河南郑州市第一〇一中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题

郑州市第一〇一中学2025-2026学年学期 高三3月月考 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知集合，那么集合（   ） A． B． C． D． 2．复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 3．古代祭祀用的礼器中，“笾”是盛放干果的器具，底座常为正四棱台，上承盘体，下接底座．如图，在一个盛满干果的“笾”中，，，若从中取出干果后，干果的高度约下降一半，则剩余的干果的质量约为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．8 D．1 5. 双曲线C：（）的左、右焦点分别为，P是双曲线C上一点，轴，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 6．已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，且满足  ， 则  （    ） A． B． C． D． 7． 已知向量且，对任意实数，恒有，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知实数，且，为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．下列说法正确的有（    ） A．已知，若，则 B．若样本数据的方差为1，则数据的方差为2 C．已知样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D．若，是两个随机事件，，，，则 10．已知数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是单调数列 C．数列中不存在不同的两项，使是这两项的等比中项 D．记数列，则数列的前2026项的和为2026 11．已知函数，则（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，，都有 C．当时，有三个零点 D．当时，有极大值3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数是____________． 13.已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 14．甲箱中有7个除颜色外完全相同的球，其中有2个红球、2个蓝球、3个黄球；乙箱中有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为______；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的角平分线的长度. 16．（15分）某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y（千人） 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明（保留小数点后两位）；（若＞0.75，则认为y与x的线性相关性很强），并求出y关于x的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为，若校友从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为.假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁4名校友于10月1日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的期望及方差. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程y＝bx＋a，其中.相关系数. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点. (1)证明：平面PBC； (2)若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离. 18．（17分）已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点，过点作轴，交椭圆于另一点（异于点，）. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求点的坐标； (3)求面积的取值范围. 19. （17分）已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，证明：在上存在2个不同的零点，且； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 《2026年3月月考高三数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C A D C D D ACD ABD BC 12. - 30 13. . 14． (2分) ； （3分） 详解： 1．C 【详解】因为， 所以. 2．B 【详解】因为，所以复数的共轭复数为. 3．C 【分析】根据给定条件，利用棱台的体积公式求出盛满干果的“笾”的体积、高度下降一半后的体积，再利用比例式求得答案. 【详解】设正四棱台的高为， 则该四棱台的体积， 过正四棱台四条侧棱中点的平面截该棱台所得的两个几何体均为正四棱台， 则截得较小的正四棱台体积， 设剩余的干果的质量约为，依题意，，则， 所以剩余的干果的质量约为. 故选：C 4. A 【分析】求出圆心坐标，进而求出，的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答. 【详解】因为圆：关于直线：对称， 所以直线过圆心，即，因为，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是2． 故选：A． 5．D 【分析】根据已知条件可得，利用双曲线的定义可得，再利用勾股定理得出关于、的齐次等式，由此可求得双曲线的离心率. 【详解】因为轴，则P点在双曲线右支上，而， 即，即，而， 故， 又，即得， 得，故， 即双曲线的离心率为. 6．C 【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列性质将转化为，再利用求出的值即可. 【详解】等差数列前项和，， 所以， 由等差数列性质知，， 所以. 又， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 令等差数列的公差为，等差数列的公差为， 则①，②，③， 由②得，，由③得，， 代入①中，整理得，，所以，故. 故选：C. 7．D 【分析】将模长不等式转化为关于的二次函数，利用二次函数性质，由其在 处取最小值推导出点积. 【详解】不等式等价于，设， 原不等式等价于对所有实数恒成立，即是的最小值， 整理，， 易得二次函数开口向上，在对称轴处取最小值， 则有，解得. 8．D 【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增，且，因为 所以，所以，即， 又，所以，所以，即，综上，． 故选:D 9．ACD 【分析】对于A，根据正态分布的对称性即可求解；对于B，根据方差性质即可求解；对于C，根据残差的定义列等式变形即可；对于D，根据条件概率公式即可求解． 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，样本点的残差为， 样本点的残差为， 由残差相等可得，可得，故C正确； 对于D，，， ，，故D正确． 10．ABD 【分析】对A，根据前项和为与的关系，由作差法得，再根据等差数列的定义，验证是否为常数来判断；对B，先求出数列的通项，再通过判断的符号，由此确定单调性；对C，假设存在不同两项，，根据等比中项的定义列出等式，结合通项公式分析是否存在正整数，满足等式；对D，先根据的通项公式化简，结合并项求和法得数列的前2026项的和． 【详解】对于A选项，已知数列的前项和为，且， 当时，； 当时，， 对也成立，因此通项公式为， 又（常数）， 所以数列是首项为2、公差为2的等差数列，故A选项正确； 对于B选项，设， 则对所有成立， 因此数列是单调递减数列，故B选项正确； 对于C选项，由A选项可得，若存在不同两项，使得， 则，所以， 存在正整数解，，满足条件，故C选项不正确； 对于D选项，， 设的前项和为， 则 ， 故D选项正确． 11．BC 【分析】对于A，求，，利用点斜式求切线方程，判断A，对于B，根据幂函数的单调性判断结论，对于C，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数即可判断，对于D，利用导数判断函数的单调性，结合极大值定义求极大值即可判断. 【详解】对于A，， 当时，，， 切线斜率，又切线过点， 故曲线在点处的切线方程为，即，A错误， 对于B，，函数为增函数， ，都有，故，B正确， 对于C，， 当时，，， 函数在上单调递增，又，， 所以在上有一个零点， 当时，，， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，，， 所以函数在区间上有一个零点，在区间上有一个零点， 所以时，函数有三个零点，C正确， 对于D，， 当时，， 函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，函数在上没有极值， 当时，，， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以时，函数取极大值，极大值为，D错误. 12．【详解】表示5个因式的乘积， 的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供1， 此时的系数为， 的项也可以是：从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供1， 此时的系数为， 所以展开式中的系数为. 13. 【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求解即可. 【详解】. 因为，所以时，， 因为在上单调递增，所以，， 解得，. 又，所以当时，，当时，范围不符合题意. 综上的取值范围为. 14． 【分析】第一空：分两种情况：从甲箱摸出非黄球、乙箱摸出非黄球；从甲箱摸出黄球、乙箱摸出黄球，再利用古典概型概率公式计算；第二空：先分析的可能取值，计算每个取值的概率，再计算的值 【详解】①甲、乙两个箱子中各有一个球交换后，甲箱中恰有3个黄球有两种情况： 一种情况是甲、乙两个箱子中取出的均是黄球，此时概率； 另一种情况是甲箱中取出的是红球或蓝球，乙箱中取出的是红球，此时概率， 则甲箱中恰有3个黄球的概率为， ②由题知的取值可能为4，5，6， 当时，甲箱中取出的是蓝球或黄球，乙箱中取出的是红球，此时概率；当时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是红球， 或甲箱中取出的是黄球或蓝球，乙箱中取出的是黄球，此时概率； 当时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是黄球，此时概率， 所以. 15．(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理将已知等式的角化为边，再结合余弦定理求出角； （2）先根据三角形面积公式求出 的值，再利用角平分线的性质和三角形面积公式求出角平分线的长度. 【详解】（1）由正弦定理可得：，即 ，化简可得， 由余弦定理 . 因为 ，所以 . （2）根据三角形面积公式 ，可得：， 即 ，化简可得 ，解得 . 因为 是角平分线，所以 . 由 得：. ， 解得 . 16．(1)，说明见解析， (2)，. 【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从2号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可得出的值. 【详解】（1）依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. （2）记“甲从2号门出学校”为事件，“甲从1号门进学校”为事件， “甲从2号门进学校”为事件，“甲从3号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为， 为4人中从2号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 ，. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线定理结合平行四边形的性质得到，再结合线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法求出点坐标，再由点到平面距离的向量法求解即可. 【详解】（1）取PB中点，连接， 分别为的中点， 且，且， ，且，则四边形为平行四边形， ，平面平面， 平面. （2）取AB中点，连接OP，OD，BD 因为，所以， ∵平面平面，面，为交线， 平面，， 为正三角形，， 以为原点，分别以OB，OD，OP为，，轴建系，如图， 设， 则，，，，， 所以， 易知平面PAB的法向量可取， 设平面PAE的法向量为， 因为，令，可取， 所以，解得， 所以，，， 设平面PBC的法向量为， 因为，令，可得， 所以. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的性质计算； （2）联立与椭圆方程，然后根据的直线方程和韦达定理求定点； （3）利用韦达定理求，然后计算面积求范围即可. 【详解】（1）由题意得，，则，，， 所以椭圆的标准方程为. （2） 由题意可得直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，则， 联立得，，， ，则直线： 整理， 所以直线恒过，. （3） ， 点到直线的距离， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增，所以， 所以面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果. 19.(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数单调性和函数导数之间的关系，求出函数导数，进而判断函数单调性，求出函数最值； （2）根据函数零点与函数导数之间的关系，进而求出函数单调性，根据函数单调性判断函数最值，判断函数零点，再构造函数，根据函数单调性列出不等式，证明结果即可； （3）根据不等式恒成立的条件，构造函数，根据函数导数求出函数单调性和最值，求出参数范围. 【详解】（1）由题意可知． 当时，，在上单调递减， ∴． （2）当时，，即，可得， 令，， 令，由定义域为，可得，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以． 又时，时， 所以在上2个不同的零点，即在上2个不同的零点， 设，令，， 则， ∴在上单调递减，∴， ∴，即，又，， 而在上单调递增，，故． （3）令在上恒成立． 记，．则， 所以原不等式等价于在上恒成立． 可知，令，． 当时，，即在上单调递增，即在上单调递增， ∴， 当即时，，在上单调递增，，不等式恒成立； 当即时，存在使得， 即存在使得在上单调递减，在上单调递增， 即在上，不等式不恒成立．所以； 当时，，，， 可知在上单调递增， ，．即在上有唯一解， 使得，即时，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 因为， ∴存在，使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减， 而，． ∴当时，，即在上单调递增， 而，∴，∴． 第8页 学科网（北京）股份有限公司 $