第30期 菱形-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（湘教版·新教材）

八年级数学湘教第27~30期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 八年级数学湘教第27~30期(2026年1月)】 27期2版 所以AB=DF,BE=AD, 1.1.1多边形的认识 ∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF, 1.C;2.C;3.A. 即∠ABE=∠FDA. 4.原多边形纸片的边数为3或4或5.图略. AB FD. 1.1.2多边形的内角和 在△ABE和△FDA中， ∠ABE=∠FDA, 1.C:2.C:3.18:4.10. BE DA, 5.解：因为AB∥CD,∠B=70°， 所以△ABE≌△FDA(SAS), 所以∠C=180°-∠B=110°. 所以AE=AF 因为五边形的内角和为： 6.解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， (5-2)×180°=540°， ∠B=60°， 所以x°+120°+140°+70°+110°=540°， 所以AD∥BC,∠D=∠B=60°， 解得x=100, 所以∠BAD=180°-∠B=120° 6.解：(1)60： 因为AE⊥BC,AF⊥CD (2)因为CE∥AD,∠D=140°， 所以∠AEB=∠AFD=90°， 所以∠DCE=180°-∠D=40° 所以∠BAE=90°-∠B=30°， 因为CE平分∠BCD, ∠DAF=90°-∠D=30°， 所以∠BCD=2∠DCE=80°， 所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF 所以∠B=360°-∠A-∠BCD-∠D =60° =40°. (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BC=6, 1.1.3多边形的外角和 所以AD=BC=6. 1.A:2.D;3.A:4.40°；5.72 由(1)，知∠DAF=30°， 6.解：设这个正多边形的一个外角的度数为x°. 所以DF=AD=3. 根据题意，得x+多=180， 由勾股定理，得AF=√AD-DF=33. 解得x=72, 27期3,4版 所以这个正多边形的边数为： 一、选择题 360°÷72°=5. 题号12345678910 1.2.1平行四边形的性质 答案BCAC A CB BAB 1.c:2.D:3:416 提示： 5.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 10.解：连接EF,如图1. 所以AB=CD,BC=AD ∠ABC=∠ADC. 因为△BCE和△CDF都是等边三角形， D 所以CD=DF,BC=BE, 图1 ∠EBC=∠CDF=6O°， 因为四边形ABCD为平行四边形， 八年级数学湘教 第27~30期 所以AB=CD,AB∥CD 因为m是正整数，所以m=9. 所以∠BEC=∠FCE. 所以他重复加的那个角的度数是： 因为Q是CE的中点，所以EQ=CQ. 1280°-(9-2)×180°=20°. ∠BOE=∠FOC. 20.解：(1)六边形ABCDEF的内角和为： 在△BEQ和△FCQ中 EO=CO (6-2)×180°=720 ∠BEQ=∠FCQ, (2)因为六边形ABCDEF的内角和为720°， 所以△BEQ≌△FCQ(ASA),所以BE=CF ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=470°， 因为BE∥CF, 所以∠GBC+∠C+∠CDG=720°-470°=250°， 因为四边形BCFE为平行四边形， 所以∠G=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG)=110° 所以S△BEF=2SAc=14cm2. 21.解：因为四边形ABCD是平行四边形，AB=4, 因为AB-BE=CD-CF,所以AE=FD. 所以CD=AB=4,AD∥BC 因为AE∥FD, 因为∠ACB=30°， 所以四边形ADFE为平行四边形， 所以∠DAC=∠ACB=30. 所以S△Pr=SAAPD=3cm2, 根据折叠的性质，得 所以阴影部分的面积为： AE=AD,CD=CE,∠ACD=90°， SARER SAPEF =14+3=17(cm2). 所以∠D=90°-∠DAC=60°， 二、填空题 所以△ADE是等边三角形， 11.2n;12.118°；13.72°；14.54；15.30°；16.6. 所以AD=AE=DE=2CD=8, 三、解答题 所以△ADE的周长为：8×3=24. 17.解：如图2，连接BD. 22.(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边形， 因为∠BCD=100°， AC=2,BD=4, 所以∠CBD+∠CDB 所以0A=4C=1,0B=BD=2 =180°-∠BCD =180°-1009 B 又因为AB=3,所以OA2+AB2=OB, 图2 =80° 所以△BAO为直角三角形，且∠BA0=90°， 因为四边形内角和为360°， 所以AB⊥AC. 所以∠A+∠ABC+∠CDE+∠E (2)解：由(1)知△BAC为直角三角形，且∠BAC=90°， =360°-（∠CBD+∠CDB) 所以BC=AB+AC. =360°-80° 因为AB=√3，AC=2, =280°. 所以BC=√AB2+AC=√(3)2+22=万. 18.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 因为AE⊥BC,AB⊥AC, 所以AD∥BC,AD=BC, 所以SBARCD=AB·AC=AE·BC, 所以∠AEB=∠DAE. 所以AE=AB·AC=22 因为AB=AE, BC 7 所以∠B=∠AEB, 23.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠B=∠DAE. 所以AB=CD,AB∥CD. AB =EA, 因为CE=AB, 在△ABC和△EAD中 ∠B=∠DAE, 所以CE=CD, BC AD. 所以∠CDE=∠CED 所以△ABC≌△EAD(SAS). =2180-∠DcE) 19.解：设这个多边形的边数是m 1 根据题意，得1280°-180°<(m-2)×180°<1280°， =90°-2∠DCE, 1 解得8)<m<9 9 所以LAD=∠CDE=90-∠DCE 八年级数学湘教第27~30期 (2)解：延长DA,FE交于点M,图略. 28期2版 因为四边形ABCD是平行四边形， 1.2.2平行四边形的判定 所以AD∥BC, 1.B;2.A;3.D;4.是. 所以∠M=∠EFB. 5.证明：因为a2+b2+c2+d=2ac+2bd, 因为E是AB的中点， 所以(a-c)2+(b-d)2=0, 所以AE=BE. 所以a=c,b=d, 由对顶角相等，得∠AEM=∠BEF 所以四边形ABCD是平行四边形. 在△AEM和△BEF中， 6.证明：由对顶角相等，得∠AOE=∠C0D. r∠M=∠EFB, ∠EAO=∠DCO. ∠AEM=∠BEF, 在△AOE和△COD中 A0=C0 AE BE, ∠AOE=∠COD. 所以△AEM≌△BEF(AAS), 所以△AOE≌△COD(ASA), 所以ME=EF,AM=BF=2, 所以OE=OD, 所以DM=AD+AM=6. 所以四边形AECD是平行四边形. 因为DF⊥BC,所以∠DFC=90°， 7.(1)证明：因为BD是△ABC的角平分线， 所以∠ADF=90°. 所以∠CBD=∠EBD. 在Rt△MDF中，由勾股定理，得 因为ED∥BC, MF=√DM+DF=62, 所以∠CBD=∠EDB, 所以EF=MF=32. 所以∠EBD=∠EDB, 所以BE=ED. 24解：(I)因为BP平分∠ABC,所以∠CBP=∠ABC 因为BE=CF,所以ED=CF 因为CP平分△ABC的外角∠ACD, 又ED∥FC, 所以∠DCP=7∠ACD 所以四边形EFCD是平行四边形. (2)解：因为BD是△ABC的角平分线，∠ABC=60°， =LA+∠ABC 所以∠ABD=号∠ABC=30 =A+ABC 因为∠ADB=100°， 在△BCP中，由三角形的外角性质，得 所以∠A=180°-∠ABD-∠ADB=50°. LDCP=∠CP+∠P=7∠ABC+LP, 因为四边形EFCD是平行四边形， 所以EF∥AC, 所以分LA+子∠ABC=方LABC+LP, 所以∠AEF=180°-∠A=130. 1.3中心对称和中心对称图形 所以∠P=号∠A=分×40=20 1.C;2.B;3.48. 故答案为20°. 4.证明：因为△AB0与△CD0关于O点成中心对称， (2)因为∠ABC+∠DCB=360°-(a+B), 所以OB=OD,0A=OC,∠D0F=∠BOE. 而∠ABC+(180°-∠DCE) 因为AF=CE, =360°-(a+B) 所以OA-AF=OC-CE,即OF=OE, =2∠PBC+(180°-2∠ECP)〉 所以△DOF≌△BOE(SAS), =180°-2（∠ECP-∠PBC) 所以FD=EB. =180°-2∠P, 5.证明：因为△ADE和△FCE关于点E成中心对称， 所以360°-(a+B)=180°-2∠P, 所以∠ADE=∠FCE,AD=CF,DE=2CD, 所以2∠P=a+B-180°. 所以AD∥CF. 1 所以∠P=2(a+B)-909 因为D是AB的中点， 八年级数学湘教 第27~30期 所以BD=AD,所以BD=CF, 所以△BCM≌△DNM, 所以四边形DBFC是平行四边形， 所以NM=CM=CN,DN=BC=3, 所以CD=BF,所以DE=BF 所以AN=AD-DN=3, 1.4三角形的中位线定理 所以AN=BC. 1.B;2.D;3.C;4.4. 因为AD∥BC, 5.解：因为P是BD的中点，E是AB的中点，F是CD的中 所以四边形ABCV是平行四边形， 点， 所以CN=AB=5,所以CM=多 所以PE=AD,P=BC 二、填空题 因为AD=BC,所以PE=PF, 11.2;12.14;13.AB=CD(答案不唯一)； 所以∠PFE=∠PEF=18°. 144:15.4:169或10 28期3,4版 一、选择题 提示： 16.解：因为点P的速度为每秒1cm, 题号 1 2345678910 所以AP=tcm. 答案DBADB C BD CC 因为点Q的速度为每秒2cm, 提示： 所以CQ=2tcm. 8.因为△ABC与△CDA关于点0成中心对称， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB=CD,AD=BC, 所以AP∥BQ, 所以四边形ABCD是平行四边形， 当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形， 所以点O就是口ABCD的对称中心 所以t=10-21或t=2t-10, ①点M和点N,点B和点D分别关于点O对称，正确： ②直线BD必经过点O,正确； 解得1=号或4=10 ③四边形ABCD是中心对称图形，正确： ④四边形DMOC与四边形BNOA的面积相等，正确： 综上，满足条件的：的值为号或10， ⑤△AOM与△CON关于点O成中心对称，正确。 三、解答题 故正确的有5个. 17.解：(1)如图2所示，点0即为新作. 9.解：根据三角形的中位线定理可知，第2个三角形的周 长C,与第1个三角形的周长C,的关系为 1 同理可得，C3= 1 20=2×1=2 图2 (2)如图3所示，△A'B'C'即为所作 2024 所以第2026个三角形的周长为Cs=(宁) 1O.解：延长CM交AD于点N,如 图1所示. 图3 因为点M是线段BD的中点， 18.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以BM=DM. 图1 所以OA=OC,OB=OD. 因为AD∥BC, 因为AE=CF, 所以∠CBM=∠NDM,∠BCM=∠DNM, 所以OA+AE=OC+CF,即OE=OF. 八年级数学湘教 第27~30期 因为BG=DH, 22.证明：(1)由题意知△ABM≌△ACM, 所以OB-BG=OD-DH,即OG=OH, △ABE≌△DCE, 所以四边形EGFH是平行四边形. 所以AB=AC,AB=CD, 19.解：延长EP交AC于点G,如图4. 所以AC=CD. 由题意，得AB=AC=4, (2)解：∠F=∠MCD.理由如下： ∠A=∠B=∠C=60. 由(1)，得∠BAE=∠CAE=∠CDE, 又PE∥AB, ∠CMA=∠BMA. 所以∠PEC=∠B=60°， 图4 因为∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF, ∠PGF=∠A=60°， 所以∠CDE=∠MPC,∠PMF=∠CMA, 所以△CEG是等边三角形，即EG=CG 所以∠MPC-∠PMF=∠CDE-∠CMA, 又PF∥BC, 即∠F=∠MCD. 所以∠PFG=∠C=60°，∠GPF=∠PEC=60°， 23.(1)证明：因为AC=AE,BC=BE, 所以△PGF是等边三角形，即PG=PF, 所以AB⊥CE,∠AEC=∠ACE,∠BEC=∠BCE, 所以CG=PE+PF. 所以∠AEC+∠BEC=∠ACE+∠BCE, 又PD∥AC, 即∠AEB=∠ACB. 所以四边形ADPG是平行四边形，所以PD=AG, 因为∠AEB=∠CAD, 所以PD+PE+PF=AG+CG=AC=4, 所以∠ACB=∠CAD, 即三条小路的总长度为4. 所以BC∥AD. 20.解：取BC的中点G,连接EG,FG, 因为CD⊥CE,所以AB∥CD, 如图5. E 所以四边形ABCD是平行四边形. 因为E,F分别是AB,CD的中点， (2)解：过点A作AG⊥CD于 AC 4 cm,BD =6 cm, G 图5 点G,如图8. 所以BG∥AC,EG=AC=2cm, 所以AG∥CF. 又AB∥CD,所以CF=AG. FG∥BD,FG=BD=3em 根据勾股定理，得 AC2 CC2 AD2 DG2, 因为AC⊥BD,所以EG⊥FG, 即42-(3-DG)2=32-DG, 所以∠EGF=90°. 根据勾股定理，得EF=√EG+FG=√I3cm. 解得0G=子 21.解：(1)如图6，与△ABC成中心对称的三角形有 所以CF=AG=√AD-DC=45 31 △CGA,△DFG,共2个.故答案为2 因为AC=AE,AB⊥CE, 所以CE=2CF=8,5 3 24.(1)证明：因为AD=BC,AB=CD, 所以四边形ABCD是平行四边形， 图6 所以AD∥BC. (2)(i)如图7-①所示（答案不唯一）： (2)解：根据题意，知BG=y,DE=t, (iⅱ)如图7-②所示； 则DG=12-y (ⅲ)如图7-③所示（答案不唯一）； 当0≤1≤氵时，CF=3,则BF=8-3 因为AD∥BC,所以∠DBC=∠ADB. 若△DEG≌∠BFG,则BF=DE,BG=DG, ① ② ③ 即=8-3解得=2， 图7 y=12-y, ly=6. 5 八年级数学湘教第27~30期 若△DEG≌△BGF,则BF=DG,DE=BG, =0A·(PE+PP) 即，/s6, 解得2（不合题意，金去） 8-31=12-y,l1=-2. =方x(PE+PP) 1 当弩<1≤9时，BF=3-8 =3. 若△DEG与△BFG全等，则BF=DE,BG=DG或BF= 所以PE+P=号 DG.BG=DE, 7.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 即=3-8或 3t-8=12-y, 所以AB∥CD y=12-y,y=i, 所以∠BAC=∠FCO. 解得=4，成=5， 或{ 由对顶角相等，得∠AOE=∠COF. Ly =6 Ly =5. 又AE=CF, 综上，△DEG与△BFG全等的情况出现了3次：第一次时 所以△AOE≌△COF, =2第二次时1=4，y=6:第三次时1=5，y=5 所以OE=OF. y=6: (2)解：连接OB,图略。 29期2版 因为△AOE≌△COF, L.5.1矩形的性质 所以OA=0C, 1.D:2.D;3.110;4.43. 即O为矩形ABCD对角线的交点， 5.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以OA=OB,所以∠BAC=∠ABO. 所以AD∥BC,∠B=90°， 因为BE=BF,OE=OF, 所以∠DAE=∠AEB. 所以BO⊥EF. 因为DF⊥AE, 在Rt△BEO中，∠BEF+∠AB0=90. 所以∠AFD=90°=∠B. 因为∠BEF=2∠BAC, 又DA=AE. 所以2∠BAC+∠BAC=90°， 所以△DFA兰△ABE, 所以∠BAC=30°. 所以DF=AB 因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°. (2)解：因为AB=4,所以DF=4. 因为BC=2,所以AC=2BC=4. 因为四边形ABCD是矩形， 根据勾股定理，得AB=√AC-BC2=25. 所以∠ADC=90°. 1.5.2矩形的判定 因为∠FDC=30, 1.D:2.B: 所以∠ADF=∠ADC-∠FDC=6O°， 3.DE=FG(答案不唯一)；4.13. 所以∠DAF=90°-∠ADF=30°， 5.证明：因为BE∥DF, 所以AD=2DF=8. 所以∠DFC=∠AEB, 6.解：连接OP,图略. 所以180°-∠DFC=180°-∠AEB, 因为四边形ABCD是矩形， 即∠DFA=∠BEC 所以∠ABC=90°，OA=0C=0B=OD. 又DF=BE,AF=CE, 因为AB=3,BC=4, 所以△AFD≌△CEB. 所以AC=√AB2+BC=5, 所以∠DAC=∠BCA,AD=CB, 所以AD∥BC, 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以0A=0D=子， 又∠BAD=90°， 所以SAAOD=S△oP+S△D0P 所以四边形ABCD是矩形， 6.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA=OC,OB=OD. 八年级数学湘教 第27~30期 因为E,F分别是OB,OD的中点， 又因为∠DEG=∠CEF, 所以0E=20B,0F=20D. 所以△DEG≌△CEF(ASA), 所以∠G=∠EFC,EG=EF 所以OE=OF, 因为AE=AE,∠AEF=∠AEG B 所以四边形AECF是平行四边形. =90°， 因为AC⊥AB,∠AOB=60°， 所以△AEF≌△AEG(SAS), 所以∠AB0=30°， 所以∠AFE=∠G,所以∠AFE=∠EFC, 所以0A=0B=0B, 所以∠BFC=号∠AFC=(90+a)=450+受 所以AC=EF, 二、填空题 所以四边形AECF为矩形 7.(1)证明：因为AD∥BC, 1.359:122:13.6:144=280:15.子 所以∠D+∠C=180°. 16.52或45. 因为∠A=∠D=90°， 提示： 所以∠C=∠A=∠D=90°， 16.解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=90°. 所以四边形ABCD为矩形. 分两种情况： (2)解：根据折叠的性质，得 当AP=AE=5,点P在边AD上时，如图2所示. ∠BGE=∠A=90°，BG=AB=6,AE=GE. 因为∠BAD=90°， 所以∠EGF=180°-∠BGE=90°. 所以PE=√AP2+AE=√52+52=5,2； 因为E是AD的中点， 所以AE=DE,所以DE=GE. 又EF=EF,所以Rt△DEF≌Rt△GEF(HL), 所以DF=GF, 所以BF=BG+GF=6+DF E 因为四边形ABCD是矩形， 图2 图3 所以CD=AB=6. 当PE=AE=5,点P在边BC上时，如图3所示 在Rt△BCF中，根据勾股定理，得 因为BE=AB-AE=8-5=3,∠B=90°， BC2+CF2=BF2 所以PB=√PE-BE=V52-32=4, 即82+(6-DF)2=(6+DF)2, 所以底边AP=√AB2+PB=82+4=45. 解得DF=分 8 综上，等腰三角形AEP的底边长是52或45. 29期3,4版 三、解答题 一、选择题 17.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以BC=AD=8. 题号12345678910 因为AB=6,AC=10,所以AC2=AB2+BC2, 答案DDD C CC C D C B 所以∠B=90°，所以口ABCD是矩形 提示： 18.证明：因为四边形ABCD是矩形， 10.解：因为四边形ABCD是矩形， 所以AB=DC,∠B=∠C=90°. 所以∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°， 因为BE=CF, 因为∠BAF=a,所以∠AFB=90°-a, 所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE, 所以∠AFC=180°-∠AFB=90°+a. 所以△ABF≌△DCE(SAS), 如图1，分别延长FE,AD交于点G, 所以AF=DE. 则∠EDG=90°=∠C, 19.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 因为点E为CD边的中点， 所以AD∥BC,所以∠F=∠BCE. 所以DE=CE. 因为E是AB的中点，所以AE=BE. 八年级数学湘教 第27~30期 又∠AEF=∠BEC,所以△AEF≌△BEC(AAS). (2)解：四边形ABDE是平行四边形.证明如下： (2)解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90. 由(1)知，四边形ADCE为矩形， 又CD=4,∠F=30°，所以CF=2CD=8. 所以AE=CD,AC=DE. 20.解：因为矩形ABCD≌矩形AEFG, 又AB=AC,BD=CD,所以AB=DE,AE=BD. 所以AB=AE=1,∠DAB=∠FEA=90°，AD=BC=2. 所以四边形ABDE是平行四边形. 所以∠ABE=∠AEB,∠ABE+∠ADB=90°， (3)解：DF∥AB,DF=AB ∠AEB+∠DEF=180°-∠FEA=90°， 所以∠DEF=∠ADB,所以EH=DH. 24.解：(1)由折叠的性质，得AF=AB=3. 在Rt△AEH中，根据勾股定理，得EH+AE=AH, 因为AD=5,所以FD=AD-AF=5-3=2. 即(2-A2+1=AF,解得A=子 (2)若点G落在线段FD上，如图5所示. G D 21.解：线段MN的长为定值，且MN= 2 理由如下： E 图5 如图4，连接CD,过点C作CE1CCE 由折叠的性质，得FG=AF=AB=x, BD,交BD的延长线于点E,则∠E= D 所以FD=AD-AF=5-x, 90° 所以DG=FD-FG=5-2x. 因为CA⊥AB,DB⊥AB, 因为2FD=3DG,所以2(5-x)=3(5-2x),解得x=4 5 所以∠A=∠B=90°， 图4 所以四边形ABEC是矩形， 若点G落在线段FD的延长线上，如图6所示. 所以BE=AC=3,CE=AB=4, DG 所以DE=BE-BD=3-2=1, 所以CD=√CE2+DE=√42+1产=√7 因为M,N分别是PC,PD的中点， 图6 所以MN是△CDP的中位线， 由折叠的性质，得FG=AF=AB=x, 所以w=}0= 所以FD=AD-AF=5-x, 所以DG=FG-FD=x-(5-x)=2x-5. 22.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 因为2FD=3DG,所以2(5-x)=3(2x-5),解得x= 25 所以AE∥BC.又CE∥BD, 8 所以四边形BCED是平行四边形，所以CE=BD. 综上✉的值为子皮瓷 又CE=AC,所以AC=BD, 所以四边形ABCD是矩形 (3)如图7，由题意可知AF=AB=n,EF=AB=n, (2)解：因为四边形ABCD是矩形， DG 所以∠BAD=90°，BC=AD=3. H 根据勾股定理，得BD=√AB+AD=5. B E 所以四边形BCED的周长为：2(BC+BD)=16. 图7 23.(1)证明：因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线， 所以FD=AD-AF=m-n, 所以AD⊥BC,∠CD=分∠BAC. 所以S%==EF·F=2a(m-m), 所以∠ADC=90°. S四边形ABCD=AD·AB=mn. 因为AW为△ABC外角∠CAM的平分线， 因为S四边形ABGD=7S△HFE, 所以∠CAN=2LCMM, 所以mn=7×2n(m-n),整理，得5m=7m 所以∠DAE=∠CAD+∠CAN=90 30期2版 又因为CE⊥AN,所以∠AEC=90°. 1.6.1菱形的性质 所以四边形ADCE为矩形. 1.D:2.C:3.204.70°. 八年级数学湘教 第27~30期 5.证明：因为四边形ABCD是菱形， 又BD⊥AC,所以四边形AECF是菱形. 所以AB∥CD,AC⊥BD. (2)解：因为四边形AECF是菱形， 因为DE⊥BD, 所以DE=DF=2. 所以DE∥AC, 在Rt△ADB中，由勾股定理，得 所以四边形ACDE是平行四边形. AD2+BD2=AB,即42+(2+BE)2=(4+BE)2, 6.(1）证明：因为四边形ABCD是菱形， 解得BE=1,所以BF=5. 所以AB=AD. 30期3,4版 所以∠ABD=∠ADB. 一、选择题 因为AE=AB,所以AE=AD, 题号12345678910 所以∠E=∠ADE, 答案ACBCBACACD 所以2∠ADB+2∠ADE=180°， 提示： 所以∠ADB+∠ADE=90°， 10.解：因为AG∥BD,BD=FG, 所以△BDE为直角三角形. 所以四边形BGFD是平行四边形， (2)解：因为四边形ABCD是菱形， 因为CF⊥BD,所以CF⊥AG, 所以OA=OC,OB=OD. 因为AE=AB, 又因为点D是AC的中点，所以BD=DF= 所以0C=01=号DE=3m 所以四边形BGFD是菱形 设AF=x,则AC=x+2, 7.(1)解：因为四边形ABCD是菱形， 在Rt△ACF中，∠CFA=90°，FC=6, 所以4AC1BD,0A=分AC=4em, 所以AF2+CF2=AC2,即x2+62=(2+x)2, OB=BD =3 om. 解得x=8,故AC=10. 故四边形BDFG的周长=4BD=2×10=20. 根据勾股定理，得 二填空题 AB=√/OA2+OB2=5cm. 11.60°；12.AB=AD(答案不唯一)：13.24：14.76； 因为S装装m=4C~BD=AB·D, 15.203;16.16. 提示： 所以DH=4C·BD-24 cm. 2AB 5 16.连接EF交CD于点O,如右图. (2)证明：因为四边形ABCD是菱形， 因为DE∥AC,DF∥BC, 所以OB=OD,∠DAH=2∠OAB, 所以四边形CEDF是平行四边形. 所以OH=OB, 因为CD是△ABC的角平分线， 所以∠OHB=∠OBH, 所以∠FCD=∠ECD. 所以∠B0H=180°-2∠OBH. 因为DE∥AC,所以∠FCD=∠CDE, 因为∠OAB=90°-∠OBH, 所以∠ECD=∠CDE,所以CE=DE, 所以∠DAH=180°-2∠OBH. 所以四边形CEDF是菱形， 所以∠BOH=∠DAH. 所以CD1EF,LECD=2∠ACB=30, 1.6.2菱形的判定 1.B;2.D;3.AB=AC(答案不唯一) 0c=2cD=25 4.(1)证明：因为AE∥CF, 在Rt△COE中，由勾股定理，得CO2+OE2=CE2. 所以∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD. 因为BA=BC,BD平分∠ABC, 又0E=CB,所以CB=4, 所以BD⊥AC,AD=CD, 所以四边形CEDF的周长是16. 所以△AED≌△CFD(AAS), 三、解答题 所以AE=CF, 17.证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以四边形AECF是平行四边形. 所以AB=BC,∠ABP=∠CBP. 八年级数学湘教 第27~30期 又BP=BP,所以△ABP≌△CBP(SAS). 所以PA=PC. 所以PE=BP=2L=D0, 所以四边形PEQD是平行四边形. AB AD. 18.证明：在△ABC和△ADC中 因为AB=4,所以BD=8,所以DP=8-4. AC =AC. 当DP=PE时，四边形PEQD为菱形， BC DC. 所以△ABC≌△ADC(SSS),所以∠BAC=∠DAC. 所以8-4“=2，解得1=号 因为AB∥CD,所以∠BAC=∠DCA, 23.(1)证明：因为D0=A0,E0=C0, 所以∠DCA=∠DAC,所以AD=CD. 所以四边形AEDC是平行四边形. 所以AB=CB=CD=AD. 因为四边形ABC0是矩形，所以∠AOC=90°， 所以四边形ABCD是菱形. 所以A0⊥OC,即AD⊥EC, 19.证明：因为四边形ABCD是菱形， 故四边形AEDC是菱形. 所以AB∥CD,∠ABD=∠CBD. (2)解：因为四边形AEDC是菱形，∠AED=60°， 因为EF∥BC, 所以∠AE0=30°. 所以四边形BCFE是平行四边形，∠EMB=∠CBD, 因为∠A0E=90°，AE=2, 所以BE=CF,∠ABD=∠EMB,所以BE=EM, 所以CF=EM. 所以0A=分4北=1 20.证明：因为∠BAF=∠DAE, 所以E0=AE2-OA=√22-1卫=√5， 所以∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF, 所以CE=2E0=23,AD=20A=2, 即∠BAE=∠DAF. 故5em=40:CE=分×2x2万=25 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠B=∠D. 又BE=DF,所以△ABE≌△ADF(AAS), 24.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=AD, 所以B0=DO. 所以四边形ABCD是菱形. 又因为BD⊥AC,垂足为点O, 21.(1)证明：因为点E是CD的中点，所以CE=DE. 所以AC是BD的垂直平分线， 因为CF∥BD,所以∠ODE=∠FCE. 所以AB=AD,故口ABCD是菱形 (2)①证明：因为四边形ABCD是平行四边形， ,∠ODE=∠FCE, 在△ODE和△FCE中， AD =5.AC =8,BD =6. DE CE, I∠DEO=∠CEF, 所以D0=B0=BD=3,4A0=C0=74C=4 所以△ODE≌△FCE(ASA). 因为32+42=25=52， (2)解：四边形ODFC为矩形.证明如下： 所以D0+AO=AD, 因为△ODE≌△FCE,所以OE=FE. 所以△AOD是直角三角形，且∠AOD=90°， 又因为CE=DE, 所以AC⊥BD,故口ABCD是菱形 所以四边形ODFC为平行四边形 ②解：因为四边形ABCD是菱形， 因为四边形ABCD为菱形， 所以∠ACB=∠ACD. 所以AC⊥BD,即∠D0C=90°， 所以四边形ODFC为矩形. 因为∠E=号∠ACD,所以∠E=之∠ACB 2.解：四边形PEQD能够成为菱形，此时1=手 因为∠ACB=∠E+∠COE,所以∠E=∠COE, 所以C0=CE=4,所以BE=9, 理由如下： 所以BC:BE=5:9, 因为四边形ABCD是矩形， 1 所以∠A=∠C=90°，AD∥BC. 所-影三X34。 5 SAOBE 所以∠PBE=∠ADB=30°，BC⊥CD. 4 根据题意，得BP=4t,DQ=2t. 所以SOBE=5 因为PE⊥BC,所以PE∥CD,∠BEP=90°， 10缕丑 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 DF,LBAF 20.(8 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 (L)zi止：AQDB%Ancb: 29期2版参考答案 2.(L0今)如图L8.株ABCD6析电限C.BD些交t店D.质 1.5.1矩形的性质 1.D:2.D:3.110 4.45 5.(1)证明略： (2)AD=8. 6.PE PF 12 7.(1)证明略： (2)23. 1.5.2矩形的判定 1.D: 2.B: !·BE 3.DE=FG(答案不唯 -)；4.13 5.证明略 6.证明略， 7.(1)证明略： (2)金业E-2.7AED-002·津素株AEDC8意说 23.(0安)机图20。正提些MBC0层。上KA0睡货2。限2心 LAC行乐E港华E0.P0.叶河游址长能障大彩街卫1机集想 22.(10)虹图19。C。 a号 29期3,4版参考答案 -、1.D: 2.D;3.D: 4.C;5.C;6.C 7.C;8.D;9.C; 10.B. 二、11.35°；12.2； :4.4财8-300。 13.6: 14.AB=BC: 15. 16.52或45. 三、17.证明略。 18.证明略。 19.(1)证明略； 光 (2)8. 叶R A D米是：高s卡：D 0 21.线段MN的长为定 (2)红充耐用：机图2L-a.正口a品内共：海银虹C程食山指 EA:中口·海想想p!e ()元增此明：为T正明这充理明原卡用出T医（加哦21 24.(4么)们 22.(1)证明略： (2)16. 23.(1)证明略； (2)四边形ABDE是平 行四边形 24.(1)2 (2)x的值为或得 (3)5m=7n. 沁名匹郭心需炉书≥哔盖·蝼丹鸢 数理柄 2026年1月28日·星期三 初中数学 第30期总第1174期 (湘教八年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 例1 如图1，矩 一、菱形的四条边都相等 形EFGH的顶点E,G 例1如图1，在菱形 重点精讲 名师点晴 双形 分别在菱形ABCD的ABCD中，E,F分别是AD, 边AD,BC上，顶点F,BD的中点，若EF=5,则 變形质耐乳 H在菱形ABCD的对 鑫 菱形ABCD的周长为 角线BD上. 应用 分析：由三角形中位线定理可求得AB 10,由菱形的性质即可求解 ⊙山东张文雅 解：因为E,F分别是AD,BD的中点，EF=5, 0C=2AC=3,0B=2BD=4, 所以AB=2EF=10. 所以∠BOC=90. 展风采 因为四边形ABCD是菱形， (1)求证：BG=DE; 根据勾股定理，得BC=√OB2+OC2=5. (2)若E为AD中点， 所以AB=BC=CD=AD=10, FH=2,求菱形ABCD 所以菱形ABCD的周长为： 因为H为BC的中点， 的周长 AB+BC+CD+AD=40.故填40. 所以on=c=子故填号 解：(1)证明：因 二、菱形的对角线互相垂直 例2如图2，在菱形 三、菱形的每一条对角线平分一组对角 为四边形EFGH是矩」 ABCD中，对角线AC,BD相 例3如图3，在菱形 形， 所以EH=FG,EH∥FG 交于点O,H为BC的中点， ABCD中，∠ACD=40°，则 所以∠GFH=∠EHF, AC=6,BD=8.则线段OH ∠ABC= 所以180°-∠GFH=180°-∠EHF 的长为 分析：由菱形的性质得 图2 即∠BFG=∠DHE 分析：先根据菱形的性质得到AC⊥BD,OB 出AB∥CD,∠BCD= 因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC, 2∠ACD=80°，则∠ABC+ 所以∠GBF=∠EDH, 2BD=4,0C=2 C=3,再利用勾股定理 ∠BCD=180°，即可得出答案 所以△BGF≌△DEH(AAS),所以BG=DE. 计算出BC,最后根据直角三角形斜边上中线的 解：因为在菱形ABCD中，∠ACD=40°， (2)连接EG,图略. 性质得到OH的长. 所以AB∥CD,∠BCD=2∠ACD=80° 因为E为AD中点，所以AE=ED 解：因为在菱形ABCD中，AC=6,BD=8, 所以∠ABC=180°-∠BCD=100°. 因为BG=DE,所以AE=BG 所以AC⊥BD 故填100. 又AE∥BG,所以四边形ABGE是平行四边形 所以AB=EG. 专题辅导了月 所以∠AFD=∠AFB=100°」 因为四边形EFGH是矩形， 添加辅助线 所以∠DFE=∠AFD+∠AFE=150° 所以EG=FH=2, 例2如图2，在菱形 所以AB=2, ABCD中，∠ADC=120 所以菱形ABCD的周长为8. 点E关于LA的平分线的 例2如图2，四边形 对称点为F,点F关于∠B ABCD为矩形，G是对角线 解题方法现 BD的中点.连接GC并延 的平分线的对称点为G,连 长至F,使CF=GC,以 ◎湖南陈玲 接EG.若AE=1,AB=4, DC,CF为邻边作菱形 辅助线是在几何学中用来帮助解答疑难几 则EG= DCFE,连接CE. 何图形问题，在原图基础之上另外所作的具有 解：连接FG,过点B作BH⊥FG于点H, (1)判断四边形CEDG的形状，并证明你的极大价值的直线或者线段.通过添加适当的铺 如图2. 结论； 助线，可以将条件中隐含的有关图形的性质充 因为四边形ABCD是菱形，∠ADC=120° (2)连接DF,若BC=√3，求DF的长 分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导 所以AB∥CD,∠ABC=120°， 解：(1)四边形CEDG是菱形.证明如下： 出结论的目的， 所以∠A=180°-∠ADC=60°. 因为四边形DCFE是菱形， 例1如图1，在菱形 因为点E关于∠A的平分线的对称点为F, 所以CF=DE,CF∥DE. ABCD中，∠BAD=80°，AB的 点F关于∠B的平分线的对称点为G, 因为CF=GC,所以DE=GC, 垂直平分线交对角线AC于点 所以AE=AF=1,BF=BG, 所以四边形CEDG是平行四边形. F,垂足为E,连接DF,求 所以△AEF是等边三角形， 因为四边形ABCD为矩形， ∠DFE. G是对角线BD的中点， FH=GH,LGFB=2(I80°-∠FBG)=30°， 图 所以GB=GC=GD, 解：连接BF,如图1. 所以EF=1,∠AFE=60° 所以四边形CEDG是菱形， 因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=80 所以∠EFG=180°-∠AFE-∠GFB (2)因为四边形DCFE是菱形，所以CD=CF: 所以∠BAC=∠DAC=7LBAD=40° =90. 因为CF=GC,所以GC=GD=CD=GB AB AD. 因为BF=AB-AF=3, 所以△CDG是等边三角形， 所以∠CGD=∠GCD=60° 因为EF是线段AB的垂直平分线， 所以BM=BF-3多 所以180°-∠CGD=180°-∠GCD 所以AF=BF,∠AEF=90°， 根据勾股定理，得 即∠BGC=∠FCD 所以∠ABF=∠BAF=40°，∠AFE=50 BG FC. 所以∠AFB=180-∠BAF-∠ABF=100°. FH BF2 BI =33 2 在△BGC和△FCD中 ∠BGC=∠FCD, rAD AB, CG DC, 在△ADF和△ABF中， ∠DAF=∠BAF 所以FG=2FH=3√3 所以△BGC≌△FCD(SAS), LAF AF, 根据勾股定理，得EG=√EF2+FG=2,万. 所以DF=BC=W3 所以△ADF≌△ABF(SAS), 故填27. 2 素养专练 数理极 1.6.1菱形的性质 7.如图6，四边形ABCD是菱形，AC,BD交于 点O,DH⊥AB于点H. 题型空间 1.已知四边形ABCD是菱形，其中AB= 4cm,则四边形ABCD的周长是 (1)若对角线AC=8cm,BD=6cm,求DH 动点问题求定解 A.5 cm B.8 cm 的长； C.12 cm D.16 cm (2)连接HO,求证：∠BOH=∠DAH, 2.如图1，菱形ABCD的对角线AC,BD交于 十⊙四川原妮妮文 点O,M是边AB的中点，点P在边BC上，且BP= 动点问题是以几何知识和图形为背景，渗入运 BM,将点M平移到点P,则平移的距离为( 动变化观点的一类问题.解决动点问题，有利于发 A.AB B.AB 展同学们的思维，对提高同学们的解题能力也大有 益处.这类问题通过仔细观察图形，分析、归纳与探 C.- D.7BD 究图形的变化规律，抓住图形运动变化中的不变量 和变化规律求解现将与菱形有关的动点问题列举 如下，供同学们参考. 例1如图1，已知平行四 边形ABCD中，AB=BC,BC 图1 10,∠BCD=60°，两顶点B,D 3.如图2，已知菱形ABCD的对角线AC=5 分别在相互垂直的直线上滑 BD=8,则菱形ABCD的面积为 动，两直线交于点O,连接OA, 4.如图3，在菱形ABCD 求OA的长的最小值. 中，AC与BD相交于点O,AB的 分析：推断出OA的长最小时的情况，根据“有 垂直平分线EF交AC于点F,连 1.6.2菱形的判定 一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形 接DF,若∠BAD=70°，则 1.如图1，以0为圆心，0A长为半径画弧分 ABCD是菱形，运用菱形的性质以及等边三角形的 ∠DFO的度数为 别交OM,ON于A,B两点，再分别以A,B为圆心， 性质可求出OA的长 5.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 以OA长为半径画弧，两弧交于点C,连接AC,BC, 解：过点A作AE⊥BD于点E,连接OE,如图 交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延 则四边形OACB一定是 1.当点A,0,E在一条直线上时，0A最短. 长线于点E.求证：四边形ACDE是平行四边形， A.平行四边形 B.菱形 因为四边形ABCD是平行四边形， C.矩形 D.无法确定 AB BC, 所以四边形ABCD是菱形 因为BC=10,∠BCD=60°， 所以AB=AD=10,∠BAD=60, 所以△ABD是等边三角形， 2.要判断一个四边形是否为菱形，可行的测 所以BD=10,所以DE=2BD=5. 量方案是 A.测量两组对边是否相等 根据勾股定理，得AE=√AD-DE=55. B.测量对角线是否垂直 因为∠B0D=90°，BD=10,所以E0=5, C.测量对角线是否互相平分 所以OA的最小值为： D.测量对角线交点到四条边的距离是否相等 0A=AE-E0=53-5 3.如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点 例2如图2，点P,Q分别 6.如图5，在菱形ABCD中，延长BA到点E,E,F分别是AB,AC边的中点，请你在△ABC中添 是菱形ABCD的边AD,BC上的 使得AE=AB,连接DE. 加一个条件：一，使得四边形AEDF是菱形. 两个动点，若线段PQ长的最大 (1)求证：△BDE为直角三角形； 4.如图3，在△ABC中，BA=BC,BD平分 (2)若DE=6cm,求0C的长 LABC交AC于点D,点E在线段BD上，点F在BD 值为85，最小值为8，求菱形 图2 的延长线上，连接AE,CE,AF,CF,且AE∥CF ABCD的边长. (1)求证：四边形AECF是菱形； 分析：连接AC,过，点A作AE⊥BC,交CB的延 (2)若BF=BA,AD=4,DF=2,求BF的长 长线于点E,由题意可得当，点P与，点A重合，点Q与 点C重合时，PQ有最大值，即AC=85,当PQ⊥ BC时，PQ有最小值，即直线AD与直线BC之间的 距离为8，即AE=8,由勾股定理可求解. 解：连接AC,过点A作AE⊥BC,交CB的延长 线于点E,如图2. 因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC. 因为线段PQ长的最大值为85，最小值为8 所以AC=8V5,AE=8. 根据勾股定理，得CE=√AC2-AE=16. 数理报社试题研究中心 在Rt△AEB中，AB2=BE2+AE, 参考答案见下期 即BC2=(16-BC)2+64.解得BC=10. 8.如图5，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE⊥BC于点 四边形CEDF的周长是 1.6能力达标自评卷 E,则AE的长是 三、解答题（本题共8小题，共72分） 48 B.6 C. D.12 17.(6分)如图14，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接 5 5 ◆数理报社试题研究中心 CP,AP.求证：PA=PC (答题时长120分钟，满分120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是 A.对角线互相垂直 B.对边相等 图6 C.对角相等 D.对角线相等 9.如图6，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，BE⊥AB,DF⊥CD 2.在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是 垂足分别为B,D.若AB=9cm,则EF的长是 ( A.BC B.BA C.BD D.CD 3.如图1，已知在△ABC中，AB=AC,将△ABC沿边BC翻折， A.2 cm B.6 cm C.33 cm D.93 2 cm 得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形 10.如图7，在△ABC中，∠ABC=90 ABDC是菱形的依据是 BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于 A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长 B.四条边都相等的四边形是菱形 线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 18.(6分)如图15，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,若 初 连接BG,DF若CF=6,AC=AF+2,则四 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 边形BDFG的周长为 AB∥CD,求证：四边形ABCD是菱形 中数学 A.9.5 B.10 C.12.5 D.20 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 湘 八 11.如图8，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，则∠BAD 级 图15 能 力 4.如图2，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为 标 CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为 自 A.6 B.12 C.24 D.48 年级能力达标自评卷 卷 5.如图3，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,将线段AB水 反1 平向右平移a个单位长度得到线段EF,当四边形ECDF为菱形时，a 12.如图9，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,只需添加 的值为 个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 A.1 C.3 D. (写出一个即可) 13.如图10，在菱形ABCD中，对角线AC,BD的长度分别为16和 19.(8分)如图16，在菱形ABCD中，E为AB边上一点，过点E 12,且交于点0，则△A0B的面积为 作EF∥BC,交BD于点M,交CD于点F.求证：CF=EM. 14.如图11，四边形ABCD为平行四边形，四边形BCEF为菱形， 图3 BF与CD交于点G,∠A=60°，∠BEC=22°，则∠BGC= 6.如图4，在菱形ABCD中，∠A=50°，DE⊥AB于点E,则 ∠BDE的度数为 ( A.25° B.35 C.40° D.50° 7.张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户前，张师傅 需要对4个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格 图11 冬图12 图13 的零件是 ( 15.如图12，菱形花坛ABCD的周长为80m,∠ABC=120°，沿 2cm入2cm 202 2 cm 110 着菱形的对角线修建两条小路AC和BD,则小路AC的长是 Q60° 60° 70° <60° 60° 2 cm 2 cm 16.如图13，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC,BC的 A B C D 平行线，交BC于点E,交AC于点F.若∠ACB=60°，CD=4√3，则