2.1 二次函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数的定义、一般形式及自变量取值范围，通过复习一次函数定义及辨析题导入，结合果园产量、银行储蓄等现实问题，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从一次函数自然过渡到二次函数学习。 其亮点是以现实情境为载体，通过合作探究抽象函数关系式共同点，培养抽象能力与模型意识，典例精析结合中考链接强化推理能力，小结系统梳理定义、形式及条件，助力学生理解数学本质，方便教师高效开展教学。

2.1 二次函数 第二章 二次函数 九年级下册数学（北师版） 1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自变量) (4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1. 不是，是反比例函数. 不是，x 最高次数是二次. 不一定是，缺少 k ≠ 0 的条件. 不是，函数是每个唯一的 x 都有唯一对应的 y 值. y = kx + b ( k≠0 ) ； 复习回顾 问题1：某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子. (1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 二次函数的定义 1 探究新知 (2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3) 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x之间的关系式. 果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子. y = (100 + x)(600 - 5x) = -5x² + 100x + 60000. 对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数. 这个关系式是函数关系式吗？ 做一做 银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是 100 元，那么请你写出两年后的本息和 y (元)的表达式. 一年后本息 年利率 x 100(1 + x) 100(1 + x)2 再过一年后本息 年利率 x 存款额是 100 分析： 两年后 答：y = 100x2 + 200x + 100. y 是 x 的函数 想一想 (1) 两数的和是 20，设其中一个数是 x，你能写出这两数之积 y 的表达式吗? y = x(20 - x) = -x2 + 20x (2) 已知矩形的周长为 40 cm，它的面积可能是 100 cm2 吗? 可能是 75 cm2 吗? 还可能是多少? 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗? S = x(20 - x) = -x2 + 20x 当 S = 100 时，-x2 + 20x = 100. 设矩形的其中一边长为 x，面积为 S. 解得 x = 10. 当 S = 75 时，-x2 + 20x = 75. 解得 x1 = 5，x2 = 15. 同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结. 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点? 温馨提示：类比一次函数 y = kx + b (k≠0)的特征. 合作探究 y = -5x² + 100x + 60000 y = 100x2 + 200x + 100 y = -x2 + 20x 二次函数的定义： a 为二次项系数，ax2 叫做二次项； b 为一次项系数，bx 叫做一次项；c为常数项. 一般地，若两个自变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y = ax² + bx + c( a，b，c 是常数，a≠0)的形式，则称 y 是 x 的二次函数. 知识要点 同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？ 例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量) ①y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²； ③ y = x2 ； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. 典例精析 y = 6x + 9 方法归纳 (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 判断一个函数是否为二次函数的步骤： 归纳总结 y = x2 y = -5x² + 100x + 60000 y = ax² + bx + c (a≠0) y = 3 − 2x² y = ax² + c (a≠0) y = ax² (a≠0) y = ax² + bx (a≠0) y = x(20 - x) b = 0 c = 0 b = 0，c = 0 二次函数的一般形式： 特殊形式 成立条件 函数解析式 合作探究 链接中考 1. (西湖区月考) 已知 ( m 为常数)，根据下列条件求 m 的值： (1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数； ∴ m = 1. (2) y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0. ∴ m≠1 且 m≠0. 解： (1) 由题意得 问题：上述问题中的三个函数的自变量的取值范 围是什么？ ① y = -5x² + 100x + 60000 ② y = 100x2 + 200x + 100 ①∵600-5x＞0，x≥0，∴0≤x＜120，且 x 为整数. ② x＞0. ③∵20-x＞0，∴0＜x＜20. ③y = -x2 + 20x 2 二次函数的自变量取值范围 二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制. 例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为 2x cm，宽为 (x + 1) cm的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？ 解：由题意得y＝122－2x(x+1)， 又∵x+1<2x≤12，∴1<x≤6， 即 y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)， ∴ y 是 x 的二次函数. 分析：本题中的数量关系是： 剩余面积=正方形面积-长方形面积. 列二次函数关系式 3 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数) 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0. 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数). 当堂小结 2. 已知函数 y = 3x2m-1－5 ① 当m =＿＿时，y 是关于 x 的一次函数； ② 当 m =＿＿时，y 是关于 x 的二次函数. 1 1. (武汉)下列函数中，是二次函数的是( ) A. y = 8x2 + 1 B. y = 8x + 1 D. A 课堂练习 3. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. 求 (1) y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； (2) 当 x = 3 时矩形的面积. 解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)； (2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ). 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $