15.3 第2课时 分式方程的应用（课件）--2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 15.3 第2课时 分式方程的应用 第15章 分式 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 15.3 第2课时 分式方程的应用 练习题 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列实际问题中，适合用分式方程求解的是（） A. 甲、乙两人相距10km，相向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，求相遇时间 B. 一个长方形的长比宽多2cm，面积为15cm²，求长方形的宽 C. 甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工100个零件与乙加工80个零件所用时间相等，求甲、乙每小时加工的零件数 D. 一个数的2倍与3的和等于7，求这个数 1. 甲、乙两人同时从A地出发去B地，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙提前1小时到达，设乙的速度为x km/h，则可列分式方程为（） A. $$\frac{AB}{x} - \frac{AB}{1.2x} = 1$$ B. $$\frac{AB}{1.2x} - \frac{AB}{x} = 1$$ C. $$\frac{x}{AB} - \frac{1.2x}{AB} = 1$$ D. $$\frac{1.2x}{AB} - \frac{x}{AB} = 1$$ 1. 某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产x个，实际每天比原计划多生产2个，结果提前3天完成任务，若这批零件总数为1200个，则可列方程为（） A. $$\frac{1200}{x} - \frac{1200}{x+2} = 3$$ B. $$\frac{1200}{x+2} - \frac{1200}{x} = 3$$ C. $$\frac{1200}{x} - \frac{1200}{x-2} = 3$$ D. $$\frac{1200}{x-2} - \frac{1200}{x} = 3$$ 1. 甲、乙两个工程队合作修建一条公路，甲队单独修需10天完成，乙队单独修需15天完成，两队合作x天完成工程的一半，则可列方程为（） A. $$(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x = \frac{1}{2}$$ B. $$(10 + 15)x = \frac{1}{2}$$ C. $$\frac{1}{10}x + \frac{1}{15} = \frac{1}{2}$$ D. $$10x + 15x = \frac{1}{2}$$ 1. 某商店购进一批商品，进价为每件x元，售价为每件(x+20)元，若售出100件这种商品的利润为800元（利润=售价-进价），则可列方程为（） A. $$100(x+20) - 100x = 800$$ B. $$\frac{800}{x+20} = 100$$ C. $$\frac{800}{x} = 100$$ D. $$100(x+20) = 800$$ 1. 下列关于分式方程应用的说法，正确的是（） A. 列分式方程解应用题时，无需检验 B. 列分式方程解应用题，关键是找到等量关系 C. 分式方程的解一定符合实际问题的意义 D. 用分式方程解决行程问题时，速度不能为0，但时间可以为0 二、填空题（每题3分，共18分） 1. 列分式方程解应用题的一般步骤：审题、设未知数、找______、列分式方程、解分式方程、______、写出答案。 2. 甲、乙两人加工零件，甲每小时加工a个，乙每小时加工b个（a>b），甲加工m个零件比乙加工m个零件少用的时间为______小时。 3. 某公路全长120km，一辆汽车从甲地到乙地，原计划每小时行x km，实际每小时行(x+10)km，结果提前1小时到达，则可列方程为______。 4. 一个水池有两个进水管，单独开甲管需x小时注满，单独开乙管需y小时注满，两管同时开，______小时可以注满水池。 5. 某商店搞促销活动，原价每件m元的商品，降价20%后售价为每件60元，则可列分式方程为______。 6. 甲、乙两人合作完成一项工作，甲单独做需12天，乙单独做需18天，两人合作x天完成这项工作的$$\frac{2}{3}$$，则可列方程为______。 三、判断题（每题2分，共10分） 1. 列分式方程解应用题时，设未知数后，需根据等量关系列出方程，无需考虑未知数的取值范围（） 2. 行程问题中，路程=速度×时间，据此可建立等量关系列分式方程（） 3. 甲、乙两人合作加工零件，甲每小时加工5个，乙每小时加工4个，合作加工18个零件需2小时，这道题适合用分式方程求解（） 4. 解分式方程应用题时，检验不仅要检验方程的解是否使分母不为0，还要检验是否符合实际意义（） 5. 某工厂原计划每天生产100个零件，实际每天生产120个，提前2天完成任务，设零件总数为x个，可列方程$$\frac{x}{100} - \frac{x}{120} = 2$$（） 四、解答题（共54分） 1. （8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时加工的零件数比乙多2个，甲加工150个零件所用的时间与乙加工120个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各加工多少个零件？ 2. （8分）从甲地到乙地的路程为180km，一辆轿车从甲地开往乙地，原计划每小时行x km，实际每小时行(x+10)km，结果提前1小时到达，求原计划的速度。 3. （8分）一个水池，单独开甲进水管需12小时注满，单独开乙进水管需18小时注满，单独开丙出水管需24小时放完水池的水，若先开甲、乙两管，3小时后再开丙管，再过几小时可以注满水池？ 4. （10分）某商店购进一批进价为每件40元的商品，售价为每件60元，每天可卖出100件，若每件商品降价x元（x为正整数），则每天可多卖出10x件，每天的利润为2240元，求x的值（利润=（售价-进价）×销售量）。 5. （10分）甲、乙两个工程队合作修建一条长1200m的公路，甲队单独修需20天完成，乙队单独修需30天完成，两队合作一段时间后，甲队因另有任务离开，剩下的由乙队单独完成，共用18天完成修建任务，求甲队合作了多少天？ 6. （10分）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度为每小时12km，乙的速度为每小时10km，两人相遇后，甲继续向B地行驶，乙继续向A地行驶，甲到达B地比乙到达A地早$$\frac{1}{6}$$小时，求A、B两地的距离。 参考答案 一、选择题 1. C 2. A 3. A 4. A 5. A 6. B 二、填空题 1. 等量关系；检验 2. $$\frac{m}{b} - \frac{m}{a}$$ 3. $$\frac{120}{x} - \frac{120}{x+10} = 1$$ 4. $$\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$$（或$$\frac{xy}{x+y}$$） 5. $$m(1-20\%) = 60$$（或$$\frac{60}{m} = 1-20\%$$） 6. $$(\frac{1}{12} + \frac{1}{18})x = \frac{2}{3}$$ 三、判断题 1. ×（需考虑未知数的实际意义） 2. √ 3. ×（适合用整式方程求解） 4. √ 5. √ 四、解答题 1. 解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工(x+2)个零件；由题意得$$\frac{150}{x+2} = \frac{120}{x}$$；去分母得150x = 120(x+2)，解得x=8；检验：x=8时，x+2=10≠0，符合题意；则甲每小时加工10个，乙每小时加工8个。答：甲每小时加工10个，乙每小时加工8个。 2. 解：由题意得$$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+10} = 1$$；去分母得180(x+10) - 180x = x(x+10)，整理得$$x^2 + 10x - 1800 = 0$$；解得x=40或x=-45（舍去负根）；检验：x=40时，x+10=50≠0，符合题意。答：原计划的速度为40km/h。 3. 解：设再过x小时可以注满水池；甲管效率为$$\frac{1}{12}$$，乙管效率为$$\frac{1}{18}$$，丙管效率为$$\frac{1}{24}$$；由题意得$$3(\frac{1}{12} + \frac{1}{18}) + (\frac{1}{12} + \frac{1}{18} - \frac{1}{24})x = 1$$；解得x=$$\frac{36}{11}$$；检验：x=$$\frac{36}{11}$$时，各分母不为0，符合题意。答：再过$$\frac{36}{11}$$小时（约3.27小时）可以注满水池。 4. 解：由题意得(60 - x - 40)(100 + 10x) = 2240；整理得$$(20 - x)(100 + 10x) = 2240$$，即$$x^2 - 10x + 24 = 0$$；解得x=4或x=6；检验：x=4和x=6均为正整数，符合题意。答：x的值为4或6。 5. 解：设甲队合作了x天；甲队效率为$$\frac{1200}{20} = 60$$m/天，乙队效率为$$\frac{1200}{30} = 40$$m/天；由题意得60x + 40×18 = 1200；解得x=8；检验：x=8时，符合题意。答：甲队合作了8天。 6. 解：设A、B两地的距离为x km；相遇时间为$$\frac{x}{12+10} = \frac{x}{22}$$小时；甲相遇后到B地的时间为$$\frac{\frac{10x}{22}}{12} = \frac{5x}{132}$$小时，乙相遇后到A地的时间为$$\frac{\frac{12x}{22}}{10} = \frac{3x}{55}$$小时；由题意得$$\frac{3x}{55} - \frac{5x}{132} = \frac{1}{6}$$；解得x=22；检验：x=22时，符合题意。答：A、B两地的距离为22km。 2026年4月7日星期二9时38分2秒 2026年4月7日星期二9时38分5秒 例1 用计算机处理数据时，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致. 两人各输入 2640 个数据，已知甲的输入速度是乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完，这两个操作员每分钟 各能输入多少个数据? 列分式方程解决工程问题 1 工时 = 工作量 工效 解 设乙每分钟能输 x 个数据，则甲每分钟能输入2x 个数据，根据题意，得 经检验，x 是原方程的解. 并且，当 x＝11 时，2x＝2×11=22， 所以乙用了 240 min，甲用了 120 min，甲比乙少用了120 min，符合题意. 答：甲每分钟能输入 22 个数据，乙每分钟能输入 11 个数据. 解得 x＝11. 例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 表格法分析如下： 工作时间（月） 工作效率 工作总量（1） 甲队 乙队 设乙单独完成这项工程需要 x 天. 典例精析 解：设乙单独 完成这项工程需要 x 个月.记工作总量为 1，甲的工作效率是 ，根据题意得 即 方程两边都乘以 2x，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，2x≠0. 所以，原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 等量关系： 甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量 =“1” 想一想：本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量 =“1” 此时表格怎么列，方程又怎么列呢？ 设乙单独完成这项工程需要 x 天.则乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 工作时间(月) 工作效率 工作总量 甲单独 两队合作 此时方程是： 1 表格为 “3 行 4 列” 例3 朋友们约着一起开着 2 辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了 200 km 时，发现小轿车只行驶了 180 km，若面包车的行驶速度比小轿车快 10 km/h，请问面包车，小轿车的速度分别为多少 km/h？ 0 180 200 列分式方程解决行程问题 2 路程 速度 时间 面包车 小轿车 200 180 x + 10 x 分析：设小轿车的速度为 x km/h. 面包车行驶的时间 = 小轿车行驶的时间 等量关系： 列表如下： 解：设小轿车的速度为 x km/h，则面包车的速度为 x + 10 km/h，依题意得 解得 x ＝ 90 经检验，x ＝ 90 是原方程的解， 且 x = 90，x+10 = 100，符合题意. 答：面包车的速度为 100 km/h，小轿车的速度为 90 km/h. 注意两次检验: (1)是不是所列方程的解； (2)是否满足实际意义. 例4 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是 15 元，今年 7 月的水费是 30 元.已知今年7月的用水量比去年 12 月的用水量多 5 m3，求该市今年居民用水的价格. 分析：此题的主要等量关系是： 小丽家今年 7 月的用水量－去年 12 月的用水量 = 5m3. 列分式方程解决商业问题 3 解：设该市去年居民用水的价格为 x 元/m3，则今年的水价为 元/m3，根据题意，得 解得 经检验， 是原方程的根. 答：该市今年居民用水的价格为 2 元/m3. 例5 某果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，并以每千克 8 元出售，很快售完. 由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10%，用 1452 元所购买的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价 50% 售完剩余的水果. (1) 求第一次水果的进价是每千克多少元； 解析：根据第二次购买水果数多 20 千克，可得出方程，解出即可得出答案； 典例精析 解：设第一次购买的进价为 x 元，则第二次的进价为 1.1x 元， 根据题意得 ， 解得 x＝6. 经检验，x＝6 是原方程的解． 答：第一次水果的进价为每千克 6 元． (2) 该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还 是亏损？盈利或亏损了多少元？ 解析：先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了． 解：第一次购买水果 1200÷6＝200 (千克). 第二次购买水果 200＋20＝220 (千克). 第一次赚钱为 200×(8－6)＝400 (元)， 第二次赚钱为 100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6) ＝－12 (元). 所以两次共盈利 400－12＝388 (元). 返回 B 中考考法 16 返回 2．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”(粟指带壳的谷子，粝米指糙米)，其意为“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟(1斗＝10升)，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为(　　) A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升 C 中考考法 17 3．甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表，则完成这项工作共需(　　)   A．9天 B．10天 C．11天 D．12天 天数 第3天 第5天 工作进度 中考考法 18 返回 【答案】A 中考考法 19 返回 4．花园甜瓜是乐陵的特色时令水果．甜瓜一上市，水果店的小李就用3 000元购进了一批甜瓜，前两天以高于进价40%的价格共卖出150 kg，第三天她发现市场上甜瓜数量陡增，而自己的甜瓜卖相已不大好，于是果断地将剩余甜瓜以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，则小李所进甜瓜的质量为________． 200 kg 中考考法 20 返回 6 中考考法 21 6．[山西中考]我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 中考考法 22 返回 中考考法 23 返回 7．甲、乙两个工程队共同承接一项工程，已知甲工程队单独完成时间比乙工程队单独完成时间少用6天．若两个工程队同时进行工作4天后，再由乙工程队单独完成，那么乙工程队一共所用的时间刚好和甲工程队单独完成所用的时间相同，则甲工程队单独完成这项工程所需的时间是(　　) A．30天 B．28天 C．18天 D．12天 D 中考考法 24 返回 8．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，它的局部画面装裱前是一个长为2.4 m、宽为1.4 m的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8∶13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是________m． 0.1 中考考法 25 9．某日，甲、乙两人同去加油站加同种汽油，甲用300元加的油量比乙用375元加的油量少10升．求当天加油站的油价和甲、乙两人的加油量．若设当天加油站的油价为a元/升，则可列方程为____________；若设甲当天的加油量为b升，则可列方程为____________．请选择一种你喜欢的设法，完整解答本小题． 中考考法 26 分式方程的应用 类型 行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等 方法 步骤 一审二设三列四解五验六答 321法 1．A，B两地相距90千米，甲车和乙车的平均速度之比为5∶3，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车晚到30分钟．设甲车的平均速度为5x千米/时，则所列方程是(　　) A．－＝30 B．－＝ C．－＝ D．＋＝30 【点拨】设乙自己做需x天，甲自己做需3÷＝12(天)．根据题意，得2＝－，解得x＝24，经检验，x＝24是分式方程的解，则完成这项工作共需÷＋5＝4＋ 5＝9(天)． 5．数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现： －＝－．因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如15，5，3也是一组调和数．现有一组调和数x，3，2(x＞3)，则x＝________． 【解】设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里，则一个工作队人工每小时更换钢轨0.5x公里． 根据题意得－＝22， 解得x＝2. 经检验，x＝2是原方程的根，且符合题意． 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． ＋10＝ ＝ $