2.4 第2课时 商品利润最大问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数的应用之商品利润最大问题，通过复习几何面积最值和利润公式导入，以服装厂批发、旅馆租金等实例为支架，衔接旧知与新知，引导学生构建二次函数模型解决实际问题。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过两种设未知数方法（设单价或降价）发展数学思维，总结解题步骤并链接中考强化数学语言。学生能提升建模与推理能力，教师可借助分层练习高效开展教学。

第二章 二次函数 第2课时 商品利润最大问题 2.4 二次函数的应用 九年级下册数学（北师版） 最值问题 几何面积最大问题 面积 S = ax2 + bx + c 利润最大问题 利润 y = ax2 + bx + c 利润 = 收入 - 成本 总收入 = 销售单价×销量 总成本 = 进货单价×销量 总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量 求最大值 类比几何问题求最值，想一想如何求利润问题的最大值？ 复习回顾 1 利润最大问题 例1 服装厂生产某品牌的 T 恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，以单价 13 元批发给经销商，经销商愿意经销 5000 件 ，并且表示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多? 总利润 = (销售单价 - 成本单价)×销量 = 单利润×销量 10 13 5000 3 假设批发单价12.8 12.8 - 10 5000 + 500× 探究新知 =－5000(x－12)2 + 20000 ① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 解：设厂家批发单价是为 x 元，获利 y 元. ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ③ 将二次函数解析式化为顶点式 ∵ 13 − x≥0，且 x＞10，∴ 10＜x≤13. 故厂家批发单价为 12 元时，获利最多，为20000元. 还有其他的设未知数方法吗？ 解：设每件降价 a 元，获利 y 元. ∵ a＜13 − 10，且 a≥0，∴ 0≤a＜3. =－5000(a－1)2 + 20000 故厂家批发单价为 12 元时，获利最多，为 20000 元. ∴批发单价为 13－1 = 12(元). 方法二： 解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一谈怎样设因变量更好？ ∴当 a = 1 时， y最大=20000. 例2 某旅馆有客房 120 间，每间房的日租金为 160 元时，每天都客满. 经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加 10 元，那么客房每天出租数会减少 6 间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高? 最高总收入是多少? 日租金(元) 出租数(间) 总收入(元) 正常销售 涨价销售 160 120 160 + 10x 120 - 6x y=(160+10x)(120-6x) 19200 设每间客房的日租金提高 x 个 10 元. 解：设每间客房的日租金提高 10x 元，则每天客房出租数会减少 6x 间. 设客房日租金总收入为 y 元，则 ∵ x≥0，且120－6x＞0，∴ 0≤x＜20. 当 x = 2 时， y最大=19440. 这时每间客房的日租金为 160 + 10×2 = 180 (元) 因此，每间客房的日租金提高到 180 元时，客房总收入最高, 最高收入为 19440 元. y = (160 + 10x)(120 - 6x) = -60(x - 2)2 + 19440 归纳总结 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 议一议 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量 x (棵) 与橙子总产量 y (个) 的二次函数表达式 y = (100 + x)(600 - 5x) = -5x² + 100x + 60000. （1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系. （1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系. （2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ ∴ 增种 6~14 棵橙子树可以使橙子的总产量在60400个以上. 链接中考 1. (泰兴市期末) 一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售 卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克. (1) 求 y 与 x 的函数关系式. 解：(1) 由题意可得， (2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大. (2) 由题意可得， w = y(x − 8) = (−4x + 108)(x − 8) = −4x2 + 140x − 864 ∴当 时，利润 w 有最大值，最大值为 361. 答：当 时，利润最大. 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本. 确定自变量的取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 当堂小结 1.某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20 ≤x≤30)出售，可卖出（600－20x）件，为使利润最大，则每件售价应定为 元. 25 课堂练习 2. 某种商品的成本是 120 元，试销阶段每件商品的售价 x（元）与产品的销售量 y（件）满足当 x=130 时，y=70，当 x=150 时，y=50，且 y 是 x 的一次函数，为了获得最大利润 S（元），每件产品的销售价应定为 （　　） A．160元 B．180元 C．140元 D．200元 A 3. 某种商品每天的销售利润 y（元）与销售单价 x (元）之间满足关系：y = ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1) 由题中条件可求 y = -x2+20x-75 ∵-1 < 0，对称轴 x = 10， ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最 大，为25元； 7 x y 5 16 O （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？ (2)由对称性知 y=16 时，x = 7和13. 故销售单价在 7 ≤x ≤13 时，利润不低于16元. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $