(8)函数与方程、不等式之间的关系、函数的应用(一)-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第一册&必修第二册同步周测卷（人教B版）

高一同步周测卷/数学必修第一册 (八)函数与方程、不等式之间的关系、函数的应用（一）】 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.若函数f(x)=ax十b(a≠0)有一个零点是1，则函数g(x)=a,x3一bx的零点是 A.0 B.-1,3 C.-1,0,4 D.-1,0,1 2.已知函数f代)=。一x,在下列区间中，包含f()零点的区间是 A.(-0∞，0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,4) 3.已知函数f(x)=x2一kx十2在区间(1,3)上有零点，则k的取值范围是 A(,号》 B.（2√2,3) C.[2√2,3] D.[2E,) 4.如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍 之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为x米，则当 所建造的禽舍总面积最大时，x的值是 A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知图(1)是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图像，由于目前本条线路 亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图(2)(3)所示，这两种建议是 (1) (2) (3) A.(2):降低成本，票价不变；(3)：成本不变，提高票价 B.（2):提高成本，票价不变；(3)：成本不变，降低票价 C.(2):成本不变，提高票价；(3)：提高成本，票价不变 D.(2):降低成本，提高票价；(3)：降低成本，票价不变 数学（人教B版）必修第一册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 6.已知f(x)是定义在R上的增函数，且存在函数g(x)使得f(g(x)=x,若x1,x2分 别是函数y=f(x一1)十x-4和y=g(x十1)十x一2的零点，则x1十x2= A.4 B.3 C.2 D.1 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列函数图像与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有 A B. D 8.设[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.8]=-2，[2.7]=2，已知函数f(x)=[x], g(x)=kx(k>0),则 A.函数y=f(x)是偶函数 B.当=1时，函数y=g(x)一f(x)的值域是[0,1) C.若方程g()=f(x)只有一个实数根，则k∈(0，] D.若方程8()=f(x)有两个不相等的实数根，则k∈（分，号引 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.用二分法研究函数f(x)=x十8.x3一1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0, f(0.5)>0,记第二次应计算的函数值是f(x),则x,= 10.已知函数fx)清足f-x)+f+2)=0,若函数y=fx)-有6个零点，则 6个零点的和为 高一同步周测卷八 数学（人教B版）必修第一册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分)》 已知函数f(x)=x十元 -3. (1)判断函数f(x)在区间(1，十∞)上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程f(x)=0在区间(1，十∞)上的一个近似解.（精确度为0.1） 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2一ax十a2一4，在下列条件下，求实数a的取值范围. (1)f(x)有两个正零点； (2)f(x)的一个零点大于2，另一个零点小于2； (3)f(x)的一个零点大于2，另一个零点不大于0. 数学（人教B版）必修第一册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 为了节能减排，某企业决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业 的电网.安装这种供电设备的费用y(单位：万元)与太阳能电池板的面积x(单位：平 方米)成正比，比例系数为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补 供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的 这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)= k一x2 20,0≤x≤10， (k为常数).已知太阳能电池板面积为4平方米时，每年消耗的 4k (15x+75.x>10 电费为9.2万元，记F(x)(单位：万元)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与 该企业15年所消耗的电费之和. (1)求常数k的值； (2)写出F(x)的解析式； (3)当x为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？ 高一同步周测卷八 数学（人教B版）必修第一册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（八） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 求函数的零点 易 0.80 函数零点存在定理 2 选择题 易 0.72 的应用 由函数在区间上有 3 选择题 5 / 中 0.65 零点求参 二次函数的实际 4 选择题 L 中 0.55 应用 函数图像的实际 选择题 5 中 0.45 应用 6 选择题 5 嵌套函数零点问题 中 0.30 二分法与函数图像 7 选择题 6 易 0.80 的关系 与方程的根有关的 8 选择题 6 中 0.35 新定义题 9 填空题 5 二分法的应用 / 易 0.72 利用对称性求函数 10 填空题 5 中 0.35 零点的和 11 二分法求方程的近 解答题 13 中 0.65 似解 12 解答题 15 二次函数零点分布 中 0.55 分段函数的实际 13 解答题 20 中 0.35 应用 ·29· ·数学（人教B版）必修第一册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 差额绝对值变小，又收入为0，说明降低成本，两直线 1.A【解析】由题意可得f(1)=a十b=0,可得b= 平行，说明票价不变；图(3)中当乘客量为0时，差额 -a,则g(x)=ax3-bx=ax3十ax,令g(x)=0,则 未变，又收入为0，说明成本没变，直线的倾斜程度变 ax3十ax=ax(x2十1)=0，解得x=0.故选A. 大，说明相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，故 2.C【解析】由题得，f(x)=6工，当x<0时，f(x) 选A. x 6.B【解析】由题意可知x1是f(x一1)十x=4的根， <0,当0<x<1时，f(x)>0,f1)=-=6-1 .f(x1-1)+x1=4,即f(x1-1)+x1-1=3①，同 -5>0,f2)=8-2=3-4=-1<0,f0=号 6 理可知x2是g(x十1)十x=2的根，∴g(x2十1)十x2 4华=-16=一空<0，因为f·2)<0,所以包 =2,即g(x2十1)十x2十1=3，：存在函数g(x)使得 2 f(g(x))=x,g(x2十1)十f(g(x2十1))=3②， 含f(x)零点的区间是(1,2).故选C f(x)是定义在R上的增函数，f(x)十x在R上 3.D【解析】函数f(x)=x2一kx十2在区间(1,3)上 单调递增，.由①②可得，g(x2十1)=x1一1，又 有零点台方程=工十二在区间(1,3)上有解，：函 g(a2十1)十x=2,即g(x2十1)=2-x2,∴.2-x2= 数g(x)=工十二在区间(1W2)上单调递减，在 x1一1，即x1十x2=3.故选B. 二、选择题 [V2,3)上单调递增，则2√E=g(W2)≤g(x)< 7.BCD【解析】根据二分法的定义，知函数(x)在区 max{g(1)g(3)=号，则k∈[2厄，号).故选D. 间[a,b门上的图像连续不断，且f(a)·f(b)<0,即 4.D【解析】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总 函数的零点是变号零点，才能将区间[a,b]一分为 长为(36-3x)m,0<x<12,设所建造的禽舍总面积 二，逐步得到零点的近似值.对于A,因为零点左右两 为ym,则y=(36-3x)·x=-3x2十36x= 侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的 -3(x一6)2+108，所以当所建造的禽舍总面积最大 近似值，故A错误；对于B,C,D,三个函数图像均符 时，x的值为6.故选D. 合二分法求函数零点近似值的条件，故B,C,D正确. 5.A【解析】图(2)中直线向上平移，当乘客量为0时， 故选BCD. ·30· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第一册· 8.BC【解析】作出函数f(x)的图像如图， 10.6【解析】由f(一x)十f(x+2)=0,可得f(-x) =一f(x十2)，即f(x)的图像关于点(1,0)对称，又 片x) 由函数y=的图像也关于点1,0)对称，所以函 2 1 数y=fx)一x一(x≠1)的图像关于点1,0)对 5 称，因为函数y=f(x)一 有6个零点，可得该函 数的零点之和为2×3=6. 四、解答题 函数y=|f(x)|的图像不关于y轴对称，故A错误； 11.解：(1)y=f(x)在(1，十∞)上单调递增.证明 当k=1时，函数y=g(x)-f(x)=x-[x],x 如下： 1<[x]≤x,.-x≤-[x]<1-x,故0≤x 任取x1,x2∈(1，十∞)， [x]<1,即函数y=g(x)-f(x)的值域是[0,1)， 故B正确：由图可知，f(x)与g(x)的图像必有一个 不妨设山<，)-x)=一五+是一日 交点(0,0)，若方程g(x)=f(x)只有一个实数根， =2-1)(x12-1) TIT2 则k∈(0， ,故C正确：若方程g(x)=f(x)有两 因为1<x1<x2, 则x2-x1>0,x1x2-1>0,x1x2>0, 个不相等的实数根，即f(x)与g(x)的图像有两个 可得f(x2)-f(x1)>0, 交点，结合图像可得k∈（分，号]U[2,十∞），故D 即f(x2)>f(x1), 错误.故选BC. 所以y=f(x)在(1，十∞)上单调递增. (5分) 三、填空题 (2)因为函数f()=x十1-3在区间(1，十∞)上 x 9.0.25【解析】第一次经过计算得(0)<0，f(0.5) 是连续且单调的， >0,即f(0)·f(0.5)<0,可得零点x∈(0,0.5)， 可知其在区间(1，十∞)上的零点即为方程f(x)= 根据二分法，第二次计算f(牛9）=f0.25),故 0在区间(1，十∞)上的解， x0=0.25. 且(2)<0，f(3)>0, ·31· ·数学（人教B版）必修第一册· 参考答案及解析 可得f(x)在(1，十∞)内有且仅有一个零点x∈ 所以实数a的取值范围为(0,2). (10分) (2,3), (9分) (f(2)=22-2a+a2-4<0, (3)由题意知 在区间(1，十∞)上利用二分法列表如下： f(0)=0-0+a2-4≤0， 中点函数值 区间 解得0a2, 区间 中点x0 f(xo) 长度 所以实数a的取值范围为(0,2)， (15分) (2,3) 5 2=2.5 f(号)0 (÷3) 11 f(）)>0 1 13.解：(1)依题意得C(4)=9.2, =2.75 4 (受) 21 =2.625 所以4=9.2. 8 (号)> 20 521 41 1 28 16 -2.5625 ()0 解得k=200, 此时解在区间 器，号)，此区间长度为< 故k的值为200. (4分) (2)依题意可知F(x)=15C(x)十0.5x, 满足精确度为0,1，故区间（号，号）， 200-x2 20 ,0x10 即(2.5625,2.625)内任意一个实数都是对应方程 又由(1)得C(x)= (7分) 800 符合精确度要求的一个近似解，比如2,6是方程 15x+75x>10 f(x)=0在(1，十∞)上的一个近似解. (13分) 当0≤x≤10时， 12.解：当f(x)存在两个零点时，设这两个零点分别为 F(x)=15C(x)+0.5x=15×20工+0.5x 20 x1x2: =-x++150, A=a2-4(a2-4)>0, 当x>10时， (1)由题意知x1十x2=a>0, 800 x1x2=a2-4>0, F(x)=15C(x)+0.5.x=15X15x+7万+0.5x 解得2Ka<华， 800 1 3 1 所以实数a的取值范围为(2，)，。 (5分) 4x2+2x+150,0≤x≤10 所以F(x)= 800 (2)由题意知f(2)=22-2a十a2-4<0, x+5 T2x,x>10 解得0<a<2, (11分) ·32· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第一册· (3)当0≤x≤10时，F(x)=- x+x+150, 号=7.5 、 因为F(x)在[0，号]上单调递增，在（兮10]上单 当且仅当800=十5，即x=35时等号成立， x+5 2 调递减， 所以F(x)mi=37.5, (18分) 所以F(x)mn=F(10)=80: (15分) 又80>37.5，故F(x)m=37.5. 当x>10时， 则当x为35平方米时，F(x)取得最小值，最小值 F)=+=0+5号 是37.5万元. x+52-2 ·33·