6.1.1 平方根（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦平方根、算术平方根的概念、性质、运算及应用，通过装修地垫、画布边长等生活实例导入，引导学生从“已知平方求原数”的具体问题出发，经填表、合作探究抽象出概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境激活数学眼光，通过问题链引导推理培养数学思维，结合嫦娥五号、跳水运动等实例强化数学语言表达。采用情境导入、合作探究、典例精析的教学方法，结构化小结梳理知识体系，帮助学生发展抽象能力和运算能力，为教师提供清晰教学流程与实用实例。

6.1 平方根、立方根 1.平方根 第6章 实 数 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示 一个数的算术平方根；(重点) 2.会求非负数的平方根与算术平方根；(重点、难点) 3.会用计算器求一个数的平方根． 某家庭在装修儿童房时需铺地垫 10.8 m2，刚好用去正方形的地垫 30 块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？ 每块正方形地垫的面积是 10.8÷30 = 0.36 (m2)， 即边长×边长 = 0.36 m2. 由于 0.62 = 0.36， 因此面积为 0.36 m2 的正方形地垫的边长是 0.6 m. 导入新课 请你说一说解决问题的思路． 　　学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 平方根的概念及其性质 1 新知探究 （1）若正方形画布的面积如下，请填表： （2）你能指出它们的共同特点吗？ 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 100 正方形的边长/dm 都是已知一个数的平方，求这个数的问题. 1 3 4 6 10 填一填： 根据上述问题的共同点：已知一个数的平方，求这个数. 由此我们抽象出下面的概念： 一般地，如果有一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫作a的二次方根. 例如：由于 22 = 4，(-2)2 = 4，所以 4 的平方根是 2 和 -2 （可以合写为±2）. 换句话说，如果 ，那么 x 叫作 a 的平方根. x2 = a 一、平方根的概念 问题1 如果一个数的平方等于 16，这个数是多少？ 想一想：4 和 -4 有什么特征？ 4 和 -4 互为相反数，会不会是巧合呢？ 由于 ， 所以这个数是 4 或 -4. (±4)2 = 16 二、平方根的性质 4 9 … … 一个正数的平方根有两个，并且这两个数是相反数. 观察所填的数据，填一填： 1 的平方根是 ；16 的平方根是 ，…； 的平方根是 . 你发现了什么？ a2 ±a a2 ±2 ±3 ±a 合作探究 峰 (峰) - 是改为：互为 1. 144 的平方根是什么？ 2. 0 的平方根是什么？ 3. 的平方根是什么？ 4. -9 有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数 试一试 ±12 通过这些题目的解答，你能发现什么? 问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？ 有没有一个数的平方是负数？ 因为任何数的平方都为非负数，所以负数没有平方根. 想一想 平方根的性质： 1. 正数有两个平方根，它们互为相反数. 2. 0 的平方根还是 0. 3. 负数没有平方根. 要点归纳 例1 已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4， 则 a 的值是_____． 解析：因为 一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－ 4， 所以 2a－2＋a－4＝0，解得 a＝2. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 归纳 2 典例精析 这样，正数 a 的平方根可以用“ ”来表示. 例如，4 的平方根是 2 与 -2，即 为书写方便，对正数 a 的平方根，我们有以下规定： a 的负平方根 记作 读作“负根号 a” a 的正平方根 读作“根号 a” 记作 三、平方根的数学符号表示 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 平方运算 我们知道已知一个数，求它的平方的运算叫作平方运算. 练一练： 四、开平方的概念 x x2 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 ？运算 那么已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么呢? x x2 开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，我们可以求出一些数的平方根. 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 特别规定： 例2 求下列各数的平方根： (1) 64； (2) (4) (5) 11. (3) 0.0004； 解：（1）因为 ，所以64 的平方根是±8. （2）因为 ，所以 的平方根是 . （3）因为 ，所以 0.0004 的平方根是±0.02. （4）因为 ，所以 的平方根是±25. （5）因为11 的平方根是 . 典例精析 运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数. 方法总结 我们把正数 a 的正平方根 叫作 a 的算术平方根. 换句话说， 如果正数 x 满足：x2 = a，那么 x 叫作 a 的算术平方根. a 的算术平方根 记作 算术平方根的概念及性质 2 判断下列说法是否正确. ① 25 的算术平方根是 5. （ ） ② 25 的平方根是 5. （ ） ③ 5 是 25 的平方根. （ ） √ √ 注意区分“平方根”与“算术平方根”的意义. 练一练： 例如：16 的平方根是 4 和 -4，其中 4 是 16 的算术平方根. 思考：正数、0、负数 的算术平方根各有几个？ 正数有一个正的算术平方根，0 的算术平方根还是 0，负数没有算术平方根. 类似平方根的讨论， 算术平方根具有双重非负性 a 的算术平方根 算术平方根的性质 非负数 非负数 例3 求下列各数的平方根和算术平方根： (1) 1； (2) 81； (3) ； (4) (－3)2. 解：(1) 因为 (±1)2 = 1，所以 1 的平方根是±1， 即± = ±1；1 的算术平方根是 1 . (2) 因为 (±9)2 = 81，所以 81 的平方根是±9， 即± = ±9；81 的算术平方根是 9 . (3) 因为 (±)2 = ，所以 的平方根是±， 即± = ± 的算术平方根是 . 例4 若 |m - 1| + = 0，求 m + n 的值. 解：因为 |m - 1|≥0， ≥0，又 |m - 1| + = 0， 所以 |m - 1| = 0， = 0，所以 m = 1，n = -3， 所以 m + n = 1 + (-3) = -2. 几个非负式的和为 0，则每个式子均为 0，现阶段 学过的非负式有绝对值式、平方式及算术平方根. 归纳 解：(4) 因为 (±3)2 = 9 = (-3)2，所以 (-3)2 的平方根是±3，即± = ±3；(-3)2 的算术平方根是 3 . 3. 若 ，则 a = ； 2. 若 = 0，则 m = ； 4. 若|a - 3| + ，则式子 (a + b)2025 =___. 1. 若 |a + 3| = 0， 则 a = ； -3 7 5 -1 到目前为止，表示非负的式子有： | a |，a2， . 练一练 例5 用计算器求下列各式的值(精确到0.01)： (1) ； (2) (3) (4)． 解： (2) 42.78 ． (1) 在计算器上依次键入 2 显示结果是： 1.414213562， 精确到0.01，得. 用计算器求平方根 3 (3) 0.94 ． (4) 在计算器上依次键入： 即可得 0.85 ( 5 ÷ 7 ) 2020 年 12 月 17 日，嫦娥五号返回舱首次完成月球采样任务，返回地球. 返回舱返回地球时，是以接近第二宇宙速度 v2 的速度进入地球大气层的，v2满足以下关系式：v22 = 2gr (其中，g取 9.8 m/s2，r 取 6.4×106 m). 如何求 v2 呢? 解：v2 = v2 = 11 200 (m/s) = 11.2 (km/s). 典例精析 例6 如图，跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作. 如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间 t 与下落的高度 h 之间应遵循下面的公式：h = gt2，其中 h 的单位是 m，t 的单位是 s，g 取 9.8 m/s2. 假设跳板离水面的高度是 3 m，运动员在跳板上跳起至高出跳板 1.2 m 处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间? (精确到 0.01 s) 解：设运动员下落到水面需 t s，根据题意，得 3 + 1.2 = . = 0.857. 因为 t ＞0，所以 t≈0.93. 因而，运动员下落到水面约需0.93 s. 1.判断正误(在题后的括号内打“√”或“×”): (1) 4 是 16 的算术平方根. ( ) (2) 是 的一个平方根. ( ) (3) (－5)² 的平方根是－5. ( ) (4) 0 的算术平方根是 0. ( ) 课本练习 √ √ × √ 2. 求下列各数的平方根、算术平方根，并用式子表示: (1) 49； (2) 25. 3. 用计算器求下列各式的值(精确到0.01): (1) ； (2) ；(3) ； (4) 解：(1) 49 的平方根是± = ±7， 49 的算术平方根是=7. (2)25的平方根是±=±5，25 的算术平方根是=5. 答案：(1) 11.27；(2) 0.80；(3) 0.07；(4) -0.58 平方根的概念 正数的平方根 负数的平方根 0 的平方根 正平方根 → → （不存在） （就是 0 本身） 负平方根 算术平方根 → 课堂小结 1. 判断下列说法是否正确. 正确 （4）(-4)2 的平方根是 -4. （1） 是 的一个平方根； （2） 是 6 的算术平方根； （3） 的值是 ±4； 正确 不正确，是 4. 不正确，是 ±4. 课后练习 2. 已知一个自然数的算术平方根是 a，则按从小到大 排该自然数的后一个自然数的算术平方根是（ ） A. a + 1 B. C. a2 + 1 D. D 解析：一个自然数的算术平方根是 a，那么这个自然数 就是 a2，按从小到大排该自然数的后一个自然数就是 a2 + 1，它的算术平方根是 3. 分别求 64，6.25 的平方根，并用式子表示. 4. 分别求 81，0.16 的算术平方根，并用式子表示. 解：81 的算术平方根是 9， . 0.16 的算术平方根是 0.4， 64 的平方根是 8 与 -8， 6.25 的平方根是 2.5 与 -2.5， 解： 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $