第八章实数 立方根无理数与实数的简单运算培优讲义2025-2026学年人教版数学七年级下册

本讲义聚焦立方根、无理数与实数运算核心知识点，从立方根定义及与平方根的区别入手，延伸至无理数概念、实数分类，再到数轴表示、相反数绝对值及简单运算，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以知识精讲结合图形情境（如正方体体积示意图）直观呈现，典型例题与高频真题改编强化应用，方法归纳（如比较大小三步法）培养抽象能力和运算能力。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过答案和易错提醒查漏补缺，提升推理意识。

人教版七年级下册第八章《实数》8.2一8.3 立方根、无理数与实数的简单运算培优讲义 资料结构：知识精讲+典型例题+高频真题型改编+方法归纳+参考答案 一、学习目标 1.理解立方根的概念，会求常见数的立方根，能解简单的立方关系式。 2.理解有理数、无理数、实数之间的关系，能对常见实数进行分类。 3.会在数轴上表示并比较部分实数大小，理解相反数和绝对值在实数范围内仍然成立。 4.会进行简单的实数加减、同类根式合并与近似计算。 二、知识精讲 1.立方根的定义 如果一个数x的立方等于a,即x3=a 那么这个数x叫作a的立方根，记作。 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0。 这说明：任意实数都有立方根。 2.立方根与平方根的区别 项目 平方根 立方根 正数情况有两个平方根只有一个立方根 负数情况没有平方根 有一个负的立方根 0的情 平方根是0 立方根是0 况 3.立方根的图形情境 如果一个正方体的体积是216cm3,棱长设为xcm,则 x3=216. 所以 x=216=6 V=216cm3 xcm 图1：正方体体积与棱长关系示意图 4.什么是无理数 任何有理数都可以写成有限小数或无限循环小数。 像2、5、π这样无限不循环小数，叫作无理数。 因此： 有理数：有限小数或无限循环小数； 无理数：无限不循环小数： 实数：有理数和无理数统称为实数。 5.实数与数轴 实数与数轴上的点是一一对应的。右边的点表示的实数总比左边的大。 十 2-100 1 234 图2：实数数轴空白示意图 常见近似值： 201.414, V3≈1.732， π≈3.142 因此在数轴上排序时，常常先化成近似值再比较。 6.相反数与绝对值 对于任意实数a: 它的相反数是一a: 它的绝对值记作a。 例如：1-3=3-1， 因为5>1，所以1-V5<0。 7.实数的简单运算 有理数中的运算律在实数范围内仍然适用。 例如：35-2W5=(3-25=5 近似计算时，通常先用近似小数代替无理数，再根据要求保留相应位数。 三、典型例题 例1求立方根 求下列各数的立方根： 1.-27 2.0.064 3.要 例2解立方关系式 求下列各式中x的值： 1.x3=-8 2.(x-1)°=64 3.27x3=216 例3数的分类 指出下列各数是有理数还是无理数： 1. 9 2.V12 3.0.3030030003 4.3.14159 5.V-125 例4数轴比较大小 比较-V5、-1.7、0、π的大小，并用“<”连接。 例5相反数与绝对值 1.写出V5-2的相反数； 2.求1-： 3.已知一个数的绝对值是11，求这个数。 例6简单运算 计算： 1. 2V5-5V3 2. (5+1-1 3. 四、高频真题型改编 1.下列说法正确的是() A.负数没有立方根B.任何实数都有立方根C.无理数都是负数D.带根号的数 都是无理数 2.求下列各数的立方根：343，-0.001，号。 3.判断下列各数中哪些是有理数：√16，√18，-π，0.125,0.121221222…。 4.比较大小：20与3：7与V11。 5.把-2,2，是，π从小到大排列。 6.求下列各数的相反数与绝对值：-万，√3-4,0。 7.计算：42-16。 8.计算（结果保留两位小数）：π-V§。 五、方法归纳与易错提醒 1.立方根不用分“正负两支” 例如一64=-4，不能写成±4。 2.分类时先看“能不能化简” ·-5=-3,是有理数： 。V16=4,是有理数： ·V12=25,仍是无理数。 3.比较大小时常用近似值 实数比较通常走三步：先化简，再估值，最后比较。 4.绝对值要结合正负判断 若a<0,则a=-a;若a≥0，则a=a。 参考答案与关键步骤 例1 1.V-27=-3 2.0.064=0.4 3.腰= 例2 1.x3=-8,所以x=-2。 2.&-1)=64,所以x-1=4,得x=5。 3.27x3=216,所以x3=8,得x=20 例3 1.-V5=-3,是有理数； 2.12=25,是无理数： 3.0.3030030003…是无限不循环小数，是无理数； 4.3.14159是有限小数，是有理数； 5.-125=-5,是有理数。 例4 因为-V5≈-1.732，所以 -V5<-1.7<0<π 例5 1.5-2的相反数是2-V5: 2.因为5>1，所以1-V5<0,故1-5=5-1： 3.绝对值为V1的数是√1或-1。 例6 1.2V3-53=-35; 2.(5+1)-1=5: 3. 塑=号=π。 高频真题型改编参考答案 1.B 2.立方根分别为7，-0,1，号。 3.有理数： V16,0.125;其余是无理数。 4.因为20<27，所以20<3；又因为7<11，所以V万<11。 5.-2<2<号<π。 6.-V万的相反数是万，绝对值是V万；V3-4<0,其相反数是4-3，绝对 值也是4一√13；0的相反数与绝对值都为0。 7.16=82=22,所以结果为22。 8.π-V8≈3.1416-2.8284≈0.31。