE 的长为______． 6 第 4 题图 第 5 题图 6. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E. （1）求证：BD = BE； （2）若∠DBC = 30°， BO = 4，求四边形 ABED 的面积. A B C D O E (1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，AB∥CD. 又∵ BE∥AC， ∴ 四边形 ABEC 是平行四边形. ∴ AC = BE. ∴ BD = BE. (2) 解：在矩形 ABCD 中，∵ BO = 4， ∴ BD = 2BO = 2×4 = 8. ∵∠DBC = 30°， ∴ CD = BD = ×8 = 4. ∴ AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8. 在 Rt△BCD 中， BC = ∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4 + 8)× = . A B C D O E 7. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，AD = 8，P 是 AD 上的动点，PE⊥AC 于 E，PF⊥BD 于 F，求 PE + PF 的值. ∴ PE + PF = . ∴ AO·PE + DO·PF = 12， ∴ S△AOD = S△DOC = S△AOB = S△BOC = S矩形ABCD = ×6×8 = 12. 能力提升： 解：连接 OP. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB = 90°，OA = OD = OC = OB. 在 Rt△BAD 中，由勾股定理得 BD = 10， ∴ AO = OD = 5. ∵ S△APO + S△DPO = S△AOD， 即 5PE + 5PF = 24. 矩形的相关概念及性质 具有平行四边形的一切性质 四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 课堂小结 $