(2)向量的分解与坐标表示、向量的数量积-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (二)向量的分解与坐标表示、向量的数量积 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知a=2,b=4,向量a与b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影向 量的投影长为 A.-3 B.-2 C.2 D.-1 2.已知向量a=(1,m),b=(m,4),满足a·b=a|b,则实数m= A.2 B.-2 C.±2 D.0 3.已知向量a=(3,2),b=(-1,x),则“x=2√3”是“(a+b)L(a-b)”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.若平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(一1,2)，B(1,1),C(3,4),则顶点 D的坐标为 A.(1,5) B.(5,3)》 C.(1,4) D.(2,4) 5.已知函数y=tan(平x-受)的部分图象如图所示，则(Oi+O方)·A的值为 A.-4 B.4 B C.-8 D.8 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题· 6.铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形 ABCD的边长为4，圆O的半径为4√2，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动 点P在圆O上，且AP=入AB+4AD,则入十4的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知a,b,c是三个非零向量，则下列结论不正确的是 A.(a·b)·c=a·(b·c) B.若|a+bl=a-bl,则a⊥b C.若a·c=b·c,则a=b D.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直 &设点M在△1C的边C上，且清花-（高十高-文=应，侧下 列结论正确的是 A.△ABC是等腰三角形 B.若Mi.M店=M·MC,向量A店，BC的夹角为 C.直线AM是角A的角平分线 暗+A 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知向量a=(1,1),向量b在向量a方向上的投影向量的模长为2a,且向量b在x 轴上的坐标为，则向量b的坐标可以为 .(写出一个即可) 高一同步周测卷二 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页） 10.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=1,O为AB的中点.当点P沿着BC,CD与DA 边运动时，AB·OP的最小值为 D C A 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 在△ABC中，AM=MC,BN=2NC,设AB=a,AC=b. (1)用a,b分别表示AN,BM; (2)若AB=2,AC=10,c0s∠BAC=0求A.BM. 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 12.(本小题满分15分) 已知向量a=(3,2),b=(x,一1). 1)若向址a与b的夹角的余袋值为要求x的值： (2)当(a+2b)⊥(2a-b)且x>0时，求a-b; (3)当c=(一8，一1)，a与b十c的夹角为钝角时，求x的取值范围. 13.(本小题满分20分) 设平面内两个非零向量m,n的夹角为0，定义一种运算“⑧”：m☒n=mn sin0. 试求解下列问题： (1)已知向量a,b满足a=(5,√2)，b=4,a·b=8,求a☒b的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点A(-1,-2),B(-4,一1)，C(-3,1),求AB☒BC 的值； （)已知向最a=(aaw=(品)e∈o,到求ab的最小值 cos a'sin a) 一同步周测卷二 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页）】高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 值 (主题内容) ⅢV ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 向量的投影长 易 0.80 向量平行与数量积 选择题 易 的综合 0.72 向量垂直与充要性 3 选择题 5 易 0.70 的综合 坐标法解决几何 4 选择题 5 中 0.55 问题 正切函数与向量的 选择题 中 0.45 综合 平面向量基本定理 6 选择题 0.30 的应用 次 向量数量积的相关 7 选择题 6 易 0.75 概念 向量线性运算、数量 8 选择题 6 中 0.45 积的综合 9 填空题 投影向量 易 0.71 10 填空题 5 求数量积的最值 中 0.35 平面向量基本定理 11 解答题 13 中 0.60 与数量积的综合 利用坐标法解决向 12 解答题 15 中 0.45 量模长及夹角问题 13 解答题 20 向量的新定义题 中 0.40 ·5 ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】向量a在向量b方向上的投影向量的投 影长为acos(a,b)=2×cos120°=-1.故选D. 2.C【解析】由a·b=|a|b|可知a∥b,所以1× 4-m2=0,解得m=士2.故选C. 3.A【解析】向量a=(3,2),b=(-1,x),由(a+b)⊥ 选择(OA,O}为基底，由AP=Ai+uAD→O币 (a-b),得(a+b)·(a-b)=a2-b=(32+2)-(1 OA=A(Oi-OA)+4(OD-OA),因为OD=-Oi, 十x2)=0,解得x=士23，显然当x=2√/3时，有(a十 所以o市=(a-)O+(1-1-)0A.因为1OA|= b)⊥(a-b)成立，所以“x=23”是“(a十b)⊥(a |OB1=2√2，OA·OB=0,所以1O= b)”的充分而不必要条件.故选A. [(入-4)OB+(1-λ-u)OA]→32=8(X-)2+ 4.A【解析】令顶点D的坐标为D(x,y),又 8(1-1-)2,整理得2(2+2)-2（入十μ）一3=0. A(-1,2),B(1,1),C(3,4),所以AB=(2,-1), 又λ2十2≥2λ→2(a十2)≥λ2+2λ以十2= DC=(3-x,4-y),易知在平行四边形ABCD中， (入十以)2（当且仅当A=以时取“=”），所以（入十4）2一 2=3-x x=1 2(A十μ)-3≤0→（λ十H-3)(入十4十1）≤0→-1≤ AB=DC,所以 ,解得 ,所以顶点D -1=4-y y=5 X十≤3（当X==号时取“=”）.故选C 的坐标为D(1,5).故选A. 二、选择题 5.D【解析】函数y=tan(于x-受)，当y=1时，有 7.ACD【解析】对于A,(a·b)·c=|a|b|cosa, 牙x-吾-平+kx(∈Z),解得x=3十(k∈Z), bc,a·(b·c)=ab|c|cos(b,c),所以(a·b)·c 与a·(b·c)不一定相等，故A错误；对于B,若 当y=-1时，有子x-受=一牙十红（∈），解得 |a+b|=a-b,两边平方得a2+2a·b+b=a2- x=1十4k(k∈Z),当k=0时，结合图象可得 2a·b十b2,则a·b=0,则a⊥b,故B正确：对于C,若 A(1,-1),B(3,1),则OA=(1,-1),Oi= a·c=b·c,则|a·|c|cos(a,c)=|bl·|cl· (3,1),AB=(2,2),所以(OA+Oi)·AB cos(b,c),c是非零向量，故a|cos(a,c)=|b川· (4,0)·(2,2)=8.故选D. cos(b,c),故a,b不一定相等，故C错误；对于D, 6.C【解析】如图： [(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)(a·c)- ·6· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· (a·c)(b·c)=0,则(b·c)a-(a·c)b与c垂 三、填空题 直，故D错误.故选ACD 9.(m,4-m)或(m,一4-m)(答案不唯一，写出任意 8.CD【解析】根据题意设 一个即可)【解析】设b=(m,n),则根据条件有 IABI =A， 因此AD,AE即为AB,AC方向的单位向量，令AD十 2E=2lal=a:b=mtnl,即1m+ml=4.从 a 2 A龙=A萨，可知四边形ADFE为菱形，如下图所示： 而只要b=(m,n)满足m十n=4或m十n=-4 即可 10.一2【解析】以A为原点建立平面直角坐标系， M C 所以AF即为角A的角平分线；又易知AM= 2高高)正，甲AMF三肤线西 B 以直线AM是角A的角平分线，可知C正确；没有条 则A(0,0),O(1,0),B(2,0),当点P在BC上时，设 件能说明△ABC是等腰三角形，即A错误；若MA· 点P(2,),则A店.O市=(2,0)·(1，c)=2,当点P Mi=MA.MC,可得MA·Mi-MA·M心-MA· 在AD上时，设点P(0,b),则AB·O产=(2,0)· (M店-MC)=MA.CB=0,即MA⊥C范，又直线AM (-1,b)=-2;当点P在CD上时，设点P(a,1)(0 是角A的角平分线可知|AC=AB|,即△ABC是 <a<2),则AB.Op=(2,0)·(a-1,1)=2a-2, 等腰三角形，又BC|=√2A,所以△ABC是等 因为0<a<2,所以-2<2a-2<2,即AB.Op∈ (-2,2),综上可知，AB·OP的最小值为一2. 腰直角三角形，所以向量AB,B心的夹角为，可得B 四、解答题 错误：易知 AB AC ABIACI 分别表示AB,AC方向的单 1l.解：(1)由AM=MC,Bd=2N心， 位向量，即 所以A成=号AC,B耐=号BC=号(AC-A店). 斋)·高)（高 所以A=A+B=A+号(A花-A店) (斋)广-高斋=6即D正确 =子AB+号AC=子a+号， 故选CD. Bi=Bi+A成=-Ai+号AC=-a+b.(6分) ·7 ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 (2)因为a=2,b=10,osa,b= 明asab-冷及9 8=25 所以ab=2X10X0=2 又〈a,b)∈[0，π]， 所以A.Bi=(号a+号b)·(-a+2b) 所以sin(a,b)=V-cos'(a,b- 5 =号(-2a-3a·6+26) 所以a8b=al1 sina,b=5×4×5=4. 5 ==8=6+200=31. (13分) (6分) 6 (2)由已知可得，A店=(-3,1)，BC=(1,2), 12.解：(1)根据题意得ab 3x-2 √26 1ab√3X√x+I 26, 所以有1A1=√0，|BC=5,AB·BC=-3X 7 解得x=1或x=7 (5分) 1+1×2=-1, (2)2a-b=(6-x,5),a十2b=(3+2x,0), 则cos(AB,BC)= AB.BC ABBCI 由(a+2b)⊥(2a-b)可得(a+2b)·(2a-b) -1 E =(6-x)(3十2x)=0, √10X5 10 由于x>0,故x=6, 又0≤(Ai,BC)≤π， 此时a=(3,2),b=(6,-1), 所以sinAB,BC)=√/1-cos'(AB,BC 故a-b=(-3,3), √(- 则|a-b川=√32+3=3√2. (10分) (3)c=(-8,-1),b+c=(x-8,-2), 所以AB☒BC=|AB||BC|sinAB,BC)=√Io× 由a∥(b+c),可得3×(-2)-2×(x-8)=0, 后×语-7 (13分) 解得x=5, (8由已知可得ab=X。十。× 由a·(b+c)=3(x-8)-4<0,可得x<s, 故当a与6叶e的夹角为纯角时，则x<器且x≠5， 1一二0， cos a 所以a⊥b, 即x的取值范围为(-60,5U(5,号) (15分) 则a,b)=受，sina,b》=sin受=l1, 13.解：(1)由已知可得，|a=√(W3)+(W2)2=√5. 又|b=4,a·b=8, 又|al=|bl=W ·8 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 所以a☒b=|a|b|sin(a,b) 所以tana>0. -()'+(品a)广-+品 cos'a sin'a 令t=tana>0,则t+ 号+10≥2xg+10 =sin'a+cos'a9(sin'a+cos'a) =16, cos'a sin'a =sin'a+9cos a10 当且仅当1=号，>0，即1=3时等号成立， cos a sin a tan'a- 9 (16分) 所以tara十ara 9+10的最小值为16， 所以a☒b的最小值为16. (20分) 因为a∈(0，)， ·9