(5)立体几何综合-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第三册&必修第四册同步周测卷（人教B版）

高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第四册· 高一同步周测卷/数学必修第四册（五） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ① 9 ③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 求圆锥的侧面积 易 0.80 由斜二测画法求原 2 选择题 易 0.72 图形的周长 平面基本事实的 3 选择题 5 中 0.65 应用 二面角与点到直线 4 选择题 5 中 0.55 的距离的综合 由面面平行的性质 5 选择题 5 中 0.45 求线段的长 两平行平面的距离、 直线与平面所成的 6 选择题 5 中 0.30 角、棱锥的体积的 综合 线线、线面平行垂直 选择题 6 易 0.75 的综合 8 选择题 6 几种几何体的综合 难 0.28 求异面直线所成 9 填空题 5 易 0.75 的角 与棱台有关的数学 10 填空题 5 中 0.45 文化题 圆柱、圆锥的实际 11 解答题 13 中 0.55 应用 线线垂直的判定、求 12 解答题 15 中 0.45 棱锥的体积 面面垂直的判定，求 13 解答题 20 二面角的大小，由线 务 0.32 面平行求线段的长 ·41· ·数学（人教B版）必修第四册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 5.C【解析】如图，连接AF交3于点M,连接MB, 1.B【解析】因为轴截面是一个直角边长为2的等腰 CF,ME,AD.因为B∥Y,B∩平面ACF=BM,Y∩平 直角三角形，所以圆锥的底面半径R=√2，母线(=2， 面ACF=CE,所以BM/CE,所以瓷=同理 所以圆锥的侧面积为S=πR=2√2π，故选B. 2.B【解析】根据斜二测画法还原得下图： ME/AD,且￥-器所以C-票，所以是 系，故EF=号，故DF=DE+EF-兰.故选C A 因为四边形OA'BC'是边长为1的正方形，则OB1 =√2OA'=√2，所以OB=2√2，又因为OA=1,OA⊥ 6.A【解析】因为平面ABC与平面A1B1C1之间的距 OB,则AB=√OA十OB=3,同理可得BC=1,OC 离为3，可知三棱柱ABC-ABC的高h=3,因为 =3,因此原图形的周长为OA十AB十BC十OC=1十 3十1十3=8.故选B. 直线4与平面ABC所成的角为受，所以h=AA· 3.C【解析】对于A,共线的三点无法确定一个平面， A错误；对于B,空间四边形不是平面图形，B错误； sin甚=AA=3,解得AA=2.分别过A,A 3 对于C,梯形有一组对边互相平行，则四个顶点必然 作与I垂直的平面AMN和平面A:MN,如图 处于同一平面内，即梯形一定是平面图形，C正确；对 所示： 于D,两个互异平面若有交点，则所有交点必在同一 条直线上，D错误.故选C. 4.B【解析】如图所示，设P为二面角a一一3的一个 面a内一点，PO是它到另一个面B的距离，PO=6, PH是它到棱的距离.：PO⊥B,lCB,OHCB,.PO ⊥l,PO⊥OH,又PH⊥l,PO∩PH=P,PO,PHC平 面POH,∴⊥平面POH.OHC平面POH,∴.l⊥ OH,∴.∠PHO为二面角a-l-B的平面角，∠PHO 易知平面AMN∥平面AMN,△AMN和 =60°，在Rt△PHO中，PH= PO 6 sin/PHO- △AM1N都是边长为1的等边三角形，三棱柱 3 AMN-AMN是正三棱柱，且三棱柱ABC 43.故选B. ABC的体积V和三棱柱AMN-AM1N的体 a 积V,相等，所以V=V,=SmN·AA=X1X 4 H 25=多故选A 二、选择题 B 7.BC【解析】若a∥B,m∥a,此时m有可能在平面3 ·42· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第四册· 内，并不一定m∥B,A错误：因为n⊥Y,B∥y,根据一 条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也 垂直于另一个平面，可得n⊥B.又因为⊥B,垂直于 同一个平面的两条直线平行，所以m∥n,B正确：设a ∩B=a,a∩y=b,在平面B内作直线a1⊥a,因为a⊥ B,则a1⊥a.在平面y内作直线b1⊥b,因为a⊥y,则b ⊥a.那么a1∥b1,a1中Y,bCy,所以a1∥y.又a1Cβ， B∩y=m,所以a1∥m,从而m⊥a,C正确：仅由m⊥ 因为MN=√NC-MC=3√/E,在线段MN上取点 a,nCB,m⊥n,无法得出a⊥B,a与B可能平行，也可 K,使得NK=2,作KL⊥MN交MD于L,则品 能相交，D错误.故选BC 8.ACD【解析】对于A, 紫即华-5，则KL-352反，则轴为 3 3√E √ 直线MN,且底面半径为√2，高为2的圆锥，可以放到 正四面体内，故C正确：对于D,采用选项C中的图， 此时条件变为，在线段MN上取点K使得KL=√2， 测号一祭号一器良欧=2，若调性可以收 入，则其轴中点必然为线段MN的中点，而2MK=4 作AO⊥平面BCD,交平面BCD于O,连接OD,且O <3√2-0.2，故轴为直线MN,且底面半径为√瓦，高 为正△BCD的中心，又棱长为6，则△BCD的内切圆 为0.2的圆柱，可以放到正四面体内，故D正确.故选 半径为√3，OD=2√3，正四面体的高AO= ACD. √AD-OD=2√6，圆锥底面半径为√2，√2<√3，且 三、填空题 9.1【解析】如图所示，取CD的中点O,连接OA,OB, 高为26，所以可以放到正四面体内，故A正确；对 于B, 因为三棱锥各条棱长均相等，所以CD⊥OA,CD⊥ OB,因为OA∩OB=O,OA,OBC平面OAB,所以CD 如图所示，平面EFG∥平面BCD,当HO=1时，设 ⊥平面OAB,因为ABC平面OAB,所以CD⊥AB, △EFG的内切圆半径为，则=A-26_1,则 即AB与CD所成的角是90°，其正弦值为1， √3AO 2√6 10.√34+10⑤ 【解析】如图，设点A在底面上的投 ,=25一1<√2，故底面半径为2，高为1的圆柱， 22 影是Q,上底面外接圆在下底面上的投影是圆O, 无法放到正四面体内，故B错误；对于C, 当Q,O,M三点共线时，线段AM的长度最大，由 题意得Q0=空-0M=至- 2 2 5 ，AQ=1,因为AQ⊥圆O所在平面，所以AM= ·43· ·数学（人教B版）必修第四册· 参考答案及解析 0+0-√+（+号）-840 .PC⊥AD, 2 又AC⊥AD, :AC∩PC=C,AC,PCC平面ACP, .AD⊥平面ACP, :APC平面ACP, .AD⊥AP, ∠DAP=90°， 即△ADP为直角三角形， (10分) 四、解答题 (3)由(I)知在等腰梯形ABCD中，AE=巨 11.解：(1)设圆锥的高为h1, 由题意得圆锥母线为10cm, 则Se=×1X5=, 则h1=√/10-6=8cm, S#后c=12×巨=3区 1 2 、24 该模型的体积V=20m×6°-号x×6:×8=624x≈ .S装形BCD=3 1959cm3. (6分) SAADC 2 (2)圆柱的侧面积为2πr·20=240π， 漂号 -2 圆柱的上底面的面积为36π， 又PC⊥平面ADP,△ADP为直角三角形，PD 圆锥侧面积为S维侧=60元， ⊥PC, .Sa=240π十36π十60π=336πcm2, 故总费用为336πX500X30≈1583（元）. ∴.DP=√22-1F=3,AP=√(3)-1=√E, 10 (13分) 12.解：(1)作AE⊥DC,E为垂足，如图， V,m=Vw=专××1XEX1- ∴Vp-BD= gx巨-E ,= 641 (15分) 13.解：(1)在等腰梯形ABCD中，连接DE, 因为AD∥BC,AB=AD=BC=2,E是BC的 中点， 所以可得四边形ABED为菱形， 在等腰梯形ABCD中，设AD=AB=BC= 2CD- 可得AE⊥BD, 又AE∩BD=M, a(a>0), 所以可得AE⊥BM,AE⊥DM, DE=子(CD-AB)=寸a,∠ADE=60, 因为B1M∩DM=M,B1M,DMC平面BMD, .AC=√a2+4a2-2×2acos60=5a, 所以AE⊥平面BMD, .AC十AD=DC, 又AEC平面BAE, .AC⊥AD. (5分) 所以平面B1AE⊥平面BMD. (6分) (2),PC⊥PD,平面ADP⊥平面PCD,平面ADP (2)由BM⊥平面AECD,MD,DCC平面AECD, ∩平面PCD=PD,PCC平面PCD, 可得BM⊥MD,B,M⊥CD, PC⊥平面ADP, 易知CD∥AE,AE⊥DM, 又ADC平面ADP, 所以CD⊥MD, ·44· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第四册· 又因为B1M∩MD=M,B1M,MDC平面B1MD, 所以AM∥CD∥PQ, 所以CD⊥平面B,MD, 即可得A,M,P,Q四点共面， 又BDC平面BMD, 又因为MP∥平面B:AD,MPC平面AMPQ,平面 所以BD⊥CD, AMPQ∩平面BAD=AQ, 又CD⊥MD, 所以MP∥AQ, 因此可得∠B,DM即为二面角B,一DC-A的平面 所以四边形AMPQ为平行四边形， 角， (10分) 故AM=PQ=2CD, 在直角三角形BMD中，BM=MD, 可得tan∠B,DM=l, 可得点P为B:C的中点. (16分) 即∠BDM=45°，二面角B,-DC-A的大小为 故在线段BC上存在点P,使得MP∥平面BAD, 45. (13分) 哈影 (3)假设线段BC上存在点P,使得MP∥平 易知△ABE为正三角形，且AB=2, 面BAD, 所以可得BM=DM=√3， 过点P作PQ∥CD交BD于Q,连接MP,AQ,如 连接CM, 下图所示： 由勾股定理可得CM=√DM+CD=√7， 所以BC=√C+BM证=√/7+3=√I0 因此CP=0 2· (20分) M ·45·高一同步周测卷/数学必修第四册 (五)立体几何综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)》 1.已知圆锥的轴截面是一个直角边长为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积为 A.√2π B.2√2π C.4π D.6π 2.如图所示，已知正方形OA'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形斜二测画 法的直观图，则其原图形的周长为 B A x A.4 B.8 C.22 D.2+2√3 3.下列说法中正确的是 A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.两个互异平面α和3有三个不共线的交点 数学（人教B版）必修第四册第1页（共8页） 衡水金卷·先享题· 4.已知大小为60°的二面角的一个面内有一点，它到另一个面的距离是6，则这个点到 二面角的棱的距离为 A.23 B.4√3 C.4 D.6 5.如图，a∥B∥y,直线a与b分别交a,B,Y于点A,B,C和点D,E,F,若AB=3,BC= 4,DE=2,则DF= 8 B.4 c号 D.6 6.如图，直线11,2，l3相互平行，且两两之间的距离为1，平面ABC∥平面A1BC1,且平 面ABC与平面A,B,C之间的距离为3，直线4与平面ABC所成的角为号，则三棱 柱ABC一A,B1C1的体积为 A /B B. 3 C.√3 D.2√3 高一同步周测卷五 数学（人教B版）必修第四册第2页（共8页） 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知两条不同的直线m,n,三个不同的平面a,B,y,则 A.若a∥B,m∥a,则m∥3 B.若m⊥B,n⊥Y,B∥Y,则m∥n C.若a⊥B,a⊥Y,B∩y=m,则mLa D.若m⊥a,nCB,m⊥n,则a⊥3 8.已知正四面体A一BCD的棱长为6，点M,N分别是BC,AD的中点，则下列几何体 能够整体放人正四面体A一BCD的有 A.底面在平面BCD上，且底面半径为√2，高为2√6的圆锥 B.底面在平面BCD上，且底面半径为√2，高为1的圆柱 C.轴为直线MN,且底面半径为√2，高为2的圆锥 D.轴为直线MN,且底面半径为√2，高为0.2的圆柱 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在正四面体A一BCD中，AB与CD所成角的正弦值为 数学（人教B版）必修第四册第3页（共8页） 衡水金卷·先享题· 10.《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四 尺，高一尺.意思如下：今有一个刍童，上底面宽1尺、长2尺，下底面宽3尺、长4 尺，高1尺.刍童是上、下底面为相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与 底面垂直的六面体，如图，若A是该六面体上底面的一个顶点，点M在下底面的外 接圆上，则线段AM长度的最大值为 尺 A D 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知 圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为6cm,高为20cm,圆锥的母线为10cm. (参考数据：π≈3.14) (1)计算该模型的体积；（结果精确到1cm3) (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用 是多少？（结果精确到1元） 高一同步周测卷五 数学（人教B版）必修第四册第4页（共8页） 12.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD,AD=AB= D,平面ADPI平面PCD,PD (1)求证：ACI AD; (2)求证：△ADP为直角三角形； (3)若PC=AD=1,求四棱棱P一ABCD的体积. B 数学（人教B版）必修第四册第5页（共8页） 衡水金卷·先享题·高一同步周测卷五 数学（人教B版）必修第四册第6页（共8页） 13.(本小题满分20分) 如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AD=BC=2,E是BC的中点，AE ∩BD=M,将△BAE沿着AE翻折成△B1AE,使B,M⊥平面AECD. (1)求证：平面B1AE⊥平面B,MD; (2)求二面角B1一DC-A的大小； (3)在线段B,C上是否存在点P,使得MP∥平面B1AD?若存在，求出CP的长；若 不存在，请说明理由. .a s A M C 数学（人教B版）必修第四册第7页（共8页） 衡水金卷·先享题·高一同步周测卷五 数学（人教B版）必修第四册第8页（共8页）