3.3 垂径定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦垂径定理及“知二推三”推论，以赵州桥主桥拱半径问题导入，通过实验探究、合作证明、典例解析搭建学习支架，衔接圆的对称性与勾股定理应用。 其亮点在于以真实问题驱动培养数学眼光，严谨证明过程发展推理能力，“知二推三”归纳提升模型意识。如赵州桥问题解决、公路转弯半径计算实例，助学生建立几何直观与应用意识，教师可直接用典例和分层练习提升教学效率。

*3.3 垂径定理 第三章 圆 九年级下册数学（北师版） 问题:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留 小数点后一位）. 情景导入 探究一 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使CD⊥AB，垂足为 M. 1 垂径定理及其推论 A B O C D M (1) 右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，圆的对称轴有无穷多条. 探究新知 连接 OA，OB，则OA = OB. 在Rt△OAM 和Rt△OBM 中， ∵OA = OB，OM = OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM = BM. ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称. A B O C D M 合作证明 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. (2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. A B O C D M 证明：连接 OA，OB，则OA = OB. 在Rt△OAM 和Rt△OBM 中， ∵OA = OB，OM = OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM = BM，∠AOC = ∠BOC. ∴∠AOD = 180°－∠AOC， ∠BOD = 180°－∠BOC. ∴∠AOD = ∠BOD. A B O C D M 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. ∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，(条件) 推导格式： 你能用几何语言表示吗？ 定义总结 ∴AM = BM， ， . (结论) 例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm. · O A B E 解析：连接 OA. ∴ AB = 2AE = 16 (cm). 16 ∵ OE⊥AB， 典例精析 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直. 是 不是，因为 AB，CD 都不是直径. O A B C A B O E A B D C O E A B O C D E 一条直线： ⑤平分弦所对的劣弧 ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 思考探索 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 垂径定理 A B O C D M 探究二 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ． A B O C D M (1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ (2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. A B O C D M 解：(1) 连接 AO、BO，则 AO = BO. 又∵ AM = BM， ∴∠AMO =∠BMO = 90°. ∴ CD⊥AB. ∴△AOM≌△BOM(SSS). 证明举例 由垂径定理可得 归纳总结 垂径定理的逆定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. · O A B C D “不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例. 圆的两条直径是互相平分的. 特别说明： 垂径定理的本质是： 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧 知二推三 A B C D O h r d 赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： 指圆心 O 到弦的距离 d + h = r 数量关系 总结 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 回顾导入 解得 R ≈ 27.3. 即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m. ∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52， 解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23. 由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 ， 设⊙O 的半径为 R m. 在 Rt△AOD 中，AO = R， OD = R - 7.23，AD = 18.5. 由勾股定理，得 例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD=600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m.求这段弯路的半径. 解:连接 OC. ● O C D E F ┗ 设这段弯路的半径为 R m,则 OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得 R = 545. ∴这段弯路的半径约为 545 m. 1. 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm. C 图 b D C B O A D O A B 图 a 2 或 12 指弦中点到弦所对的弧中点的距离 练一练 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 圆心到弦的距离 当堂小结 1. 已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm. 5 2.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为 10 cm， 弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 cm. 14 或 2 课堂练习 3.(朝阳区期末) 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 1 m 的圆，如图所示，若水面宽 AB = 0.8 m，求水的最大深度. A B 0.8 解：如图，作 OC⊥AB 于点 C，连接 OA， ∴∠ACO = 90°， AC = AB. A B 0.8 ∴ 水深的最大深度为 0.8 m. ∴ 0.3 + 0.5 = 0.8 (m). 在 Rt△AOC 中，根据勾股定理，得 ∵ 直径为 1 m，∴ OA = 0.5 m. ∵ AB = 0.8 m， ∴ AC = 0.4 m. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $