第29期 矩形-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（湘教版·新教材）

张血就器等护一喽盖·炒选丑刘 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 福。清眼用： 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 AE.AB-4iAC.3.DB-2.M.Mal渠PC:p制县店：i津浦流P 28期2版参考答案 .LBD.。店U-8型BM度能起P.8l图独丸)今0L(2 21 1.2.2平行四边形的判定 1.B;2.A;3.D 4.是 5.证明略. 的 6.证明略. .a0=2.滤小叶牌花 0nPE.培.CREA智智.ZL图虹)乡S(.2 20 20 7.(1)证明略； (2)130°. 1.3中心对称和 中心对称图形 C;2.B: 3.48 4.证明略。 5.证明略 1.4三角形的中位线定理 1.B:2.D3.C 4.4. 5.18 3福8CBAA记Dl.CAB.。02图址)%21.2 23 (海址：型海小BC型培示： AP时津衣滤计8B.CRAC: 22.(02)机图Le.世汉光副用业行叶池米。合E 28期3,4版参考答案 -、1.D:2.B;3.A 4.D;5.B;6.C 7.B;8.D;9.C 10.C 二、11.2；12.14； 13.AB=CD(答案不唯 14.4:15.4: 169 或10 三、17.图略 18.证明略。 19.4. 20.√13cm 21.(1)2; (2)略 (3)双Dm·AEn:华AAEP诺高锦BP国在粮州百汤想 22.(1)证明略； O州精石同可E锦自华圳县州:XEA.S市A安)((2 【)5A2-5.AE-3·滤德毅动以制： F.可含乐r,件图21-@收示： 4新B.DABA.热渠订F正.D-2图社)专21(.:2 24 (2)∠F=∠MCD 23.(1)证明略： 24.(1)证明略； (2)△DEG与△BFG全 等的情况出现了3次； 金热股282-32份。粮想想 第 -次时t=2,y=6: 第二次时1=4，y=6; 第 三次时t=5,y=5. © 张四实一器等>烨盖·腾丹当 数评括 2026年1月21日·星期三 初中数学 第 29期总第1173期 (湘教八年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 品味方法 BF,AC,若AD=AF,求证： 判定矩形 四边形ABFC是矩形. 分析：根据平行四边形 …把握三主线 的性质得到AB∥CD,AD= BC,利用平行线的性质和 图2 ⊙山西胡丽娜 主线一、有一个角是直角的平行四边形是 “AAS”判定△ABE兰△FCE,从而得到AB=CF, 矩形 由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC=AF, 分析：连接PC,判定四边形ECFP是矩形，得 例1如图1，在四边形 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可得四边 形ABFC是矩形， 到EF=PC,根据垂线段最短，可得当CP⊥AB ABCD中，∠A=∠C=90° 时，PC最小，根据等面积法求得PC的长，即可得 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,求证：四边形 到线段EF长的最小值 ABCD是矩形. 所以AB∥CD,AD=BC, 解：连接PC,如图4. 分析：连接BD,根据三 所以∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE. 因为PE⊥BC,PF⊥CA, 因为E为BC的中点，所以EB=EC. 角形全等的判定与性质得到AD=CB,得到四 所以∠PEC=∠PFC=90° r∠BAE=∠CFE, 边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定定理 又∠ACB=90° 在△ABE和△FCE中，∠ABE=∠FCE, 即可得到结论 所以四边形ECFP是矩形， EB EC. 证明：连接BD,如图1. 所以EF=PC, 所以△ABE≌△FCE(AAS), 所以当PC⊥AB时，PC的长最小， 「BD=DB, 在Rt△ABD和Rt△CDB中， 所以AB=CF, LAB CD, 即EF的长也最小 所以四边形ABFC是平行四边形 因为AC=2,BC=4 所以Rt△ABD≌Rt△CDB(HL), 因为AD=AF,所以BC=AF, 所以AD=CB, 所以AB=√22+4=25. 所以四边形ABFC是矩形. 所以四边形ABCD是平行四边形. 主线三、三个角是直角的四边形是矩形 因为AC·BC=2AB.PC, 因为∠A=90°， 例3如图3，在Rt△ABC中，AC=2,BC= 所以四边形ABCD是矩形. 4,P为斜边AB上一动点，PE⊥BC于点E,PF⊥ 所以PC=4C.BC=45 AB 主线二、对角线相等的平行四边形是矩形 CA于点F,则线段EF长的最小值为 例2如图2，在口ABCD中，E为BC的中 C.46 3 所以线段EF长的最小值为4：5 点，连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接 A.5 B.2 D. 5 故选C. 名师点睛： 所以BD=10cm, 2(∠ABC-∠DBC)=33, = 形影不离的 所以0D=)BD=5cm 所以∠A'EB=90°-∠A'BE=57. 66 小伙件” 因为点E,F分别是A0,AD的中点， 故选C. 所以BF=20D=2.5cm 三、矩形和全等三角形 ⊙湖南杨浪 例3如图3，EF过矩 矩形是特殊的平行四边形，在有关矩形的 故选D. 形ABCD对角线的交点O, 求值问题中，涉及到众多知识点，下面选取几例 二、矩形和折叠 且分别交AB,CD于点E,F, B 加以说明，供同学们参考。 例2如图2，将矩形纸 若矩形ABCD的面积是12， 一、矩形和勾股定理 片ABCD沿BE折叠，使点A 那么阴影部分的面积是 例1如图1，在矩形 落在对角线BD上的A'处 分析：根据矩形的性质和“ASA”可判定 ABCD中，对角线AC,BD相交 若∠DBC=24°，则∠A'EB 图2 △A0E≌△COF,可得S△AoE=SACOF,可得Sm瑟 于点O,点E,F分别是A0,AD 等于 的中点，连接EF,若AB= A.66 B.60° 6cm,BC=8cm,则EF的长是 C.579 D.489 解：因为四边形ABCD是矩形， A.2.2 cm B.2.3 cm 分析：由矩形的性质得∠A=∠ABC= 所以AB∥CD,OA=OC, C.2.4cm D.2.5 cm 90°，由折叠的性质得∠BA'E=∠A=90°， 所以∠EAO=∠FCO. 分析：根据矩形的性质得出∠ABC=90°， ∠A'BE=LABE=2(LABC-∠DBC)= 由对顶角相等，得∠AOE=∠COF BD=AC,BO=OD,根据勾股定理求出AC的 r∠EAO=∠FCO. 33°，根据“直角三角形的两个锐角互余”即可得 长，进而求出OD的长，最后根据三角形的中位 在△AOE和△C0F中， 0A=0C, 出答案 线定理即可求出EF的长， ∠AOE=∠COF 解：因为四边形ABCD是矩形， 解：因为四边形ABCD是矩形， 所以△AOE≌△COF(ASA) 所以∠A=∠ABC=90°. 所以∠ABC=90°，BD=AC,OB=0D. 所以S AADE=SAcOF, 由折叠的性质，得 因为AB=6cm,BC=8cm, 所以S阴影=SABn+S△cOF=S△BD+S△OE ∠BA'E=∠A=90°，∠A'BE=∠ABE 1 由勾股定理，得AC=√AB2+BC2 因为∠DBC=24°， =Sa40s=4S矩彩un=3. 10cm. 所以∠A'BE=∠ABE 故填3. 2 素养·专练 数理极 1.5.1矩形的性质 7.如图7，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB, 5.如图4，E,F是四边形ABCD的对角线AC 1.如图1，点O为矩形ABCD对角线AC与BD CD上的点，AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线 上的两点，且AF=CE,BE=DF,BE∥DE.若 的交点，若AC=6,则BD的长为 ( AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2LBAC. ∠BAD=90°，求证：四边形ABCD是矩形 A.1 B.2 C.3 D.6 (1)求证：OE=OF; (2)若BC=2,求AB的长 图1 图2 2.如图2，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于 图7 点O,E为AB的中点，连接OE,若∠ACD=30° 则∠A0E= () A.30°B.40° C.50°D.60° 3.“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变 新颜，如图3所示为一农村民居侧面截图，屋坡 AF,AG分别架在墙体的点B,C处，且AB=AC,侧 面四边形BDEC为矩形.若测得∠FBD=55°，则 ∠A= 6.如图5，在口ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,AC⊥AB,∠A0B=60°.E,F分别是0B, OD的中点，连接AE,EC,CF,FA.求证：四边形 AECF为矩形. 图3 图4 4.如图4，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8」 点E在边BC上，若EA平分∠BED,则EC= 5.如图5，在矩形ABCD中，点E在BC边上， AE=AD,DF⊥AE,垂足为F. (1)求证：DF=AB; (2)若∠FDC=30°，且.AB=4,求AD的长 + 1.5.2矩形的判定 + 图5 1.工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要 测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它 们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.这 7.如图6，四边形ABCD中，AD∥BC,∠A= 样做的依据是 ∠D=90°，点E是AD的中点，连接BE,将△ABE A.两组对边分别相等的四边形是矩形 沿BE折叠后得到△GBE,且点G在四边形ABCD B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 + 内部，延长BG交DC于点F,连接EF C.对角线相等的四边形是矩形 (1)求证：四边形ABCD是矩形； 6.如图6，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4, D.对角线相等的平行四边形是矩形 (2)若AB=6,BC=8,求DF的长 P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分 2.如图1，直角三角形ABC 别作AC和BD的垂线，垂足分别为E,F,求PE+ 的面积为4，点D是余斜边AB的 PF的值. 中点，过点D作DE⊥AC于点 E,DF⊥BC于点F,则四边形 DECF的面积为 A.1 B.2 C.2.5 D.3 3.如图2，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的 中点，点F,G在边BC上，且DG=EF.只需添加一 个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件 可以是 (写出一个即可) A 图2 图3 4.如图3，在△ABC中，AB=AC,点0是B0 的中点，CE∥OA,AE∥BC,连接0E,若OA=5, 数理报社试题研究中心 BC=24,则OE的长为 参考答案见下期 点A,E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长 1.5能力达标自评卷 是 三、解答题（本题共8小题，共72分） ◆数理报社试题研究中心 17.(6分)如图14，在☐ABCD中，AB=6,AC=10,AD=8.求 证：口ABCD是矩形. (答题时长120分钟，满分120分) 图6 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9.如图7，∠AOB=90°，OC平分∠AOB,PE⊥OA于点E,PF⊥ 1.如图1，四边形ABCD的对角线互相平分，要 使它成为矩形，需要添加的条件是 0C于点F,PG⊥0B于点G,则PE+0C的值是 OF ☒14 A.AB∥CD B.AD =BC A.1 B.2 C.√2 D.3 C.∠AOB=45 D.∠ABC=90° 10.如图8，在矩形ABCD中，点E为CD边 2.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 的中点，连接AE,过点E作EF⊥AE交BC于 A.对边平行且相等 B.对角相等 点F,连接AF.若∠BAF=a,则∠EFC的度数 C.对角线互相平分 D.对角线相等 是 ( ) 3.在下列条件中，能够判定口ABCD为矩形的是 图8 A.AB =AD B.AC⊥BD C.AB AC D.AC =BD A.a B.45°+号 4.两个矩形的位置如图2所示，若∠1=120°，则∠2= 初 C.45°-号 D.90°-x 初 为 ) 18.(6分)如图15，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC 中 警 A.30 B.759 C.609 D.150° 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 上，且BE=CF.求证：AF=DE. 数 11.如图9，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB= 学 70°，则∠ACB的大小为 湘 八 年 级 图3 能 5.如图3，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向 左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是 ( A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 12.如图10，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,AC与BD交于点 评 力达标自评 0,则△B0C与△D0C的周长之差为 卷 B.对角线BD的长度减小 卷 C.四边形ABCD的面积不变 13.如图11，矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分 D.四边形ABCD的周长不变 别交AD,BC于点E,F,若AB=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为 19.(8分)如图16，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并 6.如图4，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,若△AB0的面 延长，交DA的延长线于点F. 积为2，则矩形ABCD的面积为 (1)求证：△AEF≌△BEC: A.4 B.6 C.8 D.10 (2)若CD=4,∠F=30°，求CF的长. 14.如图12，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上 4 点，PE⊥MC,PF⊥MB,当AB,BC满足条件 时，四边形 7.如图5，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD PEMF为矩形. 交BC于点E,若∠EA0=15°，则∠B0E的度数为 ( 15.如图13，△ABC中，AB=AC,AD为BC上 A.85° B.80 C.759 D.70° 的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F,交CA 8.如图6，A,B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点 的延长线于点G.已知EF=2,EG=3,则AD的长 都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A,B为顶点的格点矩形共 为 可以画出 16.矩形ABCD中，AB=8,AD=7,点E在AB A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 边上，AE=5.若点P是矩形ABCD边上一点，且与 图13八年级数学湘教第27~30期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 八年级数学湘教第27~30期(2026年1月)】 27期2版 所以AB=DF,BE=AD, 1.1.1多边形的认识 ∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF, 1.C;2.C;3.A. 即∠ABE=∠FDA. 4.原多边形纸片的边数为3或4或5.图略. AB FD. 1.1.2多边形的内角和 在△ABE和△FDA中， ∠ABE=∠FDA, 1.C:2.C:3.18:4.10. BE DA, 5.解：因为AB∥CD,∠B=70°， 所以△ABE≌△FDA(SAS), 所以∠C=180°-∠B=110°. 所以AE=AF 因为五边形的内角和为： 6.解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， (5-2)×180°=540°， ∠B=60°， 所以x°+120°+140°+70°+110°=540°， 所以AD∥BC,∠D=∠B=60°， 解得x=100, 所以∠BAD=180°-∠B=120° 6.解：(1)60： 因为AE⊥BC,AF⊥CD (2)因为CE∥AD,∠D=140°， 所以∠AEB=∠AFD=90°， 所以∠DCE=180°-∠D=40° 所以∠BAE=90°-∠B=30°， 因为CE平分∠BCD, ∠DAF=90°-∠D=30°， 所以∠BCD=2∠DCE=80°， 所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF 所以∠B=360°-∠A-∠BCD-∠D =60° =40°. (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BC=6, 1.1.3多边形的外角和 所以AD=BC=6. 1.A:2.D;3.A:4.40°；5.72 由(1)，知∠DAF=30°， 6.解：设这个正多边形的一个外角的度数为x°. 所以DF=AD=3. 根据题意，得x+多=180， 由勾股定理，得AF=√AD-DF=33. 解得x=72, 27期3,4版 所以这个正多边形的边数为： 一、选择题 360°÷72°=5. 题号12345678910 1.2.1平行四边形的性质 答案BCAC A CB BAB 1.c:2.D:3:416 提示： 5.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 10.解：连接EF,如图1. 所以AB=CD,BC=AD ∠ABC=∠ADC. 因为△BCE和△CDF都是等边三角形， D 所以CD=DF,BC=BE, 图1 ∠EBC=∠CDF=6O°， 因为四边形ABCD为平行四边形， 八年级数学湘教 第27~30期 所以AB=CD,AB∥CD 因为m是正整数，所以m=9. 所以∠BEC=∠FCE. 所以他重复加的那个角的度数是： 因为Q是CE的中点，所以EQ=CQ. 1280°-(9-2)×180°=20°. ∠BQE=∠FQC, 20.解：(1)六边形ABCDEF的内角和为： 在△BEQ和△FCQ中 EO=CO (6-2)×180°=720 ∠BEQ=∠FCQ, (2)因为六边形ABCDEF的内角和为720°， 所以△BEQ≌△FCQ(ASA),所以BE=CF ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=470°， 因为BE∥CF, 所以∠GBC+∠C+∠CDG=720°-470°=250°， 因为四边形BCFE为平行四边形， 所以∠G=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG)=110° 所以S△BEF=2SAc=14cm2. 21.解：因为四边形ABCD是平行四边形，AB=4, 因为AB-BE=CD-CF,所以AE=FD. 所以CD=AB=4,AD∥BC 因为AE∥FD, 因为∠ACB=30°， 所以四边形ADFE为平行四边形， 所以∠DAC=∠ACB=30. 所以S△Pr=SAAPD=3cm2, 根据折叠的性质，得 所以阴影部分的面积为： AE=AD,CD=CE,∠ACD=90°， SARER SAPEF =14+3=17(cm2). 所以∠D=90°-∠DAC=60°， 二、填空题 所以△ADE是等边三角形， 11.2n;12.118°；13.72°；14.54；15.30°；16.6. 所以AD=AE=DE=2CD=8, 三、解答题 所以△ADE的周长为：8×3=24. 17.解：如图2，连接BD. 22.(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边形， 因为∠BCD=100°， AC=2,BD=4, 所以∠CBD+∠CDB 所以0A=4C=1,0B=BD=2 =180°-∠BCD =180°-1009 B 又因为AB=3,所以OA2+AB2=OB, 图2 =80° 所以△BAO为直角三角形，且∠BA0=90°， 因为四边形内角和为360°， 所以AB⊥AC. 所以∠A+∠ABC+∠CDE+∠E (2)解：由(1)知△BAC为直角三角形，且∠BAC=90°， =360°-（∠CBD+∠CDB) 所以BC=AB+AC. =360°-80° 因为AB=√3，AC=2, =280°. 所以BC=√AB2+AC=√(3)2+22=万. 18.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 因为AE⊥BC,AB⊥AC 所以AD∥BC,AD=BC, 所以SBARCD=AB·AC=AE·BC, 所以∠AEB-∠DAE. 所以AE=AB·AC=22 因为AB=AE, BC 7 所以∠B=∠AEB, 23.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠B=∠DAE. 所以AB=CD,AB∥CD. AB =EA, 因为CE=AB, 在△ABC和△EAD中 ∠B=∠DAE, 所以CE=CD, BC AD. 所以∠CDE=∠CED 所以△ABC≌△EAD(SAS). =2180-∠DcE) 19.解：设这个多边形的边数是m 1 根据题意，得1280°-180°<(m-2)×180°<1280°， =90°-2∠DCE, 1 解得8)<m<9 9 所以LAD=∠CDE=90-∠DCE 八年级数学湘教第27~30期 (2)解：延长DA,FE交于点M,图略. 28期2版 因为四边形ABCD是平行四边形， 1.2.2平行四边形的判定 所以AD∥BC, 1.B;2.A;3.D;4.是. 所以∠M=∠EFB. 5.证明：因为a2+b2+c2+d=2ac+2bd, 因为E是AB的中点， 所以(a-c)2+(b-d)2=0, 所以AE=BE. 所以a=c,b=d, 由对顶角相等，得∠AEM=∠BEF 所以四边形ABCD是平行四边形. 在△AEM和△BEF中， 6.证明：由对顶角相等，得∠AOE=∠C0D. r∠M=∠EFB, ∠EAO=∠DCO. ∠AEM=∠BEF, 在△AOE和△COD中 A0=C0 AE BE, ∠AOE=∠COD. 所以△AEM≌△BEF(AAS), 所以△AOE≌△COD(ASA), 所以ME=EF,AM=BF=2, 所以OE=OD, 所以DM=AD+AM=6. 所以四边形AECD是平行四边形. 因为DF⊥BC,所以∠DFC=90°， 7.(1)证明：因为BD是△ABC的角平分线， 所以∠ADF=90°. 所以∠CBD=∠EBD. 在Rt△MDF中，由勾股定理，得 因为ED∥BC, MF=√DM+DF=62, 所以∠CBD=∠EDB, 所以EF=MF=32. 所以∠EBD=∠EDB, 所以BE=ED. 24解：(I)因为BP平分∠ABC,所以∠CBP=∠ABC 因为BE=CF,所以ED=CF 因为CP平分△ABC的外角∠ACD, 又ED∥FC, 所以∠DCP=7∠ACD 所以四边形EFCD是平行四边形. (2)解：因为BD是△ABC的角平分线，∠ABC=60°， =LA+∠ABC 所以∠ABD=号∠ABC=30 =A+ABC 因为∠ADB=100°， 在△BCP中，由三角形的外角性质，得 所以∠A=180°-∠ABD-∠ADB=50°. LDCP=∠CP+∠P=7∠ABC+LP, 因为四边形EFCD是平行四边形， 所以EF∥AC, 所以分LA+子∠ABC=方LABC+LP, 所以∠AEF=180°-∠A=130. 1.3中心对称和中心对称图形 所以∠P=号∠A=分×40=20 1.C;2.B;3.48. 故答案为20°. 4.证明：因为△AB0与△CD0关于O点成中心对称， (2)因为∠ABC+∠DCB=360°-(a+B), 所以OB=OD,0A=OC,∠D0F=∠BOE. 而∠ABC+(180°-∠DCE) 因为AF=CE, =360°-(a+B) 所以OA-AF=OC-CE,即OF=OE, =2∠PBC+(180°-2∠ECP)〉 所以△DOF≌△BOE(SAS), =180°-2（∠ECP-∠PBC) 所以FD=EB. =180°-2∠P, 5.证明：因为△ADE和△FCE关于点E成中心对称， 所以360°-(a+B)=180°-2∠P, 所以∠ADE=∠FCE,AD=CF,DE=2CD, 所以2∠P=a+B-180°. 所以AD∥CF. 1 所以∠P=2(a+B)-909 因为D是AB的中点， 八年级数学湘教 第27~30期 所以BD=AD,所以BD=CF, 所以△BCM≌△DNM, 所以四边形DBFC是平行四边形， 所以NM=CM=CN,DN=BC=3, 所以CD=BF,所以DE=BF 所以AN=AD-DN=3, 1.4三角形的中位线定理 所以AN=BC. 1.B;2.D;3.C;4.4. 因为AD∥BC, 5.解：因为P是BD的中点，E是AB的中点，F是CD的中 所以四边形ABCV是平行四边形， 点， 所以CN=AB=5,所以CM=多 所以PE=AD,P=BC 二、填空题 因为AD=BC,所以PE=PF, 11.2;12.14;13.AB=CD(答案不唯一)； 所以∠PFE=∠PEF=18°. 144:15.4:169或10 28期3,4版 一、选择题 提示： 16.解：因为点P的速度为每秒1cm, 题号 1 2345678910 所以AP=tcm. 答案DBADB C BD CC 因为点Q的速度为每秒2cm, 提示： 所以CQ=2tcm. 8.因为△ABC与△CDA关于点0成中心对称， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB=CD,AD=BC, 所以AP∥BQ, 所以四边形ABCD是平行四边形， 当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形， 所以点O就是口ABCD的对称中心 所以t=10-21或t=2t-10, ①点M和点N,点B和点D分别关于点O对称，正确： ②直线BD必经过点O,正确； 解得1=号或4=10 ③四边形ABCD是中心对称图形，正确： ④四边形DMOC与四边形BNOA的面积相等，正确： 综上，满足条件的：的值为号或10， ⑤△AOM与△CON关于点O成中心对称，正确。 三、解答题 故正确的有5个. 17.解：(1)如图2所示，点0即为新作. 9.解：根据三角形的中位线定理可知，第2个三角形的周 长C,与第1个三角形的周长C,的关系为 1 同理可得，C3= 1 20=2×1=2 图2 (2)如图3所示，△A'B'C'即为所作 2024 所以第2026个三角形的周长为Cs=(宁) 1O.解：延长CM交AD于点N,如 图1所示. 图3 因为点M是线段BD的中点， 18.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以BM=DM. 图1 所以OA=OC,OB=OD. 因为AD∥BC, 因为AE=CF, 所以∠CBM=∠NDM,∠BCM=∠DNM, 所以OA+AE=OC+CF,即OE=OF. 八年级数学湘教 第27~30期 因为BG=DH, 22.证明：(1)由题意知△ABM≌△ACM, 所以OB-BG=OD-DH,即OG=OH, △ABE≌△DCE, 所以四边形EGFH是平行四边形. 所以AB=AC,AB=CD, 19.解：延长EP交AC于点G,如图4. 所以AC=CD. 由题意，得AB=AC=4, (2)解：∠F=∠MCD.理由如下： ∠A=∠B=∠C=60. 由(1)，得∠BAE=∠CAE=∠CDE, 又PE∥AB, ∠CMA=∠BMA. 所以∠PEC=∠B=60°， 图4 因为∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF, ∠PGF=∠A=60°， 所以∠CDE=∠MPC,∠PMF=∠CMA, 所以△CEG是等边三角形，即EG=CG 所以∠MPC-∠PMF=∠CDE-∠CMA, 又PF∥BC, 即∠F=∠MCD. 所以∠PFG=∠C=60°，∠GPF=∠PEC=60°， 23.(1)证明：因为AC=AE,BC=BE, 所以△PGF是等边三角形，即PG=PF, 所以AB⊥CE,∠AEC=∠ACE,∠BEC=∠BCE, 所以CG=PE+PF. 所以∠AEC+∠BEC=∠ACE+∠BCE, 又PD∥AC, 即∠AEB=∠ACB. 所以四边形ADPG是平行四边形，所以PD=AG, 因为∠AEB=∠CAD, 所以PD+PE+PF=AG+CG=AC=4, 所以∠ACB=∠CAD, 即三条小路的总长度为4. 所以BC∥AD. 20.解：取BC的中点G,连接EG,FG, 因为CD⊥CE,所以AB∥CD, 如图5. E 所以四边形ABCD是平行四边形. 因为E,F分别是AB,CD的中点， (2)解：过点A作AG⊥CD于 AC 4 cm,BD =6 cm, G 图5 点G,如图8. 所以BG∥AC,EG=AC=2cm, 所以AG∥CF. 又AB∥CD,所以CF=AG. FG∥BD,FG=BD=3em 根据勾股定理，得 AC2 CC2 AD2 DG2, 因为AC⊥BD,所以EG⊥FG, 即42-(3-DG)2=32-DG, 所以∠EGF=90°. 根据勾股定理，得EF=√EG+FG=√I3cm. 解得0G=子 21.解：(1)如图6，与△ABC成中心对称的三角形有 所以CF=AG=√AD-DC=45 31 △CGA,△DFG,共2个.故答案为2 因为AC=AE,AB⊥CE, 所以CE=2CF=8,5 3 24.(1)证明：因为AD=BC,AB=CD, 所以四边形ABCD是平行四边形， 图6 所以AD∥BC. (2)(i)如图7-①所示（答案不唯一）： (2)解：根据题意，知BG=y,DE=t, (iⅱ)如图7-②所示； 则DG=12-y (ⅲ)如图7-③所示（答案不唯一）； 当0≤1≤氵时，CF=3,则BF=8-3边 因为AD∥BC,所以∠DBC=∠ADB. 若△DEG≌∠BFG,则BF=DE,BG=DG, ① ② ③ 即=8-3解得=2， 图7 y=12-y, ly=6. 5 八年级数学湘教第27~30期 若△DEG≌△BGF,则BF=DG,DE=BG, =0A·(PE+PP) 即，/s6, 解得2（不合题意，金去） 8-31=12-y,l1=-2. =方x(PE+PP) 1 当弩<1≤9时，BF=3-8 =3. 若△DEG与△BFG全等，则BF=DE,BG=DG或BF= 所以PE+P=号 DG.BG=DE, 7.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 即=3-8或 3t-8=12-y, 所以AB∥CD y=12-y,y=i, 所以∠BAC=∠FCO. 解得=4，成=5， 或{ 由对顶角相等，得∠AOE=∠COF. Ly =6 Ly =5. 又AE=CF, 综上，△DEG与△BFG全等的情况出现了3次：第一次时 所以△AOE≌△COF, =2第二次时1=4，y=6:第三次时1=5，y=5 所以OE=OF. y=6: (2)解：连接OB,图略。 29期2版 因为△AOE≌△COF, L.5.1矩形的性质 所以OA=0C, 1.D:2.D;3.110;4.43. 即O为矩形ABCD对角线的交点， 5.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以OA=OB,所以∠BAC=∠ABO. 所以AD∥BC,∠B=90°， 因为BE=BF,OE=OF, 所以∠DAE=∠AEB. 所以BO⊥EF. 因为DF⊥AE, 在Rt△BEO中，∠BEF+∠AB0=90. 所以∠AFD=90°=∠B. 因为∠BEF=2∠BAC, 又DA=AE. 所以2∠BAC+∠BAC=90°， 所以△DFA兰△ABE, 所以∠BAC=30°. 所以DF=AB 因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°. (2)解：因为AB=4,所以DF=4. 因为BC=2,所以AC=2BC=4. 因为四边形ABCD是矩形， 根据勾股定理，得AB=√AC-BC2=25. 所以∠ADC=90°. 1.5.2矩形的判定 因为∠FDC=30, 1.D:2.B: 所以∠ADF=∠ADC-∠FDC=6O°， 3.DE=FG(答案不唯一)；4.13. 所以∠DAF=90°-∠ADF=30°， 5.证明：因为BE∥DF, 所以AD=2DF=8. 所以∠DFC=∠AEB, 6.解：连接OP,图略. 所以180°-∠DFC=180°-∠AEB, 因为四边形ABCD是矩形， 即∠DFA=∠BEC 所以∠ABC=90°，OA=0C=0B=OD. 又DF=BE,AF=CE, 因为AB=3,BC=4, 所以△AFD≌△CEB. 所以AC=√AB2+BC=5, 所以∠DAC=∠BCA,AD=CB, 所以AD∥BC, 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以0A=0D=子， 又∠BAD=90°， 所以SAAOD=S△oP+S△D0P 所以四边形ABCD是矩形， 6.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA=OC,OB=OD. 八年级数学湘教 第27~30期 因为E,F分别是OB,OD的中点， 又因为∠DEG=∠CEF, 所以0E=20B,0F=20D. 所以△DEG≌△CEF(ASA), 所以∠G=∠EFC,EG=EF 所以OE=OF, 因为AE=AE,∠AEF=∠AEG B 所以四边形AECF是平行四边形. =90°， 因为AC⊥AB,∠AOB=60°， 所以△AEF≌△AEG(SAS), 所以∠AB0=30°， 所以∠AFE=∠G,所以∠AFE=∠EFC, 所以0A=0B=0B, 所以∠BFC=号∠AFC=(90+a)=450+受 所以AC=EF, 二、填空题 所以四边形AECF为矩形 7.(1)证明：因为AD∥BC, 1.359:122:13.6:144=280:15.子 所以∠D+∠C=180°. 16.52或45. 因为∠A=∠D=90°， 提示： 所以∠C=∠A=∠D=90°， 16.解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=90°. 所以四边形ABCD为矩形. 分两种情况： (2)解：根据折叠的性质，得 当AP=AE=5,点P在边AD上时，如图2所示. ∠BGE=∠A=90°，BG=AB=6,AE=GE. 因为∠BAD=90°， 所以∠EGF=180°-∠BGE=90°. 所以PE=√AP2+AE=√52+52=5,2； 因为E是AD的中点， 所以AE=DE,所以DE=GE. 又EF=EF,所以Rt△DEF≌Rt△GEF(HL), 所以DF=GF, 所以BF=BG+GF=6+DF E 因为四边形ABCD是矩形， 图2 图3 所以CD=AB=6. 当PE=AE=5,点P在边BC上时，如图3所示 在Rt△BCF中，根据勾股定理，得 因为BE=AB-AE=8-5=3,∠B=90°， BC2+CF2=BF2 所以PB=√PE-BE=V52-32=4, 即82+(6-DF)2=(6+DF)2, 所以底边AP=√AB2+PB=82+4=45. 解得DF=分 8 综上，等腰三角形AEP的底边长是52或45. 29期3,4版 三、解答题 一、选择题 17.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以BC=AD=8. 题号12345678910 因为AB=6,AC=10,所以AC2=AB2+BC2, 答案DDD C CC C D C B 所以∠B=90°，所以口ABCD是矩形 提示： 18.证明：因为四边形ABCD是矩形， 10.解：因为四边形ABCD是矩形， 所以AB=DC,∠B=∠C=90°. 所以∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°， 因为BE=CF, 因为∠BAF=a,所以∠AFB=90°-a, 所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE, 所以∠AFC=180°-∠AFB=90°+a. 所以△ABF≌△DCE(SAS), 如图1，分别延长FE,AD交于点G, 所以AF=DE. 则∠EDG=90°=∠C, 19.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 因为点E为CD边的中点， 所以AD∥BC,所以∠F=∠BCE. 所以DE=CE. 因为E是AB的中点，所以AE=BE. 八年级数学湘教 第27~30期 又∠AEF=∠BEC,所以△AEF≌△BEC(AAS). (2)解：四边形ABDE是平行四边形.证明如下： (2)解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90. 由(1)知，四边形ADCE为矩形， 又CD=4,∠F=30°，所以CF=2CD=8. 所以AE=CD,AC=DE. 20.解：因为矩形ABCD≌矩形AEFG, 又AB=AC,BD=CD,所以AB=DE,AE=BD. 所以AB=AE=1,∠DAB=∠FEA=90°，AD=BC=2. 所以四边形ABDE是平行四边形. 所以∠ABE=∠AEB,∠ABE+∠ADB=90°， (3)解：DF∥AB,DF=AB ∠AEB+∠DEF=180°-∠FEA=90°， 所以∠DEF=∠ADB,所以EH=DH. 24.解：(1)由折叠的性质，得AF=AB=3. 在Rt△AEH中，根据勾股定理，得EH+AE=AH, 因为AD=5,所以FD=AD-AF=5-3=2. 即(2-A2+1=AF,解得A=子 (2)若点G落在线段FD上，如图5所示. G D 21.解：线段MN的长为定值，且MN= 2 理由如下： E 图5 如图4，连接CD,过点C作CE1CCE 由折叠的性质，得FG=AF=AB=x, BD,交BD的延长线于点E,则∠E= D 所以FD=AD-AF=5-x, 90° 所以DG=FD-FG=5-2x. 因为CA⊥AB,DB⊥AB, 因为2FD=3DG,所以2(5-x)=3(5-2x),解得x=4 5 所以∠A=∠B=90°， 图4 所以四边形ABEC是矩形， 若点G落在线段FD的延长线上，如图6所示. 所以BE=AC=3,CE=AB=4, DG 所以DE=BE-BD=3-2=1, 所以CD=√CE2+DE=√42+1产=√7 因为M,N分别是PC,PD的中点， 图6 所以MN是△CDP的中位线， 由折叠的性质，得FG=AF=AB=x, 所以w=}0= 所以FD=AD-AF=5-x, 所以DG=FG-FD=x-(5-x)=2x-5. 22.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 因为2FD=3DG,所以2(5-x)=3(2x-5),解得x= 25 所以AE∥BC.又CE∥BD, 8 所以四边形BCED是平行四边形，所以CE=BD. 综上✉的值为子皮瓷 又CE=AC,所以AC=BD, 所以四边形ABCD是矩形 (3)如图7，由题意可知AF=AB=n,EF=AB=n, (2)解：因为四边形ABCD是矩形， DG 所以∠BAD=90°，BC=AD=3. H 根据勾股定理，得BD=√AB+AD=5. B E 所以四边形BCED的周长为：2(BC+BD)=16. 图7 23.(1)证明：因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线， 所以FD=AD-AF=m-n, 所以AD⊥BC,∠CD=分∠BAC. 所以S%==EF·F=2a(m-m), 所以∠ADC=90°. S四边形ABCD=AD·AB=mn. 因为AW为△ABC外角∠CAM的平分线， 因为S四边形ABGD=7S△HFE, 所以∠CAN=2LCMM, 所以mn=7×2n(m-n),整理，得5m=7m 所以∠DAE=∠CAD+∠CAN=90 30期2版 又因为CE⊥AN,所以∠AEC=90°. 1.6.1菱形的性质 所以四边形ADCE为矩形. 1.D:2.C:3.204.70°. 八年级数学湘教 第27~30期 5.证明：因为四边形ABCD是菱形， 又BD⊥AC,所以四边形AECF是菱形. 所以AB∥CD,AC⊥BD. (2)解：因为四边形AECF是菱形， 因为DE⊥BD, 所以DE=DF=2. 所以DE∥AC, 在Rt△ADB中，由勾股定理，得 所以四边形ACDE是平行四边形. AD2+BD2=AB,即42+(2+BE)2=(4+BE)2, 6.(1）证明：因为四边形ABCD是菱形， 解得BE=1,所以BF=5. 所以AB=AD. 30期3,4版 所以∠ABD=∠ADB. 一、选择题 因为AE=AB,所以AE=AD, 题号12345678910 所以∠E=∠ADE, 答案ACBCBACACD 所以2∠ADB+2∠ADE=180°， 提示： 所以∠ADB+∠ADE=90°， 10.解：因为AG∥BD,BD=FG, 所以△BDE为直角三角形. 所以四边形BGFD是平行四边形， (2)解：因为四边形ABCD是菱形， 因为CF⊥BD,所以CF⊥AG, 所以OA=OC,OB=OD. 因为AE=AB, 又因为点D是AC的中点，所以BD=DF= 所以0C=01=号DE=3m 所以四边形BGFD是菱形 设AF=x,则AC=x+2, 7.(1)解：因为四边形ABCD是菱形， 在Rt△ACF中，∠CFA=90°，FC=6, 所以4AC1BD,0A=分AC=4em, 所以AF2+CF2=AC2,即x2+62=(2+x)2, OB=BD =3 om. 解得x=8,故AC=10. 故四边形BDFG的周长=4BD=2×10=20. 根据勾股定理，得 二填空题 AB=√/OA2+OB2=5cm. 11.60°；12.AB=AD(答案不唯一)：13.24：14.76； 因为S装装m=4C~BD=AB·D, 15.203;16.16. 提示： 所以DH=4C·BD-24 cm. 2AB 5 16.连接EF交CD于点O,如右图. (2)证明：因为四边形ABCD是菱形， 因为DE∥AC,DF∥BC, 所以OB=OD,∠DAH=2∠OAB, 所以四边形CEDF是平行四边形. 所以OH=OB, 因为CD是△ABC的角平分线， 所以∠OHB=∠OBH, 所以∠FCD=∠ECD. 所以∠B0H=180°-2∠OBH. 因为DE∥AC,所以∠FCD=∠CDE, 因为∠OAB=90°-∠OBH, 所以∠ECD=∠CDE,所以CE=DE, 所以∠DAH=180°-2∠OBH. 所以四边形CEDF是菱形， 所以∠BOH=∠DAH. 所以CD1EF,LECD=2∠ACB=30, 1.6.2菱形的判定 1.B;2.D;3.AB=AC(答案不唯一) 0c=2cD=25 4.(1)证明：因为AE∥CF, 在Rt△COE中，由勾股定理，得CO2+OE2=CE2. 所以∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD. 因为BA=BC,BD平分∠ABC, 又0E=CB,所以CB=4, 所以BD⊥AC,AD=CD, 所以四边形CEDF的周长是16. 所以△AED≌△CFD(AAS), 三、解答题 所以AE=CF, 17.证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以四边形AECF是平行四边形. 所以AB=BC,∠ABP=∠CBP. 八年级数学湘教 第27~30期 又BP=BP,所以△ABP≌△CBP(SAS). 所以PA=PC. 所以PE=BP=2L=D0, 所以四边形PEQD是平行四边形. AB AD. 18.证明：在△ABC和△ADC中 因为AB=4,所以BD=8,所以DP=8-4. AC =AC. 当DP=PE时，四边形PEQD为菱形， BC DC. 所以△ABC≌△ADC(SSS),所以∠BAC=∠DAC. 所以8-4“=2，解得1=号 因为AB∥CD,所以∠BAC=∠DCA, 23.(1)证明：因为D0=A0,E0=C0, 所以∠DCA=∠DAC,所以AD=CD. 所以四边形AEDC是平行四边形. 所以AB=CB=CD=AD. 因为四边形ABC0是矩形，所以∠AOC=90°， 所以四边形ABCD是菱形. 所以A0⊥OC,即AD⊥EC, 19.证明：因为四边形ABCD是菱形， 故四边形AEDC是菱形. 所以AB∥CD,∠ABD=∠CBD. (2)解：因为四边形AEDC是菱形，∠AED=60°， 因为EF∥BC, 所以∠AE0=30°. 所以四边形BCFE是平行四边形，∠EMB=∠CBD, 因为∠A0E=90°，AE=2, 所以BE=CF,∠ABD=∠EMB,所以BE=EM, 所以CF=EM. 所以0A=分4北=1 20.证明：因为∠BAF=∠DAE, 所以E0=AE2-OA=√22-1卫=√5， 所以∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF, 所以CE=2E0=23,AD=20A=2, 即∠BAE=∠DAF. 故5em=40:CE=分×2x2万=25 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠B=∠D. 又BE=DF,所以△ABE≌△ADF(AAS), 24.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=AD, 所以B0=DO. 所以四边形ABCD是菱形. 又因为BD⊥AC,垂足为点O, 21.(1)证明：因为点E是CD的中点，所以CE=DE. 所以AC是BD的垂直平分线， 因为CF∥BD,所以∠ODE=∠FCE. 所以AB=AD,故口ABCD是菱形 (2)①证明：因为四边形ABCD是平行四边形， ,∠ODE=∠FCE, 在△ODE和△FCE中， AD =5.AC =8,BD =6. DE CE, I∠DEO=∠CEF, 所以D0=B0=BD=3,4A0=C0=74C=4 所以△ODE≌△FCE(ASA). 因为32+42=25=52， (2)解：四边形ODFC为矩形.证明如下： 所以D0+AO=AD, 因为△ODE≌△FCE,所以OE=FE. 所以△AOD是直角三角形，且∠AOD=90°， 又因为CE=DE, 所以AC⊥BD,故口ABCD是菱形 所以四边形ODFC为平行四边形 ②解：因为四边形ABCD是菱形， 因为四边形ABCD为菱形， 所以∠ACB=∠ACD. 所以AC⊥BD,即∠D0C=90°， 所以四边形ODFC为矩形. 因为∠E=号∠ACD,所以∠E=之∠ACB 2.解：四边形PEQD能够成为菱形，此时1=手 因为∠ACB=∠E+∠COE,所以∠E=∠COE, 所以C0=CE=4,所以BE=9, 理由如下： 所以BC:BE=5:9, 因为四边形ABCD是矩形， 1 所以∠A=∠C=90°，AD∥BC. 所-影三X34。 5 SAOBE 所以∠PBE=∠ADB=30°，BC⊥CD. 4 根据题意，得BP=4t,DQ=2t. 所以SOBE=5 因为PE⊥BC,所以PE∥CD,∠BEP=90°， 10