17.5 一元二次方程的应用（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，涵盖平均变化率、几何图形等核心知识点。通过长方形空地修小路的实际问题导入，回顾旧知并搭建从方程解法到实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以实际问题为载体，通过“问题情境—模型建立—求解检验”流程培养数学眼光和数学思维，如药品降价率、金属片截角等实例。结合课堂小结的公式归纳，帮助学生形成模型意识，教师可直接使用结构化例题与练习提升教学效率。

17.5 一元二次方程的应用 第 17 章 一元二次方程 八年级下册数学（沪科版） 学习目标 1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点) 2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点) 回顾旧知 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛。要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽度为多少？ 32 20 x 导入新课 解 设小路的宽是 x m．根据题意，得 32×20 - ( 32x + 2×20x ) + 2x² = 570 整理，得 x² - 36x + 35 = 0. 则 ( x -1 )( x -35 ) = 0. 解方程，得 x1 = 1，x2 = 35. x2 = 35 不合题意，所以 x = 1. 答：小路的宽度为 1 m. 填空：1. 原来每盒 27 元的一种药品，降价一次后价格为 24.3 元，则这次降价的降价率是______，如果按这个降价率再降价一次，则这时候这个药品的价格为______元。 10 % 21.87 平均变化率问题与一元二次方程 例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元.该药品两次降价的平均降价率是多少？( 精确到 1% ) 1 新知探究 2. 原来每盒 27 元的一种药品，降价一次，设下降率 是 x，则这种药品的价格是_________元，保持这个下降率再降价一次，那么这种药品的价格是_________元. 下降率x 原价 27 ( 1 - x ) 27 下降率x 第一次降价后的价格 27( 1 - x )( 1 - x ) 27( 1 - x )2 27(1 - x) 27(1 - x)2 第二次降价后的价格 解 设该种药品两次降价的平均降价率是 x． 例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元. 该药品两次降价的平均降价率是多少？( 精确到 1% ) 典例精析 答：该药品两次降价的平均降价率约是 42%. x ≈ 1.58 不合题意，所以 x ≈ 0.42 = 42%. 解方程，得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈0.42. 整理，得 (1 - x)2 = . 根据题意，得 27(1 - x )2 = 9. 例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。 解：设这个增长率为 x.根据题意，得 答：这个增长率为 50%. 200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950. 整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0. 解得 x1 = -3.5 (舍去)，x2 = 0.5. 注意：增长率不可为负，但可以超过 1. 分析： 设新品种花生产量的增长率为 x , 则新品种花生出油率的增长率为 x ，根据“ 新品种花生每公顷产量×新品种花生出油率 = 1 980 kg ” 可列出方程. 例3 一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3000 kg，出油率为 50% ( 即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的 . 求新品种花生产量的增长率. 300( 1 + x ) · [50%(1+ x )] = 1 980. 整理，得 25x2 + 75x -16 = 0. 解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = -3.2. x = -3.2 不合题意， 所以 x = 20%. 答：新品种花生产量的增长率为 20%. 解 设新品种花生产量的增长率为 x ，根据题意，得 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设出未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 方法归纳 几何图形与一元二次方程 例4 如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高为 20 cm、容积为 2880 cm2 的开口方盒，原金属片的边长是多少？ (单位：cm) x x-40 20 20 分析 设原金属片的边长为 x cm，则方盒的底边长是 _______ cm. 方盒的容积 = ___________________________ . 底边长×底边长×方盒的高 ( x -40 ) 2 解 设原金属片的边长为 x cm, 则方盒的底边长是 ( x -40 ) cm. 根据题意，得 20( x -40 )2 = 2880. 整理，得 ( x -40 )2 = 144. 解方程，得 x1 = 52，x2 = 28 . x2 = 28 不合题意，所以 x = 52 . 答：原金属片的边长是 52 cm . x x-40 20 20 在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键.如果图形不规则，利用割补法转化为规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 方法归纳 例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm²？ 根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm， CQ = 2x cm. 解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm². 整理，得 解得 x1 = x2 = 3. 答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ的面积为 9 cm². 则有 例6 如图，在一块长为 92 m，宽为 60 m 的长方形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个长方形小块. 水渠应挖多宽？ 解：设水渠宽为 x m，将所有耕地拼在一起，变成一个新的长方形，则其长为 (92 - 2x) m，宽为 (60 - x) m. 则有 (92 - 2x)(60 - x) = 6×885. 解得 x1 = 105(舍去)，x2 = 1. 注意：结果应符合实际意义 答：水渠应挖 1 m 宽. 我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条水渠移动一下，使列方程更容易些( 目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路 )。 方法归纳 例7 一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元. 问原来这组学生的人数是多少？ 分析：设原来这组学生的人数是 x，则可把题中信息整理成下表： 总费用/元 人数 每人费用/元 原来 现在 解：设原来这组学生的人数是 x，由题意得 两边同乘 x(x + 2)，整理，得 x2 + 2x - 80 = 0. 解这个方程，得 x1 = -10， x2 = 8. 检验：x1 = -10，x2 = 8 都是原方程的根， 但 x = -10 不符合题意，所以取 x = 8. 答：原来这组学生是 8 人. 解分式方程应用题时，所得根不仅要检验是否为增根，还要考虑它是否符合题意. 方法归纳 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( ) A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720 C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元。若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为 . B 2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8 课后练习 3. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A．x2 + 130x - 1400 = 0 B．x2 + 65x - 350 = 0 C．x2 - 130x - 1400 = 0 D．x2 - 65x - 350 = 0 80 cm x x x x 50 cm B 4. 青山村种的水稻前年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率。 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x. 根据题意，得 7200(1+x)2 = 8712. 解得 x1 = 0.1 = 10%，x2= -1.1(不符合题意，舍去). 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%. 5. 如图，在宽 20 米，长 32 米的长方形地面上修筑同样宽的道路 (图中阴影部分)，余下的部分种上草坪。 要使草坪的面积为 540 平方米，求道路的宽。 解：设道路宽为 x 米，由平移得到下图，则依题意可列方程为 (20 - x)(32 - x) = 540. 解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 答：道路的宽度为 2 米。 整理得 x2 - 52x + 100 = 0， 能力提升 菜农大伟种植的某蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售。由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，大伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售。 (1) 求平均每次下调的百分率； 解：设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得 5(1 - x)2 = 3.2. 解得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = 1.8 (舍去). ∴ 平均每次下调的百分率为 20%. (2) 小华准备到大伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，大伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金 200 元。 试问小华选择哪种方案优惠更多？请说明理由。 解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为 3.2×0.9×5000 = 14400 (元)， 方案二所需费用为 3.2×5000 - 200×5 = 15000 (元). ∵ 14400<15000, ∴ 小华选择方案一购买优惠更多。 一元二次方程的应用 增长率 a(1 + x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量 降低率 a(1 - x)2 = b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量。 注意 1 与 x 位置不可调换 平均变化率问题 几何图形 其他类型问题 常见几何图形面积是等量关系 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $