8.4.2 第1课时 公式法（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦平方差公式和完全平方公式的因式分解，通过“如何分解\(x^2 - 2x + 1\)”的问题导入，结合整式乘法逆向思维，引导学生观察多项式特征、总结简记口诀，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和口诀辅助，培养抽象能力与推理意识，如“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”帮助理解完全平方公式结构，“辨一辨”环节训练平方差公式的判断推理。通过典例精析、分层练习提升运算能力，学生能深化公式理解，教师可高效落实重难点。

第8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 2.公式法 第1课时 运用公式法分解因式 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1. 探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想；（重点） 2. 能综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因 式分解．（难点） 想一想：如何将 x2－2x + 1 因式分解？ x2－2x + 1 = (x－1)2 导入新课 如果把整式乘法中的完全平方公式和平方差公式逆向使用,那么就可以某些多项式分解因式. 概念梳理 运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作公式法. a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 用完全平方公式分解因式 1 新知探究 a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方和 是第一项和第三项底数的积的±2 倍 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解. 2 a b + b2 ± = (a ± b)² a2 首2 + 尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 3. a² + 4ab + 4b² = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )². 2. m² - 6m + 9 = ( )² - 2·( )·( ) + ( )² = ( )²； 1. x² + 4x + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )²； x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照 a²±2ab + b² = (a±b)²，填空： m m - 3 3 x 2 m 3 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25. 是 （2）因为它只有两项. 不是 （3）4b² 与 - 1 的符号不统一. 不是 分析： 不是 是 （4）中间项缺 2 倍. 例1 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( ) A . 36 B. 9 C. - 36 D. - 9 B 解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x = 2x×(-3)，故可知 N = (-3)2 = 9. 变式训练 如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_____. 解析：16 = (±4)2， - m = 2×(±4)，即 m = ±8. ±8 典例精析 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解. 例2 分解因式： （1）x2 + 14x + 49； （2）9a2 - 30ab + 25b2. 分析：(1)中，x2 = (x)2， 49 = 7²，14x = 2·x·7， 所以 x2 + 14x + 9 是一个完全平方式， 即 16x2 + 24x + 9 = (x)2 + 2×x×7 + 72. 2 a b b2 a2 解： (1) x2 + 14x + 49 = (x + 7)2. = x2 + 2·x·7 + 72 例2 分解因式： （2）9a2 - 30ab + 25b2. 解： (1) 9a2 - 30ab + 25b2 = (3a 5b)2. = (3a)2 - 2×3a×5b +(5b)2 分析:(2) 中，9a2 = (3a)2，25b2 =(5b)²，30ab = 2×3a×5b， 所以 9a2 - 30ab + 25b2 是一个完全平方式， 即 9a2 - 30ab + 25b2 = (3a)2 2×3a×5b + (5b)2. 1.利用完全平方公式简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算， = 1. = 2500. 练一练 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 用平方差公式进行因式分解 2 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2 - ( )2的形式. （1）x2 + y2 （2）x2 - y2 （3） - x2 - y2 - ( x2 + y2 ) ( y + x )( y - x ) （4） - x2 + y2 （5）x2 - 25y2 ( x + 5y )( x - 5y ) （6）m2 - 1 ( m + 1 )( m - 1 ) ( x + y )( x - y ) x2 - 92 例3 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解：(1)原式= x 9 x x 9 9 (2) 原式 = (6a)2 - (5b)2 (1) x2 - 81； (2) 36a2 - 25b2. = (6a + 5b)(6a - 5b). = (x + 9)(x - 9) 分解因式： (1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. 针对训练 ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n ) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续用提公因式法分解 方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式进行因式分解. 2. 已知 x2 - y2 ＝ －2，x＋y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值. 所以 x - y ＝ -2②. 解：因为 x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y) ＝ -2， x＋y ＝ 1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 练一练 方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值. 3. 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 - 46.52×4. 解：(1) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400. (2) 原式＝4×(53.52－46.52) ＝4×(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7 ＝ 2800. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 练一练 例4 把下列多项式分解因式： （1）ab2 － ac2 ； （2）3ax2 + 24axy + 48ay2 . 解：(1) ab2 － ac2 = a(b2 － c2) = a(b + c)(b－ c) （提取公因式） （用平方差公式） （2）3ax2 + 24axy + 48ay2 = 3a(x2 + 8xy + 16y2) = 3a(x + 4y)2 （提取公因式） （用完全平方公式） 例5 把下列多项式分解因式： （1）16x4 － 81； （2）x4 － 2x2 + 1 . 解：（1）16x4 － 81 = (4x2 + 9)(4x2 － 9) = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x－3) （用平方差公式） （用平方差公式） （2）x4 － 2x2 + 1 = (x2 － 1)2 （用完全平方公式） = [(x + 1)(x － 1)]2 （用平方差公式） = (x + 1)2(x － 1)2 1. 把下列各式写成完全平方的形式. (1) 0.81x2 = ( )2； (2) m2n4 = ( )2； (3) y2-8y +16 =( )2； (4) x2 + x + = ( )2. y - 4 mn2 0.9x x + 方法归纳 对于凑完全平方式类的问题，需要注意观察两个平方项找出其中的 a 和 b对应的数或式子 . 课本练习 2. 把下列各式分解因式. (1) x2 + 2x + 1； (2) y2 - 4； (3) 1 - 6y + 9y2； (4) 1 - 36n2； (5) 9n2 + 64m2 - 48mn； (6) -16 + a2b2. 解：(1) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2. (2) y2 - 4 = (y+2)(y-2). (3) 1 - 6y + 9y2 = (1 - 3y)2. (4) 1-36n2 = (1 ＋ 6n)(1 - 6n). (5) 9n2 + 64m2-48mn = (3n - 8m)2. (6) -16 + a2b2 = (ab - 4) (ab + 4). 1. 把下列多项式分解因式： （1）2x3－32x； （2）9a3b3－ab； 解（1）2x3－32x = 2x(x2－16) = 2x(x + 4)(x－4) （2）9a3b3－ab = ab(9a2b2－1) = ab(3ab + 1)(3ab－1) （3）mx2－8mx + 16m； （3）mx2－8mx + 16m = m(x2－8x + 16) = m(x－4)2 课本练习 （4）－x4 + 256； （5）－a + 2a2－a3； （4）－x4 + 256 = (16)2 －(x2)2 = (16 + x2)(16－x2) = (16 + x2)(4 + x)(4－x) （6）81a4 －72a2b2 + 16b4 . （5）－a + 2a2－a3 （6）81a4 －72a2b2 + 16b4 = －a(1－ 2a + a2) = －a(1－ a)2 = (9a2)2 －72a2b2 + (4b2)2 = (9a2 －4b2)2 = [(3a + 2b)(3a －2b)]2 = (3a + 2b)2(3a －2b)2 公式法因式分解 公式 平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解. 完全平方公式：a2±2ab＋b2 = (a±b)2 课堂小结 1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2 ＋ ( - b)2 B．5m2 - 20mn C．- x2 - y2 D． - x2 ＋ 9 D 2. 分解因式 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（　　） A．3(x2 + 4x + 3) B．3(x2 + 2x + 3) C．(3x + 3)(x + 3) D．3(x + 1)(x + 3) D 3. 若 a + b = 3，a - b = 7，则 b2 - a2 的值为（　　） A．- 21 B．21 C．- 10 D．10 A 课后练习 4. 把下列各式分解因式： (1) 16a2 - 9b2 =__________________； (2) ( a + b )2 - ( a - b )2=________； (3) 9xy3 - 36x3y =____________________； (4) - a4 + 16 =_______________________. ( 4a + 3b )( 4a - 3b ) 4ab 9xy( y + 2x )( y - 2x ) ( 4 + a2 )( 2 + a )( 2 - a ) 5. 若 ( 2x )n - 81 可分解成 ( 4x2 + 9 )( 2x + 3)( 2x - 3 )，则 n 的值是______. 4 6. 把下列多项式因式分解： （1）x2 - 12x + 36； （2）4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1； （3）y2 + 2y + 1 - x2. (2) 原式 = [2(2a + b)]² - 2×2(2a + b)·1 + 1² = (4a + 2b - 1)2. 解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + 62 = (x - 6)2. (3) 原式 = (y + 1)² - x² = (y + 1 + x)(y + 1 - x). 7. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5，求 (m + 2n)2 - (3m - n)2 的值． 原式 = -40×5 = -200. 解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n) = (4m + n)(3n - 2m) = -(4m + n)(2m - 3n). 当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时， (2) 原式 8. 计算：(1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92； 解：(1) 原式＝(38.9－48.9)2 ＝100. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $