(12)简单几何体的再认识、立体几何综合-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（北师大版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (十二)简单几何体的再认识、立体几何综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知圆锥的轴截面是一个直角边长为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积为 A.√2π B.2√2π C.4π D.6π 2.如图所示，已知正方形OA'B'C的边长为1，它是水平放置的一个平面图形斜二测画 法的直观图，则其原图形的周长为 y! A.4 B.8 C.22 D.2+23 3.下列说法中正确的是 A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.两个互异平面a和3有三个不共线的交点 数学（北师大版）必修第二册第1页（共8页） 衡水金卷·先享题· 4.如图，揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南 部重要节点和标志性建筑，可近似视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型塔底宽 20cm,塔顶宽约10cm,侧面面积为780cm,据此计算该揽月阁模型的体积为 A.1400cm3 B.2800cm3 C.9100 D.8400cm3 5.如图，a∥β∥y,直线a与b分别交a,B,Y于点A,B,C和点D,E,F,若AB=3,BC= 4,DE=2,则DF= a D /a B A号 B.4 c号 D.6 6.如图，直线11,12,13相互平行，且两两之间的距离为1，平面ABC∥平面ABC1,且平 面ABC与平面A,B,C之间的距离为3，直线！与平面ABC所成的角为，则三棱 柱ABC一AB,C,的体积为 A A B号 B C.√5 D.2√3 高一同步周测卷十二 数学（北师大版）必修第二册第2页（共8页） 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)》 7.已知两条不同的直线m,n,三个不同的平面a,B,y,则 A.若a∥B,m∥a,则m∥B B.若m⊥B,n⊥Y,3∥y,则m∥n C.若a⊥B,a⊥y,3∩y=m,则m⊥a D.若m⊥a,nCB,m⊥n,则aL3 8.“阿基米德多面体”又称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多 面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截 去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一 种半正多面体.已知AB=3,则下列说法正确的是 R A.设该半正多面体的顶点数为V,棱数为E,面数为F,那么V十F一E=4 B该半正多面体的体积为受 C.∠ABC=120° D.该半正多面体外接球的表面积为18π 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 5 6 7 6 答案 数学（北师大版）必修第二册第3页（共8页） 衡水金卷·先享题· 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在正四面体A一BCD中，AB与CD所成角的正弦值为 10.在正四棱锥P一ABCD中，AB=6,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点，平 面EFGH恰好与正四棱锥P一ABCD的内切球O相切，则球O的体积 为 高一同步周测卷十二 数学（北师大版）必修第二册第4页（共8页) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知 圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为6cm,高为20cm,圆锥的母线为10cm. (参考数据：π≈3.14) (1)计算该模型的体积；（结果精确到1cm3) (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用 是多少？（结果精确到1元） P 0 数学（北师大版）必修第二册第5页（共8页） 衡水金卷·先享题·高 12.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD,AD=AB= CD,平面ADPL平面PCD,PDLPC. (1)求证：AC⊥AD; A-- ⊙ (2)求证：△ADP为直角三角形； (3)若PC=AD=1,求四棱棱P一ABCD的体积. D 同步周测卷十二 数学（北师大版）必修第二册第6页（共8页） 13.(本小题满分20分) 如图，已知等腰梯形ABCD中，AD/BC,AB=AD=BC=2,E是BC的中点，AE ∩BD=M,将△BAE沿着AE翻折成△B1AE,使B,M⊥平面AECD. (1)求证：平面B1AE⊥平面B,MD; (2)求二面角B1一DC-A的大小； (3)在线段B,C上是否存在点P,使得MP∥平面BAD?若存在，求出CP的长；若 不存在，请说明理由」 B M D M 数学（北师大版）必修第二册第7页（共8页） 衡水金卷·先享题·高一同步周测卷十二 数学（北师大版）必修第二册第8页（共8页）高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（十二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① 9 ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 求圆锥的侧面积 易 0.80 由斜二测画法求原 选择题 易 图形的周长 0.72 平面基本事实的 3 选择题 中 0.65 应用 棱台的体积（数学文 4 选择题 5 中 0.50 化) 由面面平行的性质 5 选择题 5 中 0.45 求线段的长 两平行平面的距离、 直线与平面所成的 6 选择题 5 中 0.30 角、棱锥的体积的 综合 7 选择题 线线、线面平行垂直 易 0.75 的综合 立体几何中的新定 8 选择题 6 难 0.28 义题 求异面直线所成 9 填空题 5 易 0.75 的角 10 选择题 内切球的体积 中 0.60 圆柱、圆锥的实际 11 解答题 13 中 0.55 应用 12 线线垂直的判定、求 解答题 15 中 0.45 棱锥的体积 面面垂直的判定，求 13 解答题 20 二面角的大小，由线 / 中 0.32 面平行求线段的长 ·49· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 5.C【解析】如图，连接AF交3于点M,连接MB, 1.B【解析】因为轴截面是一个直角边长为2的等腰 CF,ME,AD.因为B∥Y,B∩平面ACF=BM,Y∩平 直角三角形，所以圆锥的底面半径R=√2，母线1=2， 面ACF=CE,所以BM/CE,所以瓷-同理 所以圆锥的侧面积为S=πRl=2√2π.故选B. 2.B【解析】根据斜二测画法还原得下图： ME/AD,且器-器所以设-邵，所以是 系，故EF=号，故DF=DE+EF=兰，故选C 因为四边形OA'B'C'是边长为1的正方形，则OB =√2OA'=2,所以OB=2√2，又因为OA=1,OA⊥ OB,则AB=√OA+OB=3,同理可得BC=1,OC 6.A【解析】因为平面ABC与平面A1B1C1之间的距 =3,因此原图形的周长为OA十AB十BC十OC=1十 离为3，可知三棱柱ABC-ABC的高h=3,因为 3+1十3=8.故选B. 直线4与平面ABC所成的角为受，所以h=AA· 3.C【解析】对于A,共线的三点无法确定一个平面， A错误；对于B,空间四边形不是平面图形，B错误； sin甚=AA=3,解得AA=2.分别过A,A 3 对于C,梯形有一组对边互相平行，则四个顶点必然 作与I垂直的平面AMN和平面A:MN,如图 处于同一平面内，即梯形一定是平面图形，C正确；对 所示： 于D,两个互异平面若有交点，则所有交点必在同一 条直线上，D错误，故选C. 4.B【解析】如图，设正四棱台ABCD-ABCD1上、 下底面的中心分别为O,O,取AB的中点为E, AB的中点为E,连接OO1,OE,OE,EE,设h'为斜 高，可得780=4×20十10，解得'=13，即EE= 2 13,又OE=5,OE=10,.棱台的高OO= /12 √EE-(E0-E0)下=√132-5=12，·.V= 易知平面AMN∥平面AMN,△AMN和 号4(S+S+V5S)=号×12X(100+40+10× △AM1N都是边长为1的等边三角形，三棱柱 20)=2800cm3,即棱台的体积为2800cm.故选B. AMN-AMN是正三棱柱，且三棱柱ABC D C ABC的体积V1和三棱柱AMN-AM1N的体 E1 积V,相等，所以V=V,=SmN·AA=X1X 4 25=多故选A D 二、选择题 7.BC【解析】若a∥B,m∥a,此时m有可能在平面3 ·50· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 内，并不一定m∥B,A错误：因为n⊥y,B∥y,根据一 条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也 垂直于另一个平面，可得n⊥B.又因为⊥B,垂直于 同一个平面的两条直线平行，所以m∥n,B正确；设a ∩B=a,a∩y=b,在平面B内作直线a1⊥a,因为a⊥ B,则a⊥a.在平面y内作直线b1⊥b,因为a⊥Y,则b ⊥a.那么a∥b1,a1史y,bCY,所以a1∥Y.又aCB, 因为三棱锥各条棱长均相等，所以CD⊥OA,CD⊥ ∩y=m,所以a1∥m,从而m⊥a,C正确：仅由m⊥ OB,因为OA∩OB=O,OA,OBC平面OAB,所以CD a,nCB,⊥n,无法得出&⊥B,a与B可能平行，也可 ⊥平面OAB,因为ABC平面OAB,所以CD⊥AB, 能相交，D错误.故选BC 即AB与CD所成的角是90°，其正弦值为1. 8.BCD【解析】对于A,该半正多面体的顶点数V= 10.9√Eπ【解析】设AC与BD相交于点Q,取AB的 12,棱数E=4×6=24,面数F=14,那么V+F一E= 中点为M,连接PM,PQ,MQ,作OS⊥PM于S,设 12+14-24=2,A错误； 内切球的半径为r,则OS=OQ=r,设PQ=h,由题 意知6=.又△P0SD△PNQ,放器=品，易得 3r 球0的体积为V=4=92元 3 对于B,因为AB-3要，所以AD=BD=3 2 ，该半正 E 多面体是由棱长为3的正方体沿各棱中点截去8个 SF-0 三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为V=3一8 ×子××（受）广=要B正确：对于C,由平行关 M 系和棱长可得六边形ABCDEF为正六边形，故 四、解答题 ∠ABC=120°，C正确；对于D,由几何性质可得，正 11.解：(1)设圆锥的高为h1, 四棱柱ABHG一PODE的外接球即为该几何体的外 由题意得圆锥母线为10cm, 接球，其中AB=BH=3Y 2 ,AP=3,故正四棱柱AB 则h1=√/102-6=8cm, .1 HG-PODE的外接球半径为r= 该模型的体积V=20πX62- πX6X8=624m≈ 1959cm3. (6分) 32 2 ,该半正多面体外 (2)圆柱的侧面积为2πr·20=240π， 2 圆柱的上底面的面积为36π， 接球的表面积为4π(3y2) 2 =18π，D正确.故 圆锥侧面积为S维侧=60π. ,.S总=240π十36π十60π=336πcm2, 选BCD. 三、填空题 故总费用为336rX500X30≈1583（元）.13分) 104 9.1【解析】如图所示，取CD的中点O,连接OA,OB, ·51· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 12.解：(1)作AE⊥DC,E为垂足，如图， ∴Vp-ABep= (15分) 13.解：(1)在等腰梯形ABCD中，连接DE, 1 因为AD∥BC,AB=AD=2BC=2,E是BC的 中点， 所以可得四边形ABED为菱形， 可得AE⊥BD, 在等腰梯形ABCD中，设AD=AB=BC= CD- 又AE∩BD=M, 所以可得AE⊥BM,AE⊥DM, a(a>0), DE-(CD-AB)-4/ZADE-60 1 因为B1M∩DM=M,B1M,DMC平面B1MD, 所以AE⊥平面B,MD, ∴.AC=√/a2+4a-2×2acos60=√3a, 又AEC平面BAE, .AC十AD=DC, 所以平面BAE⊥平面BMD, (6分) AC⊥AD. (5分) (2)由B,M⊥平面AECD,MD,DCC平面AECD, (2),PC⊥PD,平面ADP⊥平面PCD,平面ADP 可得BM⊥MD,BM⊥CD, ∩平面PCD=PD,PCC平面PCD, 易知CD∥AE,AE⊥DM, .PC⊥平面ADP, 所以CD⊥MD, 又ADC平面ADP, 又因为B1M∩MD=M,BM,MDC平面B1MD, .PC⊥AD, 所以CD⊥平面BMD, 又AC⊥AD, 又BDC平面BMD, .AC∩PC=C,AC,PCC平面ACP, 所以BD⊥CD, .AD⊥平面ACP, 又CD⊥MD, APC平面ACP, 因此可得∠B,DM即为二面角B,一DC一A的平面 .AD⊥AP, 角， (10分) .∠DAP=90°， 在直角三角形BMD中，BM=MD, 即△ADP为直角三角形 (10分) 可得tan∠B:DM=l, (3)由I)知在等腰梯形ABCD中，AE=Y 2 即∠BDM=45°，二面角B,-DC-A的大小为 45°. (13分) 则5ar=X1X6-9, 2 (3)假设线段BC上存在点P,使得MP∥平 SD=1十2×3 面BAD, 2241 过点P作PQ∥CD交B,D于Q,连接MP,AQ,如 .S楼形AD=3 S△ADC 2 下图所示： 长器子 又PC⊥平面ADP,△ADP为直角三角形，PD ⊥PC, D .DP=√22-1严=3，AP=√(3)-1=√2， M V,-=Ve-m=专×1XEX1-号 6 所以AM∥CD∥PQ, ·52· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 即可得A,M,P,Q四点共面， 易知△ABE为正三角形，且AB=2, 又因为MP∥平面B1AD,MPC平面AMPQ,平面 所以可得BM=DM=√3， AMPQ∩平面B:AD=AQ, 连接CM, 所以MP∥AQ, 由勾股定理可得CM=√DM十CD=√7， 所以四边形AMPQ为平行四边形， 所以BC=√/CMP十B1MP=√/7+3=√/I0, 故AM=PQ=2CD, 因此CP= 10 2 (20分) 可得点P为BC的中点 (16分) 故在线段B:C上存在点P,使得MP∥平面BAD, 且哈器 ·53·