(4)解三角形-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（苏教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (四)解三角形 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,bc,已知a=8,A=T,则△ABC外接 圆的周长为 A.4√2π B.8√2π C.8π D.163 元 3 2.在△ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA:sinB:sinC=4:7:9, 则△ABC中最小角的余弦值为 A员 且器 c号 D. 3.在△ABC中，若A=若，AB=1,AC-B,则BC边上的高为 A.1 B.√2 c. D.2 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC的形状是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 5.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾 股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形 与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设DF=3FA,若AB= 3√J2I,则DF的长为 A.9 B.2√3 C.3 D.√3 数学（苏教版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东15°方向，距离为12√6海里，灯塔C 在A的北偏东60°方向，距离为12√3海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处 时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时渔船位于灯塔C的 A.南偏东30°方向 B.南偏西30°方向 C.北偏西60°方向 D.北偏西30°方向 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则根据下列条件有两解的是 A.A=F,b=1,c=2 BA=否b=3,a=月 C.B-经，=1，c=2 D.B=平，b=3,a=2 8.据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学 建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角 仪、米尺、量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方 案有 A.把两只佛脚底部看作M,N两点，分别测量佛顶的仰角a,3和 MN的距离 B.在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为α，再面对大佛前行S米，测得 佛顶的仰角为3 C.高为h的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶 的仰角a,3 D.在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角α，B,再测量A,B两点间距离和 两点相对于大佛底部的张角0 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 P 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=105°，C=30°，c=2,则a 高一同步周测卷四 数学（苏教版）必修第二册第2页（共4页） 10.已知在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2+b一c2=ab,则C ,若a=2,则△ABC的面积S的取值范围为 ·(本题第一空2 分，第二空3分) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=5sinx-2cos三，在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,且f(B)=0. (1)求B; (2)若b=√13，且△ABC的面积为33，求a一c. 12.(本小题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,且2 acos A-bos C.=G cos B (1)求A的大小； (2)若bc=4,求a的最小值； (3)若∠BAC的平分线与边BC交于点D,且AD=1,求证：方+-月. 数学（苏教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通M,N两地，M地位于岸边东西方向的直 线AB上，N地位于海上一个灯塔处，在M地用测角器测得∠NMB的大小，设 ∠NMB=a,已知iana=是在M地正东方向号km的点P处，用测角器测得 ∠NPB=平.在直线AB上选一点Q,设∠NQB=a,且a<≤2，先沿线段MQ在 地下铺设电缆，再沿线段QN在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别 为3万元/km,6万元/km (1)求M,N两点间的距离； (2)设铺设电缆的总费用为f(α). ①求f(a)的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时MQ的长度. 北 西 一东 南 高一同步周测卷四 数学（苏教版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（四） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) 9 ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 利用正弦定理求三 1 选择题 易 0.80 角形外接圆的周长 正、余弦定理的应用 选择题 5 易 0.75 (已知三边求角) 余弦定理，利用三角 3 选择题 5 0.72 形面积公式求高 易 利用余弦定理判断 4 选择题 5 中 0.65 三角形形状 利用余弦定理求线 选择题 段的长（古代数学文 中 0.55 化) 利用正、余弦定理解 6 选择题 中 0.35 决航海问题 正弦定理中的两解 选择题 中 0.50 问题 与三角形有关的方 8 选择题 6 中 0.30 案设计问题 正弦定理的应用（已 9 填空题 5 易 0.72 知两角及一边) 利用正、余弦定理解 10 填空题 5 中 0.40 锐角三角形 三角函数与解三角 11 解答题 13 中 0.60 形的综合 解三角形与基本不 12 解答题 15 等式的综合，三角形 V 中 0.45 的角平分线问题 测量距离问题，与函 13 解答题 20 中 0.35 数的综合 ·13· ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】设R为△ABC外接圆的半径，由正弦定 sin∠CDA= 12/x 12 -号，因为AD>AC,故 理可知2R=a 8 sin A =8=82,故△ABC外 ,3π2 ∠CDA为锐角，故∠CDA=60°，则此时灯塔C位于 sin4 2 渔船的北偏西30°方向，即渔船位于灯塔C的南偏东 30°方向.故选A. 接圆的周长为2πR=8√2元.故选B. 2.C【解析】因为sinA:sinB:sinC=4:7:9,所以最小 角为A,由正弦定理可设a=4k,b=7k,c=9k.由余弦 定理得cosA=公+c-a=49k2+81-162 东 26c 2×7kX9k 品故选C 3.C【解析】由余弦定理得BC= √1+(3)-2X1××os文=1，设BC边上 6 的高为么，则Sam=之AB:AC·sm吾=合X1: 二、选择题 7.BD【解析】对于A,因为两边及其夹角唯一确定一 6,解得方-9故适C 个三角形，所以A错误；对于B,由正弦定理得sinB 4.A【解析】由c<Ecos A,可得c<+d·b,即 bsin A 2bc 3X立-<1，又b>a,即B∈（晋小 3 2 a十c<B,则osB=2+C&<0,又B∈(0，)， 2ac 所以B=吾或B-要，故B正确：对于C,由正弦定理 3 则受<B<π，则△ABC的形状为钝角三角形，故 得sinC-csin B_ 2x9 选A. 1 =√3>1，无解，故C错误； b 5.A【解析】由题可知在△DEF中，∠EDA=子，则 ∠ADB=经，不妨设DF=3k(k>0),由DF=3AF 对于D,由正弦定理得sinA=asin B. 2x号 6 √3 3 √6 知AF=k,则AD=4k,又因为△AFC与△BDA全 3 <1又a>6.即A∈（于，），又易知sinA= √3 等，所以DB=AF=k,则在△ABD中，由余弦定理可 知cos∠ADB=AD+BD-AB 乞，则sinA=6 有两个解，故D正确.故 2AD·BD (4)+-(3)=-号 选BD. 2×4kXk ，解得k=3,所以DF 8.BCD【解析】对于A,如果M,N两点与佛像底部不 在一条直线上时，就不能测量出佛像的高度，故A不 =9.故选A. 正确；对于B,如图1，设佛像高度为CD,在佛脚平台 6.A【解析】如图，由题意，在△ABD中，B=15°+30 上一点测得佛顶的仰角为∠CAD=α，再面对大佛前 =45°，AB=12√6，∠ADB=60°，由正弦定理得 行AB=S米，测得佛顶的仰角为∠CBD=B,在 AD=AB=12y5=242,所以AD=24,在 sin 45= sin 60= 3 △CBD中，CB=品g在△CAD巾，CA=品所 2 以C1cn=巴品即s=品品佛像 △ACD中，因为AC=12√3，∠CAD=30°，由余弦定 理得CD2=AC十AD2-2 AC X AD X cos30°= 高度CD= 1 1,故B正确：对于C,如图2，设 (123)°+24-2×125×24×5=144，所以CD tan a tan B 2 佛像高度为CD,在△ABD中由正弦定理求AD,则 CD AC 佛像的高CD=h十ADsin a,故C正确：对于D,如图 =12,由正弦定理得sn30=sn∠CDA,所以 3,在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角 ·14· 高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· α，B,再测量A,B两点间距离和两点相对于大佛底部 的张角O,在Rt△ADC,Rt△BDC中用CD来表示 1 sin(A+】 √3 3 AC,BC,在△ABC中由余弦定理就可以计算出佛像 ab·sinc- sin A 十21anA,因为 高度CD,故D正确.故选BCD. 0<A<受， D △ABC是锐角三角形，所以 解得 -A<受， 0<3 晋<A<吾，所以mA>停所以0<A< 3 3从而5∈（停，25） 四、解答题 11.解：1)由题意得f(x)=√3sinx-cosx-1 图1 =2sin(x-g）-1, (2分) 所以由f(B)=2sin(B-若)-1=0， 得sn(B-吾)=专 (4分) 又因为0<B<π， 所以吾<B-< 所以B-晋=晋，B=号 (6分) 图2 (2)因为6=√E,B=号且△ABC的面积为35， D 所以a2+c-2 aceos B=公且Sae=合acsin B =3√3， 即/a+c2-ac=13 ac=12 (10分) 部阳任 (12分) 所以a-c=士1. B (13分) 图3 12.解：(1)由已知得bcos C-十ccos B=2 acos A, 三、填空题 由正弦定理得sin Beos C+sin Ccos B 9.2√2【解析】由B=105°，C=30°，得A=180°-B =2sin Acos A, sin A=sin (B+C)=2sin Acos A, (3分) C=45°，由正弦定理得a $DA=C,即21，解得 又sinA≠0， 2 2 所以2cosA=1, a=22 即casA= (4分) 10.号(，25）【解析】由余孩定理得osC= 又因为A∈(0，π)， 兰-总-子因为ce（o,受)：所以C- 所以A=号 (5分) 2ab (2)由余弦定理得a2=6十2-2 bccos A=b+c2 吾，由正弦定理AB,得6 a b 2sin(g-A） bc≥2bc-bc=bc=4,当且仅当b=c=2时取等号， sin A (8分) 2sin[x-(A+号)]_2sin(A+号） 所以a≥4，a≥2， ,所以S 则a的最小值为2. (10分) sin A sin A (3)由∠BAC的平分线与边BC交于点D, 可得S△ABC=SAABD十S△ADC, ·15· ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 因为A=号，AD为∠BAC的平分线，且AD=1, 1 解得NQ-品aMQ= 5sin a-cos a (9分) 1 所以号esin A=号c…AD·sin晋十立b:AD: 1 sin a 12 -sin a-cos a sin若， (13分) 所以f(a)=3X 5 sin a +6X1 sin a 可得3bc=b十c, 6+32-cos2(aw<a≤受)： (12分) 5 sin a 所以名+，得证 (15分) ②令t= 2-cos a sin a 5 13.解：(1)在△MNP中，由tan=2: 则tsin a十cosa=2, (sin'ao +cos'ao=1 则√f+1sin(a十g)=2, (14分) 得 sin ao5 1 cos ao 12 其中锐角o由simg=产+气，cos9伊十1延， 解得sin ao= 13cos ao -12 5 2 131 (2分) 于是sin(a+p）=市1 则sin∠MNP=sin(平-ao) 则有 2 =≤1， (16分) -9×(唱)-器 而>0，解得≥5，当且仅当。=晋9=晋时取等 MN MP 由正弦定理得sin∠NPM sin∠MNP' (4分) 号， (18分) × 即当MQ=是-L是-号时，fa)有最小值 5 tan a 5 3 所以M,N两点间的距离MN= 3(km. +3, 26 (6分) 所以总费用的最小值为(5+3)万元，此时MQ 13 (2)①在△MNQ中，由正弦定理得n(ia 的长度为（号-号）k如 (20分) sin(a-ao） 5 13 ·16·