8.3 第2课时 平方差公式（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦平方差公式的推导与应用，通过回顾多项式乘多项式法则，结合具体计算实例引导学生发现规律，搭建从已有知识到新知的学习支架，帮助学生理解公式的形成过程。 其亮点在于借助几何直观（长方形与正方形面积转化示意图）揭示公式本质，通过分层练习（口答、填表、典例精析）培养运算能力与推理意识，注重公式变形与应用技巧指导。这既助力学生用数学语言表达和解决问题，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

第8章 整式乘法与因式分解 8.3 完全平方公式与平方差公式 第2课时 平方差公式 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1. 理解并掌握平方差公式的推导和应用；(重点) 2. 理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.(难点) 多项式与多项式是如何相乘的？ ( a + b )( m + n ) = am + an + bm + bn 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 多项式乘多项式法则 导入新课 平方差公式 1 ① (x + 1)( x - 1)； ② (m + 2)( m - 2)； ③ (2m + 1)(2m - 1)； ④ (5y + z)(5y - z). 算一算：看谁算得又快又准. 新知探究 ② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 ③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1 ④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 ① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ = x2 - 12 = m2 - 22 = (2m)2 - 12 = (5y)2 - z2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. (a + b)(a − b) = a2 − b2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (a – b) (a + b) = a2 − b2， (b + a)(−b + a) = a2 − b2. 平方差公式： 要点归纳 平方差公式 注意：这里的两数可以是两个数字或字母，也可以是两个式子，合理加括号可以简化计算． (a + b)(a - b) = a2 - b2 系数相同为 a 系数相反为 b 适当交换a，b的位置可以便于观察 如何利用几何的形式解释平方差公式？ 想一想 a a b b a + b a - b b b a a b b a2 - b2 a b b b (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 a - b a - b 练一练：口答下列各题： (l) (－a + b)(a + b) =_________. (2) (a－b)(b + a) = _________. (3) (－a－b)(－a + b) = ________. (4) (a－b)(－a－b) = _________. a2－b2 a2－b2 b2－a2 b2－a2 填一填： a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 0.3x 1 (0.3x)2－12 (a - b)(a + b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (0.3x - 1)(1 + 0.3x) (1 + a)(-1 + a) 例1 利用平方差公式计算： (1) (-x＋3)(-x - 3)； (2) 1999×2001. 解：原式= (-x + 3)(-x - 3) = x2 - 9. = (-x)2 - 32 典例精析 原式= 1999 ×2001 = 3 999 999. = 20002 - 1 = (2000 - 1)×(2000 + 1) 1. 计算： (1) 103×97； (2) 118×122. 解：103×97 = (100＋3)(100－3) = 1002－32 = 10000 － 9 = 9991. 解：118×122 = (120－2)(120＋2) = 1202－22 = 14400－4 = 14396. 注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用. 练一练 例2 计算： (1) a2(a + b)(a－b) + a2b2； (2) (2x－5)(2x + 5) －2x(2x－3). 解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2 = a4－a2b2 + a2b2 = a4 . (2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x) = 4x2－25－4x2 + 6x = 6x－25. 例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x＝1，y＝2. 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算． (1) (2a + 5b)(2a - 5b)； (2) ( x - 3)( x + 3)； 1. 利用乘法公式计算： (3) (y - 2x)(-2x - y)； (4) (xy + 1)(xy - 1). 解：原式= 4a2 - 25b2. 原式= x2 - 9. 原式= 4x2 - y2. 原式= x2 y2 - 1. 课本练习 2.利用乘法公式计算： (1) 598 ×602； (2) 9992. = 6002 - 22 解：原式= (600 - 2)×(600 + 2) = 3600 - 4 = 3596. = 10002 - 2×1000 + 12 原式 = (1000 - 1)2 = 998001. 例4 利用乘法公式计算：(x + y + z)(x - y + z). 解：(x + y + z)(x - y + z) = x2 + 2xz + z2 - y2. = (x + z)2 - y2 = [(x + z) + y][(x + z) - y] (1) (2a + b + 1)(2a + b -1)； (2) (3x + y + z)(3x - y - z). 2. 计算： 解：(1) 原式= (2a + b)2 - 12 = 4a2 + 4ab + b2 - 1 = (3x)2 - ( y + z)2 (2) 原式 = [3x + ( y + z)][3x - ( y + z)] = 9x2 -( y2 + 2yz + z2) = 9x2 - y2 - 2yz - z2. 课本练习 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用 课堂小结 1.下列式子能用平方差公式计算吗? 为什么? 如果 能，怎样计算 ? (1) (a + b)(a  b) ； (2) (a − b)(b − a)； (3) (a + 2b)(2b + a)； (4) (a − b)(a + b) ； (5) (2x + y)(y − 2x). (不能) (不能) (不能) ( 能 ) (不能) − (a2 − b2) = − a2 + b2 课后练习 2. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1) (x + 2)(x－2) = x2－2； (2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4. 不对 改正：=x2－4 不对 改正方法①： (－3a－2)(3a－2) = －[(3a + 2)(3a－2)] = －(9a2－4) = －9a2 + 4. 改正方法②： (－3a－2)(3a－2) = (－2－3a)(－2 + 3a) = (－2)2－(3a)2 = 4－9a2. 3. 已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( ) A. a = b B. a＞b C. a＜b D. a≤b 4. 97×103 = ( )×( ) = ( )=( ). 5. (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是______. 100－3 100 + 3 1002－32 x = 4 B 9991 (1) (a + 3b)(a - 3b)； 解：原式 = (2a + 3)(2a－3) = (2a)2－32 = 4a2－9. = a2－9b2. 解：原式 = a2－(3b)2 (2) (3 + 2a)(－3 + 2a)； 6. 利用平方差公式计算： (3) (－2x2－y)(－2x2 + y)； 解：原式 = (－2x2 )2－y2 = 4x4－y2. (4) (－5 + 6x)(－6x－5). 解：原式 = (－5 + 6x)(－5－6x) = (－5)2－(6x)2 = 25－36x2. 解：(1)原式＝(50 + 1)(50－1)＝502－12 ＝ 2500－1 = 2499. (3)原式＝(9x2－16)－(6x2 + 5x－6) ＝3x2－5x－10. (1) 51×49； (3) (3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3)(3x - 2). (2) 13.2×12.8； 7. 利用平方差公式计算： (2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22 ＝169－0.04＝168.96. 2. 若 A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)，则 A 的值是_____. 解析：A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) ＝(2－1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) ＝(22－1)(22 + 1)(24 + 1) ＝(24－1)(24 + 1) ＝28－1＝256－1＝255． 255 能力拓展： 1. 计算：(x－y)(x + y)(x2 + y2). 解：原式＝(x2－y2)(x2 + y2)＝x4－y4. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $