专题8.3 实数及其简单运算（6大知识点+ 11大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

专题8.3 实数及其简单运算 知识点1：无理数的概念及常见形式 1.定义：无限不循环小数叫做无理数（无理数不能化成分数形式）。 2.常见形式： 开方开不尽的数的方根，如、等； 及化简后含的数，如、等； 具有特殊结构的无限不循环小数，如（相邻两个1之间0的个数依次增加1）。 知识点2：实数的概念及分类 1.定义：有理数和无理数统称为实数（实数是有理数范围的扩充）。 2.分类： 按定义分类： 按正负分类： 知识点3：实数的性质（与有理数性质一致） 1.相反数：实数的相反数是，若与互为相反数，则（如的相反数是）。 2.绝对值：设为任意实数，则，绝对值具有非负性（）。 3.倒数：非零实数的倒数是，若与互为倒数，则（如的倒数是）。 知识点4：实数与数轴的关系 1.一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 2.大小关系：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大（正实数>0>负实数）。 知识点5：实数的运算 1.运算范围：实数范围内可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算；正数及0可进行开平方运算，任意实数可进行开立方运算。 2.运算性质：有理数的运算法则（交换律、结合律、分配律）和运算顺序在实数范围内仍然适用。 3.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右进行；有括号先算括号内的。 知识点6：实数大小的比较方法 比较方法 适用场景 具体操作 数轴比较法 所有实数 将实数表示在数轴上，右边的数大于左边的数 绝对值比较法 两个负实数 绝对值大的负实数反而小（如比较与，，故） 估算法 含无理数的比较 估算无理数的近似值，再比较（如，故） 作差法 任意两个实数 若则；若则；若则 平方法 两个正无理数（含根号） 平方后数值大的原数大（如比较与，，故） 【基础必考题型】 【题型1】无理数的识别与判断 1.核心知识点 无理数的定义（无限不循环小数） 有理数与无理数的区别（有理数可化成分数，无理数不能） 2.解题方法技巧 先对含根号的数化简（如是有理数），再判断类型； 牢记无理数的三种常见形式，排除有限小数、无限循环小数和整数。 【例题1】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）在下列实数中，属于无理数的是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵整数和分数都属于有理数，无限不循环小数是无理数； ∴A选项中2是整数，属于有理数，不符合要求； B选项中0.3是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； C选项中是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； D选项中是分数，属于有理数，不符合要求． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·山东临沂·期末）在下列五个数中：，0，，，（两个1之间依次多一个2）有理数的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数与无理数的定义，熟记概念是解题的关键，根据有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数是无理数，逐个判断即可. 【详解】解： 在，0，，，（两个1之间依次多一个2）中， 是分数，是有理数， 0是整数，是有理数， 是有限小数，可化为分数，是有理数， 是无理数，是无限不循环小数，是无理数， ∴ 有理数的个数为3个. 【变式题1-2】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）在实数，，，，，（相邻两个2之间0的个数逐渐增加1个）中，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】无限不循环小数是无理数． 【详解】解：， 在实数，，，，（相邻两个2之间0的个数逐渐增加1个）中， 无理数有，，（相邻两个2之间0的个数逐渐增加1个），共3个． 【变式题1-3】.（24-25八年级上·四川自贡·开学考试）在实数，，0，，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：，， 在实数，，0，，，，中，无理数有，，，共3个． 【题型2】实数的分类 1.核心知识点 实数的两种分类标准（按定义、按正负） 有理数、无理数、正实数、负实数的概念 2.解题方法技巧 分类时遵循“不重不漏”原则，先化简再分类（如归为整数）； 注意0既不是正实数也不是负实数，单独归类。 【例题2】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数和有理数的分类，关键是掌握各个知识点． 根据实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，即可解答． 【详解】解：按定义分：实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，故A符合题意． 故选：A． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填在相应的括号里：，，，0，，，2.9，1.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）． （1）整数：{                                                    …}； （2）分数：{                                                    …}； （3）无理数：{                                                    …}． 【答案】（1）整数：； （2）分数：； （3）无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0）}． 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键； 根据实数的分类将题干的八个数分别填到三个空内． 【详解】解：是整数；无法化简也不能化为分数形式，是无理数；是分数；0是整数，是无理数；是有限小数，是分数；是有限小数，是分数；（相邻两个3之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数； ∴整数：； 分数：； 无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0，…} ． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）将下列各数填在相应的大括号内． 3.030030003…（每两个3之间依次增加一个0），，，3.1415926，，0，，，，． 有理数：{                                    ，…}； 无理数：{                                    ，…}； 正实数：{                                    ，…}； 整数：{                                    ，…}． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了实数的分类（有理数、无理数、正实数、整数），解题关键是先化简能计算的数，再根据定义准确分类，注意无限不循环小数是无理数，而整数和分数都属于有理数． 先根据有理数、无理数、正实数、整数的定义，对每个数进行化简和判断，再将它们分类填入对应的集合中． 【详解】解：（每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，属于无理数，也是正实数； ，是有理数、整数和正实数； 是无限不循环小数，属于无理数，也是正实数； 是有限小数，属于有理数，也是正实数； 是有限小数，属于有理数； 是有理数和整数； 是分数，属于有理数，也是正实数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，是有理数、整数和正实数； 是无限不循环小数，属于无理数，也是正实数． 综合以上，分类如下： 有理数集合包括：、、、、、； 无理数集合包括：、、、； 正实数集合包括：、、、、、、； 整数集合包括：、、． 则填在相应的大括号内为： 有理数：； 无理数：； 正实数：； 整数：． 【题型3】实数的相反数、绝对值与倒数求解 1.核心知识点 实数的相反数、绝对值、倒数的定义 绝对值的非负性及化简规则 2.解题方法技巧 求相反数直接在原数前加“”； 求绝对值先判断原数正负，再按定义化简； 【例题3】.（25-26七年级上·广东汕头·期末）计算：_______． 【答案】3 【详解】解：． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是， ∴的相反数是. 【变式题3-2】.（23-24七年级上·陕西西安·期中）式子可以表示的意义是（　　） A．的相反数是1 B．1的相反数是 C．的倒数是 D．的倒数是1 【答案】A 【分析】本题考查了相反数和倒数，根据相反数的定义解答即可，熟练掌握相反数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：式子可以表示的意义是的相反数是1， 故选：A． 【变式题3-3】.（23-24六年级下·上海杨浦·期中）在有理数范围内，关于相反数有以下五种叙述：①正数与负数都有相反数，零没有相反数；②表示相反意义的量的两个数互为相反数；③数a的相反数表示负数；④如果，那么a与b互为相反数：⑤如果，那么a与b互为相反数．以上叙述正确的是（   ） A．①、② B．③、④ C．⑤ D．④、⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法则，正数和负数的定义，相反数和绝对值的定义，掌握有理数的加减法则，正数和负数的定义，相反数和绝对值得定义是关键． 根据有理数的加减法则，正数和负数的定义，相反数和绝对值的定义进行判断． 【详解】解：①中正数与负数都有相反数，零的相反数是零，题干错误，不符合题意； ②中例如：上升5米和下降3米，表示相反意义的量的两个数不是相反数，题干错误，不符合题意； ③中例如：的相反数为是正数，题干错误，不符合题意； ④中如果，那么与互为相反数或相等，题干错误，不符合题意． ⑤如果，那么与互为相反数，正确，符合题意． 故选：C． 【题型4】实数的简单运算（含开方、乘方） 1.核心知识点 实数的运算法则和运算顺序 平方根、立方根的计算（，） 2.解题方法技巧 先算开方、乘方，再算乘除，最后算加减； 注意符号处理（如，）。 【例题4】.（25-26八年级下·湖南衡阳·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用乘法分配律简便运算即可； （2）先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，再进行加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】本题主要考查立方根、算术平方根及实数的运算，熟练掌握运算规则是解题的关键； 根据立方根、算术平方根及实数的运算进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·山东威海·期末）设三角形的三边分别为，，，则有下列三角形面积公式成立： ①，其中（海伦公式） ②（秦九韶公式）． 已知一个三角形的三边，，分别为，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 【答案】． 【分析】把，，分别代入公式②，计算算术平方根即可． 【详解】解：将，，代入公式②，得， = ． 【培优高频题型】 【题型5】实数大小的比较（含无理数） 1.核心知识点 实数大小比较的多种方法（估算法、作差法、平方法等） 无理数的估算技巧 2.解题方法技巧 两个正无理数比较常用“平方法”或“估算法”； 两个负实数比较先求绝对值，再用“绝对值大的反而小”； 含根号的数与整数比较，先估算根号内数的范围（如在和之间，故在和之间）。 【例题5】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，先计算两数的绝对值，再比较绝对值的大小，进而判断原数的大小关系． 【详解】解：根据绝对值的定义，可得，， 因为，即， 所以． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先区分正数与负数，负数小于正数，再比较两个正数的大小即可确定最大数． 【详解】解：∵， ∴， ∵正数大于负数， ∴中，最大的数为； 故选：C． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）比较大小：___________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，观察到两个分数分母相同且为正数，只需比较分子的大小，再依据分母相同的正分数的大小比较法则即可得出结论． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值． （1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小． （2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 【题型6】实数与数轴的综合应用 1.核心知识点 实数与数轴的一一对应关系 数轴上两点间距离公式（） 利用数轴判断实数的正负及绝对值大小 2.解题方法技巧 求数轴上点表示的数：结合图形中的长度关系（如正方形面积求边长），再根据位置确定符号； 化简代数式：先根据数轴判断绝对值内、根号内表达式的正负，再去绝对值、化简根号。 【例题6】.（25-26七年级上·安徽六安·期末）数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数，即可解答． 【详解】解：∵数轴上表示1，的点分别为A，B， ∴线段的长为． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理、算术平方根的应用，理解题意，求出是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）用点C表示的数减去边的长可得m值，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意，小正方形对角线的长度为； （2）解：由（1）知，正方形的边，C与重合， ∴点D在数轴上表示的数， ∴． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·周测）把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的关系以及估算无理数的大小，确定出被覆盖数的范围并化为带根号的数是解题的关键． 根据被覆盖的数在到之间，化为带根号的数的被开方数的范围，然后即可得解． 【详解】解：设被墨迹覆盖住的无理数为， 由图可知：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 【答案】(1)0；；5.3；； (2)见解析 (3)4，0，；，5.3；，． 【分析】此题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的分类等知识，熟练掌握实数的分类是关键． （1）根据A、B、C、D在数轴上的位置进行解答即可； （2）根据实数与数轴的关系进行解答即可； （3）根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】（1）解：根据A、B、C、D在数轴上的位置可知，点A表示数0，点B表示数，点C表示数，点D表示数， 故答案为：0，，，； （2）解：如图所示： ； （3）解：整数：{4，0，…}； 分数：{，…}； 无理数：{，…}． 【题型7】含绝对值、相反数、倒数的代数式求值 1.核心知识点 实数的性质（相反数、绝对值、倒数的关系） 代数式的化简与求值 2.解题方法技巧 先根据已知条件求出字母对应的实数（如“、互为相反数”得，“、互为倒数”得）； 代入代数式时注意符号和运算顺序，含绝对值的先判断正负再化简。 【例题7】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度 ∴． （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知某个数的平方根是和，且的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的立方根并判断其与的大小关系． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由平方根定义及算术平方根定义列式求解即可得到答案； （2）由（1）知，，代入求值后计算立方根，再比较与的大小关系即可得到答案． 【详解】（1）解：某个数的平方根是和， ， 解得； 的算术平方根是， ， 解得； （2）解：由（1）知，， ， 则的立方根是， ， ． 【点睛】本题考查平方根定义、算术平方根定义、立方根定义、解一元一次方程、比较数的大小等知识，熟记相关概念是解决问题的关键． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·云南昭通·期末）已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1)题设：与互为相反数；结论：与互为相反数；真命题； (2)． 【分析】本题考查实数的性质，解一元一次方程，熟练掌握相反数的定义，立方根的定义，是解题的关键： （1）根据“如果”引导的部分是题设，“那么”引导的部分是结论，进行作答即可； （2）根据（1）中结论，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：题设：与互为相反数； 结论：与互为相反数；此命题为真命题； ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 即：与互为相反数； （2）由（1）可知：与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（2025七年级下·全国·专题练习）（1）的倒数是_______； （2）相反数和绝对值都为的实数是_______； （3）的相反数是_______，绝对值是_______，倒数是_______． 【答案】（1）；（2）；（3），， 【分析】此题考查了实数的性质，立方根，求实数的相反数，绝对值及倒数，正确理解各定义是解题的关键． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可； 【详解】解：（1）的倒数是， 故答案为：； （2）的相反数是， 的绝对值是， 故相反数和绝对值都为的实数是， 故答案为：； （3）， 故的相反数是，绝对值是，倒数是， 故答案为：，，． 【题型8】实数运算的实际情境应用（长度、面积相关） 1.核心知识点 实数的运算（开方、乘除） 几何图形的面积、周长公式（正方形面积=边长²，正方体体积=棱长³） 2.解题方法技巧 从实际问题中提取数量关系（如“正方形面积为5”得边长为）； 根据公式列算式，先计算开方、乘方，再进行其他运算，结果按要求保留小数位数。 【例题8】.（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·河南周口·月考）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·河南周口·月考）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 【压轴素养题型】 【题型9】无理数的整数部分与小数部分求解 1.核心知识点 无理数的估算 整数部分、小数部分的定义（小数部分=原数-整数部分，且小数部分） 2.解题方法技巧 先确定无理数所在的两个连续整数之间（如在和之间），则整数部分为较小的整数； 小数部分=原数-整数部分（如的小数部分为）； 代入代数式时，利用整体思想化简计算。 【例题9】.（24-25七年级下·陕西安康·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】（1）由，即可得出a的值．再根据，即可求出b的值，最后计算即可； （2）由，且，其中x是整数，且，即可求出x和y的值，再计算出，最后利用相反数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，的小数部分为a， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵的整数部分为b， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·四川成都·月考）阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即解答即可； （2）根据得到，确定整数部分为1，小数部分为，结合已知，确定a，b的值，解答即可． 【详解】（1）解：∵即， ∴的整数部分为8，小数部分为． （2）解：∵即， ∴ ∴的整数部分为1，小数部分为， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴， ∴． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值； （2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】（1）10或26（2） 【分析】本题考查的是相反数，倒数，平方根的含义，无理数的整数部分与小数部分的含义． （1）先求解，，，再进一步代入计算即可． （2）先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1） 由题意可得：，，， 原式 当时，原式； 当时，原式． （2）∵， ∴整数部分为4， ∴； ∵， ∴整数部分为3， ∴， ∴． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·山东淄博·期末）阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 【答案】(1)的整数部分是3，小数部分为 (2)6 【分析】本题考查了估算无理数的大小估算，立方根，平方根的含义，求代数式的值． （1）根据题干中的方法即可求出结果； （2）根据题意可得，，，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分是3，小数部分为． （2）解：∵a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分， ∴，，， ∴. 【题型10】新定义下的实数运算 1.核心知识点 实数的基本运算（加、减、乘、除、开方） 新定义运算的规则理解与应用 2.解题方法技巧 先仔细阅读新定义规则（如“”），明确运算逻辑； 代入具体实数时，遵循“先新定义运算，再常规运算”的顺序，注意无理数的化简。 【例题10】.（24-25八年级上·广东揭阳·月考）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 类比思想是我们数学学习中常用的一种思想方法，例如类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． 又例如：∵，∴ 我们类比这个方法，可以求出中x的值 ∵， ∴ ∴或 解得：或 (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：________； (2)请根据前面的定义，求出625的四次方根和的五次方根； (3)仿照上面的例子，求下列x的值： ①     ② 【答案】(1)若，那么叫做的五次方根 (2)， (3)①或；②或． 【分析】本题考查了四次方根和五次方根的意义，解题的关键是熟练掌握四次方根和五次方根的意义，准确进行计算． （1）依照平方根和立方根的定义即可得出答案； （2）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （3）根据四次方根和五次方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，那么叫做的五次方根， 故答案为：若，那么叫做的五次方根． （2）解：∵， ∴625的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：，． （3）解：①， ∴或 ∴或； ② ∴ ∴ ∴或． 【变式题10-1】.（2024·四川成都·一模）现给出以下两个定义： 定义①：任意一个正整数n都可以进行这样的因数分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这样分解中，如果p，q这两个因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，记为： ．例如：可以分解成或，因为，所以是的最佳分解，所以．定义②：如果一个两位正整数t，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上两个新定义，可求得__________________；在所有的“吉祥数”中，的最大值为 __________________． 【答案】 /0.6 /0.75 【分析】本题考查了新定义下的实数运算．理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． 由题意知，，由，可求；依题意得，，则，由，可得或或，或或，即t为；然后根据定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴ ∵（，x，y为自然数）， ∴交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为， 依题意得，， ∴， ∵， ∴或或，或或， ∴t为； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值． 故答案为：，． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为_____；32的五次方根为_____； (3)若有意义，则_____； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）依照平方根和立方根的定义即可得出答案； （2）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （3） 根据四次方根，绝对值和五次方根的意义求解即可． （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4）解：， ， ， ， 或， 或． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·湖北恩施·期中）本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 一般地，如果一个数的立方等于，即，，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”． 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：________； (2)探究性质： ①81的四次方根是______；0的四次方根是_________； _______（填“有”或“没有”）四次方根； ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_______． (3)巩固与应用 ①计算：； ②比较大小：和． 【答案】(1)一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，，那么这个数x叫做a的四次方根 (2)①；0；没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数：0的四次方根是0；负数没有四次方根 (3)①；② 【分析】本题考查了实数的大小比较，平方根和立方根的意义． （1）类比平方根的定义解答即可； （2）根据四次方根的定义求解即可； （3）根据实数的大小比较方法比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． 故答案为：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． （2）①根据题意： 的四次方根是：，的四次方根是，没有四次方根． 故答案为：，，没有； ②四次方根的性质：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根， 故答案为：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． （3）①； ②∵， ∴， ∴． 【题型11】实数的规律探究题 1.核心知识点 实数的运算规律 无理数的化简与变形 2.解题方法技巧 观察已知等式的结构特征（如符号、系数、根号内的数），归纳规律； 利用规律推导未知式子的值，推导后可代入验证； 涉及循环规律的，先找出循环周期，再根据周期求解。 【例题11】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 【变式题11-1】.（25-26七年级上·山东临沂·期末）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解.根据差倒数写出，得到规律即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，，，， ∴个数一循环， ， ∴． 故选：A． 【变式题11-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 【变式题11-3】.（2025·四川广元·一模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足 (即方程．有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行混合运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则 _________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据虚数单位的幂运算规律，其幂值每次循环一次，因此将指数除以取余数进行计算． 【详解】解： ，，，，， 幂值每次循环一次， ， ， ， ， ． 故答案为：． 易错点 误认为“带根号的数都是无理数”（如是有理数，是有理数）。 化简绝对值时忽略无理数的正负（如，而非，因为）。 实数分类时遗漏“先化简再分类”步骤（如将归为无理数，实际是整数）。 4.进行实数混合运算时，混淆运算顺序（先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）。 5.求无理数的倒数时未分母有理化（如应化为，而非直接保留）。 重点 1.无理数的识别与实数的分类，能准确区分有理数和无理数。 2.实数的相反数、绝对值、倒数的求解，掌握绝对值的化简规则。 3.实数的混合运算，熟练运用运算法则和运算顺序进行计算。 4.实数大小的比较方法，能根据不同情况选择合适的比较技巧（估算法、平方法等）。 5.实数与数轴的关系，能利用数轴解决点的表示、代数式化简等问题。 难点 1.无理数的估算及整数部分、小数部分的求解，需准确把握无理数所在的整数区间。 2.含绝对值、根号的代数式化简，需结合数轴或估算判断表达式的正负。 3.新定义运算和规律探究题，需快速理解规则、归纳规律并灵活应用。 4.实数运算的实际应用和跨学科问题，需将实际情境转化为数学问题，结合公式求解。 5.多个实数大小比较的综合问题，需合理选择比较方法，分步推导得出结论。 【对应练习题】 一、单选题 1．实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义．先求给定实数的倒数，再求该倒数的相反数，即可得到结果， 【详解】解：实数的倒数， 则的相反数是2， 即实数的倒数的相反数是2， 故选：C． 2．下列实数：，，，（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，无理数是无限不循环小数，据此对每个实数逐一判断即可． 【详解】是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数， 是有限小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， ∵是无理数， ∴是无限不循环小数，属于无理数， ，2是整数，属于有理数 0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）是无限不循环小数，属于无理数， ∴无理数共有3个． 故选：C． 3．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值. 【详解】解：∵ ∴ 即不等式两边同时加3，得，即 ∵在整数与之间 ∴ 故选：A. 4．如图，数轴上点N表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得点N表示的数大于3且小于4，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，点N表示的数大于3且小于4， ∵， ∴， ∴点N表示的数可能是． 5．如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点C表示的数为x，根据对称得出，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B， ∴， 即， 解得． 即点C表示的数为． 二、填空题 6．计算的结果是________． 【答案】12 【详解】解：原式 ． 7．如图，将面积为6的正方形的顶点放在数轴上，以表示实数2的点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：∵将面积为6的正方形放在数轴上， ∴正方形的边长为． ∵以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧， ∴ ∴点E表示的数为． 故答案为：． 8．如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示实数的点可能是点， 故答案为：． 9．定义新运算：，则，则的值是______． 【答案】 【分析】根据新定义先将式子转化为，再代入求解． 【详解】解：， ， ， ． 10．已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为________． 【答案】 【分析】根据无理数的估算， 先估算和的取值范围，进而确定和的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 又， ， ， 根据不等式的性质，两边同时加，得， ， . . 三、解答题 11．计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根、立方根和绝对值的性质求解即可． 【详解】解： ． 12．已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，以及用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先根据立方根和平方根的定义，求出a和b的值，再估算的值，最后将a、b、c的值代入，利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵的立方根是，的平方根是， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分是， ∴， ∴， ∴的平方根是． 13．已知的算术平方根是的立方根是． (1)求，的值； (2)是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根、无理数的估算，关键是灵活应用知识点解题；根据立方根的定义、算术平方根的定义求出，接着估算出的范围，从而求出的值，最后根据平方根的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：的算术平方根是 ， ∴即：， 的立方根是， ∴， 即， ∴； （2）解：， ∴ ， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的平方根是． 14．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 15．数学课上，围绕新定义的运算，林老师和小明进行了一段对话． 林老师：我定义了一种新的运算，叫加乘运算．运算符号记作“”，其运算法则是……． 小明：我根据加乘运算的法则得到，． 请根据加乘运算的法则解决下列问题． (1)填空：____________，____________． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，正确理解新运算的法则是解题的关键． ()根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加； ()先计算括号里，再计算括号外面的解答即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：； （2）解： ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 实数及其简单运算 知识点1：无理数的概念及常见形式 1.定义：无限不循环小数叫做无理数（无理数不能化成分数形式）。 2.常见形式： 开方开不尽的数的方根，如、等； 及化简后含的数，如、等； 具有特殊结构的无限不循环小数，如（相邻两个1之间0的个数依次增加1）。 知识点2：实数的概念及分类 1.定义：有理数和无理数统称为实数（实数是有理数范围的扩充）。 2.分类： 按定义分类： 按正负分类： 知识点3：实数的性质（与有理数性质一致） 1.相反数：实数的相反数是，若与互为相反数，则（如的相反数是）。 2.绝对值：设为任意实数，则，绝对值具有非负性（）。 3.倒数：非零实数的倒数是，若与互为倒数，则（如的倒数是）。 知识点4：实数与数轴的关系 1.一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 2.大小关系：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大（正实数>0>负实数）。 知识点5：实数的运算 1.运算范围：实数范围内可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算；正数及0可进行开平方运算，任意实数可进行开立方运算。 2.运算性质：有理数的运算法则（交换律、结合律、分配律）和运算顺序在实数范围内仍然适用。 3.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右进行；有括号先算括号内的。 知识点6：实数大小的比较方法 比较方法 适用场景 具体操作 数轴比较法 所有实数 将实数表示在数轴上，右边的数大于左边的数 绝对值比较法 两个负实数 绝对值大的负实数反而小（如比较与，，故） 估算法 含无理数的比较 估算无理数的近似值，再比较（如，故） 作差法 任意两个实数 若则；若则；若则 平方法 两个正无理数（含根号） 平方后数值大的原数大（如比较与，，故） 【基础必考题型】 【题型1】无理数的识别与判断 1.核心知识点 无理数的定义（无限不循环小数） 有理数与无理数的区别（有理数可化成分数，无理数不能） 2.解题方法技巧 先对含根号的数化简（如是有理数），再判断类型； 牢记无理数的三种常见形式，排除有限小数、无限循环小数和整数。 【例题1】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）在下列实数中，属于无理数的是（    ） A．2 B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·山东临沂·期末）在下列五个数中：，0，，，（两个1之间依次多一个2）有理数的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式题1-2】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）在实数，，，，，（相邻两个2之间0的个数逐渐增加1个）中，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-3】.（24-25八年级上·四川自贡·开学考试）在实数，，0，，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】实数的分类 1.核心知识点 实数的两种分类标准（按定义、按正负） 有理数、无理数、正实数、负实数的概念 2.解题方法技巧 分类时遵循“不重不漏”原则，先化简再分类（如归为整数）； 注意0既不是正实数也不是负实数，单独归类。 【例题2】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填在相应的括号里：，，，0，，，2.9，1.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）． （1）整数：{                                                    …}； （2）分数：{                                                    …}； （3）无理数：{                                                    …}． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）将下列各数填在相应的大括号内． 3.030030003…（每两个3之间依次增加一个0），，，3.1415926，，0，，，，． 有理数：{                                    ，…}； 无理数：{                                    ，…}； 正实数：{                                    ，…}； 整数：{                                    ，…}． 【题型3】实数的相反数、绝对值与倒数求解 1.核心知识点 实数的相反数、绝对值、倒数的定义 绝对值的非负性及化简规则 2.解题方法技巧 求相反数直接在原数前加“”； 求绝对值先判断原数正负，再按定义化简； 【例题3】.（25-26七年级上·广东汕头·期末）计算：_______． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（23-24七年级上·陕西西安·期中）式子可以表示的意义是（　　） A．的相反数是1 B．1的相反数是 C．的倒数是 D．的倒数是1 【变式题3-3】.（23-24六年级下·上海杨浦·期中）在有理数范围内，关于相反数有以下五种叙述：①正数与负数都有相反数，零没有相反数；②表示相反意义的量的两个数互为相反数；③数a的相反数表示负数；④如果，那么a与b互为相反数：⑤如果，那么a与b互为相反数．以上叙述正确的是（   ） A．①、② B．③、④ C．⑤ D．④、⑤ 【题型4】实数的简单运算（含开方、乘方） 1.核心知识点 实数的运算法则和运算顺序 平方根、立方根的计算（，） 2.解题方法技巧 先算开方、乘方，再算乘除，最后算加减； 注意符号处理（如，）。 【例题4】.（25-26八年级下·湖南衡阳·开学考试）计算：． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算 (1)； (2)． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·山东威海·期末）设三角形的三边分别为，，，则有下列三角形面积公式成立： ①，其中（海伦公式） ②（秦九韶公式）． 已知一个三角形的三边，，分别为，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 【培优高频题型】 【题型5】实数大小的比较（含无理数） 1.核心知识点 实数大小比较的多种方法（估算法、作差法、平方法等） 无理数的估算技巧 2.解题方法技巧 两个正无理数比较常用“平方法”或“估算法”； 两个负实数比较先求绝对值，再用“绝对值大的反而小”； 含根号的数与整数比较，先估算根号内数的范围（如在和之间，故在和之间）。 【例题5】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）比较大小：______．（填“”“”或“”） 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）比较大小：___________． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【题型6】实数与数轴的综合应用 1.核心知识点 实数与数轴的一一对应关系 数轴上两点间距离公式（） 利用数轴判断实数的正负及绝对值大小 2.解题方法技巧 求数轴上点表示的数：结合图形中的长度关系（如正方形面积求边长），再根据位置确定符号； 化简代数式：先根据数轴判断绝对值内、根号内表达式的正负，再去绝对值、化简根号。 【例题6】.（25-26七年级上·安徽六安·期末）数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·周测）把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_________． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 【题型7】含绝对值、相反数、倒数的代数式求值 1.核心知识点 实数的性质（相反数、绝对值、倒数的关系） 代数式的化简与求值 2.解题方法技巧 先根据已知条件求出字母对应的实数（如“、互为相反数”得，“、互为倒数”得）； 代入代数式时注意符号和运算顺序，含绝对值的先判断正负再化简。 【例题7】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知某个数的平方根是和，且的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的立方根并判断其与的大小关系． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·云南昭通·期末）已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若与互为相反数，求的值． 【变式题7-3】.（2025七年级下·全国·专题练习）（1）的倒数是_______； （2）相反数和绝对值都为的实数是_______； （3）的相反数是_______，绝对值是_______，倒数是_______． 【题型8】实数运算的实际情境应用（长度、面积相关） 1.核心知识点 实数的运算（开方、乘除） 几何图形的面积、周长公式（正方形面积=边长²，正方体体积=棱长³） 2.解题方法技巧 从实际问题中提取数量关系（如“正方形面积为5”得边长为）； 根据公式列算式，先计算开方、乘方，再进行其他运算，结果按要求保留小数位数。 【例题8】.（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·河南周口·月考）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·河南周口·月考）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【压轴素养题型】 【题型9】无理数的整数部分与小数部分求解 1.核心知识点 无理数的估算 整数部分、小数部分的定义（小数部分=原数-整数部分，且小数部分） 2.解题方法技巧 先确定无理数所在的两个连续整数之间（如在和之间），则整数部分为较小的整数； 小数部分=原数-整数部分（如的小数部分为）； 代入代数式时，利用整体思想化简计算。 【例题9】.（24-25七年级下·陕西安康·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·四川成都·月考）阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值； （2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·山东淄博·期末）阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 【题型10】新定义下的实数运算 1.核心知识点 实数的基本运算（加、减、乘、除、开方） 新定义运算的规则理解与应用 2.解题方法技巧 先仔细阅读新定义规则（如“”），明确运算逻辑； 代入具体实数时，遵循“先新定义运算，再常规运算”的顺序，注意无理数的化简。 【例题10】.（24-25八年级上·广东揭阳·月考）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 类比思想是我们数学学习中常用的一种思想方法，例如类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． 又例如：∵，∴ 我们类比这个方法，可以求出中x的值 ∵， ∴ ∴或 解得：或 (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：________； (2)请根据前面的定义，求出625的四次方根和的五次方根； (3)仿照上面的例子，求下列x的值： ①     ② 【变式题10-1】.（2024·四川成都·一模）现给出以下两个定义： 定义①：任意一个正整数n都可以进行这样的因数分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这样分解中，如果p，q这两个因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，记为： ．例如：可以分解成或，因为，所以是的最佳分解，所以．定义②：如果一个两位正整数t，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上两个新定义，可求得__________________；在所有的“吉祥数”中，的最大值为 __________________． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为_____；32的五次方根为_____； (3)若有意义，则_____； (4)求的值：． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·湖北恩施·期中）本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 一般地，如果一个数的立方等于，即，，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”． 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：________； (2)探究性质： ①81的四次方根是______；0的四次方根是_________； _______（填“有”或“没有”）四次方根； ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_______． (3)巩固与应用 ①计算：； ②比较大小：和． 【题型11】实数的规律探究题 1.核心知识点 实数的运算规律 无理数的化简与变形 2.解题方法技巧 观察已知等式的结构特征（如符号、系数、根号内的数），归纳规律； 利用规律推导未知式子的值，推导后可代入验证； 涉及循环规律的，先找出循环周期，再根据周期求解。 【例题11】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【变式题11-1】.（25-26七年级上·山东临沂·期末）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【变式题11-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【变式题11-3】.（2025·四川广元·一模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足 (即方程．有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行混合运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则 _________ 易错点 误认为“带根号的数都是无理数”（如是有理数，是有理数）。 化简绝对值时忽略无理数的正负（如，而非，因为）。 实数分类时遗漏“先化简再分类”步骤（如将归为无理数，实际是整数）。 4.进行实数混合运算时，混淆运算顺序（先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）。 5.求无理数的倒数时未分母有理化（如应化为，而非直接保留）。 重点 1.无理数的识别与实数的分类，能准确区分有理数和无理数。 2.实数的相反数、绝对值、倒数的求解，掌握绝对值的化简规则。 3.实数的混合运算，熟练运用运算法则和运算顺序进行计算。 4.实数大小的比较方法，能根据不同情况选择合适的比较技巧（估算法、平方法等）。 5.实数与数轴的关系，能利用数轴解决点的表示、代数式化简等问题。 难点 1.无理数的估算及整数部分、小数部分的求解，需准确把握无理数所在的整数区间。 2.含绝对值、根号的代数式化简，需结合数轴或估算判断表达式的正负。 3.新定义运算和规律探究题，需快速理解规则、归纳规律并灵活应用。 4.实数运算的实际应用和跨学科问题，需将实际情境转化为数学问题，结合公式求解。 5.多个实数大小比较的综合问题，需合理选择比较方法，分步推导得出结论。 【对应练习题】 一、单选题 1．实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 2．下列实数：，，，（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，数轴上点N表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算的结果是________． 7．如图，将面积为6的正方形的顶点放在数轴上，以表示实数2的点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为_____． 8．如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 9．定义新运算：，则，则的值是______． 10．已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为________． 三、解答题 11．计算：． 12．已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 13．已知的算术平方根是的立方根是． (1)求，的值； (2)是的整数部分，求的平方根． 14．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 15．数学课上，围绕新定义的运算，林老师和小明进行了一段对话． 林老师：我定义了一种新的运算，叫加乘运算．运算符号记作“”，其运算法则是……． 小明：我根据加乘运算的法则得到，． 请根据加乘运算的法则解决下列问题． (1)填空：____________，____________． (2)求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $