(1)向量的概念、向量的运算、向量基本定理及坐标表示-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（苏教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (一)向量的概念、向量的运算、向量基本定理及坐标表示 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.AC-BD+CD= A.BA B.AB c.BC D.0 2.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与DE相 等的向量为 A.AB B.OF C.OE D.OD 3.已知向量a与b的夹角为3开，a=厄，al(a十b),则bl- A.1 B.2 C.2 D.√5 4.已知AB=(1,cosa),BC=(1,sina),CD=(3,sina),若A,B,D三点共线，则 sin a_ cos a A.-2 B.2 c D.司 5.已知函数y=tan不x-乏)的部分图象如图所示，则(O+O)·AB的值为 A.-4 B.4 C.-8 D.8 数学（苏教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题· 6.铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形 ABCD的边长为4，圆O的半径为4√2，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动 点P在圆O上，且AP=入AB+4AD,则入十4的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列结论错误的是 A.若a与b都是单位向量，则a∥b B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.若a=b,b=c,则a=c D.(b·c)a-(a·c)b与c垂直 &设点N在△C的边c上，且满足Ai=需+恶-=4测下 列结论正确的是 A.△ABC是等腰三角形 B若M·M店=MA·MC,向量A店，BC的夹角为军 C.直线AM是角A的角平分线 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知向量a=(1,1),向量b在向量a方向上的投影向量的模长为2a,且向量b在x 轴上的坐标为m,则向量b的坐标可以为 .(写出一个即可) 10.已知O为边长为√3的等边△ABC的重心，动点P满足OP=xOA+yOB+之O元，x ∈[0,1]，y∈[0,1]，之∈[0,1]，则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为 ,PA·PB的最大值为 .（本题第一空2分，第二空3分) 高一同步周测卷一 数学（苏教版）必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分》 设a,b是不共线的两个非零向量. (1)若OA=4a-2b,OB=6a+2b,OC=2a-6b,求证：A,B,C三点共线； (2)若4a十号仙与如十b共线，求实数k的值，并指出4a十号仙与如十b反向共 线时k的取值. 12.(本小题满分15分) 已知向量a=(3,2),b=(x,一1) 1)若向量a与b的夹角的余弦值为压，求x的值： 26 (2)当(a+2b)⊥(2a-b)且x>0时，求a-b; (3)当c=(-8,一1)，a与b十c的夹角为钝角时，求x的取值范围. 数学（苏教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系，称为“完美坐标 系”.设e,e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量，若向量OP=xe1十e2,则把实数 对[x,y]叫做向量OP的“完美坐标”. (1)若向量OP的“完美坐标”为[3,4]，求|OP; (2)已知[x1,y],[x2,y2]分别为向量a,b的“完美坐标”，证明：a·b=x1x2+y1y2 十号(x为十： (3)若向量a,b的“完美坐标”分别为[x1,y],[x2y2],求证：a∥b的充要条件是 x1y2-x2y1=0. p e2 e1 高一同步周测卷一 数学（苏教版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢW ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 向量的加减法运算 易 0.80 2 选择题 5 相等向量 易 0.72 几何法求向量的 3 选择题 5 易 0.70 模长 坐标法解决三点共 选择题 5 中 0.55 线问题 正切函数与向量的 5 选择题 5 中 0.45 综合 平面向量基本定理 6 选择题 5 中 0.30 的应用 平面向量的相关 选择题 6 易 0.75 概念 向量线性运算、数量 8 选择题 中 0.45 积的综合 9 填空题 5 投影向量 易 0.71 10 填空题 求数量积的最值 中 0.35 向量共线，三点共线 11 解答题 13 中 0.60 问题 利用坐标法解决向 12 解答题 15 中 0.45 量模长及夹角问题 13 解答题 20 向量的新定义题 中 0.40 ① 考答案及解析 一、选择题 于C,OE与DE方向不同，所以OE与DE不相等；对于 1.B【解析】由题意得，AC-BD+CD=AC+CD+ D,O方与DE方向不同，所以O万与DE不相等.故选B. DB=AD+DB=AB.故选B 3.C 【解析】因为向量a与b的夹角为，a=反，a 2.B【解析】对于A,虽然AB1=|DE1,但方向不同， 不满足向量相等的条件，所以AB与DE不相等；对于 上(a+b),则a·(a+b)=a2+1a1bcos8买 B,DE与OF方向相同，且DE=OF,所以DE=OF;对 ·1· ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 =2+E1b·（-号)=2-1b1=0,解得1b1=2. 因此AD,AE即为AB,AC方向的单位向量，令AD+ AE=AF,可知四边形ADFE为菱形，如下图所示： 故选C 4,B【解析】由题得Bd=BC+Ci=(1+3,sina十 sina)=(4,2sina).因为A,B,D三点共线，所以AB 与BD共线，可得1×2sina-4×cosa=0,即2sina= 4cosa,易得cosa≠0，等式两边同时除以2cosa,得到 sing=2.故选B. cos a 5.D【解析】函数y=tan(牙x-乏)，当y=1时，有 所以AF即为角A的角平分线；又易知AM 干x-受-平+km(k∈)，解得x=3+4(k∈)， 高高)-正，即A水三来线所 以直线AM是角A的角平分线，可知C正确；没有条 当y=-1时，有开x-受=-开十kx(k∈Z),解得 件能说明△ABC是等腰三角形，即A错误；若MA· x=1十4k(k∈Z),当k=0时，结合图象可得 Mi=MA.M心，可得MA·Mi-MA·M花=MA· A(1,-1),B(3,1),则OA=(1,-1),OB= (MB-MC)=MA·CB=0,即MA⊥CB,又直线AM (3,1),AB=(2,2),所以(OA+OB)·AB= 是角A的角平分线可知|AC=|AB|,即△ABC是 (4,0)·(2,2)=8.故选D. 等腰三角形，又BC=√2|AB,所以△ABC是等 6.C【解析】如图： 腰直角三角形，所以向量A,B心的夹角为，可得B 错误；易知 A店 AC AB’IAC 分别表示A言，AC方向的单 AB AC 位向量，即 AB I AC =0,即D正确。 选择(OA,OB}为基底，由AP=入AB+4AD→OD OA=λ(OB-OA)+4(OD-OA),因为Oò=-Oi, 故选CD 所以Op=(入-4)Oi+(1-λ-)OA.因为1OA|= 三、填空题 9.(m,4一m)或(，一4一m)(答案不唯一，写出任意 1OB|=2√2，OA·OB=0,所以|O12 一个即可)【解析】设b=(m,n),则根据条件有 [(入-u)Oi+(1-X-)OA]→32=8（入-4）2+ 2V2=21a=1a:b=mtnl,即|m+n=4.从 8(1一入-)2，整理得2（十2）一2（入十）-3=0. a √2 又A2+2≥2λ4→2（入2+）≥A2+2λ4+2 而只要b=(m,n)满足m十n=4或m十n=-4 (入十)2（当且仅当入=以时取“=”）.所以（入十）2 即可. 2(λ十)-3≤0→（λ十-3）(A十4十1)≤0→-1≤ 10.3 3 +区3（当入==是时取=”.故选C 2 ·【解析】若OP=xAB+yAC,且x∈[o, 1],y∈[0,1]，则根据向量的加法法则可知，点P的 二、选择题 轨迹所覆盖的平面区域为平行四边形ABDC, 7.AB【解析】对于A,当a与b分别为一个长度为1 D 的正方形相邻两边对应的向量时，它们都是单位向 量，显然两向量不平行，A错误；对于B,当b=0时， 向量a,c不一定共线，B错误；对于C,相等向量具有 传递性，C正确；对于D,[(b·c)a-(a·c)b]·c= (b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0,故(b·c)a- (a·c)b与c垂直，D正确.故选AB. 由以上基础知识可知，题中点P的轨迹所覆盖的平 8.CD【解析】根据题意设店=市，A 2=A, 面区域为正六边形ADBECF,因为等边△ABC的 ABI 边长为√3，O为重心，则OA=1,正六边形ADBECF ·2· 高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 的面积为6S0D=6×-3y,设H为线段AB 解得x=1或x= (5分) 2 的中点，则PA·PB=(Pi+HA)·(Pi+H弦= (2)2a-b=(6-x,5),a十2b=(3十2x,0), (PH+HA).(PH-HA)=PH-HA:=PH 由(a+2b)⊥(2a-b)可得(a+2b)·(2a-b)= (6-x)(3十2x)=0, -子，当点P运动至点C时，P最大，最大值为 由于x>0,故x=6, 此时a=(3,2),b=(6,-1), 三故Pi·P的最大值为（受）广-是-号 故a-b=(-3,3), 则|a-b|=√32+3z=3√2. (10分) (3)c=(-8,-1),b十c=(x-8,-2), 由a∥(b十c),可得3×(-2)-2×(x-8)=0, 解得x=5, 由a…b十0)=3(x一8)4K0,可得K9。 故当a与b十c的夹角为钝角时，则x<号且x≠5， D 即x的取值范围为(-©，5)U(6,罗)。 (15分) 四、解答题 13.解：(1)因为0的“完美坐标”为[3,4]， 11.解：(1)由OA=4a-2b,Oi=6a+2b,0元=2a-6b, 则OP=3e1十4e2, 得AB=Oi-OA=6a+2b-(4a-2b)=2a十4b, 又因为e1,e分别为Ox,Oy正方向上的单位向量， BC=OC-OB=2a-6b-(6a+2b)=-4a-8b 且夹角为60°， =-2(2a+4b)=-2AB, (4分) 所以|e|=|e2|=1,且e1·e2=1×1×cos60 所以AB∥BC,且有公共点B, 所以A,B,C三点共线. (6分) 所以|Op|=√/(3e+4e2)2 (2)由4a+2仙与号如十b共线， =√9e2+24e·e2+16e2=√37 (6分) 则存在实数入，使得4a十合b=A(宁如十b), (2)a·b=(x1e1十y1e2)·(x2e1+y2e2) =x1x2e12+(x1y2十x2y)e·e2十yy2e2 即(4-号k)a+(2k-)b=0. =xx+y1y+2(x十y). (10分) 又a,b是不共线的两个非零向量，因 (3)若b=0,则显然成立， 4=0 若b≠0，则a∥b的充要条件为存在入，使得a=b, 此 即x1e1+y1e2=λ(xge+y2e2), 合-0 解得任=或区子 即 (11分) 消去入得x1y2-x2y1=0, 所以实数k的值是士4， 故a∥b的充要条件是x1y一x2y1=0得证， (20分) 当k=-4时，4a十)仙与2a十b反向共线. (13分) 12,解：(1)根据题意得ab 3x-2 26 ab√3X√r+I 26 ·3