2026年中考数学一轮复习 第22讲 相似三角形和位似【4大考点18大题型】

第22讲 相似三角形和位似（举一反三复习讲义） 【4大考点18大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 2 （一）考查分值 2 （二）考查题型 2 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 2 （四）命题趋势（2026 年预测） 2 （五）复习建议 2 考点一 相似和相似图形的概念 3 【题型1 比例的性质】 3 【题型2 黄金分割】 6 【题型3 相似图形和相似多边形】 9 【题型4 平行线分线段成比例定理】 11 考点二 相似三角形 17 【题型5 相似三角形的判定】 18 【题型6 相似三角形的性质】 21 【题型7 相似三角形的判定和性质综合】 25 【题型8 相似三角形的实际应用】 34 考点三 常考的相似三角形模型 38 【题型9 “A”字型相似】 38 【题型10 “8”字型相似】 45 【题型11 母子型相似】 54 【题型12 旋转相似】 60 【题型13 “K”字型相似】 71 【题型14 三平行模型】 78 【题型15 其他相似模型】 84 考点四 位似 95 【题型16 位似图形】 96 【题型17 坐标系与位似图形】 98 【题型18 相似三角形的综合问题】 103 特色专项练 111 【新考向：新考法】 111 【新考向：新情境】 115 【新考向：跨学科】 116 中考真题练 118 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 本模块是中考几何核心模块，衔接全等三角形、圆、三角函数，侧重比例应用与综合推理，近 4 年坚持 “素养立意”，区分度适中，核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，分值6～10分，占总分6%～10%，覆盖选择、填空、解答题，常与其他几何知识综合考查，属重点必拿分模块。 （二）考查题型 基础题型（55%）：选择、填空，考查相似三角形的判定、性质，位似的基本概念； 中档题型（35%）：解答题，考查相似三角形的判定与性质综合、比例计算； 压轴题型（10%）：结合圆、三角函数、图形变换，考查相似与位似综合应用。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心：相似三角形的判定（两角相等、两边成比例且夹角相等）、性质（对应边成比例、对应角相等）； 必考：相似三角形的比例计算、相似三角形的判定应用； 高频：位似图形的性质、相似与圆/三角函数综合，比例线段应用。 （四）命题趋势（2026 年预测） 整体难度适中，基础题侧重判定与比例计算，综合题侧重多知识点融合； 常与圆、三角函数、图形变换结合，强化比例推理与计算能力； 重点考查相似判定的灵活选择、比例计算，规避比例关系混淆、计算失误。 （五）复习建议 牢记相似三角形的判定定理与性质，熟练掌握比例线段计算； 明确位似与相似的关系，区分位似图形的特征； 专项训练综合题型，培养比例推理能力，突破相似判定与比例计算易错点。 考点一 相似和相似图形的概念 1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其它的因素无关. 2.相似多边形及、性质与判定 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 【题型1 比例的性质】 【例1】 （25-26九年级上·河北保定·期末）上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是利用相似图形对应边成比例的性质列比例式求解； 根据相似图形对应边成比例，设屏幕上照片的宽为，列出比例式，再求解的值． 【详解】解：∵屏幕上的照片与原照片形状相同， ∴它们是相似图形，对应边成比例． 设屏幕上照片的宽为， 则，，， ∴． 故选：A． 【变式1-1】 （25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在平行四边形中，点在上，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，然后证明,接着根据，得到，最后利用相似三角形的性质求得答案. 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴与的面积比为：， 故选：. 【变式1-2】 （2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 【变式1-3】 （2024·甘肃陇南·一模）第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为__________千米． 【答案】52 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握“比例尺图上距离实际距离”是解题的关键，注意单位的统一．设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米，根据“比例尺图上距离实际距离”列出比例式，由此即可得出小海家与国家会展中心（上海）的实际距离． 【详解】解：设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米， 解得 厘米千米， 故答案为：52． 【题型2 黄金分割】 【例2】 （25-26九年级上·福建泉州·期末）如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇地发现点是的黄金分割点，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， 设，， ∴ ∴（负值舍去） ∴． 【变式2-1】 （2026·山西吕梁·一模）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，演奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，若，则琴弦的长为_______． 【答案】 【分析】直接利用题目给出的比例关系，将已知的琴弦总长度代入计算，即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式2-2】 （2024·甘肃陇南·一模）已知点是线段的黄金分割点，且，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点的应用，解一元二次方程，设的长为，则的长为，根据黄金分割点的定义，可得，然后列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，则的长为， ∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ ∵，， ∴ ∴（舍去负值） ∴． 故答案为：． 【变式2-3】 （2026·四川成都·一模）如图，某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，即为黄金比，若的长度为，则的长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义列式计算即可． 【详解】解：∵某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 相似图形和相似多边形】 【例3】 （2026·上海闵行·一模）下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形，相似图形需对应角相等且对应边成比例．A、B、C中的图形因角度固定且边长比例确定，故一定相似；D中的直角三角形角度和边长比例可能不同，故不一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形，两个锐角都是度，故两个等腰直角三角形是相似图形，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形，每个内角都是，故两个等边三角形是相似图形，故该选项不符合题意； C、两个正方形，每个正方形的四条边都相等，每个内角都是度，故两个正方形是相似图形，故该选项不符合题意； D、两个直角三角形的一个内角是，但其他两个内角不一定相等且三边不一定成比例，故两个直角三角形不一定是相似图形，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式3-1】 （2025·上海杨浦·一模）下列图形中一定相似的是（    ） A．等腰三角形 B．反比例函数图像 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，相似图形要求形状相同，大小可能不同．反比例函数图像无论k值如何，形状相同，一定相似；等腰三角形不一定相似；菱形和矩形对应角不一定相等或边不一定成比例，不一定相似． 【详解】解：等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似； ∵反比例函数的图像是双曲线，通过缩放可重合，形状相同； ∴反比例函数图像一定相似． ∵菱形的对应角不一定相等（例如，一个菱形的内角为，另一个菱形的内角为），所以菱形不一定相似。 ∵矩形的长宽比不一定相同（如正方形与长方形），对应边不成比例； ∴矩形不一定相似． 故选：B． 【变式3-2】 （2026·上海长宁·一模）现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的判定，掌握好相关知识是关键． 判断矩形相似需比较长宽比是否相等，通过计算各矩形的长宽比进行判断． 【详解】解：矩形甲的长宽比为，矩形乙的长宽比为，矩形丙的长宽比为， ∵，且矩形各内角都是， ∴甲、丙相似，和乙不相似． 故选：C． 【变式3-3】 （2025·广东云浮·一模）下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．方程 有实数根 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【分析】分别根据相似多边形的性质，根的判别式，反比例函数图象的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，平行投影对各项逐一判断即可． 【详解】解：A．任意两个矩形不一定相似，故选项A错误，不符合题意； B．反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项B错误，不符合题意； C．方程可化为方程， ∴， 即此方程无实数根，故选项C错误，不符合题意； D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质，矩形的性质，轴对称图形以及中心对称图形的定义，平行投影等知识点，解决此题的关键是要能熟练运用以上知识点． 【题型4 平行线分线段成比例定理】 【例4】 （2026·云南·一模）如图，在中，，分别交，于，，若：：2，，则的长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】首先，依据平行线分线段成比例定理确定线段间的比例关系；接着，代入已知的和的值求出；最后，通过计算出的长度． 【详解】， ． ，且， 代入得到． 解得：． ． 【变式4-1】 （2026·湖北十堰·一模）如图，在中，，，平分，将线段沿射线平移得到，与相交于点，连接，过点作于点，与交于，与交于点． (1)如图①，若． ①当点在边上时，直接写出线段，，之间的数量关系； ②当点与点重合时，求平移距离； (2)如图②，连接，若，当时，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】①求出，再结合角平分线的定义可得，从而得到，再由平移的性质可得，即可解答；②证明为等边三角形，可得，，在中，求出，在中，，再由，可得，即可求解； （2）先求出，，过点D作于点P，根据角平分线的性质可得，证明，可得，，在中，，可得到，再由，可得，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由平移的性质得：， ∵， ∴； ②如图， 由①得：， 由平移的性质得：， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， 即平移的距离为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点D作于点P， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】 （2026·广东深圳·一模）如图，过反比例函数图象上一点作垂直于轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，连接交于点，连接，若的面积为，则________． 【答案】 【分析】过点作于点，根据的几何意义结合已知可得，进而证明，得出，进而根据的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点在 ∴ 又∵的面积为， ∴ ∴ ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点在 ∴ 【变式4-3】 （2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________． 【答案】/0.5 【分析】由平行得到，那么得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 考点二 相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为. 常见的基本图形： 图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE； 图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图; 图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 【题型5 相似三角形的判定】 【例5】 （2026·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，点是边上一点．现将四个条件：，，，，分别写到四张卡片上，这些卡片除正面的条件不同外，其余均相同．将这四张卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张，则卡片上的条件能使的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据相似三角形的判定定理找出能够结合证明的条件，再根据概率公式即可得解． 【详解】解：由图可知， 则抽到，均可通过两对应角相等证明， 抽到可通过边对应成比例及其夹角相等判定， 抽到不能证明， 综上，随机抽取一张，则卡片上的条件能使的概率是，选项符合题意． 【变式5-1】 （2026·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，点E在对角线上，平分，延长．请你用尺规作图法在射线上求作点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】过点E作,垂足为点E，交于F， 则，又因为平分，则，所以． 【详解】解：如图，点F即为所求， 【点睛】掌握相似三角形的判定和经过直线上一点作直线的垂线的作法是解题的关键． 【变式5-2】 （2026·陕西汉中·二模）如图，在矩形中，延长至点，连接，与相交于点，则图中的相似三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴； ∵是公共角，， ∴； ∴． 故有3对． 【变式5-3】 （2026·河北沧州·模拟预测）如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 【题型6 相似三角形的性质】 【例6】 （25-26九年级下·重庆·月考）如图，与是位似图形，位似中心为点．若，且的面积为2，则的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．32 【答案】D 【分析】由位似图形的性质可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点， ∴，， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为． 【变式6-1】 （2026·重庆·模拟预测）如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了图形位似的性质，熟练掌握图形位似的性质是关键．根据图形位似的性质求解即可． 【详解】解：， ， 和关于点O位似， ， ， 的周长的周长． 故选：B． 【变式6-2】 （2026·安徽蚌埠·一模）无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C逆时针旋转，得到请画出． (2)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出． (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】（1）分别确定点A、B绕点C逆时针旋转后的对应点、，然后依次连接、、C，得到； （2）分别连接、、并延长，使，，，得到对应点、、，依次连接、、，得到； （3）结合相似三角形，利用平行线分线段成比例的性质，在网格中通过构造合适的平行线来确定点D的位置，使得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：如图所示，点D即为所求： 过点A向右沿水平方向2格处取点E，过点C向左沿水平方向3格处取点F，连接，，，记与交点为D， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D即为所求． 【变式6-3】 （2026·重庆·一模）如图，与位似，点O是它们的位似中心，若的面积为9，，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】两个三角形位似，则它们必相似，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为4． 【题型7 相似三角形的判定和性质综合】 【例7】 （2026·浙江杭州·一模）已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接OC，证明，，由即可得到结论； （2）连接OC，证明，即可证明结论； （3）取的中点，连接，求出，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接OC， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，连接， 由（1）知：，， 是的直径， ， ， ， ， 是的平分线， ， ，， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接， 是的中点， ，， ， 由（2）知：， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式7-1】 （2026·河南周口·二模）定义：若一动点到一条线段的两个端点的距离满足或，则称为线段的点． (1)如图，在中，，，若点是线段的点（），求的长； (2)如图，在中，是边上一点，连接，若点分别是线段、线段的点（）．求证：是线段的点； (3)如图，在菱形中，，，点，分别是射线、射线上的动点，且满足．连接，若点是线段的点．请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点是线段的点（），则，设，则，然后通过勾股定理得，然后求出的值即可； （）由题意得，，设，则，，证明，所以，则，从而求证； （）由点是线段的点，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的点（）， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴； （2）证明：∵点分别是线段、线段的点（）， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的点； （3）解：∵点是线段的点， ∴如图，当时，在上截取， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，在延长线上截取， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上可得：线段的长为或． 【变式7-2】 （2026·甘肃定西·二模）如图，在中，，若，则与的面积之比为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式7-3】 （2026·陕西西安·三模）如图，内接于，的直径交于点，过点作的切线交延长线于点F，且，连接. (1)求证：； (2)已知，，求的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据是的切线，得到，再根据，得到，根据是的直径，得到，得到是的垂直平分线，即可解答； （2）证明，根据三角形相似的性质可求出的长，再利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后证明，根据三角形相似的性质，即可解答． 【详解】（1）证明：是的切线， ， ， ， 是的直径， ， 是的垂直平分线， , ； （2）解：， 由题意可得： ， ， ， ， ， 由题意可得：， ， ， ， ， △△， ， 即：， ， ． 【题型8 相似三角形的实际应用】 【例8】 （2026·广东深圳·一模）如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚．已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为和，则木杆高为__________． 【答案】 【分析】对各点进行标注，由甲、乙两人和木杆依次直立，得，即，，根据线段成比例关系得出方程，求解即可． 【详解】解：对图中各点进行标注，如下图所示： ∵甲、乙两人和木杆依次直立， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 【变式8-1】 （2026·陕西咸阳·一模）如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，灵活运用“同一时刻物高与影长成比例”的原理是解题的关键．根据平行光线照射下，垂直于地面的物体与其投影构成相似三角形，可得到，进而利用相似三角形对应边成比例的性质，求出小树的投影的长度． 【详解】解：，，点、、、在同一直线上， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 【变式8-2】 （2026·陕西·一模）山河壮丽如画卷，万里锦绣映华夏．越来越多的人们通过旅游感受祖国的大好河山，放松心情，浩浩一家在咸阳某景区游玩时，发现景区的游客中心（）上面有一面旗帜，浩浩想知道这面旗帜的高度，于是设计了以下测量方案：他先在游客中心前分别放置了高为的测角仪（）和一根高的竹竿（）．在某一时刻的阳光下，旗帜的影子顶端与竹竿的影子顶端在点处重合．然后他用皮尺测得，，，用测角仪测得游客中心顶端的仰角为．已知，求游客中心上的旗帜（）的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】过点M作，根据题意得出，，再由正切函数的定义得出，利用相似三角形的判定和性质确定，结合图形即可求解． 【详解】解：过点M作，如图所示： 根据题意得：四边形为矩形， ∴，， ∵用测角仪测得游客中心顶端的仰角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴ ． 【变式8-3】 （2026·陕西榆林·一模）革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 【答案】 【分析】利用，结合垂直条件，证明和均为等腰直角三角形，得到；利用视线条件，证明，通过相似比求出的长度；由求出，进而得到的高度． 【详解】解：∵、、均与地面垂直， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴，即 ∴． ∴． ∴革命亭的高度为． 考点三 常考的相似三角形模型 【题型9 “A”字型相似】 【例9】 （23-24九年级上·山东青岛·期末）在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）①连接，先证，相似比为，得到，即，再证，相似比为，即可求解；②根据，，求得，则，再根据，即可求解． （2）先证，相似比为，得到，即，再证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式9-1】 （25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是的中点，点在上，，连接． (1)求证：； (2)的值为 ． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握相似判定条件和解直角三角形的方法是解题的关键． （1）先通过计算得到，加上为公共角，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据斜边上的中线性质得到，再根据相似三角形的性质得到，接着利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】（1）解：证明：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵点是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 【变式9-2】 （25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 【答案】(1)证明见解析； (2)与的面积比为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据平行相似证明、，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． 同理： ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴设，， ∴． ∵由（1）得， ∴． ∴与的面积比为． 【变式9-3】 （25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，B，C，D，E四点均在⊙O上，连结，相交于点F，其中，，分别延长，相交于点A，若，则⊙O的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本性质和相似三角形的综合运用，如何准确添加辅助线是解题的关键． 首先根据题意，易判断出几组相似三角形，其中可求的长度，随后根据特殊角，所以构造，作交于点H，构造等腰直角三角形，根据以及等腰直角三角形的线段关系，得出，于是在直角三角形中存在直角边的比例关系，结合圆周角定理，围绕半径构造出与相似的三角形，即连接、，过点O作交于点M，得到，通过两组角相等证明，故得出，最后根据勾股定理求出的长度，即为⊙O的半径． 【详解】解：过点D作交于点H，连接、，过点O作交于点M，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又因为三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴，故， ∵三角形为等腰三角形，且， ∴， 根据圆周角定理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 根据勾股定理， ∴，即⊙O的半径为． 故选：A． 【题型10 “8”字型相似】 【例10】 （25-26九年级上·吉林长春·期末）将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半等，熟知等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再结合所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出，最后通过平行相似证明即可解决问题． 【详解】 解：∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式10-1】 （25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接、． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为或 (3) 【分析】（1）通过矩形的性质，求出，得到，再通过平分的性质，最后通过换角得等角对等边即可； （2）当时，延长射线交射线于点，作交于点，先通过矩形的性质得、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再通过相似求出，后通过平行相似得，根据相似比求出边长，计算三角形面积即可；当时，过点作于，设，则，， 利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出，，，根据平行得出，可得，利用三角形面积公式即可得的面积；综上即可得答案； （3）先通过矩形的性质得、、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再平行相似得得出的值，最后以点为原点，建立平面直角坐标系，得到点，点，点，运用中点公式得到点，求出直线的解析式，求出点坐标，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． （2）解：如图，当时，延长射线交射线于点，作交于点 ∵矩形， ∴，，，． 由（1）可得为等腰三角形，， ∵， ∴． 同理，为等腰直角三角形，设，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴， ， 解得：， ∴，，， ∴． ∵，点为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，当时，过点作于， 同理可知，，是等腰直角三角形， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 综上所述：的面积为或． （3）解：∵由（2）可得、为等腰直角三角形， 又∵，设， ∴，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵矩形， ∴，， ∴同理：为等腰直角三角形， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ∴． ∵以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点，点，点． ∵点为的中点， ∴点，即点． ∵设直线的解析式为：， 代入，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平面直角坐标的建立和中点坐标公式等，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 【变式10-2】 （25-26九年级上·四川宜宾·期中）在中，，，，点D是边上的动点．连接，作，如图所示，，，连接．则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形、轴对称下的线段最值问题以及勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 根据题意中的，得出其它角度的等量关系，可证，可得，同理由角度等量关系，证，得线段比例关系，即，又可证，得角度等量关系，证得，即得到关键信息，确定出点E的运动轨迹，又经过证明了解到，故最值判断类似“将军饮马”模型，所以点B关于的对称点，连接，即的最小值为的长度，过点A作，由求边长，最终由勾股定理求得长度，得到得最小值． 【详解】解：连接，令，相交于点M，如下图所示： 在直角三角形中，∵，， ∴， ∵， 又∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∴， ∴， ∴， ∴，即， 所以点E在过点且垂直的射线上移动； ∵， ∴， 故求出的最小值即可， 作点B关于的对称点，连接， 即的最小值为的长度，过点A作，交于点F，如下图所示： 根据对称的性质，， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【变式10-3】 （25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【题型11 母子型相似】 【例11】 （25-26九年级上·甘肃金昌·期末）如图，在中，，为边上一点，连接，，以为直径作，是边上一点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、切线的性质、等角的余角相等、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由，得，由，，推出，，最后运用平角的性质结合为的半径求解即可； （2）先设与交于点，连接，运用直径所对的圆周角是直角证明，再运用三线合一得，最后证明并运用性质解题即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）如图，设与交于点，连接， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【变式11-1】 （25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则__________；若，，则__________． 【答案】 【分析】①取平行四边形边长的中点，连接对角线，通过两条平行线之间距离处处相等对三角形作等面积转换，将拆成三个小三角形，每一个小三角形都占总面积的，即可求出面积比；②根据，结合平行四边形的性质与外角和定理，得出，通过导比例，求得，再根据与，通过勾股定理即可计算出． 【详解】解：如图，取中点N，中点M，连接、、、、， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， ； ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形对角互补， 如图，作四边形外接圆， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 如图，在上取点M使得，过点D作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 解得， 在中， ， 解得， ， ， ， 解得． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，一线三等角构造，相似三角形的判定与性质，四点共圆与圆周角定理，勾股定理的运用等知识点，通过推导角与平行四边形性质运用找到相似三角形是解题的关键． 【变式11-2】 （2025九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等、三角形相似与菱形综合问题，掌握三角形相似的几何模型——母子型及中间比解题的关键． （1）利用菱形性质证明，进而得到即可得证； （2）由得到，再利用得到，通过作为中间比即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． 又， ． ， ∴， ． 又 ． （2）证明 ． ， ． ． ． 【变式11-3】 （24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，于，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型12 旋转相似】 【例12】 （2026九年级下·云南昆明·学业考试）如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为直径的交于点，且经过点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究，发现与证明：已知点F在上，且，连接，，且交于点，是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在常数，，理由见解析． 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形和直角三角形转化线段的平方关系，利用相似三角形的判定和性质得出线段的乘积关系是解题的关键． （）由是直径可得，进而求出，，再由三角形的外角等于不相邻两内角之和即可得出； （）连接，可得，从而证明，进而可得，由切线的判定方法即可求证； （）连接，在上取点，使，构造，得等腰，从而利用勾股定理将，再证明，可得，从而将等式右边转化为，最后证明，可得，从而求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分交于点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立； 理由如下： 如图，连接，在上取点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 过点作，垂足为， 则：，，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，时，等式成立． 【变式12-1】 （25-26九年级下·重庆·月考）如图，是的切线，为切点，点在上，过点B作交于点，作交于点，点为上一点，连接交于点，若，，则线段的长度为___________，的周长为___________    【答案】 【分析】本题主要考查了圆与相似三角形、解三角形的综合，解题关键是利用平行和圆中角的关系转化线段比例，利用相似三角形的性质解题． 根据切线性质可得，再由，可得，，由此即可，由已知可得四边形是平行四边形，证明，根据相似三角形的对应边成比例即可求出，进而得出，再解，求出，利用，利用等腰三角形三线合一的性质求出，最后利用，列比例方程即可求出的边长． 【详解】解：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，．    ∴， 连接，， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， ∴，， ∴，即， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 过点作，， ∵在中，， ∴ ， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴的周长=． 【变式12-2】 （2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解． 【详解】解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 【变式12-3】 （25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，在四边形中，，，，，则对角线的最大值为________．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，掌握手拉手的相似模型是解题的关键． 以为底边构造顶角为的等腰三角形，过点E作，连接，根据等腰三角形的性质，求得，再证，利用边角关系证，求得，最后利用三角形三边关系，即可求解． 【详解】解：如图，以为底边构造顶角为的等腰三角形，过点E作，连接，   ， ， ， ， ， ， ，， ，，即， ， ， ， 根据三角形三边关系可知， 故当三点共线时，最长，最长为． 故答案为：． 【题型13 “K”字型相似】 【例13】 （25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题情景】 图①                       图②                              图③ （1）如图①，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为____________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1），详见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先利用直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，进而得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ∴， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3）解：在平行四边形中，，， ，， 又， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 【变式13-1】 （25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，根据相似三角形的对应边成比例计算是解题的关．键．先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 故选：D． 【变式13-2】 （25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 【变式13-3】 （25-26九年级上·上海·月考）在中，，，点在上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （3）由题意可分①当点F在的延长线上，②当点F在线段上，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 【题型14 三平行模型】 【例14】 （25-26九年级上·江苏无锡·月考）与的相似比为，则与的周长比为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长比等于相似比”是解题的关键． 直接利用“相似三角形的周长比等于相似比”可得出选项． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴与的周长比为． 故选：B． 【变式14-1】 （25-26九年级上·上海浦东新·月考）如图，在直角梯形中，,, ,，点为边上一点，且，延长交于点． (1)求的长； (2)设，的面积为，求与的函数关系式并写出定义域； (3)联结，延长交于点，若是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1) (2)； (3)的长为或或6或2. 【分析】（1）由已知容易，再证明，可得，利用相似三角形的性质得出，由此即可求出； （2）先证出，根据相似三角形的性质可得，再根据三角形的面积公式得出，然后根据求出的取值范围，由此即可得； （3）若是直角三角形，有三种情况，①当时，先利用解直角三角形求出，，继而可得，再证明可得，由此即可求出，②当时，利用得出，由此即可求出，③当时，延长、交于点，设，可得，，，由此求出，再由，可得，求得，在中，由列方程求出，，即可得出． 【详解】（1）解：∵，,， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴. （2）解：过点作的高，如图1， ∵，， ∴， ∴ 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：若是直角三角形，有三种情况： ①当时，如图2， 由（1）可知：，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ②当时，如图3， 由（1）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ③当时，延长、交于点，如图4，设， ∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴ 解得：，， ∴或， 综上，的长为或或6或2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数关系式、解直角三角形、一元二次方程的应用等知识，综合性强，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 【变式14-2】 （25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 【变式14-3】 （25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【题型15 其他相似模型】 【例15】 （2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【变式15-1】 （23-24九年级上·陕西西安·月考）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【答案】（1），（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解； （2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解； （3）延长到点P使，连接，过点C作，利用等腰三角形三线合一和解三角形求出，再证明，得即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为， （2）如图，过点作垂足为H， 同理（1）得：， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴，解得：， ∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． （3）延长到点P使，连接，过点C作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，（不合题意舍去） ∴ 【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似． 【变式15-2】 （25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最大值是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形和函数综合，取点的坐标为，即，通过乘积式相等证明，进而可得、、、在以为直径的圆上，从而得出，设，再利用相似三角形的性质勾股定理列方程表示出，，从而可得，利用平方和完全平方公式变形求出分母最小值，得出分式最大值（分子一定，正数范围内）．解题关键是构造得出，再利用分式变形求出最大值． 【详解】解：取点的坐标为，即，连接，， ∵，即， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴、、、在以为直径的圆上， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴ 整理变形得：， ∵， ∴， ∴当最小时，即最大，即最大值， ∴， 故答案为． 【变式15-3】 （25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点D为边的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转至，连结． (1)线段的长为___________ ； (2)当时，求线段的长； (3)当点F落在内部时，求的取值范围； (4)当与的某一边平行时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可． （2）由旋转可得：，，证明，可得，进一步可得答案． （3）当点F落在上时，过点D作于，由（2）同理可得：，可得，进一步求解即可；当点F落在上时，过点D作于，延长交的延长线于，同理：，，，，设，则，证明，，进一步求解即可． （4）当时，过点D作于，则，可得，进一步求解即可；当时，过点E作于，设，同理可得：，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． （2）如图所示， 点D为边的中点， ， 由旋转可得：，， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图所示，当点F落在上时，过点D作于， 由（2）同理可得：， ， ，， 由旋转可得：，， ， ， ， 如图所示，当点F落在上时，过点D作于，延长交的延长线于， 同理可得：，，，， 设，则， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 当点F落在内部时，的取值范围为； （4），， ， 第一种情况，如图所示，当时，过点D作于， 则， ， ， ， 第二种情况，如图所示，当时，过点E作于， ， 设， 同理可得：， ， ， ， ， 由上可知，， ， 解得：， ， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，利用分类讨论的思想，作出合适的辅助线是解题的关键． 考点四 位似 1.位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 【概念混淆】位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 2. 位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3. 画位似图形的一般步骤： 1）确定位似中心. 2）连接位似中心和原图的关键点并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 注意事项： 1）两个位似图形的位似中心，有一个. 2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上. 3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 4.位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 【题型16 位似图形】 【例16】 （2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 【变式16-1】 （2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 【变式16-2】 （2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键． 根据坐标与图形的性质进行解答即可． 【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 【变式16-3】 （2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【题型17 坐标系与位似图形】 【例17】 （2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 【变式17-1】 （2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 【变式17-2】 （2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 【变式17-3】 （2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 【题型18 相似三角形的综合问题】 【例18】 （2026·江西吉安·一模）如图，在四边形中，，平分，以为直径的经过点C． (1)求证：是的切线． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的定义并结合等边对等角得出，从而可得，结合平行线的性质求出，即可得证； （2）由勾股定理可得，证明，求出，再结合计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式18-1】 （25-26九年级上·河南周口·期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，交于点F，过点D作 于点G，交于点E． (1)求证：． (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上内容是解题关键． （1）连接，因为D是 的中点，所以，由等弧所对的圆周角相等得出，再通过圆周角定理、同角的余角相等和等量代换得出，即可得出结论； （2）通过和，列出比例式即可得到和的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵ D是 的中点， ∴， ∴， ∵是的直径, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【变式18-2】 （25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点，在半径为的上，点在内，，，则长最小值为_________． 【答案】 【分析】证明，作的外接圆，圆心为，作的直径，连接、、、，与交于点，则，证明点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即垂直平分线段，垂足为，根据垂径定理可知，为的中点，当、、三点共线时，有最小值，的最小值为的值，即可求解． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，锐角三角函数的概念，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线，解答本题的关键是掌握利用圆内接四边形的性质证明角相等的思路与方法． 【详解】解：当点落在上点处时，点落在点处，连接、，如图： ，的半径为， 是的直径， ， ， ， 在中，， ，即， ， ， ， ，即， ， 又， ， ， 作的外接圆，圆心为，作的直径，连接、、、，与交于点，则， 四边形内接于，四边形内接于， ，， 又， ， ， 在中，，， ， ， ，， ，， 点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即垂直平分线段，垂足为， 根据垂径定理可知，为的中点，` 又为的中点，为的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，的最小值为的值， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式18-3】 （25-26九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，对角线，点是线段靠近点的三等分点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动，当点运动到点时两点同时停止运动，设运动时间为秒，记的面积为，的值为． (1)请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理求出，由题意可得，当点在线段上时，即时，作于，此时，，证明，求出，从而可得；当点在线段上时，即，此时，求出，得出；设点到线段的高为，由等面积法求出，由题意可得，求出，，即可得解； （2）根据（1）中计算得出的函数解析式画出图象即可得解； （3）当时，令，解得（负值不符合题意，舍去），当时，令，解得（负值不符合题意，舍去），再结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，，对角线， ∴，，， ∵点是线段靠近点的三等分点， ∴， 如图，当点在线段上时，即时，作于， 此时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 如图，当点在线段上时，即， 此时， ∴， ∴； 综上所述，； 设点到线段的高为， 则， ∴， ∵点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：函数、图象如图所示， 函数性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：当时，令， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 当时，令， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故结合函数图象可得：当时的取值范围为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一次函数综合、反比例函数综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 特色专项练 【新考向：新考法】 1（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 【新考向：新情境】 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为__________． 【答案】/ 【分析】过点作，交的延长线于，过点作于，可证得，进而证得四边形是正方形，再证得，求得，利用三角函数求得，即可求得答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于，过点作于，如图， ∵将沿翻折，点恰好与点重合， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 即， ， ， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， ， 在中，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 则点到直线的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 【新考向：跨学科】 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 中考真题练 1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为___________ （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查矩形的性质，旋转的性质，全等、相似三角形的判定与性质，找到全等三角形和相似三角形建立线段之间的等量关系是解题关键． 先通过矩形的性质求出的长，再取与的交点为M，通过旋转和矩形的对角线相等且互相平分，证明，再利用等边对等角和对顶角，三角形内角和，推出，通过已知条件得到相似比，建立线段之间的等量关系，最后列方程求出对应的值即可． 【详解】解：如图，取与的交点为M， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是矩形的对角线，的交点， ∴， ∴， 由旋转的性质，可知，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 解得， ∴， ， ∴的周长为， 故选：B． 3．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键． 4．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些知识是解题的关键． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 相似三角形和位似（练习） 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2005·浙江台州·中考真题）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 6．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若，，则DF的长为______． 7．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则_____． 8．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 9．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 10．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，点P是正六边形的边的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则________． 11．（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 12．（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为________． 13．（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 14．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 18．（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是______． 19．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 20．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 相似三角形和位似（举一反三复习讲义） 【4大考点18大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 2 （一）考查分值 2 （二）考查题型 2 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 2 （四）命题趋势（2026 年预测） 2 （五）复习建议 2 考点一 相似和相似图形的概念 3 【题型1 比例的性质】 3 【题型2 黄金分割】 5 【题型3 相似图形和相似多边形】 6 【题型4 平行线分线段成比例定理】 7 考点二 相似三角形 8 【题型5 相似三角形的判定】 10 【题型6 相似三角形的性质】 11 【题型7 相似三角形的判定和性质综合】 13 【题型8 相似三角形的实际应用】 14 考点三 常考的相似三角形模型 16 【题型9 “A”字型相似】 16 【题型10 “8”字型相似】 17 【题型11 母子型相似】 19 【题型12 旋转相似】 20 【题型13 “K”字型相似】 22 【题型14 三平行模型】 24 【题型15 其他相似模型】 25 考点四 位似 27 【题型16 位似图形】 28 【题型17 坐标系与位似图形】 29 【题型18 相似三角形的综合问题】 30 特色专项练 32 【新考向：新考法】 32 【新考向：新情境】 33 【新考向：跨学科】 33 中考真题练 34 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 本模块是中考几何核心模块，衔接全等三角形、圆、三角函数，侧重比例应用与综合推理，近 4 年坚持 “素养立意”，区分度适中，核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，分值6～10分，占总分6%～10%，覆盖选择、填空、解答题，常与其他几何知识综合考查，属重点必拿分模块。 （二）考查题型 基础题型（55%）：选择、填空，考查相似三角形的判定、性质，位似的基本概念； 中档题型（35%）：解答题，考查相似三角形的判定与性质综合、比例计算； 压轴题型（10%）：结合圆、三角函数、图形变换，考查相似与位似综合应用。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心：相似三角形的判定（两角相等、两边成比例且夹角相等）、性质（对应边成比例、对应角相等）； 必考：相似三角形的比例计算、相似三角形的判定应用； 高频：位似图形的性质、相似与圆/三角函数综合，比例线段应用。 （四）命题趋势（2026 年预测） 整体难度适中，基础题侧重判定与比例计算，综合题侧重多知识点融合； 常与圆、三角函数、图形变换结合，强化比例推理与计算能力； 重点考查相似判定的灵活选择、比例计算，规避比例关系混淆、计算失误。 （五）复习建议 牢记相似三角形的判定定理与性质，熟练掌握比例线段计算； 明确位似与相似的关系，区分位似图形的特征； 专项训练综合题型，培养比例推理能力，突破相似判定与比例计算易错点。 考点一 相似和相似图形的概念 1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其它的因素无关. 2.相似多边形及、性质与判定 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 【题型1 比例的性质】 【例1】 （25-26九年级上·河北保定·期末）上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在平行四边形中，点在上，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2024·甘肃陇南·一模）第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为__________千米． 【题型2 黄金分割】 【例2】 （25-26九年级上·福建泉州·期末）如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇地发现点是的黄金分割点，则值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】 （2026·山西吕梁·一模）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，演奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，若，则琴弦的长为_______． 【变式2-2】 （2024·甘肃陇南·一模）已知点是线段的黄金分割点，且，那么__________． 【变式2-3】 （2026·四川成都·一模）如图，某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，即为黄金比，若的长度为，则的长度为_____． 【题型3 相似图形和相似多边形】 【例3】 （2026·上海闵行·一模）下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【变式3-1】 （2025·上海杨浦·一模）下列图形中一定相似的是（    ） A．等腰三角形 B．反比例函数图像 C．菱形 D．矩形 【变式3-2】 （2026·上海长宁·一模）现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 【变式3-3】 （2025·广东云浮·一模）下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．方程 有实数根 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【题型4 平行线分线段成比例定理】 【例4】 （2026·云南·一模）如图，在中，，分别交，于，，若：：2，，则的长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式4-1】 （2026·湖北十堰·一模）如图，在中，，，平分，将线段沿射线平移得到，与相交于点，连接，过点作于点，与交于，与交于点． (1)如图①，若． ①当点在边上时，直接写出线段，，之间的数量关系； ②当点与点重合时，求平移距离； (2)如图②，连接，若，当时，求的长． 【变式4-2】 （2026·广东深圳·一模）如图，过反比例函数图象上一点作垂直于轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，连接交于点，连接，若的面积为，则________． 【变式4-3】 （2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________． 考点二 相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为. 常见的基本图形： 图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE； 图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图; 图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 【题型5 相似三角形的判定】 【例5】 （2026·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，点是边上一点．现将四个条件：，，，，分别写到四张卡片上，这些卡片除正面的条件不同外，其余均相同．将这四张卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张，则卡片上的条件能使的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】 （2026·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，点E在对角线上，平分，延长．请你用尺规作图法在射线上求作点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式5-2】 （2026·陕西汉中·二模）如图，在矩形中，延长至点，连接，与相交于点，则图中的相似三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【变式5-3】 （2026·河北沧州·模拟预测）如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6 相似三角形的性质】 【例6】 （25-26九年级下·重庆·月考）如图，与是位似图形，位似中心为点．若，且的面积为2，则的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．32 【变式6-1】 （2026·重庆·模拟预测）如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【变式6-2】 （2026·安徽蚌埠·一模）无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C逆时针旋转，得到请画出． (2)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出． (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 【变式6-3】 （2026·重庆·一模）如图，与位似，点O是它们的位似中心，若的面积为9，，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【题型7 相似三角形的判定和性质综合】 【例7】 （2026·浙江杭州·一模）已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长． 【变式7-1】 （2026·河南周口·二模）定义：若一动点到一条线段的两个端点的距离满足或，则称为线段的点． (1)如图，在中，，，若点是线段的点（），求的长； (2)如图，在中，是边上一点，连接，若点分别是线段、线段的点（）．求证：是线段的点； (3)如图，在菱形中，，，点，分别是射线、射线上的动点，且满足．连接，若点是线段的点．请直接写出线段的长． 【变式7-2】 （2026·甘肃定西·二模）如图，在中，，若，则与的面积之比为_____________． 【变式7-3】 （2026·陕西西安·三模）如图，内接于，的直径交于点，过点作的切线交延长线于点F，且，连接. (1)求证：； (2)已知，，求的长. 【题型8 相似三角形的实际应用】 【例8】 （2026·广东深圳·一模）如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚．已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为和，则木杆高为__________． 【变式8-1】 （2026·陕西咸阳·一模）如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 【变式8-2】 （2026·陕西·一模）山河壮丽如画卷，万里锦绣映华夏．越来越多的人们通过旅游感受祖国的大好河山，放松心情，浩浩一家在咸阳某景区游玩时，发现景区的游客中心（）上面有一面旗帜，浩浩想知道这面旗帜的高度，于是设计了以下测量方案：他先在游客中心前分别放置了高为的测角仪（）和一根高的竹竿（）．在某一时刻的阳光下，旗帜的影子顶端与竹竿的影子顶端在点处重合．然后他用皮尺测得，，，用测角仪测得游客中心顶端的仰角为．已知，求游客中心上的旗帜（）的高度．（参考数据：） 【变式8-3】 （2026·陕西榆林·一模）革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 考点三 常考的相似三角形模型 【题型9 “A”字型相似】 【例9】 （23-24九年级上·山东青岛·期末）在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 【变式9-1】 （25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是的中点，点在上，，连接． (1)求证：； (2)的值为 ． 【变式9-2】 （25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 【变式9-3】 （25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，B，C，D，E四点均在⊙O上，连结，相交于点F，其中，，分别延长，相交于点A，若，则⊙O的半径为（   ） A． B． C． D． 【题型10 “8”字型相似】 【例10】 （25-26九年级上·吉林长春·期末）将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 【变式10-1】 （25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接、． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 【变式10-2】 （25-26九年级上·四川宜宾·期中）在中，，，，点D是边上的动点．连接，作，如图所示，，，连接．则的最小值是________． 【变式10-3】 （25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型11 母子型相似】 【例11】 （25-26九年级上·甘肃金昌·期末）如图，在中，，为边上一点，连接，，以为直径作，是边上一点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【变式11-1】 （25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则__________；若，，则__________． 【变式11-2】 （2025九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【变式11-3】 （24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，于，求证：． 【题型12 旋转相似】 【例12】 （2026九年级下·云南昆明·学业考试）如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为直径的交于点，且经过点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究，发现与证明：已知点F在上，且，连接，，且交于点，是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【变式12-1】 （25-26九年级下·重庆·月考）如图，是的切线，为切点，点在上，过点B作交于点，作交于点，点为上一点，连接交于点，若，，则线段的长度为___________，的周长为___________    【变式12-2】 （2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【变式12-3】 （25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，在四边形中，，，，，则对角线的最大值为________．    【题型13 “K”字型相似】 【例13】 （25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题情景】 图①                       图②                              图③ （1）如图①，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为____________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【变式13-1】 （25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】 （25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【变式13-3】 （25-26九年级上·上海·月考）在中，，，点在上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【题型14 三平行模型】 【例14】 （25-26九年级上·江苏无锡·月考）与的相似比为，则与的周长比为（   ）． A． B． C． D． 【变式14-1】 （25-26九年级上·上海浦东新·月考）如图，在直角梯形中，,, ,，点为边上一点，且，延长交于点． (1)求的长； (2)设，的面积为，求与的函数关系式并写出定义域； (3)联结，延长交于点，若是直角三角形，直接写出的长． 【变式14-2】 （25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】 （25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【题型15 其他相似模型】 【例15】 （2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【变式15-1】 （23-24九年级上·陕西西安·月考）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【变式15-2】 （25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最大值是___________． 【变式15-3】 （25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点D为边的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转至，连结． (1)线段的长为___________ ； (2)当时，求线段的长； (3)当点F落在内部时，求的取值范围； (4)当与的某一边平行时，直接写出线段的长． 考点四 位似 1.位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 【概念混淆】位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 2. 位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3. 画位似图形的一般步骤： 1）确定位似中心. 2）连接位似中心和原图的关键点并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 注意事项： 1）两个位似图形的位似中心，有一个. 2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上. 3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 4.位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 【题型16 位似图形】 【例16】 （2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____． 【变式16-1】 （2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 【变式16-2】 （2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 【变式16-3】 （2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【题型17 坐标系与位似图形】 【例17】 （2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】 （2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式17-2】 （2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【变式17-3】 （2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【题型18 相似三角形的综合问题】 【例18】 （2026·江西吉安·一模）如图，在四边形中，，平分，以为直径的经过点C． (1)求证：是的切线． (2)若，，求四边形的面积． 【变式18-1】 （25-26九年级上·河南周口·期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，交于点F，过点D作 于点G，交于点E． (1)求证：． (2)若，，求和的长． 【变式18-2】 （25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点，在半径为的上，点在内，，，则长最小值为_________． 【变式18-3】 （25-26九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，对角线，点是线段靠近点的三等分点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动，当点运动到点时两点同时停止运动，设运动时间为秒，记的面积为，的值为． (1)请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 特色专项练 【新考向：新考法】 1（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【新考向：新情境】 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为__________． 【新考向：跨学科】 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 中考真题练 1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为___________ （结果保留根号）． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 4．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 相似三角形和位似（练习） 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 2．（2005·浙江台州·中考真题）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)．见解析 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． （1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：；． （2）解：． 证明：∵在的正方形方格中， ，， ∴． ∵，，，， ∴． ∴， ∴． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)与的函数解析式为； (3)点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据勾股定理，可得，根据三角形的面积公式，即可得与的函数解析式； （3）作轴于点，由勾股定理可得，可得，作轴于点，作轴于点，四边形是矩形，和为等腰直角三角形，可得，，可得，作，交轴于点，可得，由线段之间的关系，结合锐角三角函数可得，，，由，可得，可得，，，，可得点和点的坐标，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的函数解析式为． （3）解：作轴于点， ∵点的横坐标为，点的横坐标为，点在线段上， ∴，， ∴， 解得， ∴点的横坐标为，，， ∴， ∴， 作轴于点，作轴于点，则，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵点在轴上，点的横坐标为， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 作，交轴于点，则， 又∵，， ∴， ∴， ∵为轴正半轴上一点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，，点是的中点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数综合，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，比例的基本性质，平行线的性质，锐角三角函数，能够正确作出辅助线是解题关键． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 5．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）4；（2）；（3）的最小值为，此时的长为 【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半解答即可； （2）根据矩形的判定和性质，结合垂线段最短解答即可； （3）根据矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形三边关系定理应用，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，，为边上的中线， ∴, 故答案为：4； （2）如解图①， 四边形为矩形， 连接，则， 过点作于点， ． 在中，， 故， 根据三角形面积性质，得， 的最小值为； （3）如解图②，连接，则， ，当三点共线时最小， 在上顺次截取， 作，则四边形为矩形， 则， ， 解得，． 如解图③，作点关于的对称点，作， 连接， 与的交点即为所确定的位置． 作交于点，得矩形． 在中， ， ， ， 由， ， ，， 当最小时，的最小值为，此时的长为． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若，，则DF的长为______． 【答案】 【分析】连接，设，证明，得出成比例线段，求出，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如答图，连接，设， 在矩形中，， 则，． 是中点， ， ，． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是关键． 7．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则_____． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：12． 8．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 9．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点G的坐标为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：或，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可； （3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线方向或射线方向平移．沿射线方向平移，求出直线的解析式为，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得，，由平移性质可证四边形是平行四边形，推出交点M坐标为，可证明为直角三角形且，根据，可得四点共圆，是在以为直径的圆上，可求中点，根据列方程即可求得的值，则题目可解； 抛物线沿射线方向，作关于点对称点，方法同上． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时， 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ， 解得：，（舍）， 综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则, ∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位， ，， 由平移得，， 四边形是平行四边形， 线段与交于点M， ∴为线段的中点， ， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求一次函数解析式，平行四边形的判定和性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，正确作出辅助线． 10．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，点P是正六边形的边的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则________． 【答案】/ 【分析】延长、交于点，作于点，于点，如图所示，由正六边形的性质及等腰三角形的判定与性质得到，设，再由正六边形的性质得到相应边与角度，在中，由三角函数求出和长度，连接，如图所示，易证是矩形，得到，过点作，如图所示，由等腰三角形性质，解直角三角形得到，最后利用的性质列式求参数即可得到答案． 【详解】解：延长、交于点，作于点，于点，如图所示： 则， 在正六边形中，，则， 由反射光线的性质可知， ，即， ， ， ， 设，则， ， 六边形为正六边形， ， ， 是中点， ， 在中，，， ， 在正六边形中，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 过点作，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质可知平分，且是边上的中线， 在中，， ， ， ，则，解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何综合，涉及正六边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的判定与性质等内容，熟练掌握相关几何知识是解题的关键． 11．（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 12．（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系．自点B，D分别作的垂线段，利用得到，再利用，推出，进而得到，设，结合O是的中点则可推出，由可表示，在勾股定理建立方程即可求解x，则可求． 【详解】如图，过D作于E，过B作于F， ∵， ∴，则， 设 ，则， ，， ， ， ， 即， ， ∵O是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理：，即， 解得：， ． 故答案为：． 13．（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 14．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或． 【分析】（1）由题意得，当时，，求得，再利用三角函数的定义求解即可； （2）作于点，作于点，同（1）利用三角函数的定义求得，，再根据，利用三角形的面积公式代入数据求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，作于点，交延长线于点，证明，构造一元二次方程，利用公式法求解即可；当时， 作于点，证明，构造一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵在中，，，， ∴， 由平移的性质得，，，，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得； （2）解：当时，∴点在线段上，作于点，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 同理，即， ∴， ∵， ∴， ∵ ； ∴； （3）解：存在，理由如下， 由题意， 当时，作于点，交延长线于点， 同理，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∵， ∴； 当时， 作于点， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∵， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，公式法解一元二次方程，正确构造辅助线，分类讨论是解题的关键． 15．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 16．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由切线的性质求得，由圆周角定理求得，利用同角的余角相等求得，再利用圆周角定理即可证明结论成立； （2）由（1）得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 17．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故答案为：． 18．（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，可得，根据相似三角形性质得，然后把，代入即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 19．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 20．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，的值分别为 (2)①见解析②或 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答． （2）①设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为，求出，设，，则，，即可解答． ②当时，，当时，，再分类讨论，即可解答． （3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为，解得；当时，，解得，或（舍去），，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 将代入，得， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得． 答：点的坐标为，的值分别为． （2）①证明：如图， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ ②如图 当时，， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． （3）∵次函数与二次函数组成新函数， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值． ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴当时，取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数的最大值为， ∴当时，函数的最大值为，即， 解得； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 解得，． 学科网（北京）股份有限公司 $