(2)正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（北师大版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (二)正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x∈N一1<x≤1}，集合B={xx=2sina,a∈R},则A∩B中元素个 数为 A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知函数y=f(x),其中f(x)=asin x十b(x∈[0,2π]，a,b∈R),它的图象如图所 示，则y=f(x)的解析式为 A.f(x)=sin z+1.E[0,2x] 1.5 B.f(z)-sin x+E[0.2x] 0.5 2πx C.f(x)-sinx+1EC0.2x] D.f(r)-sin+.2x 3.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 A.y=sin x B.y=cos x C.y=cos x+2 D.y=sin x 4.已知函数f)=2inx一子x∈(0，x)恰有两个零点西则f红十)= A.- B.0 c D.1 5.已知函数f(x)=ccos+sinx十a,且f(-)=-2,则f() A.a+2 B.2a+2 C.2a+4 D.2 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题· 6.如图的“心形”曲线C恰好是半圆C,半圆C2,曲线y=cosx+1(0≤x≤π)，y=一cosx一1 (O≤x≤π)组合而成的，则曲线C所围成的“心形”区域的面积为 πx -1C2 A.元 B.2π C.3π D.4π 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列各式正确的是 A.cos号>cos(-3) B.sin250°sin260° C.sin 3>sin 2 D.sin84>cos号 8.已知定义在区间[一π，π]上的函数f(x)=cosx一x2,则下列条件中能使f(x1)< f(x2)恒成立的有 A.-πx1<x2≤0 B.0≤x1<x2≤π C.>z D.x≤x 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.函数fx)=lg(2 sin 1)的定义域为 √/cosx 10.已知[x]是表示不超过x的最大整数（比如：[一1.1]=一2，[1.9]=1），若函数h(x) =√/I十sinx,则[h(x)]的值域是 高一同步周测卷二 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=2026cosx-2025. （1)求函数(x)在区间[一，若]上的最大值与最小值： (2)求方程f(x)+1012=0,x∈[-2π，2π]的解. 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=sinx-2 sin x. (1)先补充下列表格，然后用五点法画出函数y=f(x)在区间[0,2π]上的图象； 0 3π 2 2π sin x f (x)=sin x-2 sin x 外 3 2 1 0 3π 2πx 2 -3 (2)结合图象，写出函数y=2f(x)一3在区间[0,2π]上的值域； (3)结合图象，写出函数f(x)的单调递减区间. 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 已知函数f(x)=-2sinx+2sinx十a+1(a∈R). (1)当a=1时，求f(x)的值域； (2)当xe(0,)时. (i)讨论函数f(x)的零点个数； （)若函数f()有两个零点西，求证：x十2<受 注：sin2x+cos2x=1. 一同步周测卷二 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页)】高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（二） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ① ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 正弦函数的值域与 1 选择题 易 0.80 集合的综合 正弦型函数图象的 选择题 易 0.75 识别 三角函数的周期性 3 选择题 5 易 0.72 与奇偶性 4 选择题 5 正弦函数的对称性 中 0.55 由正、余弦函数的奇 5 选择题 5 中 0.45 偶性求值 6 选择题 5 余弦曲线的应用 中 0.30 比较三角函数式的 选择题 6 中 0.50 大小 与余弦函数有关的 选择题 6 中 0.45 恒成立问题 解三角不等式，函数 填空题 5 易 0.71 的定义域 正弦函数值域的 10 填空题 5 / 中 0.35 应用 余弦函数性质的 11 解答题 13 中 0.60 综合 五点法作图，正弦函 12 解答题 15 数与绝对值函数的 中 0.45 综合 正弦函数与二次函 13 解答题 20 中 0.35 数的综合 考答案及解析 一、选择题 {0,1},有2个元素.故选C. 1.C【解析】因为A={x∈N|-1<x≤1}={0,1}，B 2.A【解析】把点(0,1)与（受，1.5）代入f(x) ={xx=2sina,a∈R}=[-2,2],所以A∩B= ·5 ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 b=1 asin x十b中，可得 ,解得b=1,a=0.5.故 就是R△OEF的面积，即Sa=号IOE·OF= a+b=1.5 选A. 2X2Xπ=π：根据对称性，可得曲线y=一co0sx一】 3.D【解析】函数y=sinx是最小正周期为2π的奇函 (0≤x≤π)与x、y轴围成的区域的面积为π，又曲线 数；函数y=cosx与y=|cosx十2|均是最小正周期 为2π的偶函数；作出函数y=|sinx|的图象如下图 C所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为之父π 所示： X1十合×X1=,所以曲线C所围成的“心形” 区域的面积为π十π十π=3元.故选C y=sinx 二、选择题 7.AD【解析】对于A,o(-)=c0s,:0<号 <子x<且y=c0sx在(0，x)内单调递减， 由图可知，函数y=|sinx是最小正周期为π的偶 函数.故选D. 6os号>0s5,即c0s号>c0s(-）,A正 4.A【解析】由题意知f(x)=2sinx- 确；对于B,:90°<250°<260°<270°，且y=sinx在 -=0,f(x2) (90°，270)内单调递减，∴.sin250°>sin260°，B错 =2sim-}=0,得sin=合sm=合，又函 误：对于C,:y=simx在[受，]上单调递减，受<2 数y=sinx的图象在(0，π）上的对称轴为x=乏，所 <3<,sin3<sin2,故C错误：对于D,sim8牙 以x十x4=2X受=元，所以f(x1十x)=2sinπ- 2 4 如，os=-cos晋，又0<sin<sin吾- =一子.故选A 合即-<s<0，号-c<w<s0 5.B【解析】因为f(-x)=一xcos(-x)十 sin(-x)+a=-xcos x-sin x+a,f (x)+ 1.即-1<as号<-9m7os,故D 8 f(-x)=2a,而f(-8)=-2,故f()=2a+ 正确.故选AD. 8.AC【解析】f(x)=cosx-x2,x∈[-π，π]， 2.故选B. f(-x)=c0s(-x)-(-x)2=cosx-x2=f(x), 6.C【解析】设F(π，0)，E(0,2),线段EF的中点为 ∴.f(x)是偶函数.易知f(x)在[-π，0]上单调递 G(变1）如图， 增，在(0，π]上单调递减，因此当一π≤x1<x2≤0或 0≤x2<x1≤π时，有f(x1)<f(x2),.A正确，B 错误；又f(x)是偶函数，∴.当x|>|x2|或x> G x时，f(x1)<f(x2),从而C正确，D错误.故 选AC 元 三、填空题 1C2 9.{x2km+石<x<2kx+受，k∈Z 6 【解析】根据题 2 1 因为曲线y=cosx十1(0≤x≤π)关于点G对称，所 意得 sinx2'解得 2kx+吾<x<2kr+ 6 (k∈ 以可将曲线y=cosx十1(0≤x≤π)与x轴、y轴围 cos x>0, 2km-子<x<2kx十马 2 成的区域割补为Rt△OEF的区域，于是曲线y cosx十1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域的面积 D,即2km+若<x<2x+受(k∈Z),所以函数 6 ·6· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· f(x)的定义域为{x 2kπ十<x<2kπ十，k∈ 6 2 z 10.{0,1}【解析】因为sinx∈[-1,1]，所以1十 sinx∈[0,2]，h(x)=√1+sinx∈[0，W2],所以当 h(x)∈[0,1)时，[h(x)]=0;当h(x)∈[1w2]时， [h(x)]=1,则[h(x)]∈{0,1. 四、解答题 11,解：(1)y=cosx的单调递减区间为[2kπ，2kπ十π]， (6分) k∈Z,单调递增区间为[-π十2kπ，2kπ)，k∈Z, (2)由图可知函数f(x)在区间[0,2π]上的值域 则f(x)=2260s-2025在[-钙，0)上单调 为[-3,0]， 所以函数y=2f(x)-3的值域为[-9，-3]. 递增，在[0，舌]上单调递减。 (10分) 所以f(x)mx=f(0)=1; (4分) (3)由(1)的图象知函数f(x)的单调递减区间为 且f(-g)）=2026cos(-9）-2025 [2kx,受+2kx]k∈z).[x+2kx,+2km](k∈ Z). (15分) =2026×(-3)）-2025=-3038, 13.解：(1)设t=sinx,则te[-1,1], f(若）=2026cos晋-2025 当a=1时y=-2+21+2=-2(e-2)广+号， =1013√/3-2025>-3038， 当=时a=号 5 所以当x=一 要时，fx)=-3038, 当t=一1时，ymin=-2, 所以函数f(x)在区间[-经，君]上的最小值为 所以f)的值域为[-2，号] (5分) 一3038，最大值为1， (8分) (2)(i)由f(x)=0, (2)令f(x)+1012=0,x∈[-2π，2π]， 得2sinx-2sinx=a+1, 则2026cosx-1013=0, 当x∈(0，)时，令t=sinx∈(0,1， 1 所以cosx=立： (11分) 函数g(t)=2t-2t 因为x∈[-2π，2π]， =2(t-）广-2e[-30). 所以x=一 受或-或或受 (13分) 函数gd)在(0，宁]上单调递波，函数值由0减小 12.解：(1)列表如下： 到2： 0 3π 2 2π 在[？1)上单调递增，函数值由一增大到0， sinx 0 1 0 0 f()=sin x-21sin 0 一1 0 3 0 而函数1=sinx在(o,受）上单调递增，又sin石 描点，连线，可得函数图象如下： 因此函数y=2simx-2sinx在(0，否]上单调递 减，函数值由0减小到一2， 1 7 ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 在[若，受)上单调递增，函数值由一子增大到0， (i)由(i)知sinx,sinx2满足方程2sinx- 2sin x-a-1=0, 则当a+1K-合或a+1≥0，即a<-号或a>-1 2sinxI-2sin x=2sin'x:-2sinx:, 时，函数f(x)无零点： (8分) 化简得2(sinx1-sinx2)(sinx1十sinx2-1)=0, 当a十1=一令，即a=一号时，函数f)有一个零 则sinz十sinx2=l, 则sin2x1十sinx2十2sinx1sinx2=1, (15分) 点x=若 (10分) 由x1,z∈(0，受)，得sin sin.>0, 当之<a十1<0，即-号<a<-1时，函数f 于是sinx+sin2x4<1, sin<1-sin2 =cos22, (17分) 有两个零点， 所以当a∈(-0，-受)U[-1十)时，函数 因此sin1<cos=sin(5-z)y f(x)没有零点： 而x∈(0，受)，2-∈(0，受)， 当a=一号时函数)有一个零点： 所以五<受-， 当a∈(-是，-1)时，函数f(x)有两个零点. 即x十<受，得证。 (20分) (13分) 8