3.7 切线长定理（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦切线长定理，课堂导入通过复习直线和圆的位置关系及切线判定方法，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到切线长的探究。 该资料以探究式教学为特色，通过小组合作让学生动手画切线、猜想验证切线长定理，培养几何直观和逻辑推理能力，例题结合中考题强化应用，提升学生解决问题能力，为教师提供结构化教学流程，助力高效课堂。

九年级下册教案 *3.7 切线长定理 教学内容 *3.7 切线长定理 课时 1 核心素养目标 1. 了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算； 2. 在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题，培养学生的直观想象、逻辑推理方面. 知识目标 1．理解切线长的定义； 2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题． 教学重点 理解切线长的定义. 教学难点 掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 1. 直线和圆有哪些位置关系？ 相离、相交、相切. 2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法) (1) 数量关系法(证明 d = r)； (2) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 师生活动： 学生在老师带领下，不仅对上节课的知识点进行复习，同时对学习过的方法、过程进行自我总结和升华. 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一： 切线长的定义 探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？ 学生迅速抢答：过圆外一点可以作一条、两条，还有的学生认为可以作无数条圆的切线.教师要求学生动手操作，教师巡视发现问题. 过圆外一点能画出两条圆的切线. 知识要点 1. 切线长的定义： 经过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长． 此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解切线长与切线的关系，同时由这个结论教师适时引出探索问题： 2. 切线长与切线的区别在哪里？ ① 切线是直线，不能度量. ② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 知识点二： 切线长定理 合作探究 如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点. (1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 学生分析：是轴对称图形，对称轴是直线 OP . (2) 在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由. 猜想：PA = PB. 学生猜想两条切线长PA与PB的数量关系，并分组讨论： 证明猜想： 已知：如图， PA，PB 是☉O 的两条切线，A，B 为切点. 求证：PA = PB. 证明：连接 OA、OB. ∵PA，PB 是☉O 的切线， ∴∠PAO = ∠PBO = 90°. 在 Rt△POA 和 Rt△POB 中， ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△POA≌Rt△POB. ∴ PA = PB. 合作探究 思考 图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？ 猜想：∠APO = ∠BPO 试题问：如何验证我们的猜想是否正确？ 测量，翻折， 类比上述方法求证. 师生活动：学生在老师的引导下学生对上述过程总结，得出切线长定理，口述得到的结论，口述证明过程. 师生共同总结：切线长定理 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等. 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 几何语言： ∵ PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B， ∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB. 合作探究 如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？ 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等. 即 AD＋BC＝AB＋CD. 师生活动：学生分组讨论，教师巡视并参与到学生的讨论当中去，对感觉有难度的学生及时进行点拨、指正. 每组的代表把得到的结论写在黑板上,统一学生的答案，教师找学生说明理由. 例1 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求⊙O 的半径. 师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对切线长定理的认识. 解：连接 OD，OE，OF，则 OD = OE = OF，设 OD = r. 在 Rt△ABC 中，AC = 10，BC = 24， ∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F， ∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE， AD = AF，CE = CF. 又∵∠C = 90°， ∴ 四边形 OECF 为正方形. ∴ CE = CF = r. ∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r. ∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r. 而 AB = 26，∴ 34 – 2r = 26. ∴ r = 4，即 ⊙O 的半径为 4. 链接中考 1.(西宁)如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( ) 2.(天津)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°. (1) 求∠P 的大小； (2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号). 3、 当堂练习，巩固所学 1. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，如果 AP = 4，∠APB = 40° ， 则 ∠APO = ，PB= . 2. 如图，已知点 O 是 △ABC 的内心，且 ∠ABC= 60°， ∠ACB= 80°，则 ∠BOC= . 3. △ABC 的内切圆 ☉O 与三边分别切于 D、E、F三点，如图，已知 AF=3，BD + CE=12，则 △ABC的周长是 . 4. (湖州)如图，已知 △ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB，OD. 若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度数. 设计意图：现温故旧知并且提高的目的，同时为“知新”打下基础. 设计意图： 通过切线长概念的探究过程，使学生了解切线长的定义，并能在具体的图形中把它们识别出来。 设计意图： 对话式的定理教学的方式有利于激发学生的自主探索，加深对定义的理解。 设计意图： 学生通过猜想、验证，经历了一个自主探究的过程，从而激发学生的学习兴趣，发现切线长定理. 证明定理是为了培养学生的数学思维能力，“知其然并知其所以然”. 培养学生合情推理能力、语言表达能力. 设计意图：通过探究，使学生对切线长定理有了更深刻的理解，同时利用切线长定理的拓展也提高了学生分析问题、解决问题的综合能力. 设计意图：本节课的例题设计紧扣这堂课的知识点，通过对例题的解答，既巩固了本节课的重点，又培养了学生灵活应用切线长定理的能力. 设计意图：通过两道练习题，加强对切线长定理的理解和运用. 设计意图：通过练习，强化学生主动参与、合作交流的意 识，从中获取知识，并会举一反三。教师通过练习，及时发现问题，评价教学效果。 板书设计 切线长定理 1．切线长的概念 2．切线长定理 3．切线长定理的应用 课后小结 教学反思 在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程. 学科网（北京）股份有限公司 $