重难点04 立体几何中的夹角与距离3考点（期中真题汇编，天津专用）高一数学下学期人教A版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 难点04立体几何中的夹角与距离 ☆4大高频考点概览 考点01异面直线所成角 考点02直线与平面所成角 考点03二面角 考点04点面距 目目 考点01 异面直线所成角 1,(24-25高一下天津南开中学滨海生态城学校期中)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2√2， BB1=2,则AB1与BC1所成角的大小为() A.600 B.90° C.105o D.75o 6￥ 2.(23-24高一下·天津嘉诚中学期中)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC∩BD=0,E是线 段B:C(含端点)上的一动点， ①OE⊥BD1: ②0E/平面A1C1D; ③三棱锥A1~BDE的体积为定值； ④0E与A1C1所成的最大角为90°. 上述命题中正确的个数是() D A.4 B.3 C.2 D.1 3.(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校期中)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直 1/7 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的四棱锥称为“阳马”如图，四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AB=AD,E为棱PA 的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为 D D B 4.(24-25高一下·天津第二十一中学期中)如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，若P为棱CC1 的中点，则直线AB1与直线BP所成的角为 A C B 5.(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 M是BC的中点， (1I)证明：AB1⊥平面A1MB; (2)求异面直线AD与A1C所成角的正切值； (3)求点B到平面D1MC1的距离 D C A B D M B 目目 考点02 直线与平面所成角 1.(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校期中如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长 为2的正方形， EF=1,FB=FC,∠BFC=90°，AE=V5 (1)求证：EF//AB: 2/7 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求证：AB⊥平面BCF; (3)求直线AE与平面BDE所成角的正切值. 2.(23-24高一下·天津部分区·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， ∠DAB=60°，AB=2AD=2,PD⊥底面ABCD,M,N分别是BC,PA的中点. (I)求证：MN//平面PCD: (②若直线P8与平面PCD所成角的正弦值为， 求线段PD的长. D B 3.(24-25高一下·天津第二十五中学期中)如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，E为棱AC的 中点. (1)求证：直线AB1//平面BC1E; (2)求证：平面BC1E⊥平面ACC1A1 (3)若M为棱A1A上一点，且AM=AA1,求直线BM与平面BC1E所成角的正切值. B B 4.(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学期中)如图，AB是⊙0的直径，AB=2,点C是⊙0 上的动点，PA⊥平面ABC,过点A作AE⊥PC,过点E作EF⊥PB,连接AF, (1)求证：BC⊥AE: (2)求证：平面AEF⊥平面PAB: 3/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)当C为弧AB的中点时，直线PA与平面PBC所成角为45°，求四棱锥A-EFBC的体积 B 5.(24-25高一下·天津实验中学滨海学校期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C与AC1交于点0， AA1⊥平面ABC,AB=BC=AC=AA1,D是BC的中点. (1)证明：A1B/平面AC1D; (2)证明：AD1平面BCCB1 (3)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值， C 0 A B 目目 考点03 二面角 1.(23-24高一下·天津经济技术开发区第一中学期中)如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形 PAD所在平面互相垂直，Q为AD的中点.二面角P-DB-A的正切值为 2.(24-25高一下天津滨海新区塘沾第一中学期中)已知菱形ABCD的边长为2，∠A=等，沿AC将 △ABC折起得到二面角B-AC-D.当二面角B-AC-D为直二面角时，BD的长为；当三棱锥 4/7 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B-ACD的体积为时，二面角B-AC-D的度数为 3.(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学期中)已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PAL平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点，且PA=AD=2,AB=4. (I)求证：AF⊥平面PDC (2)求点A到平面PED的距离. (3)求平面PCE与平面PAD所成锐二面角的正弦值， A E B 4.(23-24高一下·天津汇文中学·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD/BC,AD⊥DC BC=CD=AD=2,E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD (I)证明：AB/平面PCE (2)求证：平面PAB⊥平面PBD (3)若二面角P-CD-A的大小为45·，求直线AD与平面PBD所成角的正切值. B y E D 目目 考点04 点面距 1.(23-24高一下天津部分区期中)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=3. (1)求证：直线BD⊥平面AA1C1C; (2)求点A到平面A1BD的距离. 5/7 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C D Bi--- C 2.(23-24高一下·天津第二耀华中学·期中)在三棱锥P一ABC中，PA⊥面ABC,AB⊥AC,AP=AC-2,AB=1, (1)求三棱锥P一ABC的侧面积； (2)求点A到平面PBC的距离， D B 3.(24-25高一下·天津天华高级中学)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1,ABB1A1均为正方 形，AB=BC=1,∠ABC=90°，点D是棱的A1C1中点. (1)求证：BC/平面AB1D: (2)求B1到平面A1BC1的距离. D A B C B 4.(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)如图，己知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC, AC⊥BC (1)证明：BC⊥平面PAC; (2)过A点作AD垂直PC于D,证明：AD⊥PB; (3)若BC=1,AC=V3,求点C到平面PAB的距离， 6/7 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 5.(24-25高一下天津部分区期中)如图，在正四棱柱ABCD-AB1C1D1中，AB=2,AA1=3,H,G, E分别为AD,AB,BC的中点 (1)求证：C1E/平面B1D1HG: (2)求点B到平面C1DE的距离 D C 6 A G 7/7 难点04立体几何中的夹角与距离 4大高频考点概览 考点01 异面直线所成角 考点02 直线与平面所成角 考点03 二面角 考点04 点面距 地 城 考点01 异面直线所成角 1．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连结、，矩形中利用三角函数的定义，证出，可得．根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱中证出平面，从而得出，即可求解. 【详解】取中点，连接、， 矩形中， ，可得 因此 正三棱柱中，平面平面 平面平面，,平面， 直线平面，平面，可得 ，平面，平面， 平面，因此可得，即与所成角的大小为， 故选：B． 2．(23-24高一下·天津嘉诚中学·期中)在棱长为1的正方体中，，E是线段（含端点）上的一动点， ①； ②平面； ③三棱锥的体积为定值； ④与所成的最大角为. 上述命题中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定和性质，异面直线所成角及锥体体积计算对4个命题逐个判断即可得出结论. 【详解】对于①，因为平面，平面，则， 又因为，且平面， 得平面，又平面，所以 ； 因为平面，平面，则， 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以 ，又平面，所以平面. 又平面，所以，正确； 对于②，在正方体中，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又平面， 所以平面平面.又平面，所以平面，正确； 对于③，由②知，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以 为定值，正确； 对于④，当与重合时，与所成的角最大,最大为，理由如下： 因为，平面，平面， 所以，，且平面， 所以平面， 平面，所以，所以与所成的最大角为，正确. 故正确的命题个数为4个. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查了线线、线面关系的判断及锥体的体积，解题的关键是利用等体积转化法判断体积为定值. 3．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】取中点，利用几何法，借助余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】在四棱锥中，取中点，连接，令， 由E为棱PA的中点，得，则是异面直线CE与PB所成的角或其补角， 由底面ABCD，底面ABCD，得， ， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 4．(24-25高一下·天津第二十一中学·期中)如图，在棱长都相等的正三棱柱中，若为棱的中点，则直线 与直线所成的角为_________． 【答案】/ 【分析】利用三角形的中位线定理及平行四边形的性质，结合异面直线所成角的定义及勾股定理和逆定理即可求解. 【详解】设分别为棱的中点，连接，,如图所示， 因为分别为棱的中点， 所以, 又因为为棱的中点，，为棱的中点， 所以,且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 所以为直线 与直线所成的角（或其补角）. 设正三棱柱的棱长为，则 ， ， ， , 所以，即, 所以， 故直线 与直线所成的角为. 故答案为：. 5．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.   (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）由正方体性质和线面垂直判定定理证明即可得出结论； （2）作出异面直线所成角的平面角，在中由正切函数定义即可求得结果； （3）由点到平面的距离与点到平面的距离相等，利用等体积法计算即可求得结果. 【详解】（1）由正方体性质可知平面， 而平面，所以，即 由四边形为正方形，可得； 又，平面， 所以平面； （2）易知， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角， 在中，易知，且， 因此， 即异面直线与所成角的正切值为； （3）易知点到平面的距离与点到平面的距离相等， 易知三棱锥中，且； 所以， 设点到平面的距离为， 由可得， 解得； 即点到平面的距离为. 地 城 考点02 直线与平面所成角 1．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，. (1)求证：; (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得平面，再由线面平行的性质，即可证明结果； （2）根据条件，利用几何关系得到，，再由线面垂直的判定定理，即可求解； （3）连接，与相交于点，取的中点，连接，，根据条件及（1）中结论，得到平面，从而有是直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）由多面体的定义知，四点共面，四点共面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且平面 平面=，所以. （2）取的中点，连接，则， 由（1）知，所以，又因为 ，所以四边形是平行四边形， 得到 ，且，在中，， 又，得，所以， 在中，，，，所以， 所以，即， 又因为四边形是正方形，所以， 又，平面，平面， 所以平面. （3）连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接，，则，， 由（1）知，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 由（1）知平面，又平面， 所以，又因为，平面，平面， 所以平面，故平面， 又 平面，所以 ，                                          又因为，平面，平面， 所以平面，故是直线与平面所成的角， 在中，，所以直线与平面所成角的正切值为. 2．(23-24高一下·天津部分区·期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．   (1)求证： 平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）根据线线平行可证明为平行四边形，即可由和线面平行的判定定理求证 （2）根据面面垂直的性质可得平面，，进而可得即为直线与平面所成角，由三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点， 中点为， 所以，且， 又，故，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面，    （2）由于底面，平面，所以平面 底面，又两平面的交线为， 过作于，连接， 所以平面，故即为直线与平面所成角， 又，，所以，， ， 由，所以， 故 3．(24-25高一下·天津第二十五中学·期中)如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．   (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面； (3)若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）连接交于点，根据线面平行的判定定理可得平面； （2）根据面面垂直的判定定理可得平面平面； （3）根据线面垂直的判定定理证得平面，得为直线与平面所成的角可得答案． 【详解】（1）连接交于点，连接． 在中，为的中点，为的中点． 是的中位线， ， 平面平面， 平面； （2）在正三棱柱中， 平面平面， ， 在等边中，为的中点， ， 又是平面内的两条相交直线， 平面，又平面， 平面平面； （3）连接， 和都是直角三角形，且， ， ， ， 由（2）得，平面平面，平面平面，又平面， 平面，则为直线与平面所成的角． 在中，，则 所以直线与平面所成角的正切值为. 4．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图， 是 的直径， ，点 是 上的动点， 平面 ，过点 作 ，过点 作 ，连接 . (1)求证： ； (2)求证：平面 平面 ； (3)当 为弧 的中点时，直线 与平面 所成角为 ，求四棱锥 的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可； （2）由线线垂直到线面垂直，再证明面面垂直； （3）图中有线面垂直，可以利用两个三棱锥的差，来计算所求的四棱锥的体积即可. 【详解】（1）由于为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为 平面，所以平面， 又因为平面，所以; （2）由（1）得，，，且 平面， 所以平面，又由于平面，那么， 又因为，，平面， 所以平面，又由于平面，那么平面平面； （3）由（2）可知：平面，而直线与平面所成角为， 那么，且， 所以且， 那么 在中，，得， 所以 那么， ，则. 5．(24-25高一下·天津实验中学滨海学校·期中)如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面 (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）依题意可得，即可证明； （2）依题意可得，再由平面，得到，即可得证； （3）取的中点，连接、、，首先证明，从而得到平面，则为直线与平面所成角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）在三棱柱中，与交于点， 所以为的中点，又是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，是的中点，所以， 又平面，，所以平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面； （3）取的中点，连接、、， 则且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，又平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成角的平面角， 因为平面，平面，所以， 设，则，， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为. 地 城 考点03 二面角 1．(23-24高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为__________． 【答案】 【分析】利用面面垂直性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值. 【详解】依题意平面平面，且平面平面，平面， 易知，因此可得平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得即为二面角的平面角； 显然，且，三角形为正三角形，所以； 在中，. 即二面角的正切值为. 故答案为： 2．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知菱形的边长为2，，沿将折起得到二面角.当二面角为直二面角时，的长为______；当三棱锥的体积为时，二面角的度数为______. 【答案】 或 【分析】利用二面角的定义找到为二面角的平面角，当二面角为直二面角时，易计算得到；当三棱锥的体积为时，求出到平面的距离为，利用三角函数的定义计算即可. 【详解】如图将菱形沿将折起得到二面角 取的中点，连接， 因为菱形的边长为2，，所以， 所以，且， 所以为二面角的平面角， 如图：当二面角为直二面角时，此时， 所以. 当三棱锥的体积为时，记到平面的距离为, 即，解得. 如图：过点作, 由，且面, 所以面, 因为面，所以， 又因为面, 所以面，故到平面的距离为, 由，所以为直角三角形， 因为，所以 由为二面角的平面角，所以， 所以或. 故答案为：；或. 3．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求点A到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直，最后可证明线面垂直； （2）利用等体积法可求点到面的距离； （3）作出二面角的平面角，再利用几何法求出正弦值. 【详解】（1）由平面，平面， 所以， 又由底面是矩形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又由为的中点，所以， 又因为平面，所以平面； （2） 连接，由平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以 又因为是中点，所以， 则，， 由等体积法可得点A到平面的距离满足： ； （3） 延长相交于点，再过点作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 即，又由于， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角就是， 因为，分别是的中点， 所以,即， 所以， 平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 4．(23-24高一下·天津汇文中学·期中)如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面. (1)证明：平面 (2)求证：平面平面 (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以 平面. （2）∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3）∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，，∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 则直线与平面所成角的正切值为. 地 城 考点04 点面距 1．(23-24高一下·天津部分区·期中)如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直即可求证， （2）利用等体积法，即可由三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）由于四棱柱为正四棱柱，所以四边形为正方形，故, 又底面，底面，故, 平面， 故直线平面 （2）由，可得, 所以, 设到平面的距离为， 则 2．(23-24高一下·天津第二耀华中学·期中)在三棱锥P—ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，AP=AC=2，AB=1， (1)求三棱锥P—ABC的侧面积； (2)求点A到平面PBC的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算三个侧面的面积即可； （2）利用等积法即可得到点A到平面PBC的距离. 【详解】（1）∵PA⊥面ABC， ∴PA⊥AB ，PA⊥AC，又AB⊥AC， ∴均为直角三角形， 又AP=AC=2，AB=1， ∴ ∴为等腰三角形， ∴，， ， ∴； （2）由（1）知，， ∴， 设点A到平面PBC的距离为， 则， ∴ 即点A到平面PBC的距离. 3．(24-25高一下·天津天华高级中学·)如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）借助中位线平行来证明线面平行即可； （2）借助等体积法来求点到面的距离即可. 【详解】（1） 取与的交点为，连接， 由侧面均为正方形，可得，又因为点是棱的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为侧面，均为正方形，，， 所以，，又因为点是棱的中点， 所以，即可得， 所以， 又因为， 设点到平面的距离为，则根据等体积公式可得， ．解得， 故到平面的距离为. 4．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，结合，即可得证； （2）由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证； （3）在平面内过点作交于点，即可证明平面，再求出，即可得解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以； （3）在平面内过点作交于点， 因为，，，所以， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. 5．(24-25高一下·天津部分区·期中)如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点. (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接HE，先证四边形为平行四边形得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）应用等体积法有，利用棱锥的体积公式列方程求点面距离. 【详解】（1）连接HE，因为四边形ABCD是正方形，且H，E分别为AD，BC的中点 所以且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题设， 在中，，， 得， ， ， 设点B到平面的距离为h，又， 所以，则，从而. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $