16.1 二次根式及其性质（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、有意义的条件及性质，通过回顾平方根和算术平方根，结合正方形面积等实际问题引出带根号的式子，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生理解概念形成过程。 其亮点在于以实例归纳概念培养数学眼光，通过例题变式训练发展数学思维，用表格对比性质强化数学语言表达。学生能提升抽象与推理能力，教师可借助清晰结构高效教学，助力重难点突破。

16.1 二次根式及其性质 第16章 二次根式 八年级下册数学（沪科版） 学习目标 1.理解二次根式的概念；掌握二次根式有意义的条件.（重点） 2.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点） 3.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点） 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 怎么表示它？ 如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 非负数. 导入新课 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1) 如图的海报为正方形，若面积为 2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m． (2) 如图的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m． 图 图 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示 2，S，3 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ． ① 根指数都为 2； ② 被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 二次根式的概念及有意义的条件 1 新知探究 两个必备特征 ① 外貌特征：含有“ ” ② 内在特征：被开方数(式) a ≥0 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式.“ ”称为二次根号. 注意：a 可以是数，也可以是式. 归纳总结 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： 二次根式的被开方数或式非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 当 a≥0 时， ≥0. 归纳总结 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典例精析 例2 实数 x 为何值时下列式子有意义? 解：(1) 要使 有意义，则 x + 3≥0. 解这个不等式，得 x≥-3. 所以当 x≥-3 时， 有意义. (2) 因为 x 为任何实数都有 x2≥0， 所以当 x 为一切实数时， 有意义. 【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得 x - 1＞0， ∴ x＞1. 解：∵ 被开方数需大于或等于零， ∴ x +3 ≥0，∴ x≥-3. ∵ 分母不能等于零， ∴ x - 1 ≠ 0，∴ x ≠ 1. ∴ x≥-3 且 x ≠ 1. (2) 多个二次根式相加 (如 ) 有意义的 条件： (3) 二次根式作为分式的分母 (如 ) 有意义的条件： A＞0； (4) 二次根式与分式的和差 (如 ) 有意义的条件： A≥0 且 B ≠ 0. (1) 单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； 归纳总结 1. 下列各式： . 一定是二次根式的有 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 2. (1) 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是______； (2) 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的 取值范围是______________. x≥1 x ≥0 且 x ≠ 2 练一练 例3 若 ，求 a - b + c 的值. 解： 由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 =0， 解得 a = 2，b = 3，c = 4. 所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3. 归纳总结：若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式. 3. 已知 y = ，求 3x + 2y 的算术平方根. 解：由题意得 ∴ x = 3．∴ y = 8． ∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25． ∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5． 练一练 1. 由于 是 2 的算术平方根，根据平方根的意义，应有 ( )² = 2. 类似地，计算： = ， 二次根式的性质 2 5 0 2. 类似地，计算： ， = ， 又如 ，再计算 . = ， 0.5 0 0.5 观察上式，你能得出什么结论呢？ 归纳总结 一般地，有 性质1 ＝a (a≥0). 性质2 a， (a≥0)， -a ，(a＜0). 0，(a≥0)， 例4 计算： ； . 解：(1) (2) 方法一： 方法二： 练一练 4. 计算： 解： ，而 3.14＜π，要注意 a 的正负. 注意 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负数 a 的算术平方根的平方 表示一个实数 a 的平方的算术平方根 例5 先化简，再求值： ，其中 x = 4. 当 x = 4 时，| x－π |＝| 4－π |. ∵ π＜4， ∴ 4－π＞0. ∴ 当 x＝4 时，原式＝4－π. 5. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简： 解：∵ a、b、c 是 △ABC 的三边长， ∴ a + b + c ＞0，b + c ＞ a，b + a ＞ c， ∴ 原式 = |a + b + c| - |b + c - a| + |c - b - a| = a + b + c - (b + c - a) + (b + a - c) = a + b + c - b - c + a + b + a - c = 3a + b - c． 分析： 利用三角形三边关系 三边长均为正数，a + b + c ＞ 0 两边之和大于第三边，b + c - a＞0，c - b - a ＜ 0 练一练 二次根式 性质 定义 带有二次根号 被开方数为非负数 ＝a (a≥0). 性质1 a，(a≥0)， -a，(a＜0). 0，(a＝0)， 性质2 课堂小结 2.式子 有意义的条件是 （ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2 3.当 x =____时，二次根式 取最小值，其最小 值为____． 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A -1 0 课后练习 4. 化简： （1） = ； （2） = ； （3） ；（4） . 3 7 4 81 -1 0 1 2 a 5. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 . 1 6. (1) 若二次根式 有意义，求 m 的取值范围； 解：由题意得 m - 2≥0 且 m2 - 4 ≠ 0， 解得 m≥2，且 m ≠ -2，且 m ≠ 2， ∴ m＞2． (2) 无论 x 取任何实数，代数式 都有意义，求 m 的取值范围． 解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立， 即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立. ∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9. 7. 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，化简： . 解：根据数轴可知 b＜a＜0， ∴ a + 2b＜0，a - b＞0， 则 = | a + 2b | + | a - b | = - a - 2b + a - b = - 3b． 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $