精品解析：2022年浙江省温州市泰顺县九年级中考模拟考试数学试题

2022年泰顺县九年级第三次学情调研 数学试题卷 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 计算的结果是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 2. 冬奥会的吉祥物冰墩墩在抖音上的视频播放量超26100000000次，关注人数超5亿，面临“一墩难求”的窘境，其中数据26100000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”．现有6张不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中2张正面印有“冰墩墩”，4张正面印有“雪容融”．将6张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片为“冰墩墩”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 乐器古筝示意图如图所示，弦的黄金分割点C是称为玛子的支撑物，若分米，则玛子离较远的端点A的距离为（ ） A. 分米 B. 分米 C. 分米 D. 分米 6. 如图，在中，的平分线交于点E，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿一条索，索比竿子长一托、对折索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺：如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在点O处的船只准备沿垂直河岸的路线驶向对岸，但受水流的影响，实际路线比计划路线偏离度，测得河宽为20米，则实际比原计划多行驶了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 已知直线l交抛物线 于点，．若点P在抛物线上且在直线l的下方（不与点A，B重合），则点P纵坐标y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 中国古代数学家赵爽证明勾股定理的弦图如图所示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，恰好拼成一个大正方形 ．作直线分别交 于点M，N．若图中两个正方形的面积分别是13和1，则 的长为（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 分解因式：m2-6m+9=_______． 12. 不等式组的解为______． 13. 已知扇形的圆心角为120°，半径为9，则该扇形的面积为_________． 14. 泰顺2022年4月1日至7日的气温折线图如图所示，这一周中温差最大的是4月______日． 15. 如图，等腰的顶角 ，，腰垂直y轴，垂足为A，的中点D和点C恰好落在反比例函数上．若，则k的值是______． 16. 如图1是将正方形分割成七个几何图形得到的七巧板，它是中国古代劳动人民发明的一种智力玩具．图2是由七巧板拼成“熊”的几何图形．四边形 是菱形，且的面积为2，则 ______，记点K到直线 的距离为d，则______． 三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算、化简． （1）． （2）． 18. 已知，如图，点B，E，D，C在同一直线上，，． （1）求证： ． 针对这道题，三位同学进行如下讨论： 兰兰：“由得，又因为 ， 通过证明 ，可得．” 花花：“兰兰的全等条件是‘边边角’，不能证明全等， 但我用‘角角边’可证 ．” 草草：“还可证明 得，再得 ；但图中有两个等腰三角形，我认为最简洁的方法是用‘三线合一’的性质证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． （2）若，，，求的长． 19. 基于对“校园落叶变废为宝”的研究，某科学兴趣小组在校内的“猕猴桃种植基地”进行落叶堆肥实验．控制猕猴桃其它生长条件不变，其中一半的猕猴桃植株施落叶肥料（甲组），另一半植株只用无机肥（乙组）．进入猕猴桃的收获期时，为研究落叶堆肥实验的效果，从两组中各随机摘取50个猕猴桃，测量单果质量．现将测量结果分成5组，A：，B： ，C：，D：，E： ，并绘制成如下统计图．其中 及以上的果子，称为优质大果，更受市场欢迎． （1）填写以下表格． 平均数 中位数 大果率 方差 甲组 落在 组 7.04 乙组 79.6 落在B组 23.64 （2）结合平均数、中位数、大果率、方差进行分析，多角度评价“落叶堆肥”的实际效果． 20. 如图，在所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，点，位于格点处． （1）在图1中画出格点，使． （2）在图2中画出格点四边形，使四边形的对角线互相垂直平分． 21. 已知抛物线经过点与． （1）求该抛物线的函数关系式． （2）此抛物线向下平移m个单位后，顶点落在直线上，求平移后抛物线与y轴的交点坐标． 22. 如图，锐角内接于，，为直径，过点B作交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：． （2）连接 ，若，，求的长． 23. 猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． （1）求这种猕猴桃的单价． （2）两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． （3）泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 24. 在矩形 中， ，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交 于点H． （1）证明： ． （2）连结交于点K，若 ，求 的值． （3）作 的外接圆，且 ． ①若与矩形的边相切时，求的长． ②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年泰顺县九年级第三次学情调研 数学试题卷 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 计算的结果是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的乘方法则计算即可得． 【详解】解：， 故选：A． 2. 冬奥会的吉祥物冰墩墩在抖音上的视频播放量超26100000000次，关注人数超5亿，面临“一墩难求”的窘境，其中数据26100000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：主视图是从给定主视方向观察几何体得到的平面图形：该几何体由下方大长方体上方尺寸更小的长方体堆叠而成，从主视方向观察：下方大长方体的左右长度更大，投影为横置的长矩形； 上方长方体的左右宽度小于下方长方体，投影为位于长矩形上方中间的小矩形；故A符合． 4. 2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”．现有6张不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中2张正面印有“冰墩墩”，4张正面印有“雪容融”．将6张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片为“冰墩墩”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用概率公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的结果数即可求解． 【详解】解：∵卡片总共有6张，所有等可能抽取的结果共6种，其中抽到“冰墩墩”的结果有2种， ∴从中随机抽取一张卡片为“冰墩墩”的概率 ． 5. 乐器古筝示意图如图所示，弦的黄金分割点C是称为玛子的支撑物，若分米，则玛子离较远的端点A的距离为（ ） A. 分米 B. 分米 C. 分米 D. 分米 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，所分较长线段的长与原线段长的比值为，由此可解． 【详解】解：∵支撑点C是靠近点B的黄金分割点， ， 分米， 即玛子离较远的端点A的距离为分米． 6. 如图，在中，的平分线交于点E，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由在▱ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，易证得△CDE是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8， ∴∠CED＝∠ADE． ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠CED＝∠CDE， ∴CE＝CD＝6， ∴BE＝BC﹣CE＝8−6=2． 故选B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△CDE是等腰三角形是解此题的关键． 7. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿一条索，索比竿子长一托、对折索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺：如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设绳索长x尺，竿长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺：如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意得： ， 故选：D． 8. 如图，在点O处的船只准备沿垂直河岸的路线驶向对岸，但受水流的影响，实际路线比计划路线偏离度，测得河宽为20米，则实际比原计划多行驶了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数求出 的长，减去即可． 【详解】解：由题意可知米， 由图可知， ∴米， ∴实际比原计划多行驶了米． 9. 已知直线l交抛物线 于点，．若点P在抛物线上且在直线l的下方（不与点A，B重合），则点P纵坐标y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点A的坐标，再将抛物线配方得到最小值，结合抛物线开口方向，根据点P的位置要求确定纵坐标的取值范围． 【详解】解：∵点在抛物线 上， ∴将代入抛物线解析式得：， ∴ ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴抛物线的最小值为 ， ∵点在抛物线上且在直线下方，不与点、重合， ∴点纵坐标的取值范围是． 10. 中国古代数学家赵爽证明勾股定理的弦图如图所示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，恰好拼成一个大正方形．作直线分别交 于点M，N．若图中两个正方形的面积分别是13和1，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，在 中使用勾股定理可求出，过点N作于点K，由为等腰直角三角形可证得也为等腰直角三角形，设，则，由，可解得，进一步计算即可求解． 【详解】解：由图可知，， ， ∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成， ∴， 设， 在 中，由勾股定理得， 即， 解得：（舍去）． 即， 过点N作于点K，如图所示． ∵四边形为正方形，为对角线， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形． 设，则， ∴， 解得：， ∴， 同理，， ． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 分解因式：m2-6m+9=_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接应用完全平方公式即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 不等式组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的口诀确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 13. 已知扇形的圆心角为120°，半径为9，则该扇形的面积为_________． 【答案】27π 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为9，则 ∴扇形的面积为=27π， 故答案为：27π． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为． 14. 泰顺2022年4月1日至7日的气温折线图如图所示，这一周中温差最大的是4月______日． 【答案】5 【解析】 【分析】先计算温差，再比较大小，解答即可． 【详解】解：根据题意，得 １日的温差是，２日的温差是， ３日的温差是，４日的温差是， ５日的温差是，６日的温差是， ７日的温差是， 且， 故4月5日温差最大． 15. 如图，等腰的顶角 ，，腰垂直y轴，垂足为A，的中点D和点C恰好落在反比例函数上．若，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过C作于E，在 中求出的长度，在 中，求出和的长度，设，则，根据待定系数法可得出，解方程，即可求解． 【详解】解：过C作于E， ∵ ，， ∴ ， ， ∵， ∴， ∵ ，， ∴，， ∴ ， ∴ ∵D为的中点， ∴， ∵垂直y轴， ∴设，则， ∵点D和点C恰好落在反比例函数上， ∴， 解得， ∴， ∴． 16. 如图1是将正方形分割成七个几何图形得到的七巧板，它是中国古代劳动人民发明的一种智力玩具．图2是由七巧板拼成“熊”的几何图形．四边形是菱形，且的面积为2，则 ______，记点K到直线 的距离为d，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设正方形的边长为，根据题意，得①②两个等腰直角三角形的直角边长为，斜边长为；③等腰直角三角形的斜边长为；直角边长为；④正方形的边长为；⑤等腰直角三角形的直角边长为，斜边长为；⑥平行四边形的一边长为，邻边长为；⑦等腰直角三角形的直角边长为，斜边长为；根据题意求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，根据题意，得①②两个等腰直角三角形的直角边长为，斜边长为； ③等腰直角三角形的斜边长为；直角边长为；④正方形的边长为； ⑤等腰直角三角形的直角边长为，斜边长为； ⑥平行四边形的一边长为，邻边长为； ⑦等腰直角三角形的直角边长为，斜边长为； 的面积为2， 故， 解得， 由四边形是菱形，得到， ， ； 过点D作垂直于②的斜边于点Q，延长②的斜边交于点M，延长 交②的斜边于点N， 根据题意，得，斜边长为，， ⑦等腰直角三角形的直角边长为，斜边长为； ， ， ， ， ； 三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算、化简． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先进行乘法的计算、二次根式化简、零次幂计算、绝对值，再进行实数的加减混合计算即可； （2）利用因式分解进行分式的化简即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 已知，如图，点B，E，D，C在同一直线上，，． （1）求证： ． 针对这道题，三位同学进行如下讨论： 兰兰：“由得，又因为， 通过证明 ，可得．” 花花：“兰兰的全等条件是‘边边角’，不能证明全等， 但我用‘角角边’可证 ．” 草草：“还可证明 得，再得 ；但图中有两个等腰三角形，我认为最简洁的方法是用‘三线合一’的性质证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）按照题中提示，有三种思路可以证明结论，分别为：思路一“三线合一”： 作，证， ，即可证得 ；思路二“ ”：通过证明，可得，再运用“ ”证得 ，从而证得 ；思路三 “ ”： 运用“ ”证得 ，从而证得 ； （2）先求得，再由，，运用勾股定理，求得的长． 【小问1详解】 证明：思路一“三线合一”： 如图1：作， ∵，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴，即 ． 思路二“ ”： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 在和 中， ∵， ∴， ∴ ． 思路三 “ ”： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在 和 中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵由（1）得， ∵， ∴，即， 又∵，且， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴． 19. 基于对“校园落叶变废为宝”的研究，某科学兴趣小组在校内的“猕猴桃种植基地”进行落叶堆肥实验．控制猕猴桃其它生长条件不变，其中一半的猕猴桃植株施落叶肥料（甲组），另一半植株只用无机肥（乙组）．进入猕猴桃的收获期时，为研究落叶堆肥实验的效果，从两组中各随机摘取50个猕猴桃，测量单果质量．现将测量结果分成5组，A：，B： ，C：，D：，E： ，并绘制成如下统计图．其中 及以上的果子，称为优质大果，更受市场欢迎． （1）填写以下表格． 平均数 中位数 大果率 方差 甲组 落在 组 7.04 乙组 79.6 落在B组 23.64 （2）结合平均数、中位数、大果率、方差进行分析，多角度评价“落叶堆肥”的实际效果． 【答案】（1）98；D； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义、中位数的定义等求解即可； （2）从平均数、中位数、大果率、方差四个维度判断即可． 【小问1详解】 解：甲组的平均数为， ∵，， ∴甲组50个猕猴桃的质量从小到大排列后，第25、26个猕猴桃在，即D组， ∴甲组中位数在D组； 甲组大果率为； 【小问2详解】 解：评价方式1： 从平均数看，甲组平均数大于乙组，甲组整体质量优于乙组； 从方差看，甲组比乙组大小更均匀（或者质量更稳定） 综上所述，落叶堆肥比只用无机肥效果更明显； 评价方式2： 从大果率看甲组超过乙组，甲组更受市场欢迎 从方差看，甲组比乙组大小更均匀（或者质量更稳定） 综上所述，落叶堆肥比只用无机肥效果更明显； 评价方式3： 从中位数看，甲组落的区域高于乙组，甲组中等质量水平优于乙组； 从方差看，甲组比乙组大小更均匀（或者质量更稳定） 综上所述，落叶堆肥比只用无机肥效果更明显． 20. 如图，在所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，点，位于格点处． （1）在图1中画出格点，使． （2）在图2中画出格点四边形，使四边形的对角线互相垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理作图即可； （2）根据菱形的性质作图即可． 【小问1详解】 解：下图中、、、的位置均满足结果： 证明：图中，，故，满足题意要求； ，，故，满足题意要求； ，，故，满足题意要求； ，，故，满足题意要求； 【小问2详解】 解：下图中、即为所作： 证明：∵， ∴四边形为菱形， ∴四边形的对角线互相垂直平分． 21. 已知抛物线经过点与． （1）求该抛物线的函数关系式． （2）此抛物线向下平移m个单位后，顶点落在直线上，求平移后抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标以及函数平移规律，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据待定系数法，将点与点代入中，建立关于b，c的方程组，解方程组即可得到b，c的值，从而得到该抛物线的函数关系式； （2）先求出原抛物线的顶点坐标为，根据点坐标平移规律，求得平移后的顶点坐标为，由顶点落在直线上，求得m的值，从而求出平移后抛物线与y轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：将点与点代入中，得 ， 解得， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴顶点坐标为， ∵此抛物线向下平移m个单位， ∴平移后的顶点坐标为， ∵平移后的顶点落在直线上， ∴将，代入中， 得：， 解得：， ∴此抛物线向下平移个单位， ∵原抛物线， ∴令，， 可得原抛物线与y轴交点为， 又∵此抛物线向下平移个单位， ∴点向下平移后，得， 即平移后抛物线与y轴的交点坐标为． 22. 如图，锐角内接于，，为直径，过点B作交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：． （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先，根据是的直径，，得，再根据，得，进而得，再由 ，得； （2）首先，连接，交于点N，再证得是的直径，，，然后，再证得，得，接着，根据，得，最后，由可得答案． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 【小问2详解】 解：连接，交于点N， ∵， ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴，， ∴， ∵， ∴． 23. 猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． （1）求这种猕猴桃的单价． （2）两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． （3）泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）；5 （3）金额；理由见解析 【解析】 【分析】（1）设猕猴桃的单价为x，根据泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤，列出方程，解方程即可； （2）根据两个人的购买方案，分别求出购买的猕猴桃平均价格即可； （3）设两次油价分别为a，b，分别求出两种方式下加油单价，然后比较大小即可． 【小问1详解】 解：设猕猴桃的单价为x，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：这种猕猴桃的单价为6元． 【小问2详解】 解：泰泰两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）， 顺顺两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）； 【小问3详解】 解：设两次油价分别为a，b．则选择相同油量加油的单价为， 选择每次相同金额的单价为， ， ∴按相同金额加油更合算． 24. 在矩形中， ，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H． （1）证明： ． （2）连结交于点K，若 ，求 的值． （3）作 的外接圆，且 ． ①若与矩形的边相切时，求的长． ②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出 的面积． 【答案】（1） 证明：在矩形中，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ； （2） （3）①或或；② 【解析】 【分析】（1）证明四边形 为平行四边形，即可求证； （2）过点K作 于点M，则 ，由题意易得 ，然后可得 ，则有 ，进而问题可求解； （3）①由题意可分当与边相切时，当与边 相切时，当与边相切时，进而分类进行求解即可； ②连接 ，过点H作 于点R，由折叠的性质可知： ，然后可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点K作 于点M，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 解：①根据题意得： ， ， 当与边相切时，此时点H为切点， 如图，设与交于点G、R，连接， ，则 ， ∵ ， ∴ 为的直径， ∴点O，F，R共线，且 ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当与边 相切时，则与边也相切，此时 F，G 为切点， 为直径， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，， ∴， ， ∴ ， ，即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴； 当与边相切时，设与边的另一个交点为点Q，设切点为点N，连接，则 ， ∵ ， ∴ 为直径， ∴ ， 同理 ， ∴， ∵ ， ∴，即 ， ∴ ， ， ∴ ， 根据题意得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 中，， 解得：或（舍去），即； 综上所述，的长为或或； ②由题意可得如下图，连接 ，过点H作 于点R， 由折叠的性质可知： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $