(4)正切函数、三角函数的简单应用-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（北师大版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (四)正切函数、三角函数的简单应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=2026tan2x的最小正周期为 A开 B. C.π D.2π 2.若角0满足sin0tan0<0,则角0为 A.第一或第四象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第三象限角 3.已知tan(a-2026π)= 至，则tanla+） A青 B一 c D是 4.当x∈[0，)U(受，)U(,2x]时，函数f(x)=cosx-anx的零点个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 5.军事上通常用密位制来度量角.狙击手为了精确命中目标，需要调整射击角度，而狙 击枪上的角度单位为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数 字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如1个平角（即π）=30一00,1 个周角（即2x)=60-00.已知函数f(x)=2sin(2x+)-B,将f(x)图象上所有 点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移(o>0)个单 位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则p的最小值用密 位制可以表示为 A.25-00 B.10-00 C.02-00 D.50-00 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.若函数f(x)=1an(ox一)(。w>0)在区间（需，罗）上单调，则a的取值范围为 A.(o,) B(0.] c(o,4)U(号，4) D.(o. 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.在锐角△ABC中，三个内角分别是A,B,C,且A>B,则下列说法正确的是 A.tan A>tan B B.tan A<tan B C.tanA·tanB>1 D.0<tanA·tanB<l 8.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系 式h(t)=Asin(wt十p)确定，其中A>0,w>0,p<元.小球从最低点出发，经过2秒 后，第一次回到最低点，则测下列说法中错误的是 A.h()-Asin() B(=3秒与1=号秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 h>0 C.当0<t<to时，若小球有且只有三次到达最高点，则to∈[5,7] -h-0 D.当0<t1<t2<2时，若t1,t2时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， h<0 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 2 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.一个单摆如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为αrad,a与摆动时间t(单位：s)之间的函数 关系式为a()=2sin(受+号)，那么单摆完成5次完整摆动所需的时间为 ,高一同步周测卷四 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页） 10.已知函数f(x)=tan(wx十p)(w>0,p<乏)的图象如图所示，图中阴影部分的面 积为6π，则p= 2 π6 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知角。以x轴的非负半轴为始边，点P(4,一3m)在角a的终边上，且sine三号 (1)求m的值； (2)求tana一cosa的值； sin(x-a)+sina+)tan(x-a) (3)求 —的值， sin(-a)+cos(经+a 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页) 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 设函数f(x)=tan(2x) (1)求函数f(x)的单调区间及对称中心； (2)求不等式f(x)≤1的解集 13.(本小题满分20分) 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的 距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所用时间为24分钟.在圆周上均匀 分布12个座舱，标号分别为1~12（每个座舱视为圆周上与前一座舱的交点，如座 舱1即为图上A点)，在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本 符合正弦函数模型，现从图示位置开始计时，旋转时间为t分钟 (1)建系如图，求1号座舱(A点)与地面的距离h(米)与时间t(分钟)的函数关系 h(t)的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱(A点)与地面的距离为17米时t的值； (3)当座舱距离地面的高度达到47米及以上时，可看到该游乐场全貌，这段时间称 为“美景期”，请问在前24分钟内，“美景期”的时间有多长？ 外 54 6 3 12A 01 高一同步周测卷四 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（四） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ① ③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 正切函数的周期性 易 0.80 正切函数的符号 选择题 易 0.72 判断 利用正切的诱导公 3 选择题 中 0.65 式知式求值 利用正切函数的图 4 选择题 5 中 0.60 象求零点 三角函数图象平移 5 选择题 5 中 0.55 的实际应用 由正切函数的单调 6 选择题 5 中 0.45 性求参 利用正切函数的性 7 选择题 6 V / 中 0.50 质比较大小 三角函数的应用 8 选择题 6 中 0.40 弹簧振动问题 三角函数的应用 9 填空题 5 易 0.71 钟摆问题 正切型函数的图象 10 填空题 5 中 0.35 的应用 正切函数的定义及 11 解答题 13 正切的诱导公式的 中 0.60 综合 正切型函数性质的 12 解答题 15 中 0.55 综合 三角函数的实际应 13 解答题 20 0.35 用一摩天轮问题 ·13· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】f(x)=|2026tan2x|与y=2026tan2x +是（∈Z).由6k-号<3k+号，解得≤号，且大 的最小正周期相同，都为T=受，故选B. ∈么当k=1时，号≤u<头；当k=0时，则 2.B【解析】sin91an9=sin9ng=sing<0,则cos9 cos 0 cos 0 -号<w<号，可得0<≤袋上所述正实数“ <0,所以角日为第二或第三象限角.故选B. w>0 3.B【解析】由an(a-2026)=子得tana=子， 3 4 的取值范围是(0，号]U[号，斗]，故送D 二、选择题 an(+受)=-。-放B 7.AC【解析】由题意可知受>A>B>0,A+B>受， 4,B【解析】由f(x)=|cosx|一|tanx=0,得 |cosx|=|tanx|,作出y=|cosx|,y=|tanx|的 0<乏-B<受，则A>受-B,因为函数y=tanx在 图象， (0,受)上单调递增，所以tanA>anB,tanA> y=tan x m(受-B）=aB>0,所以tan A.tan B>l,故 cosx AC正确，BD错误.故选AC. 8.ACD【解析】由题可知小球运动的周期T=2s,又 w>0,所以2红=2，解得a=元，当t=0s时，Asin p= 3π 一A,即sin9=-1,9<,所以9=-受，则h) 由图可知，两函数图象的交点有4个，则函数f(x) =Asin(xt-受)=-Acos,故A错误：因为h(3) 1osx-lanx在[，受)U(受，经)U(经 三 Acos3=A,h(号）=-As=-A,所 2π上的零点个数为4.故选B. 以1一3秒与1=子秒时小球简离于平衡位置的距离 5.A【解析】因为f(x)=2sin(2x+号)-5，则 之比为A=2,故B正确：若0<t<6,则0<t< 1 g(x)=2sin(+号9）-B,因为g(x)的图象关 A πto,又当0<t<t时，小球有且只有三次到达最高 于y轴对称，所以号一9=受十x(∈Z),则9 点，所以5π<πt≤7π，解得5<to≤7，即t6∈(5,7]， 若-r(k∈Z),因为g>0,所以当k=一1时，9 故C错误，因为h(t)=一Acos,令1= 4,h= -要，故g的最小值用密位制可以表示为25一0，故 ￥则A)=-A0s子=-号A,h() 2 选A A0平=号A满足0<<2且A时刻小 6,D【解析】因为w>0,则函数f(x)=tan(wr-平》 球偏离于平衡位置的距离相同，此时sin(干云）- (w>0)在区间（否，号）上只能单调递增，当晋<， sinπ=0，故D错误.故选ACD 三、填空题 <时，吾-<r-平<号。-，所以 9.20【解析】由解析式可得函数的周期T=2红=4，所 (晋w一平，号。于)(x-受，m+受)，其中k 以单摆完成5次完整摆动所需的时间为4×5=20s. 10,-号【解析】设f(x)的最小正周期为T,则T× ∈Z,所以 [2-(-1)]=3T=6π，解得T=2π，所以π=2π， ·14· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· w=号，所以f(x)=am(侵x+),由图可知 故原不等式的解集为x2π一立 k 7π f(若)=tan(是十p）=-1,因为-受<9<受，所 k∈z. (15分) 以一晋<9+竞<晋所以登十g=-至9=一晋 13.解：(1)设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数 四、解答题 解析式为h(t)=Asin(awt十o)+bA>0,w>0,t≥0， 11.解：(1)因为点P(4,-3m)在角a的终边上，且sina 9≤受)， 依题意，A=30,b=32,h(t)=30sin(wt+g)+32, 根据三角函数的定义得sina= -3 函数h(t)的最小正周期T=24min, /16+9m 5 >0, 则号-， 则m<0, 当t=0时，点A距地面17米，即h(0)=17, 解得m=-1或m=1(舍)， 故m=一1. (4分) 则sng=一之，而lg≤受， -3m=3 (2)由(1)可知tana=4 ,cos a= 解得9=一 6 (4分) /16+9m (6分) 所以所求函数式为h()=30sin(登1-晋)+32，定 义域为[0，十o∞) (6分) (8分) (2)由h)=17,得30sin(径t-若)+32=17， 2sin(x-a)tsin(a+受)tan(r-a） (3 sim(经-a)+cos(受+a】 整理得sin(-）=-, -2sin atcos a(-tan a) sin a 由0<K24,得-晋≤吾<， -cos a-sin a -cos a-sin a 3 则-吾=-吾或1-吾=吾或-吾 tan a 4 -1-tan a (13分) 1 3 7 解得t=0或t=16或t=24, 12.解：1)令-受+kx<2x-号<受十kxk∈Z, 所以t=0或t=16或t=24时，1号座舱与地面的距 离为17米。 (12分) 解得-+经<<晋+经e2 (3)由h()≥47，得30sin(歪1-晋)+32≥47， 由复合函数的单调性可知，f(x)的单调递增区间为 (一是+经，登+受)∈ZD,无单调递减区间。 整理得sim(登-晋)≥， 令2红-吾-经k∈ZD,解得x=晋+纤(k∈D, 由0≤长24，得-吾≤-吾<， 所以fx)的对称中心为（否+年，0）k∈D. 则看≤-吾<，解得4长K12. 所以在前24分钟内，“美景期”的时间 (6分) (2)因为f(x)=tan(2x-号)，f(x)≤1， 所以tan(2x-号）≤1， 则kx-吾<2x-晋<kx+受，k∈乙， (10分) 解得<r<+,Z。 ·15·