第2章三角恒等变换（期末复习讲义）高一数学下学期湘教版

第2章 三角恒等变换（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01两角和与差公式的直接应用（给角求值） 题型02两角和与差公式的给值求值 题型03两角和与差公式的给值求角 题型04二倍角公式的给角求值 题型05二倍角公式的给值求值 题型06半角公式与辅助角公式 题型07三角恒等式的化简与证明 题型08三角恒等变换的综合应用（含实际应用与数学文化） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效、 本章是高中数学必修第二册三角函数板块的核心章节，三角恒等变换是连接三角函数概念与三角函数应用的桥梁，期末必考。知识点覆盖五个板块：两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，半角公式，辅助角公式，三角恒等变换的综合应用。 核心考点与考情表 核心考点 复习目标 考情规律 两角和与差公式（给角求值） 能熟练运用公式对特殊角的和差进行正用、逆用求值 基础必考点，选择填空常考，注意公式逆用识别结构 两角和与差公式（给值求值） 能根据已知角与目标角的关系，灵活拆角凑角求值 高频考点，关键是角的变换 两角和与差公式（给值求角） 能先定角的范围，再选取单调函数求角 中档考点，范围确定是关键，常考三角形内角问题 二倍角公式（给角求值） 能正用、逆用二倍角公式化简求值 基础考点，逆用是难点 二倍角公式（给值求值） 能寻找已知角与目标角的倍数关系，灵活选用公式 重点考点，常与同角关系、象限判断结合 半角公式与辅助角公式 能根据半角范围确定符号，能用辅助角公式合成一角 重难考点，辅助角公式是研究三角函数性质的核心工具 三角恒等式的化简与证明 能运用切化弦、异名化同名、升降幂等策略完成化简证明 中高档考点，方法灵活，需综合运用多组公式 三角恒等变换的综合应用 能将三角恒等变换与三角函数图象性质、实际问题结合 压轴考点，常考辅助角公式+函数性质+最值范围 考情总结:本章分值占比约15%~20%。易错点集中在：①半角公式开方时符号判断错误；②给值求角时未界定角的范围导致增解；③辅助角公式中辅助角φ的确定；④二倍角余弦公式三种形式选用不当；⑤给值求值时忽略角的象限对三角函数值符号的影响。命题趋势上，"给值求值"与"给值求角"是选择题填空题的主打题型，辅助角公式结合三角函数性质（周期、单调性、最值）是解答题的标配，数学文化背景题（如古代天文、建筑图案中的三角变换）是近年新课标卷的亮点。 知识点01 两角和与差的三角函数公式 1.两角差的余弦公式 C(α−β) 2.两角和的余弦公式 C(α+β) 3.两角和与差的正弦公式 1　 2　 4.两角和与差的正切公式 1　 2　 公式使用要点 要点 说明 正用 从左到右，展开和差角的三角函数值 逆用 从右到左，将结构匹配的式子合并为一个角的三角函数 变形用 如 常见角的变换 易错点 ①中分母是中分母是，符号易混淆； ② 逆用时注意，系数对应莫错位。 知识点02 二倍角公式 1.二倍角的正弦: 2.二倍角的余弦 ——三种等价形式 3.二倍角的正切: 降幂形式（由可得）: 这两个降幂公式是三角变换中"降次"的核心工具，务必熟练掌握。 常见变形 ①（升幂）； ② （升幂）； ③； ④ 易错点 ①三种形式要根据需要选取：已知用，已知用； ② 降幂公式中对应，对应，勿搞反。 知识点03 半角公式 ; 半角正切的无根号形式: 符号确定规则 半角公式中±号由所在的象限决定。优先选用无根号形式的公式，可避免开方讨论符号的问题。 易错点 ① 使用带根号的半角公式时，必须先确定的范围再定符号；② 优先选用，可避免开方讨论符号。 知识点04 辅助角公式 其中的象限由点(确定。 常见辅助角 辅助角公式的应用场景 ① 求三角函数的周期、单调区间、最值；② 化简含线性组合的式子；③ 解决三角函数在实际问题中的建模。 易错点 ① 辅助角φ要结合点(a,b)所在象限确定；② 合成后振幅为，勿漏开方。 知识点05 三角恒等变换的常用策略 "三变"原则 变换方向 操作 典型方法 变角 消除角之间的差异 拆角、凑角、统一角 变名 统一三角函数名称 切化弦、弦化切、统一为sin或cos 变式 改变式子结构 升幂、降幂、配方 化简三角函数式的常用方法 ① 切化弦；② 异名化同名；③ 异角化同角；④ 高次降低次（降幂公式）；⑤ 逆用公式。 证明三角恒等式的原则 从复杂到简单，高次降低次，复角化单角。若两端都复杂，则"两头凑"。 题型一 两角和与差公式的直接应用（给角求值） 解｜题｜技｜巧 给角求值三类常见题型：① 两特殊角之和差的三角函数值，直接展开；② 非特殊角拆成两个特殊角的和差；③ 含常数的式子，将常数转化为特殊角的三角函数值后逆用公式。关键在于"凑结构"——识别公式的逆用形式。 易｜错｜点｜拨 1　 不能快速识别公式逆用结构，只会正用、不会合并化简； 2　 特殊角拆分出错，不会把非特殊角拆成两个特殊角的和差； 3　 常数不会转化为特殊角三角函数值，无法凑和差公式形式； 4　 和差角公式中正负号记混，正弦、余弦和差公式符号错位； 5　 诱导公式与和差公式混用时分不清符号，导致求值结果符号错误。 典例1： （1）的值为 （ ） A． B． C． D． （2）coscos=（ ） A．sin B．cos C． D． （3）求值：（ ） A． B． C．1 D． 解析：（1）根据诱导公式，化简得，所以选C （2）coscos=.故选：D （3）． 故选：D． 变式1：计算的结果等于　　 A． B． C． D． 解析： ．故选：． 变式2：下列化简正确的是（ ） A． B． C． D． 解析：对于选项A：，故A不正确； 对于选项B：，故B不正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：；故D不正确；故选：C 变式3：的值为　　 A． B． C． D． 解析：因为， 所以故选：． 题型二 两角和与差公式的给值求值 解｜题｜技｜巧 给值求值的核心是角的变换——寻找已知角与目标角的关系，通过拆角凑角建立联系。解题步骤：① 找角的关系→② 求需要的三角函数值（注意象限）→③ 代入公式计算。 目标角 拆分方式 易｜错｜点｜拨 1　 不会拆角凑角，找不到已知角与目标角的代数关系； 2　 忽略角所在象限，直接默认三角函数值为正，符号判断失误； 3　 只算正弦或余弦，漏求解题必需的另一三角函数值； 4　 公式代入时系数、符号抄错，和差公式对应项错位； 5　 未利用角的范围缩小角度区间，引入多余三角函数值。 典例2：已知，且，则　　 A． B． C． D．或 解析：因为且，所以，所以， 又，所以，又， 所以． 当时， ， 因为，所以，所以不合题意，舍去； 当时， 符合题意， 综上所述：．故选：． 变式1：已知，，则　　 A． B． C． D． 解析：由，可得， 因为，可得， 又因为．故选：． 变式2：已知，若，则　　 A． B． C． D． 解析：因为，所以，所以， 所以， 所以 ．故选：． 变式3：已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：由，， . 故选：B 题型三 两角和与差公式的给值求角 解｜题｜技｜巧 给值求角三步法：① 界定角的范围——根据已知条件确定所求角的范围；② 求三角函数值——为防增解，选在范围内单调的三角函数；③ 结合范围求角——在范围内取唯一值。 选函数原则：若角的范围在(0,π/2)内，sin、cos、tan均可；若角跨象限，优先选cos（因为cos在(0,π)单调递减）。 易｜错｜点｜拨 1　 不先界定角的范围，直接求三角函数值，出现多解、增解； 2　 选函数不当：角跨仍用正弦，无法唯一确定角； 3　 锐角、钝角范围混淆，三角形内角范围忽略； 4　 求出三角函数值后，不结合范围取舍，保留多余角度； 5　 两角和差后角度超出常规范围，不会结合象限精准定角。 典例3：已知，，且，，则　　 A． B． C． D． 解析：由，则，又， 故，所以，而，则，， 又，则．故选：． 变式1：已知，都是锐角，，则　　 A． B． C．或 D．不能确定 解析：，都是锐角，，， ，， ， ．故选：． 变式2：设，为钝角，且，，则的值为　　 A． B． C． D．或 解析：，为钝角，且，， ，，且， ， 又，．故选：． 变式3：已知、都是锐角，且，，则　　 A． B． C．或 D．或 解析：由，为锐角，且，， 可得，，且， ，故故选：． 题型四 二倍角公式的给角求值 解｜题｜技｜巧 给角求值两种路径：① 正用——直接展开二倍角公式；② 逆用——识别结构，将sinαcosα合为(1/2)sin2α，将cos²α−sin²α合为cos2α等。逆用是重点，核心是"凑结构"。 易｜错｜点｜拨 1　 不会逆用二倍角，看不出可化为； 2　 二倍角余弦三种形式乱用，不会根据式子结构择优选用； 3　 升幂、降幂公式记反，对应形式混淆； 4　 特殊角二倍角三角函数值记忆不准，计算低级出错； 5　 平方结构不会配方变形，看不出的完全平方形式。 典例4：　　 A． B． C． D． 解析： ．故选：． 变式1：　　 A． B． C． D． 解析： ．故选：． 变式2：计算：　　 A． B． C． D． 解析：．故选：． 变式3：的值为　　 A． B． C． D． 解析：由题意可得：．故选：． 题型五 二倍角公式的给值求值 解｜题｜技｜巧 给值求值两步走：① 找角的关系——观察已知角与目标角是否成倍数关系；② 选公式——已知sinα用1−2sin²α，已知cosα用2cos²α−1。若同时求sin2α、cos2α、tan2α，先求其中一个再推其余。注意象限对符号的影响。 易｜错｜点｜拨 1　 看不出已知角和目标角二倍倍数关系，不会选用二倍角公式； 2　 已知乱用、已知乱用； 3　 平方求三角函数值时，忽略象限直接开方，符号出错； 4　 同角平方关系与二倍角公式混用，变形步骤混乱； 5　 由求二倍角时，记错正切二倍角分母符号。 典例5：已知，则　　 A．1 B．2 C． D． 解析：因为，所以由二倍角的正切公式得．故选：． 变式1：若，则　　 A． B． C． D． 解析：因为，两边平方，可得， 所以，则．故选：． 变式2：若，则　　 A． B． C． D． 解析：因为， 所以．故选：． 变式3：已知，则　　 A． B． C． D． 解析：因为，所以　．故选：． 题型六 半角公式与辅助角公式 解｜题｜技｜巧 半角公式：关键是"看角"和"定范围"——若已知角是待求角的两倍，用半角公式；先确定半角所在象限再定符号；优先选用无根号形式的tan(α/2)公式。 辅助角公式：将合成为)，是研究三角函数性质的核心工具。记住常见辅助角。 易｜错｜点｜拨 半角公式易错 1　 带根号半角公式不判断所在象限，随意乱取正负号； 2　 不会优先用无根号，徒增符号讨论； 3　 半角和二倍角角度关系搞反，与倍次混淆。 辅助角公式易错 1　 合成时漏掉，忘记开方求振幅； 2　 辅助角不会由点象限确定，随便写特殊角； 3　 记反成； 4　 常见辅助角特殊组合记混，如、合成出错。 典例6：已知为锐角，，则　　 A． B． C． D． 解析：，则， 故，即， 为锐角，，．故选：． 变式1：若，且，则等于　　 A．3 B．2 C． D． 解析：，，设，， ，， ， 即，即，解得故选：． 变式2：若，且，则等于　　 A． B． C． D． 解析：，且，， 即，，解得，或（舍去），故选：． 变式3：已知，，则等于　　 A． B． C． D． 解析：已知，，，，则，故选：． 题型七 三角恒等式的化简与证明 解｜题｜技｜巧 化简与证明遵循"三变"：变角（复角化单角）、变名（统一函数名）、变式（升幂或降幂）。常用方法：① 切化弦；② 降幂——用sin²α=(1−cos2α)/2、cos²α=(1+cos2α)/2；③ 逆用公式——识别和差角、二倍角的结构。证明时从复杂端推向简单端，或"两头凑"。 易｜错｜点｜拨 1　 不会用切化弦，式子含正切无法统一函数名； 2　 高次式子不会用降幂公式降次，越化越复杂； 3　 不会逆用和差、二倍角公式，看不出式子结构特征； 4　 证明不从复杂往简单推，乱变形、无逻辑； 5　 “两头凑”法不会用，左右两边同时变形找不到中间等量； 6　 忽略定义域，约分时随便约去含三角函数的式子。 典例7：求解下列问题： （1）求证：； （2）已知，求． 解析：（1）证明：， ． （2）若，则， 由，解得，所以， 因为，由（1）得， 所以． 变式1：证明：． 解析：证明：由二倍角公式，以及可得，，得证． 变式2：证明：． 解析：证明：左边 右边，得证． 变式3：求证：． 解析：证明：左 右． 题型八 三角恒等变换的综合应用（含实际应用与数学文化） 解｜题｜技｜巧 综合应用题往往将三角恒等变换与三角函数性质、三角形问题、实际问题相结合。常见路径：① 辅助角公式化简→研究三角函数性质（周期、单调、最值）；② 在三角形中利用A+B+C=π进行角的转化；③ 实际问题建模→引入辅助角→三角函数最值。数学文化题（如古代天文测量、建筑图案等）本质是给值求值或求角问题，关键是理解题意、提取数学信息。 易｜错｜点｜拨 1　 不会先用辅助角公式化简，直接研究周期、单调、最值极易出错； 2　 三角形中忽略，不会用内角和进行角的转化； 3　 实际问题、数学文化题不会提取几何与角度条件，建模失败； 4　 求三角函数最值时，忽略给定区间，直接用求值； 5　 单调区间求解时，忘记结合，漏写通解形式； 6　 多角叠加、旋转类螺线/几何图案题，角度关系梳理混乱。 典例8：我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的　　 A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 解析：依题意，，则， 所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍．故选：． 变式1：随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然．更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用，，，表示黄金分割点．若照片长、宽比例为，设，则　　 A． B． C． D． 解析：由题意得，，故， 所以．故选：． 变式2：我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”进行两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2.5倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的　　 A．倍 B．1倍 C．倍 D．倍 解析：由题意可得，，且，，，所以．故选：． 变式3：彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂的历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化．如图1所示的漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2所示，若以为始边，射线绕着点逆时针旋转，终边与重合时的角为，终边与重合时的角为，终边与重合时的角为，则的值为　　 A．1 B． C． D．0 解析：，，， 则 ．故选：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 2．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 4．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】,所以 ． 5．已知，则________． 【答案】 【详解】，，， . 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知可得可知 解得，所以 故选：A. 7．已知，且，则（     ）． A． B． C．1 D．5 【答案】D 【详解】由，得， 所以， 则，所以，因为， 所以. 8．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是第二象限角，且， 所以， 故. 9．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 所以， 所以. 10．已知、是关于的方程的两根，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为、是关于的方程的两根， 可得， 又因为，可得 由，所以，解得，经检验符合. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．已知，且，则（    ） A．3 B． C． D．-3 【答案】A 【详解】由已知，可得：， 因为存在，所以， 将上式两边同时除以可得， 代入，得：， 根据正切和公式， 代入和：. 12．2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，设直角三角形两直角边为a，，则，解得， ， ， 故选：B 13．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点、，为坐标原点，余弦相似度为向量、夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知、、，若、的余弦距离为，，则、的余弦距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，， ， ， 由已知，可得，① 又因为，② 联立①②可得，， 因此，、的余弦距离为， 故选：A. 14．若关于的方程在上恰有两个不同的解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】若关于的方程在上恰有两个不同的解， 则函数与函数在上有两个交点， 因为， 当时，， 由正弦函数性质可知当，即时，函数单调递增， 当，即时，函数单调递增， 作出函数的图象如下： 由图象可知，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 三角恒等变换（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01两角和与差公式的直接应用（给角求值） 题型02两角和与差公式的给值求值 题型03两角和与差公式的给值求角 题型04二倍角公式的给角求值 题型05二倍角公式的给值求值 题型06半角公式与辅助角公式 题型07三角恒等式的化简与证明 题型08三角恒等变换的综合应用（含实际应用与数学文化） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效、 本章是高中数学必修第二册三角函数板块的核心章节，三角恒等变换是连接三角函数概念与三角函数应用的桥梁，期末必考。知识点覆盖五个板块：两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，半角公式，辅助角公式，三角恒等变换的综合应用。 核心考点与考情表 核心考点 复习目标 考情规律 两角和与差公式（给角求值） 能熟练运用公式对特殊角的和差进行正用、逆用求值 基础必考点，选择填空常考，注意公式逆用识别结构 两角和与差公式（给值求值） 能根据已知角与目标角的关系，灵活拆角凑角求值 高频考点，关键是角的变换 两角和与差公式（给值求角） 能先定角的范围，再选取单调函数求角 中档考点，范围确定是关键，常考三角形内角问题 二倍角公式（给角求值） 能正用、逆用二倍角公式化简求值 基础考点，逆用是难点 二倍角公式（给值求值） 能寻找已知角与目标角的倍数关系，灵活选用公式 重点考点，常与同角关系、象限判断结合 半角公式与辅助角公式 能根据半角范围确定符号，能用辅助角公式合成一角 重难考点，辅助角公式是研究三角函数性质的核心工具 三角恒等式的化简与证明 能运用切化弦、异名化同名、升降幂等策略完成化简证明 中高档考点，方法灵活，需综合运用多组公式 三角恒等变换的综合应用 能将三角恒等变换与三角函数图象性质、实际问题结合 压轴考点，常考辅助角公式+函数性质+最值范围 考情总结:本章分值占比约15%~20%。易错点集中在：①半角公式开方时符号判断错误；②给值求角时未界定角的范围导致增解；③辅助角公式中辅助角φ的确定；④二倍角余弦公式三种形式选用不当；⑤给值求值时忽略角的象限对三角函数值符号的影响。命题趋势上，"给值求值"与"给值求角"是选择题填空题的主打题型，辅助角公式结合三角函数性质（周期、单调性、最值）是解答题的标配，数学文化背景题（如古代天文、建筑图案中的三角变换）是近年新课标卷的亮点。 知识点01 两角和与差的三角函数公式 1.两角差的余弦公式 C(α−β) 2.两角和的余弦公式 C(α+β) 3.两角和与差的正弦公式 1　 2　 4.两角和与差的正切公式 1　 2　 公式使用要点 要点 说明 正用 从左到右，展开和差角的三角函数值 逆用 从右到左，将结构匹配的式子合并为一个角的三角函数 变形用 如 常见角的变换 易错点 ①中分母是中分母是，符号易混淆； ② 逆用时注意，系数对应莫错位。 知识点02 二倍角公式 1.二倍角的正弦: 2.二倍角的余弦 ——三种等价形式 3.二倍角的正切: 降幂形式（由可得）: 这两个降幂公式是三角变换中"降次"的核心工具，务必熟练掌握。 常见变形 ①（升幂）； ② （升幂）； ③； ④ 易错点 ①三种形式要根据需要选取：已知用，已知用； ② 降幂公式中对应，对应，勿搞反。 知识点03 半角公式 ; 半角正切的无根号形式: 符号确定规则 半角公式中±号由所在的象限决定。优先选用无根号形式的公式，可避免开方讨论符号的问题。 易错点 ① 使用带根号的半角公式时，必须先确定的范围再定符号；② 优先选用，可避免开方讨论符号。 知识点04 辅助角公式 其中的象限由点(确定。 常见辅助角 辅助角公式的应用场景 ① 求三角函数的周期、单调区间、最值；② 化简含线性组合的式子；③ 解决三角函数在实际问题中的建模。 易错点 ① 辅助角φ要结合点(a,b)所在象限确定；② 合成后振幅为，勿漏开方。 知识点05 三角恒等变换的常用策略 "三变"原则 变换方向 操作 典型方法 变角 消除角之间的差异 拆角、凑角、统一角 变名 统一三角函数名称 切化弦、弦化切、统一为sin或cos 变式 改变式子结构 升幂、降幂、配方 化简三角函数式的常用方法 ① 切化弦；② 异名化同名；③ 异角化同角；④ 高次降低次（降幂公式）；⑤ 逆用公式。 证明三角恒等式的原则 从复杂到简单，高次降低次，复角化单角。若两端都复杂，则"两头凑"。 题型一 两角和与差公式的直接应用（给角求值） 解｜题｜技｜巧 给角求值三类常见题型：① 两特殊角之和差的三角函数值，直接展开；② 非特殊角拆成两个特殊角的和差；③ 含常数的式子，将常数转化为特殊角的三角函数值后逆用公式。关键在于"凑结构"——识别公式的逆用形式。 易｜错｜点｜拨 1　 不能快速识别公式逆用结构，只会正用、不会合并化简； 2　 特殊角拆分出错，不会把非特殊角拆成两个特殊角的和差； 3　 常数不会转化为特殊角三角函数值，无法凑和差公式形式； 4　 和差角公式中正负号记混，正弦、余弦和差公式符号错位； 5　 诱导公式与和差公式混用时分不清符号，导致求值结果符号错误。 典例1： （1）的值为 （ ） A． B． C． D． （2）coscos=（ ） A．sin B．cos C． D． （3）求值：（ ） A． B． C．1 D． 变式1：计算的结果等于　　 A． B． C． D． 变式2：下列化简正确的是（ ） A． B． C． D． 变式3：的值为　　 A． B． C． D． 题型二 两角和与差公式的给值求值 解｜题｜技｜巧 给值求值的核心是角的变换——寻找已知角与目标角的关系，通过拆角凑角建立联系。解题步骤：① 找角的关系→② 求需要的三角函数值（注意象限）→③ 代入公式计算。 目标角 拆分方式 易｜错｜点｜拨 1　 不会拆角凑角，找不到已知角与目标角的代数关系； 2　 忽略角所在象限，直接默认三角函数值为正，符号判断失误； 3　 只算正弦或余弦，漏求解题必需的另一三角函数值； 4　 公式代入时系数、符号抄错，和差公式对应项错位； 5　 未利用角的范围缩小角度区间，引入多余三角函数值。 典例2：已知，且，则　　 A． B． C． D．或 变式1：已知，，则　　 A． B． C． D． 变式2：已知，若，则　　 A． B． C． D． 变式3：已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型三 两角和与差公式的给值求角 解｜题｜技｜巧 给值求角三步法：① 界定角的范围——根据已知条件确定所求角的范围；② 求三角函数值——为防增解，选在范围内单调的三角函数；③ 结合范围求角——在范围内取唯一值。 选函数原则：若角的范围在(0,π/2)内，sin、cos、tan均可；若角跨象限，优先选cos（因为cos在(0,π)单调递减）。 易｜错｜点｜拨 1　 不先界定角的范围，直接求三角函数值，出现多解、增解； 2　 选函数不当：角跨仍用正弦，无法唯一确定角； 3　 锐角、钝角范围混淆，三角形内角范围忽略； 4　 求出三角函数值后，不结合范围取舍，保留多余角度； 5　 两角和差后角度超出常规范围，不会结合象限精准定角。 典例3：已知，，且，，则　　 A． B． C． D． 变式1：已知，都是锐角，，则　　 A． B． C．或 D．不能确定 变式2：设，为钝角，且，，则的值为　　 A． B． C． D．或 变式3：已知、都是锐角，且，，则　　 A． B． C．或 D．或 题型四 二倍角公式的给角求值 解｜题｜技｜巧 给角求值两种路径：① 正用——直接展开二倍角公式；② 逆用——识别结构，将sinαcosα合为(1/2)sin2α，将cos²α−sin²α合为cos2α等。逆用是重点，核心是"凑结构"。 易｜错｜点｜拨 1　 不会逆用二倍角，看不出可化为； 2　 二倍角余弦三种形式乱用，不会根据式子结构择优选用； 3　 升幂、降幂公式记反，对应形式混淆； 4　 特殊角二倍角三角函数值记忆不准，计算低级出错； 5　 平方结构不会配方变形，看不出的完全平方形式。 典例4：　　 A． B． C． D． 变式1：　　 A． B． C． D． 变式2：计算：　　 A． B． C． D． 变式3：的值为　　 A． B． C． D． 题型五 二倍角公式的给值求值 解｜题｜技｜巧 给值求值两步走：① 找角的关系——观察已知角与目标角是否成倍数关系；② 选公式——已知sinα用1−2sin²α，已知cosα用2cos²α−1。若同时求sin2α、cos2α、tan2α，先求其中一个再推其余。注意象限对符号的影响。 易｜错｜点｜拨 1　 看不出已知角和目标角二倍倍数关系，不会选用二倍角公式； 2　 已知乱用、已知乱用； 3　 平方求三角函数值时，忽略象限直接开方，符号出错； 4　 同角平方关系与二倍角公式混用，变形步骤混乱； 5　 由求二倍角时，记错正切二倍角分母符号。 典例5：已知，则　　 A．1 B．2 C． D． 变式1：若，则　　 A． B． C． D． 变式2：若，则　　 A． B． C． D． 变式3：已知，则　　 A． B． C． D． 题型六 半角公式与辅助角公式 解｜题｜技｜巧 半角公式：关键是"看角"和"定范围"——若已知角是待求角的两倍，用半角公式；先确定半角所在象限再定符号；优先选用无根号形式的tan(α/2)公式。 辅助角公式：将合成为)，是研究三角函数性质的核心工具。记住常见辅助角。 易｜错｜点｜拨 半角公式易错 1　 带根号半角公式不判断所在象限，随意乱取正负号； 2　 不会优先用无根号，徒增符号讨论； 3　 半角和二倍角角度关系搞反，与倍次混淆。 辅助角公式易错 1　 合成时漏掉，忘记开方求振幅； 2　 辅助角不会由点象限确定，随便写特殊角； 3　 记反成； 4　 常见辅助角特殊组合记混，如、合成出错。 典例6：已知为锐角，，则　　 A． B． C． D． 变式1：若，且，则等于　　 A．3 B．2 C． D． 变式2：若，且，则等于　　 A． B． C． D． 变式3：已知，，则等于　　 A． B． C． D． 题型七 三角恒等式的化简与证明 解｜题｜技｜巧 化简与证明遵循"三变"：变角（复角化单角）、变名（统一函数名）、变式（升幂或降幂）。常用方法：① 切化弦；② 降幂——用sin²α=(1−cos2α)/2、cos²α=(1+cos2α)/2；③ 逆用公式——识别和差角、二倍角的结构。证明时从复杂端推向简单端，或"两头凑"。 易｜错｜点｜拨 1　 不会用切化弦，式子含正切无法统一函数名； 2　 高次式子不会用降幂公式降次，越化越复杂； 3　 不会逆用和差、二倍角公式，看不出式子结构特征； 4　 证明不从复杂往简单推，乱变形、无逻辑； 5　 “两头凑”法不会用，左右两边同时变形找不到中间等量； 6　 忽略定义域，约分时随便约去含三角函数的式子。 典例7：求解下列问题： （1）求证：； （2）已知，求． 变式1：证明：． 变式2：证明：． 变式3：求证：． 题型八 三角恒等变换的综合应用（含实际应用与数学文化） 解｜题｜技｜巧 综合应用题往往将三角恒等变换与三角函数性质、三角形问题、实际问题相结合。常见路径：① 辅助角公式化简→研究三角函数性质（周期、单调、最值）；② 在三角形中利用A+B+C=π进行角的转化；③ 实际问题建模→引入辅助角→三角函数最值。数学文化题（如古代天文测量、建筑图案等）本质是给值求值或求角问题，关键是理解题意、提取数学信息。 易｜错｜点｜拨 1　 不会先用辅助角公式化简，直接研究周期、单调、最值极易出错； 2　 三角形中忽略，不会用内角和进行角的转化； 3　 实际问题、数学文化题不会提取几何与角度条件，建模失败； 4　 求三角函数最值时，忽略给定区间，直接用求值； 5　 单调区间求解时，忘记结合，漏写通解形式； 6　 多角叠加、旋转类螺线/几何图案题，角度关系梳理混乱。 典例8：我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的　　 A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 变式1：随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然．更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用，，，表示黄金分割点．若照片长、宽比例为，设，则　　 A． B． C． D． 变式2：我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”进行两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2.5倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的　　 A．倍 B．1倍 C．倍 D．倍 变式3：彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂的历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化．如图1所示的漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2所示，若以为始边，射线绕着点逆时针旋转，终边与重合时的角为，终边与重合时的角为，终边与重合时的角为，则的值为　　 A．1 B． C． D．0 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．的值是（   ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C． D． 5．已知，则________． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，则（     ）． A． B． C．1 D．5 8．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知、是关于的方程的两根，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．已知，且，则（    ） A．3 B． C． D．-3 12．2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（    ） A． B． C． D． 13．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点、，为坐标原点，余弦相似度为向量、夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知、、，若、的余弦距离为，，则、的余弦距离为（    ） A． B． C． D． 14．若关于的方程在上恰有两个不同的解，则实数的取值范围是_____． 学科网（北京）股份有限公司 $