第1章 直角三角形的边角关系 复习题（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了锐角三角函数的概念、特殊角值计算、解直角三角形及应用，通过基础计算、几何推理、实际问题等习题类型，串联起从概念到应用的逻辑脉络，帮助学生构建完整的三角函数知识网络。 其亮点在于以实际问题为载体，如测量河宽、航海触礁判断等，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过几何关系探究（如动点D对正切值影响）发展数学思维，分层设计从基础计算到综合应用，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习支持。

九（下）数学教材习题 北 师 版 第一章 复习题 1．计算： （1）sin45°-cos60°+tan60°； （2）cos230°+sin230°-tan45°； （3）sin30°-tan30°+cos45°. 解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= 知识技能 2．用计算器求下列各式的值： （1）sin23°5’+cos66°55’； （2）cos14°28’-tan42°57’； （3）sin27.8°-cos65°37’+tan49°56”. 解：（1）原式=0.784139069. （2）原式=0.037408249. （3）原式=0.756578594. 知识技能 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边. （1）已知a=3，b=3，求∠A； 解：∵∠C=90°，a=3，b=3， ∴∠A=∠B=45°． 知识技能 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边. （2）已知b=4，c=8，求a及∠A； 解：∵∠C=90°，b=4，c=8， ∴a= ∵cosA= ∴∠A=60°． 知识技能 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边. （3）已知∠A=45°，c=8，求a及b. 解：∵∠C=90°，∠A=45°，c=8， ∴a=b=4 知识技能 4．已知∠A是锐角，cosA= ，求sinA，tanA. 解： 知识技能 5．根据条件求锐角： （1）sinA=0.675，求∠A； （2）cosB=0.0789，求∠B; （3）tanC=35.6，求∠C. 解：（1）∠A=42.45541502°. （2）∠B=85.47465949°. （3）∠C=88.39099109°. 知识技能 6．计算： （1） 解：原式= 知识技能 6．计算： （2）sin230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos230°； 解：原式= 知识技能 6．计算： （3） 解：原式 知识技能 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=4，求AC，BC，sinA和cosA. 解：在Rt△ABC中， ∠A=90°-60°=30°， 则有 知识技能 8．举一个生活中运用三角函数解决问题的例子. 解：测量大楼或山的高度等. 数学理解 9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）在BC边上取一点D，使得BD=DC，则tan∠ABC和tan∠ADC有什么大小关系？ 解：如图，连接AD，在Rt△ABC中， tan∠ABC= ,在Rt△ADC中，tan∠ADC= , 而BD=DC，所以BC=2CD． 所以tan∠ABC= ．所以tan∠ABC= tan∠ADC． 数学理解 9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. （2）在BC边上取一点D，使得BD=2DC，则tan∠ABC和tan∠ADC有什么大小关系？ 解:因为BD=2DC，所以BC=3CD． 所以tan∠ABC= ． 所以tan∠ABC= tan∠ADC． 数学理解 9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. （3）在BC边上取一点D，使得BD=nDC（n>0），则tan∠ABC和tan∠ADC有什么大小关系？ 解:因为BD=nDC，所以BC=（n+1）CD． 所以tan∠ABC= ． 所以tan∠ABC= tan∠ADC． 数学理解 10．求图中避雷针CD的长度(结果精确到0.01 m). 解：在Rt△ABC中，tan∠CAB= ， ∴BC=AB•tan50°． 同理BD=AB•tan56°． ∴CD=BD-BC≈20×（1.4826-1.1918）≈5.82(m)． 问题解决 11．如图，在高出海平面100 m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，求船与观测者之间的水平距离（结果精确到0.1 m）. 解：如图，过点A作AC垂直海平面于点C. 由题意得 tan30°= ， ∴船与观测者之间的水平距离 BC= 问题解决 12．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港. (1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km)； 解：如图，由题意可得∠PBC=30°，∠MAB=60°， ∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°． ∴∠ABQ=30°． ∴∠ABC=90°． ∵AB=BC=10， ∴AC= 问题解决 12．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港. （2）确定C港在A港的什么方向． 解：由（1）知△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°． ∴∠CAM=60°-45°=15°． ∴C港在A港北偏东15°的方向上． 问题解决 13．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q的南偏西50°的方向，求河宽（结果精确到1 m）． 解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°， ∠PQT=90°-50°=40°， ∴PT=PQ•tan∠PQT=180×tan40°≈151（m）． 答：河宽约为151 m． 问题解决 14．如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8 cm的B处进入身体，求射线与皮肤所成的锐角． 解：在Rt△ABC中，∵tan∠CBA= ， AC=6.3 cm,BC=9.8 cm, ∴tan∠CBA＝ ．∴∠CBA≈33°． 问题解决 15．一根4 m长的竹竿斜靠在墙上. （1）如果竹竿与地面成60°角，那么竹竿下端离墙脚多远？ 解：如图，∵∠C=90°，AB=4 m，∠BAC=60°，∴cos60°= . ∴AC=AB•cos60°=4× =2（m）. 问题解决 15．一根4m长的竹竿斜靠在墙上. （2）如果竹竿上端顺墙下滑到高度2.3 m处停止，那么此时竹竿与地面所成锐角的度数是多少？ 解：∵CD=2.3 m，A′D=AB=4 m， ∴sin∠DA′C= =0.575. ∴∠A′≈35.1°. ∴竹竿与地面所成的锐角大小约35.1°. 问题解决 16．如图，甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为30°，乙楼有多高？（结果精确到1 m） 解：如图，由题意得∠CAE=30°， AE=BD=30 m. 在Rt△ACE中，CE=AE•tan∠CAE=10 m, 故可得乙楼的高度=CE+ED=CE+AB=（40+10 ）m. 问题解决 17．如图，大楼高30 m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC及大楼与塔之间的距离AC（结果精确到0.01 m）. 解：设塔高BC为x m. 在Rt△ABC中，tan∠BAC= ， ∴AC= 问题解决 在Rt△BDE中，tan∠BDE= ， ∴DE= ∵AC=DE， 解得x=45（m）． 这时AC= 答：塔高BC为45 m，大楼与塔之间的距离AC约25.98 m． 问题解决 18．海岛A的周围8 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12 n mile后到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°．如果渔船不改变航向继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？ 解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险. 问题解决 理由如下：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 根据题意可知∠ABD=30°，∠ACD=60°． ∵∠ACD=∠ABD+∠BAC， ∴∠BAC=30°=∠ABC． ∴CB=CA=12． 问题解决 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=60°，sin∠ACD= , ∴sin60°= ． ∴AD=12×sin60°= ∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 问题解决 19．如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面的倾斜角α，把一根长为4.5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长1 m处离地面的高度为0.6 m,又量得竿顶与坝脚的距离BC=2.8 m,这样∠α就可以计算出来了，请你算一算． 问题解决 解：如图，作CF⊥AB于点F． 由题意得 ∵AD=1 m，AC=4.5 m， 解得CF=2.7 m． ∴sinα= ∴∠α=74.6°． 问题解决 20．一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到0.01 m2）. 解：如图，连接BD，作DE⊥AB于E， 作BF⊥CD于F．∵∠A=∠C=60°， ∴DE=30•sin60°=15 (m), BF=20•sin60°=10 (m), ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC= AB•DE+ CD•BF= ×50×15 + ×50×10 ≈1082.53（m2）． 问题解决 21．如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗.经测量，得到大门的高度是5 m,大门距主楼的距离是30 m.在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面1.4 m.求：（1）学校主楼的高度（结果精确到0.01 m）； 解：如图，过E作EN平行于BC交DC于N， 则∠DEN=30°且BC=EN=30 m． ∴DN=EN•tan∠DEN=10 m． ∴DC=DN+NC=DN+EB=10 +1.4≈18.72(m). 答：学校主楼的高度约为18.72 m. 问题解决 21．如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗.经测量，得到大门的高度是5 m,大门距主楼的距离是30 m.在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面1.4 m.求： （2）大门顶部与主楼顶部的距离 （结果精确到0.01 m）. 问题解决 解：如图，过A作AM平行于BC交DC于M． ∵DM=DC-MC且AB=MC， ∴DM=DC-AB≈13.72m． 在Rt△AMD中∠AMD=90°， ∵AM=BC=30 m,DM≈13.72m, 由勾股定理得 AD= ≈32.99(m). 答：大门顶部与主楼顶部的距离约为32.99 m． 问题解决 22．把一条长1.35 m的铁丝弯成顶角为150°的等腰三角形，求此三角形的各边长（结果精确到0.01 m）. 解：如图，设等腰三角形为△ABC， ∠CAB=150°，∠ABC=∠C=15°． 设AB=AC=x，BC=y． 延长CA至D点使∠BDC=15°，∴BD=BC=y． 过D作DH⊥AB于H，有∠DAB=30°，∠DBH=∠HDB=45°． 联系拓广 ∴DH=BH= y． 在△DHA中，AH= 又有2x+y=1.35，解得x≈0.343，y≈0.663． 答：此三角形各边长约为0.343 m，0.343 m，0.663 m. 联系拓广 23．图中的螺旋形是由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点O为一顶点. （1）求∠A0OA1，∠A1OA2，∠A2OA3的大小； 解：∵tan∠A0OA1=1，∴∠A0OA1=45°． ∵tan∠A1OA2= ∴∠A1OA2≈35°． ∵tan∠A2OA3= ∴∠A2OA3=30°． 联系拓广 23．图中的螺旋形是由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点O为一顶点. （2）已知∠An-1OAn（n为正整数）是第一个小于20°的角，求n的值． 解：tan∠An-1OAn= ＜tan20°≈0.36， 整理得0.36 ＞1， ∴n取最小自然数得n=8． 联系拓广 $