第33期 平面直角坐标系、简单图形的坐标表示、轴对称和平移的坐标表示-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（湘教版·新教材）

八年级数学湘教第31~34期 发理树 答案详解 2025~2026学年 八年级数学湘教 第31~34期(2026年2月) 31期2版 所以∠ACD=45°， 1.7.1正方形的性质 所以∠CEG=90°-∠GCE=45. 1.C;2.C:3.115. 所以EG=CG 4.证明：因为四边形ABCD是正方形， 根据勾股定理，得CE=√EG+CG=2-2 所以AB=AD=BC=CD 6.解：连接BF,图略， ∠B=∠D=90° 根据题意，得∠EAF=90°， 因为AE=AF, ∠AFE=∠AEF=45°，AF=AE=4. 所以AB-AE=AD-AF, 根据勾股定理，得EF2=AF2+AE=32. 即BE=DF 因为四边形ABCD是正方形， BE DF, 所以AB=AD,∠DAB=90°， 在△BCE和△DCF中， ∠B=∠D, 所以∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF, BC DC, 即∠EAD=∠FAB. 所以△BCE≌△DCF(SAS), AD AB, 所以CE=CF 在△ADE和△ABF中， ∠EAD=∠FAB. 因为点M是EF的中点， LAE AF, 所以CM⊥EF 所以△ADE兰△ABF(SAS), 5.解：(1)因为四边形ABCD是边长为1的正方形， 所以DE=BF=2,∠AED=∠AFB=45°， 所以AD=CD=1,∠D=90°，AD∥BC, 所以∠BFE=∠AFB+∠AFE=90° 所以∠DAE=∠F 根据勾股定理，得BE=√EF+BF产=6. 因为AE平分∠CAD, 1.7.2正方形的判定 所以∠CAE=∠DAE, 1.A;2.D;3.不一定. 所以∠CAE=∠F 4.证明：因为四边形ABCD是矩形，OA=1, 根据勾股定理，得CF=AC=√AD+CD=√2. 所以OB=1. (2)过点E作EG⊥AC于点G,图略， 因为AB=√2 所以∠EGA=∠EGC=90° 所以OA2+OB2=AB, 因为AE平分∠CAD, 所以∠AOB=90°， 所以ED=EG 所以AC⊥BD, AE AE, 在Rt△ADE和Rt△AGE中 所以四边形ABCD是正方形 LED EG, 5.证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以Rt△ADE兰Rt△AGE(HL), 所以∠ABC=90°. 所以AD=AG=1, 因为BE⊥EF,所以∠BEF=90°. 所以CG=AC-AG=√2-1. 因为∠ABE+∠CEF=45°， 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠CEB+∠CBE=∠BEF-∠CEF+∠ABC-∠ABE 八年级数学湘教 第31~34期 =180°-（∠CEF+∠ABE) 所以S阴影=(a-m)2+m(a-m)+a(a-m) =135°， =2a(a-m)=4S△r 所以∠BCE=180°-（∠CEB+∠CBE)=45°， 所以若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出△BEF 所以∠BAC=90°-∠BCE=45°， 的面积 所以AB=BC, 二填空题 所以四边形ABCD是正方形. 11.135°；12.√6；13.AC=BD(答案不唯一)； 6.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC,AD=BC. 142158 因为AC∥DE, 16.AC=BD且AC⊥BD. 所以四边形ACED是平行四边形， 提示： 所以AD=CE, 16.解：因为E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， 所以BC=CE 所以在△ADC中，HG为△ADC的中位线， (2)因为四边形ACED是平行四边形， 所以HG∥AC且AG=之AC 所以CD=2CF 因为AD=2CF, 同理EF∥AC且EF=宁AC,EH=BD,EH∥BD, 所以AD=CD, 则HG∥EF且HG=EF, 所以四边形ABCD是菱形. 所以四边形EFGH为平行四边形. 因为AD∥EC, 又因为AC=BD,所以EF=EH, 所以∠DAF=∠FEB. 所以四边形EFGH为菱形. 因为∠DAF=∠FBE, 因为AC⊥BD,EF∥AC,EH∥BD 所以∠FBE=∠FEB, 所以EF⊥EH,所以∠FEH=90°， 所以FB=FE. 所以菱形EFGH是正方形. 因为BC=CE, 三、解答题 所以FC⊥BE, 17.解：因为四边形ABCD是正方形， 所以∠BCF=90°， 所以∠ABD=∠ADB=45 所以四边形ABCD是正方形. 因为BE=BD, 31期3,4版 一、选择题 所以∠B0E-∠E=之(180°-∠EBD)=61.5, 所以∠EDA=∠BDE-∠ADB=22.5°. 题号 12 345678910 答案BBBDBBADD C 18.证明：因为∠ACB=90°，DE⊥BC,DF⊥AC, 所以四边形CFDE是矩形. 提示： 又因为CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC, 1O.解：由题易知四边形EFGH是矩形，因为矩形纸片和正 所以DE=DF,所以四边形CFDE是正方形 方形纸片的周长相等，所以FG=GH,所以矩形EFGH是正方 19.证明：因为四边形ABCD是正方形， 形 所以AD=BC=CD,∠C=∠D=90° 如图1，设正方形的边长为 因为BP=3PC,所以可设PC=x,BP=3x, a,小矩形的宽为m. 则AD=BC=CD=4x. 则S正方形M=(a-m)', 因为Q是CD的中点，所以CQ=DQ=2x, 1 SaaH=S△cGr=2m(a-m), 所以AQ=√AD+DQ=25x, 1 SAmEF Ssoa =2a(a-m). PQ=√PC2+CQ2=W5x, 所以AQ=2PQ. 2 八年级数学湘教 第31~34期 20.证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以DF的长是25. 所以LB=∠DAB=∠BAF+∠DAF=9O° 23.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 因为AF⊥DE,所以∠AGD=90°， 所以∠DAE=∠BCF=45°，AD=BC. 所以∠ADE+∠DAF=90°」 AD CB. 所以∠BAF=∠ADE. 在△ADE和△CBF中 ∠DAE=∠BCF, ,∠B=∠EAD LAE CF, 在△ABF和△DAE中 ∠BAF=∠ADE, 所以△ADE≌△CBF(SAS). AF DE. (2)解：因为四边形ABCD是正方形， 所以△ABF≌△DAE(AAS), 所以∠BAD=90°，AC⊥BD,OA=OB=OC=OD. 所以AB=DA. 因为AB=AD=4, 所以矩形ABCD是正方形 所以BD=√AB+AD2=42=AC, 21.(1)证明：因为BD平分∠ABC, 所以OA=OB=22. 所以∠ABD=∠CBD 因为AE=CF=2, AB CB. 在△ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD. 所以OE=OA-AE=OC-CF=OF=√2， BD BD, 所以四边形BEDF为菱形，DE=√OD2+OE=√1O 所以△ABD≌△CBD(SAS), 所以四边形BEDF的周长为：4DE=4√IO. 所以∠ADB=∠CDB. 24.(1)证明：因为DE⊥BC,所以∠DFB=90° (2)解：因为PM∥CD,PN∥AD, 因为∠ACB=90°，所以∠ACB=∠DFB, 所以四边形MPWD是平行四边形，∠MPD=∠NDP, 所以AC∥DE. 所以∠MPD=∠MDP, 因为MN∥AB,即CE∥AD, 所以PM=DM,所以四边形MPWD是菱形. 所以四边形ADEC是平行四边形，所以CE=AD. 所以当MW=PD时，四边形MPND是正方形 (2)解：四边形CDBE是菱形.理由如下： 22.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 因为D为AB中点，∠ACB=90°， 所以AB=BC,∠B=90°. 所以AD=BD=CD. 因为FH⊥BH,所以∠H=90°=∠B.因为∠AEF=90°， 因为CE=AD,所以BD=CE 所以∠AEB=90°-∠FEH=∠EFH. 又因为BD∥CE, ，∠B=∠H, 所以四边形CDBE是平行四边形. 在△ABE和△EHF中，{∠AEB=∠EFH, 因为CD=BD,所以四边形CDBE是菱形. LAE EF. (3)解：当AC=BC时，因为∠ACB=90°，D为AB的中点， 所以△ABE≌△EHF(AAS), 所以CD⊥AB,所以∠CDB=90°， 所以AB=EH,所以BC=EH 所以菱形CDBE是正方形. 所以BC-EC=EH-EC,即BE=CH. 故答案为AC=BC (2)解：延长HF,AD交于点G,如图2 32期 由(I)知△ABE≌△EHF,BE=CH, 一、选择题 所以FH=BE=CH=2. 题号1 234 56789 10 因为∠DCH=∠H=∠GDC=90°， 图2 答案A C DD CA B D AA 所以四边形DCHG是矩形， 提示： 所以GH=CD=AB=6,DG=CH=2, 10.解：连接BF,交AE于点O,图略. 所以FG=GH-FH=6-2=4. 因为将△ABE沿AE折叠得到△AFE, 在Rt△DGF中，DF=√DG+FG=√22+4=25， 所以EB=EF,AB=AF,∠AEB=∠AEF, 一3 八年级数学湘教第31~34期 所以AE垂直平分BF, 19.解：(1)设多边形的边数为n, 所以∠BOE=90°，B0=F0. 则(n-2)·180°=1520°，解得n=104 0 因为点E为BC的中点，AB=4,BC=6, 所以BE=CE=EF=3, 因为n为正整数， 所以多边形的内角和不可能为1520°. 所以∠EFC=∠ECF 因为∠AEB+∠AEF=∠BEF=∠ECF+∠EFC, (2)因为n=号=104， 所以∠AEB=∠ECF, 依题意，该多边形的边数为10， 所以AE∥CF, 所以(10-2)×180°=8×180°=1440°， 所以∠BFC=∠BOE=90°. 故该多边形的内角和为1440°. 在Rt△ABE中，AE=√AB+BE=√42+3=5， 20.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 因为SaE=74E·B0=分4B:BE, 所以AB=CD,BC=AD,∠ABC=∠ADC 因为△BCE和△CDF都是等边三角形， 所以0-些-43-号 AE 所以CD=DF,BC=BE,∠EBC=∠CDF=60°. 所以BF=2B0=号 所以AB=DF,BE=AD, ∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF, 在△BCF中，CF=VBC-BF=√6-(4)= 即∠ABE=∠FDA 所以△ABE≌△FDA(SAS),所以AE=AF: 二、填空题 21.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形， 11.72°；12.∠ABC=90°（答案不唯一）；13.100°； 所以AB=AD,所以∠ABD=∠ADB. 14.2；15.24;16.3. 因为AE=AB,所以AE=AD,所以∠E=∠ADE. 提示： 所以2∠ADB+2∠ADE=180°， 16.解：设AC与DE交于点O, 所以∠ADB+∠ADE=90°，即∠BDE=90°， 因为四边形ADCE是平行四边形， 所以△BDE为直角三角形. 所以OD=0E,OA=OC (2)解：因为四边形ABCD是菱形， 当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥BC. 所以OA=OC,OB=OD. 因为在Rt△ABC中，∠B=90°， 因为AE=AB, 所以BC⊥AB,所以OD∥AB. 又因为点O是AC的中点，所以OD是△ABC的中位线， 所以0c=0A=20E=7×6=3(cm). 所以0D=分4AB=子，所以DE=200=3. 22.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC,AD∥BC. 三、解答题 因为BE=DF, 17.证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AD-DF=BC-BE,即AF=EC, 所以AB∥CD,AC⊥BD. 因为DE⊥BD,所以DE∥AC 所以四边形AECF是平行四边形. 又因为AC=EF,所以四边形AECF是矩形. 所以四边形ACDE是平行四边形. 18.证明：因为△AGB与△CGD关于点G中心对称， (2)解：因为四边形AECF是矩形， 所以∠AEC=∠AEB=90°. 所以BG=DG,AG=CG 因为AE=BE,AB=2, 因为AF=CE,以AF-AG=CE-CG, 所以FG=EG. 所以AE=BE=2,所以CE=2BE=22, 又因为∠DGE=∠BGF, 所以AC=√AE2+CE=√2+8=√0 所以△DGE≌△BGF(SAS), 23.(1)证明：因为点D,E运动的时间是t秒(t>0), 所以BF=DE. 所以CD=2t,AE=t. 八年级数学湘教第31~34期 因为在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°， (3)3√7. 所以DF=之CD=i,所以4E=DR 如图2，过点D作DH⊥AE于点H. 因为∠B=90°，所以AB⊥BC. 因为四边形BEFE'是正方形， 又因为DF⊥BC,所以AE∥DF, 所以BE'=E'F=BE=9. 所以四边形AEFD是平行四边形. 因为CF=3, (2)解：四边形AEFD能够成为菱形理由如下： 所以AE=CE'=CF+E'F=3+9=12. 因为在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=55,∠C=30°， 由(2)可知，BE=AH=9,DH=AE=CE'=12, 所以AB=分AC,所以BC=5AB, 所以HE=3, 所以DE=√D+HE=√12+3=3√7. 厅以AB=号BC=5,所以AC=2AB=10) 33期2版 所以AD=AC-DC=10-2t 2.1平面直角坐标系 由(1)知四边形AEFD为平行四边形， 1.D;2.D:3.D:4.C; 所以要使口AEFD为菱形，则需AE=AD, 5.(5,150);6.(-3,-2) 即t=10-2,解得t=10 7.解：(1)以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平 面直角坐标系，图略 所以当：=号时，四边形AFD为菱形 德斋(-25,100)，马约翰体育馆(-75，-75). 24.解：(1)四边形BEFE'是正方形.理由如下： (2)图略 由题意知∠AEB=∠CE'B=90°，BE=BE', 8.解：(1)因为点P在x轴上， ∠EBE'=90°， 所以m-1=0,解得m=1, 所以∠BEF=90°，所以四边形BEFE'是矩形. 所以2m+4=6,所以P(6,0). 因为BE=BE',所以四边形BEFE是正方形. (2)根据题意，得12m+41=1m-11. (2)CF=E'F.证明如下： ①当2m+4=m-1时，解得m=-5, 如图1，过点D作DH⊥AE于点H, 此时2m+4=-6,m-1=-6, 因为DA=DE,DH⊥AE 即P(-6,-6); 所以A=之4E,∠ADH+∠DAH=90 ②当2m+4+m-1=0时，解得m=-1, 因为四边形ABCD是正方形， 此时2m+4=2,m-1=-2, 所以AD=AB,∠DAB=90° 即P(2,-2) 所以∠DAH+∠BAE=90°，所以∠ADH=∠BAE, 综上所述，当点P到两坐标轴的距离相等时，点P的坐标 又因为AD=AB,∠AHD=∠BEA=90°， 为(-6，-6)或(2，-2) 所以△ADH≌△BAE(AAS), 2.2简单图形的坐标表示 所以AH=BE=E, 1.C:2.C:3.(11,8). 4.答案不唯一，略， 由旋转的性质知AE=CE, 5.解：(1)图略.所描出的图形像五角星. 因为四边形BE'FE是正方形， (2)位于y轴上的顶点是A(0,4),F(0,-2),它们的横坐 所以BE=EF,所以EF=CE, 标都为0. 所以CF=E'F 2.3轴对称和平移的坐标表示 D 1.B;2.B;3.0;4.(3,4) 5.解：(1)图略 (2)点A'的坐标为(4,0)， 点B的坐标为(-1，-4)， 图1 图2 点C的坐标为(-3，-1) 5 八年级数学湘教第31~34期 6.解：点M(m+3,2m-1)向上平移4个单位得到点N的 由平移可知，点B在第二象限， 坐标为(m+3,2m+3). 所以点B的横坐标为负数，纵坐标为正数。 (1)因为点N的纵坐标比横坐标大3， 因为点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离， 所以2m+3-(m+3)=3, 所以x+1>-(5-2x),解得x<6, 解得m=3, 所以3<x<6. 所以m+3=6,2m-1=5, 三、解答题 即点M的坐标为(6,5) 17.解：A(-3,1),B(0,1),C(1,-1),D(-2,0),E(2,0), (2)因为点M到x轴的距离为2，且在第四象限， F(-1,-2). 所以2m-1=-2, 18.解：(1)因为点A的坐标为(a-3,2a+1), 解得m=-2 1 点A在y轴上， 所以a-3=0,解得a=3, 所以m+3=5,2m+3=2, 所以2a+1=6+1=7, 即点N的坐标为3,2 所以点A的坐标为(0,7). (2)因为点A在x轴上方且到x轴的距离为5， 33期3,4版 所以2a+1=5,解得a=2, 一、选择题 所以a-3=-1, 题号 1 2345678910 所以点A的坐标为(-1,5). 答案BCCACABDB A 19.解：(1)因为A(3,-2),B(3,-6)是对称的两个点， 提示： 所以A,B两点关于过(3，-4)且平行于x轴的直线对称， 10.解：由题意，结合A(1,2),B(-1,2),D(-3,4),G(3, 所以C(-2,1)关于该直线的对称点为(-2，-9). 4),得C(-1,4),E(-3,0),F(3,0),H(1,4), (2)因为A(3,-2),B(3,-6),所以AB=4. 所以图形“凹”的边长为 1 因为C(-2,1),所以Sac=2×4×5=10, AB +2BC 2CD +2DE EF 20.解：(1)建立的平面直角坐标系如图1所示 =2+2×2+2×2+2×4+6 北 =24, 所以图形“凹”一圈长24个单位. 因为2025=24×84+9，即绕了84圈后又按A→B→C →D→E绕，从而确定细线另一端点在线段DE上，距点E1个 同学家 单位， 图1 所以细线另一端所在位置的坐标为(-3,1) (2)B同学家的坐标是(5,3)，C同学家的位置如图1所示. 二、填空题 21.解：(1)如图2所示，四边形A'B'CD'即为所求. 11.(2,2)；12.2;13.-5;14.北偏东39°，19海里； 15.(0,5)；16.3<x<6. 提示： 16.解：因为点A(6-2x,x-3)在x轴的上方， 所以x-3>0,所以x>3. 将点A向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到点B, 则点B的坐标为(6-2x-1,x-3+4), 图2 即(5-2x,x+1). (2)B'(6,-3),C'(4,-5),D'(2,3). 因为x>3,所以6-2x<0, 22.解：(1)(0,2)；(4,2) 所以点A在第二象限。 (2)存在.假设点P(0,b), -6 八年级数学湘教第31~34期 因为△PAB的面积等于四边形ABDC的面积， 提示： 所以7×(3+1)61=(3+1)×2， 10.解：因为点A1的坐标为(2,4)， 所以A2(-3,3),A3(-2,-2),A4(3,-1),A5(2,4),… 解得b=±4， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环 所以点P的坐标为(0,4)或(0，-4). 因为2025÷4=506…1， 23.解：(1)点P(-1,6)的“3属派生点”P'的坐标为 所以点A2的坐标与点A的坐标相同，为(2,4) (-1+3×6,3×(-1)+6),即(17,3). 二、填空题 (2)设点P的坐标为(x,y), 由题意知厂心+3y=6 11.4；12.(3,5)；13.(3,-3)；14.(-1,5): 解得0， 3x+y=2,y=2, 15.m=1或3<m≤4：16.(5-1,2)或(-5-1,2) 提示： 所以点P的坐标为(0,2) (3)设点P(a,b) 16.解：因为点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,2)， 因为点P在x轴的正半轴上， 所以AB=√42+22=25， 所以b=0,a>0, BC=4,AC=A0-0C=2. 所以点P的坐标为(a,0),点P'的坐标为(a,ka), 由题意可知，点D在∠CAB的平分线 所以线段PP'的长度为点P'到x轴的距离，为IkaI. 或∠CAB的邻补角的平分线上. D' 当点D在∠CAB的平分线上时， 0 因为点P在x轴的正半轴上， 图1 所以线段OP的长度为a, 作DH上AB于点H 所以1kaI=2a,即1k1=2, 因为DC⊥AC,DH⊥AB,AD平分∠BAC, 所以k=±2. 所以DC=DH. 24解：(1)因为(a-2)2+6-3=0, 设DC=DH=m, 所以a=2,b=3. 则74C,BC=A4C·DC+2AB·Dm, 因为1c-41≤0，所以c=4. 所以2×4=2m+25m,解得m=W5-1, 因为点A的坐标为(0,2)，所以OA=2. 因为点P(m,1)在第二象限， 所以D(5-1,2). 所以点P到线段AO的距离为|mI, 当点D'在∠CAB的邻补角的平分线上时， 所以5m=子×2×ml=1ml 同法可得CD'=5+1, 所以D(-5-1,2). 因为m<0,所以S△4op=-m. (2)存在. 综上，点D的坐标为(5-1,2)或(-5-1,2). 由(1)得，B(3,0),C(3,4), 三、解答题 所以BC=4,点A到BC的距离为3， 17.解：所描各点如图2所示，图案像“鱼”. 所以SAc=2×3×4=6, 因为△AOP的面积与△ABC的面积相等， 所以-m=6,解得m=-6, 所以存在点P(-6,1),使△AOP的面积与△ABC的面积 相等. 图2 34期 18.解：(1)高中楼，画图略。 一、选择题 (2)图书馆的坐标是(4,1)；校门在第四象限； 题号 1 2 345678910 分布在第二象限的是初中楼 答案BDCBDBCADD 19.解：(1)画图略.△A2B2C2与△ABC关于原点对称. 八年级数学湘教第31~34期 (2)s2=3x3-7×1x3-7×1×2-x2x3 所以号×2-1×3=2×7×4x3, 子 解得x=10或x=-6, 所以点P的坐标为(10,0)或(-6,0). 20.解：(1)由题可得2+a-(-3a-4)=8,解得a=2, 1 23.解：(1)B2,B3 所以-30-4=-号2+a= (2)①当点B在x轴上时，设B(t,0), 2 由题意得t-5=0-(-3),解得t=8, 即P(号) 所以B(8,0); ②当点B在y轴上时，设B(0,s), (2)由题意可得3a+4=2+a,解得a=-1, 由题意得0-5=3-(-3)，解得3=-8， 所以-3a-4=-1,2+a=1, 所以B(0,-8) 即P(-1,1) 综上，点B的坐标为(8,0)或(0，-8) 21.解：(1)因为点C为0P的中点，OP=4cm, (3)由题意得23+√5=-n-2m, 所以0c=20p=)x4=2(cm). 所以2m+n=-35 因为OA=2cm, 因为m,n互为相反数，所以m+n=0, 所以与小明家距离相同的是学校和公园. 所以m=-35,n=35, (2)学校：北偏东45°，商场：北偏西30°，公园：南偏东60°， 所以点B的坐标为(2√5，-35) 停车场：南偏东60° 24.解：(1)A(-6,3),B(-6,-3),C(6,-3) 公园和停车场的方位相同. (2)由题意得点E的坐标为(0,3). (3)因为0A=2cm,且学校距离小明家400m, 设点M的坐标为(0，a), 即地图中1cm表示实际距离400÷2=200(m), 根据题应，得时×1a-31×6=石×12×6， 所以商场距离小明家2.5×200=500(m), 解得a=-1或a=7, 停车场距离小明家4×200=800(m). 所以点M的坐标为(0，-1)或(0,7). 22.解：(1)因为点A(-2,0),点A与点B关于y轴对称， (3)①(6-2t,-3),(-6,t-3). 所以点B的坐标为(2,0)， ②四边形PBQD的面积不发生变化.理由如下： 因为将点A,B同时向下平移3个单位，再向左平移2个单 四边形PBQD的面积为： 位，分别得到A,B的对应点D,C, 所以点D,C的坐标分别为(-4，-3)，(0，-3)， 12×6-7(6-)×12-7×2×6=36, 四边形ABCD如图3示. 所以四边形PBQD的面积不发生变化 图3 (2)A 由平移可得AB=CD,AB∥CD, 所以四边形ABCD是平行四边形 (3)设P(x,0),因为△PBC的面积是△ADC面积的2倍， —8·蝼丑 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 ECPK计了提湿林 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 (2)查()宽保件F.程与H货E.C.P思次动叶乐B:C.)限 的c阶动租(-6.2)。8(-6：-3)。0(-4。-5)。2(-2.3)。 净c可卡标明坐所为(-2.2)0精合困-旅出C可卡家出心情。 心保中用么·分国办伴200米·用同北质100米用压想称： 31期2版参考答案 1.7.1正方形的性质 1.C; 2.C 3.115 4证明略. 5.(1)2. (2)2-2 6.6. 1.7.2正方形的判定 1.A;2.D;3.不一定 4.证明略 5.证明略 6.证明略 期3,4版参考答案 、1.B; 2.B; 3.B; 4.D:5.B;6.B; 8.D;9.D; 10.C 二、1.135；12.6 13.AC=BD(答案不唯 14. 15 6 P7(9.6). 6 =BD且AC⊥ 22.5 18.证明略. 19.证明略 (2)各街P8:3阅速压街uPr思坚所别(6.2)。米乐P时坚税： 恒加tP(.)8r2耐放压质r光P(L+2X4.2X1++).8g 23.(12分)浙是国高维坚所系米你V出的乐就（以。。店乐！： ()厨C地长粉 新(-。00.3.0。期明街华共虹：公司七正珠2工恒内谷理用有业稳 22.(0%)机图12。企共原高百确坚际系县：片M.E宽c所心削社 20.证明略。 21.(1)证明略 (2)MN PD. 22.(1)证明略 (2)25 23.(1)证明略. (2)410 24.(1)证明略 (2)四边形CDBE是菱 形.理由略。 (3)AC BC 32期参考答案 -、1.A;2.C;3.D 4.D 5.C; 6.A: 7.B; 8.D;9.A; 10.A 二、11.72；12. ∠ABC=90°（答案不 唯一)； 13.100°： 14.2; 15.24: 16.3. 三、17.证明略。 18.证明略 19.(1)略 (2)企()热标F·福厨益企际P.使AAOP南且税与AAAC 低原粉(0。m0.0.0.(4.c.粮中m::c速祖大1(0-2)：+ (2)1440 20.证明略. 21.(1)证明略 (2)3cm. 22.(1)证明略， (2)√10. 23.(1)证明略 (2)t= 时，四边形 AEFD为菱形. 24.(1)四边形BEFE 是正方形.理由略。 (2)CF=EF.证明略 (3)317. 张西就心需览书≥烨盖·缕丑苦 数理橘 2026年2月18日·星期三 初中数学 第 33期总第1177期 (湘教八年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 名师点睛、 物体位置的定位方法，它的应用非常广泛， 作B)南偏西25°的方向上，且 例2平遥古城历史悠久，是我国保存完整 与蕾蕾家的距离是4km.若 方法来助阵旬 的历史文化名城之一，被列为世界文化遗产.下 ∠ABC=90°，且AB=BC,则 位置好确定 列表述能确定平遥古城位置的是 ( ）超市（记作C)在蕾蕾家（记作 A.位于中国北部山西省的中部 B)的 图1 ⊙湖南董婷 B.距首都北京616公里 解析：由题可知∠1=25 C.东经112.19°，北纬37.21 因为∠ABC=90°， 确定位置是日常生活、生产中常常需要做 所以∠2=90°-∠1=65° 的一项工作，不论是高科技的宇宙飞船，还是飞 D.距省城太原90公里 因为AB=BC=4km 机的飞行都需要地面监测台时刻监测它们的位 解析：根据坐标确定位置需要两个数据解 所以超市（记作C)在蕾蕾家（记作B)的南 置，就连我们平常的出门旅行同样也需要知道答.东经112.19°，北纬37.21°能确定平遥古城 偏东65°的方向上，相距4km 要去的地方在什么位置，以便确定旅行的路线 的位置.故选C. 五、直角坐标定位法 那么如何确定位置呢？下面就向同学们介绍几 三、区域定位法 利用平面直角坐标系表示物体的位置，需 种最常用的方法，供同学们参考。 区域定位法是生活中常用的定位方法之要两个数椐：横坐标与纵坐标，二者缺一不可， 一、行列定位法 一，用这种方法确定物体的位置具有简单明了习惯上第一个数表示横坐标，第二个数表示纵 利用有顺序的两个数组成的数对表示物体的特点，缺点是有时不精确，故要视情况而定. 坐标 的位置，此法需要两个数椐，二者缺一不可，通 例3如图1是北京市地图简图的一部分，图 例5如图3是 常用(a,b)来表示，其中a,b表示不同的含义，中“故宫”、“顾和园”所在的区域分别是 象棋盘的一部分.已 且二者具有顺序性。 D 知棋盘中“相”的坐标 例1周末，小磊和小强去电影院观看了聚 颐和园奥运村 是(4,2)，“相”走 故宫日坛 焦新时代中国军事变革与航空武器装备发展的 “田”字，当“田”字中 天坛 图3 电影《长空之王》.若电影票上小磊的座位号“5 心有棋子时，则不能走，则“相”走一步后的坐标 图1 是 排6座”记作(5,6)，则小强的座位号“6排7座” 解析：直接利用已知网格得出“故宫”、“颐 解析：根据“相”的走位加以判断即可。 可记作 和园”的所在位置.由图可知“故宫”、“顾和园” 根据“‘相’走‘田’字，‘田’字中心有棋子 解析：由题意知，前一个数表示排数，后一所在的区域分别是E7,D6 时，则不能走”可得，“相”走一步后的坐标为 个数表示座位数，所以“6排7座”可记作(6 四、方向、距离定位法 (2,4). 7) 方向、距离定位法是运用方位角和距离的 温馨提示：在生活中，表示平面上物体位置 故选B. 方式来表示物体具体位置的定位方法，位置的的方法多种多样.在具体表示时，每一个物体的 二、经纬定位法 确定需要两个数据：一是方位角；二是距离 位置用一个数据都不能准确表示，一般要用两个 经纬定位法是利用地理上的经纬度来确定 例4如图2，学校（记作A)在蕾蕾家（记 数据来定位更为准确 题辅号 标轴上且不与坐标轴平行，因此直接运用三角 ABCO的面积 形的面积公式不易求解 善用“补”和“分 可运用补形法，将三角形补成一个长方形， 4 轻松求面积 把求一般三角形的面积问题转化为求长方形面 2 积与直角三角形面积差的问题 1 4-3-2-10 ⊙山西刘君玲 解：如图1，过点A作平行于x轴的直线，过 在平面直角坐标系中，利用相关点的坐标 点C作平行于x轴、y轴的直线，过点B作平行于 图2 可以求坐标系中的三角形和四边形的面积，常y轴的直线，分别交于点D,￡，F,得到长方形 分析：利用分割法，把四边形分割成两个直 见方法有补形法和分割法两种.现举例解析如 DCEF. 角三角形和一个直角梯形，再分别求出各部分 下，供同学们参考。 由图可得，S长方形cF=6×7=42 的面积，求和即可得出四边形ABC0的面积 一、补形法 2×6×5=15, 解：如图2，过点A,B分别作AE,BF垂直于 x轴，垂足为点E,F 例1如图1，在平面直角坐标系中，已知 -×2×2=2, 由图易得E(-1,0),F(-3,0) 点A(3,3),B(5,1),C(-2,-3),求△ABC的 2 面积 Sas=2×7×4=14, 所以5w=x1x3= 2 所以S△ABC 2×1×2=1, =S长方形CEF-（S△AGD+S△ABF+S△BCE） 1 S特彩m=2×(2+3)×2=5, =42-(15+2+14)=11. 二、分割法 所以S四边形BC0=SAAB0+S△BCr+S第彩ABFB 例2如图2，在平面直角坐标系中，已知 3 +1+5 四边形ABCO各个顶点的坐标分别为A(-1, 15 分析：本题中△ABC的任何一边都不在坐3)，B(-3,2),C(-4,0),0(0,0),求四边形 2 素养·专练 数理极 2.1平面直角坐标系 2.2简单图形的坐标表示 2.3轴对称和平移的坐标表示 1.小李在教室里的座位位置记作(2,5)，表 1.如图1，点A,B分别在x轴和y轴上，AB= 1.在平面直角坐标系中，点M(1,2)关于x轴 示他坐在第二排第五列，那么小王坐在第三排第 4,∠OAB=30°，则点B的坐标为 ( 对称的点的坐标为 ( 四列记作 A.(0,4) B.(4,0) A.（-1,2) B.(1,-2) A.(4,3) B.(4,5) C.(0,2) D.(2,0) C.(-1,-2) D.(2,1) C.(3,5) D.(3,4) y个 2.已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上 2.下列各点中，在第二象限的是 ( 的所有点的横坐标都乘-1，纵坐标不变得到图形 A.(1,-2) B.(2,1) + B,则 ( C.(-2,-1) D.(-1,2) A.两个图形关于x轴对称 3.在平面直角坐标系中，点A(-5,-9)到x 图1 2 B.两个图形关于y轴对称 轴的距离是 ) 2.如图2，已知点A(-2,1),B(-2,-4),点 C.两个图形重合 A.-5 B.-9C.5 D.9 C(x,y)在线段AB上运动，当OC>OA时，y的取 D.两个图形不关于任何一条直线对称 4.已知点A(7,3),过点A向y轴作垂线，垂足 值范围为 ( 3.在平面直角坐标系中，将点A(-1,2)先向 为M,则点M的坐标为 A.-1<y<1 B.y<1 右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点 A.(7,0) B.(3,0) C.-4≤y<-1D.-4≤y≤-1 B(a,b),则a+b= C.(0,3) D.(0,7) 3.如图3，在平面直角坐y↑ P B 4.如图1，在平面直角坐标 5.如图1，雷达探测器测 120°90° 600 标系中，菱形OABC的顶点C 系中，点A的坐标为(3，-2)，直MC 得A,B,C三个目标如果A,B13 在x轴的正半轴上，若点A的 线MN∥x轴且交y轴于点C(O, 的位置分别表示为(4,60)，180° 34药 0 坐标为(6,8)，则AB的中点P0 1),则点A关于直线MN的对称 (2,210°)，则目标C的位置表20X里 图3 330° 的坐标为 点的坐标为 图1 示为 240° 300 4.如图4，等边三角形ABC的边长为6，建立 5.如图2，在平面直角坐标系中，△ABC各顶 270P 6.在平面直角坐标系中， 愿1 适当的直角坐标系，并写出各点的坐标 点的坐标分别为A(4,0),B(-1,4),C(-3,1). 已知点A在第三象限，点A到x轴的距离为2，到y (I)在图中作△A'B'C',使△A'B'C'和 轴的距离为3，则点A的坐标是 △ABC关于x轴对称； 7.如图2是清湾学校的平面示意图，图中每 (2)写出点A',B',C'的坐标 个小正方形的边长代表25米，为了确定各标志物 的位置，请解答以下问题： (1)以水木艺术中心为原点，以1米为1个单 位长度，请在图中建立适当的平面直角坐标系，并 写出德斋、马约翰体育馆的坐标； 3-2012345 (2)若南门的坐标为(0，-100)，请在平面直 角坐标系中标出南门的位置， 图2 德斋 明斋 寅格楼 5.在如图5所示的平面直角坐标系中，描出 水木艺术中心。 下列各点，并将这些点依次用线段连接起来： X 国雏楼 A(0,4),B(-1,1),C(-4,1),D(-2,-1), 马约翰体育馆 E(-3,-4),F(0,-2),G(3,-4),H(2,-1), 6.已知点M(m+3,2m-1),将点M向上平移 图2 I(4,1),J(1,1),A(0,4). 4个单位得到点N. (1)观察所描出的图形，你觉得它像什么？ (1)若点N的纵坐标比横坐标大3，求点M的 (2)找出图形中位于坐标轴上的顶点，它们 坐标； 都有什么特点？ (2)若点M到x轴的距离为2，且在第四象 8.在平面直角坐标系中，已知点P(2m+4, 限，求点N的坐标 m-1),分别根据下列条件，求点P的坐标 (1)点P在x轴上； (2)点P到两坐标轴的距离相等。 3-2-1012 5 数理报社试题研究中心 参考答案见35期 8.中国象棋历史悠久，战国时期就有关于它的正式记载，观察 三、解答题（本题共8小题，共72分） 2.1~2.3能力达标自评 如图4所示的象棋棋盘，我们知道，行“马”的规则是走“日”字对角 17.(6分)如图8，写出坐标系中各点的坐标 (图中向上为进，向下为退).如果“帅”的位置记为(5,1)，“马2退 ◆数理报社试题研究中心 1”后的位置记为(1,4)（表示第2列的“马”向下走“日”字对角到达 第1列的位置)，那么“马8进7”后的位置可记为 ( (答题时长120分钟，满分120分) A.(8,4) B.(7,4) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） C.(7,3) D.(7,2) 1.如图1，在平面直角坐标系中，点P的坐标为 9.将点P(-4,10)先向右平移m个单位，再向下平移2m个单 A.（1,-2) B.(-1,2) 位，得到点Q,若点Q在第一象限，则实数m的取值范围是（) C.(-2,1) D.(2,-1) A.m>5 B.4<m<5 图8 C.-5<m<-4 D.0<m<4 1 10.如图5，在平面直角坐标系中，DC ∥BA∥HG∥x轴，DE∥CB∥HA∥GF 18.(6分)已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a-3,2a+ -2-10 1 ∥y轴，点E,F在x轴上，A(1,2),B(-1, -3,4)c5 4 HG(3,4) -1 -10 1). -1 2),D(-3,4),G(3,4),把一条长为2025 (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标： 图1 图2 个单位且没有弹性的细线（线的粗细忽略 B-1,2A(1,2) E 2.在平面直角坐标系中，点A(-6,-3)在 (2)若点A在x轴上方且到x轴的距离为5，求出点A的坐标 -4-3-2-10 1234 初 不计)的一端固定在点A处（固定所需长 A.第一象限 B.第二象限 初 中数学 度忽略不计)，并按A→B→C→D+E→ 图5 C.第三象限 D.第四象限 F→G→H→A→…的规律紧绕在图形“凹”的边上，则细线另一端 3.在平面直角坐标系中，点P(-5,3)关于x轴的对称点的坐标 中数学· 所在位置的坐标是 ( 湘 教 为 ( A.(-3,1) B.（-3,4） A.(5,3) B.(5,-3) 年 C.(3,4) D.(3,3) C.(-5,-3) D.(3,-5) 级 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 能 4.如图2，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(1,2)，点Q是x 11.在平面直角坐标系中，点(-1,2)向右平移3个单位得到的 轴上的一个动点，当线段PQ的长最小时，点Q的坐标为( 达 点的坐标是 湘教八年级能力达标白 标 A.(1,0) B.(0,1) C.(2,0) D.(0,2) 5.已知点A(a-1,3),点B(-3,a+1),且直线AB∥x轴，则a 12.在平面直角坐标系中，若点P(1-a,5-2a)在第二象限，则 自 评 整数a的值为 19.(8分)如图9，A(3,-2),B(3,-6)是某个轴对称图形上的 评 卷 的值为 卷 A.1 B.-1 C.2 D.-2 13.在平面直角坐标系中，已知点A(3,a)关于x轴的对称点是 两点，且互为对称点，已知此图形上另有一点C(-2,1). 6.如图3，平遥古城是我国仅有的以整座古城成功申报世界文 C,点C关于y轴的对称点是B(b,2),则a2-b2的值为 (1)求点C关于该图形对称轴对称的点的坐标： 化遗产的两座古城市之一，其主要景点有县衙、城楼、日升昌、城隍 14.如图6，渔船A与港口B相距19海里，我们用（南偏西39°，19 (2)求△ABC的面积 庙、清虚观、文庙等.已知日升昌的坐标为(-1,1)，清虚观的坐标为 海里)来描述渔船A相对于港口B的位置，那么港口B相对于渔船A (4,2).若某一景点的坐标是(-2，-1)，则这一景点可能是( 的位置可描述为 (用和上述类似的形式表示) C(-2.L A.县衙 B.城楼 4(3,-2) C.城隍庙 D.文庙 东 1 23 6 7 8 B(3-6) 日升昌 清虚观 图9 城楼 城阻庙 县衙 图6 图 15.如图7，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上， 图3 文庙 图4 点C在线段AB的延长线上，过点C作CD⊥AC,交y轴于点D.若CD 7.已知点A(1,0),B(0,2),点P在x轴上，且△PAB的面积为 OA,线段AC的长度为5，则点D的坐标为 5,则点P的坐标是 16.点A(6-2x,x-3)在x轴的上方，将点A向上平移4个单位 A.(-4,0) B.(-4,0)或(6,0) 再向左平移1个单位后得到点B,点B到x轴的距离大于点B到y轴 C.(6,0) D.(0,12)或(0，-8) 的距离，则x的取值范围是