第一章直角三角形的边角关系 单元复习题 2024—2025学年北师大版九年级数学下册

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系 单元复习题 一、单选题(共10题；共40分) 1．（4分）如图，点是正六边形内部一个动点，，则点到这个正六边形六条边的距离之和为（　　）． A．6 B．3 C． D． 2．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 3．（4分）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（　　）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 4．（4分）如图，是的直径，点在线段上，交于点，连接．设，则（　　） A． B． C． D． 5．（4分）等腰三角形的底边长为，周长为，则底角的正切值是（　　） A． B． C． D．无法确定 6．（4分）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则两处相距（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（4分）一配电房示意图如图所示， 它是一个轴对称图形． 已知 ， ， 则房顶 离地面 的高度为（　　） A． B． C． D． 8．（4分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（　　） A．米 B．5米 C．6米 D．7米 9．（4分）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长为（　　） A．5 B．5 C．5 D．6 10．（4分）如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，将线段绕点B旋转至，连接，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题(共4题；共20分) 11．（5分）如图，在远离铁塔的处，用测角仪测得塔顶的仰角为，已知测角仪高，那么塔高　 　m（结果保留根号）； 12．（5分）如图，中，，O为AC边上一点，且．点D在射线上，且，连接．则的最小值是　 　． 13．（5分）某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在A处测得教学楼的顶部的仰角为，向前走到达E处，测得教学楼的顶部的仰角为，已知小明的身高为（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼的高度约　 　（（结果精确到，参考数据：）． 14．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为　 　． 三、解答题(共4题；共32分) 15．（8分） 小华同学在家看电视的时候因误触遥控器导致换台，但遥控器并没有对准电视．小华想起物理课上学习过的光的反射，并猜想是遥控器的红外线信号在墙壁等其他光滑的地方发生反射然后被信号传感器接收导致换台，小华在好奇心驱使下验证了自己的设想．如图所示，为竖直的平面镜（足够长），的长度为信号传感器可接收信号的水平宽度，，小华坐在距离距离为d的点H，然后小华用遥控器水平对着平面镜持续按按钮，发现当时电视可以换台（假设红外线在Q点反射），求信号传感器可接收信号的水平范围．（结果含） 16．（8分）小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安装了一个遮阳棚BC，经测量，安装遮阳棚的那面墙AB高3m，安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（AD）以供纳凉．已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，安装好的遮阳篷BC与水平面的夹角为10°，如图为侧面示意图． （参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00） （1）（4分）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中点C）到地面的距离小于2.3m时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮阳棚是否使得人进出时具有安全感？ （2）（4分）请计算此遮阳棚延展后的长度（即BC的长度）．（结果精确到0.1m） 17．（8分）如图， 港口 在观测站 的正东方向， ． 某船从港口 出发， 沿北偏东 方向航行一段距离后到达 处， 此时从观测站 测得该船位于其北偏东 的方向．求该船航行的距离 的长． (结果保留根号) 18．（8分）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.732，tan20°≈0.36，结果精确到0.1） 四、综合题(共5题；共58分) 19．（10分）简约大气是人们的新追求图1所示是一款简约的落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，侧面示意图如图2，其中为镜面，为放置物品的收纳架，、为等长的支架，为水平地面，已知，，，．（结果精确到．参考数据：，，，，） （1）（5分）求支架顶点A到地面的距离； （2）（5分）如图3，将镜面顺时针旋转，求此时收纳镜顶部端点O到地面的距离． 20．（10分）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） （1）（5分）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）（5分）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 21．（12分）综合与实践活动中，要测量一个信号塔的高度，如图，信号塔前有一段高为的台阶，已知的长为5米，高为3米，点在同一条水平直线上．在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为． （1）（6分）求的长； （2）（6分）设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长； ②求塔的高度（，结果保留整数）． 22．（12分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为， 且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （参考数据：，，，）． （1）（6分）求改造前坡顶与地面的距离的长． （2）（6分）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到米） 23．（14分）张华与爸爸一起去测量土地的面积，他利用自己“身体上的尺子”作为测量工具，他的平均步长为0.5米，对他们遇到的土地进行了测量． 【问题解决】 （1）张华和爸爸遇到一块形如等腰直角三角形的土地，如图①，记为，他沿着斜边走了20步，则的面积为_________平方米； 【类比探究】 （2）张华和爸爸遇到一块四边形土地，如图②，通过测量，已知，，等于16步，求四边形土地的面积．下面是他和爸爸解决问题的思路： ①爸爸的思路是：过点D作于点M，作，交BC的延长线于H． ②张华的思路是：延长到E，使得，连接，…… 请你选择一种思路，求出四边形土地的面积； 【拓展应用】 （3）如图③，正方形ABCD内存在一点E，，，，延长DE交于点F，试求四边形ABFE的面积． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4， . 故答案为：B. 【分析】根据锐角的余弦等于邻边比斜边计算即可. 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 【解析】【解答】如图，作于点D， 在中，，cm，周长为36cm， ∴（cm）， ∵， ∴cm. 由勾股定理得：cm， ∴底角的正切值：． 故答案为：A． 【分析】根据等腰三角形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义求解。正切=对边除以邻边． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：， ， . 故答案为：B. 【分析】利用锐角三角函数求得，进而计算出两处相距的距离. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：过点A作于点D，如图， ∵它是一个轴对称图形， ∴， 在中，，， ∴． ∴房顶A离地面的高度为， 故答案为：B． 【分析】过点A作于D，根据轴对称的性质求出，再解直角三角形求出，进而可得答案． 8．【答案】B 9．【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示：连接CD， ∠C=90°，AB=10， 点D是AB的中点， ， BC=CD=5， 在中，AC2+BC2=AB2， 即AC2=102-52， 解得：AC=. 故答案为：C. 【分析】连接CD，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求得半径CD=5，再利用勾股定理即可求得AC的长. 10．【答案】C 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】解：设信号接收点为P，延长到点G且，过点G作垂直，垂足为E． 由题意，， 当为时，点P与A重合，． 当为时，点P与B重合，． 所以． 其中可以写成， 可以写成． 【解析】【分析】延长PQ到点G，使GH∥AB，过点G作GE⊥AB于点E，分两种情况：当∠DQH为时 或∠DQH为时 解直角三角形求出AB即可。 16．【答案】（1）解：此遮阳棚能使得人进出时具有安全感， 理由：过点C作CF⊥AD，垂足为F， 由题意得：AE＝CF，CE＝AF，AD＝2m， 设CE＝AF＝x m， ∴DF＝AF﹣AD＝（x﹣2）m， 在Rt△BEC中，∠BCE＝10°， ∴BE＝CE•tan10°≈0.18x（m）， ∴AE＝AB﹣BE＝（3﹣0.18x）m， 在Rt△DCF中，∠CDF＝63.4°， ∴CF＝DF•tan63.4°≈2（x﹣2）m， ∵AE＝CF， ∴3﹣0.18x＝2（x﹣2）， 解得：， ∴CF＝2（x﹣2）≈2.42（m）， ∵2.42m＞2.3m， ∴此遮阳棚能使得人进出时具有安全感 （2）解：由（1）得：BE＝0.18x＝（m）， 在Rt△BEC中，∠BCE＝10°， ∴BC＝≈3.4（m）， ∴此遮阳棚延展后的长度约为3.4m． 【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F，由题意得AE＝CF，CE＝AF，AD＝2m，设CE＝AF＝x m，则DF＝AF﹣AD＝（x﹣2）m，进而根据正切函数表示BE，从而即可表示AE，再运用正切函数表示CF，从而即可求出x，再结合题意即可求解； （2）由（1）得：BE＝0.18x＝（m），进而根据正切函数即可得到BC. 17．【答案】解：如图，过点A作AD⊥OB于点D； ∴ 该船航行的距离AB的长km. ​​​​​ 【解析】【分析】如图，过点A作AD⊥OB于点D，首先由含30°角直角三角形的性质得，再根据等腰直角三角形性质得BD=AD=2km，进而在Rt△ABD中，利用勾股定理可算出AB的长即可. 18．【答案】斜拉索顶端A点到海平面B点的距离AB约为93.7米． 19．【答案】（1） （2） 20．【答案】（1），两港之间的距离海里； （2）甲货轮先到达港． 21．【答案】（1） （2）①；②31米 22．【答案】（1）改造前坡顶与地面的距离的长为米； （2）至少是米； 23．【答案】（1）25；（2）四边形的面积是32平方米；（3） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$