10.1.2 垂线及其性质（word教案）【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

该教案聚焦“垂线及其性质”核心知识点，通过教室图片情境导入，提问黑板相邻边夹角与位置关系，衔接相交线知识，引入垂直这一特殊情况，搭建学习支架。 特色在于情境创设与变式训练结合，教室情境培养数学眼光，求角度和判定垂直例题发展推理意识，修路最短路径问题体现模型意识。通过合作探究提升学生几何直观与应用能力，帮助教师清晰突破重难点，提升教学效率。

第10章　相交线、平行线与平移 10.1　相交线 第2课时 垂线及其性质 1．掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解关于垂线的基本事实，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线． 2．通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行适当的说理． 3．通过创设情境，利用变式训练等多种教学手段来激发学生的学习兴趣，给学生创造成功的机会，让他们爱学、会学且学会，从而体验成功的快乐． 重点：垂线的画法、关于垂线基本事实和性质． 难点：垂线段最短及简单应用． 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关系？ 二、合作探究 探究点一：垂线的概念 【类型一】 运用垂线的概念求角度 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数． 解析：要求∠AOM的度数，可先求它的余角．由已知∠EON＝20°，结合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON.再根据对顶角相等即可求得；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可． 解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°.∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°.∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°.∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°. 方法总结：(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都等于90°；(2)在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识． 【类型二】 运用垂线的概念判定两直线垂直 如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD，试判断OB和OD的位置关系，并说明理由． 解析：由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°，又∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°，再根据垂直的定义，得出OB⊥OD. 解：OB⊥OD，理由如下：因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°.所以∠BOD＝90°.所以OB⊥OD. 方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°. 探究点二：垂线的画法 如图，平面上有三点A，B，C. (1)画直线AB，画射线BC (不写作法，下同)； (2)过点A画射线BC的垂线，垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交射线BC于点H. 解析：根据垂线的画法“一落、二过、三画”画图即可． 解：如图所示．　　 方法总结：“一落、二过、三画”：“一落”是指把三角板的一条直角边落在已知直线上；“二过”是指使三角板的另一条直角边过已知点；“三画”是指沿已知点所在的直角边画直线． 探究点三：垂线的性质和点到直线的距离 【类型一】 点到直线的距离的运用 如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5. (1)试说出点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离； (2)点C到直线AB的距离是多少？你能求出来吗？ 解析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2) 过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积求得． 解：(1)点A到直线BC的距离是3，点B到直线AC的距离是4； (2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.因为三角形ABC的面积＝BC·AC＝AB·CD，所以5CD＝3×4，解得CD＝.所以点C到直线AB的距离为. 方法总结：点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到直线的距离． 【类型二】 “垂线段最短”的实际运用 如图所示，修一条路从A村到B村，再到公路MN，怎样修才能使所修的路最短？画出线路图，并说明理由． 解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可． 解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短． 方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”． 三、板书设计 1．垂线的概念 两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2．垂线的作法 3．垂线的性质 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 4．点到直线的距离 本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直．垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆． 学科网（北京）股份有限公司 $