第28期 平行四边形的判定、中心对称和中心对称图形、三角形的中位线定理-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（湘教版·新教材）

八年级数学湘教第27~30期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 八年级数学湘教第27~30期(2026年1月)】 27期2版 所以AB=DF,BE=AD, 1.1.1多边形的认识 ∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF, 1.C;2.C;3.A. 即∠ABE=∠FDA. 4.原多边形纸片的边数为3或4或5.图略. AB FD. 1.1.2多边形的内角和 在△ABE和△FDA中， ∠ABE=∠FDA, 1.C:2.C:3.18:4.10. BE DA, 5.解：因为AB∥CD,∠B=70°， 所以△ABE≌△FDA(SAS), 所以∠C=180°-∠B=110°. 所以AE=AF 因为五边形的内角和为： 6.解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， (5-2)×180°=540°， ∠B=60°， 所以x°+120°+140°+70°+110°=540°， 所以AD∥BC,∠D=∠B=60°， 解得x=100, 所以∠BAD=180°-∠B=120° 6.解：(1)60： 因为AE⊥BC,AF⊥CD (2)因为CE∥AD,∠D=140°， 所以∠AEB=∠AFD=90°， 所以∠DCE=180°-∠D=40° 所以∠BAE=90°-∠B=30°， 因为CE平分∠BCD, ∠DAF=90°-∠D=30°， 所以∠BCD=2∠DCE=80°， 所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF 所以∠B=360°-∠A-∠BCD-∠D =60° =40°. (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BC=6, 1.1.3多边形的外角和 所以AD=BC=6. 1.A:2.D;3.A:4.40°；5.72 由(1)，知∠DAF=30°， 6.解：设这个正多边形的一个外角的度数为x°. 所以DF=AD=3. 根据题意，得x+多=180， 由勾股定理，得AF=√AD-DF=33. 解得x=72, 27期3,4版 所以这个正多边形的边数为： 一、选择题 360°÷72°=5. 题号12345678910 1.2.1平行四边形的性质 答案BCAC A CB BAB 1.c:2.D:3:416 提示： 5.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 10.解：连接EF,如图1. 所以AB=CD,BC=AD ∠ABC=∠ADC. 因为△BCE和△CDF都是等边三角形， D 所以CD=DF,BC=BE, 图1 ∠EBC=∠CDF=6O°， 因为四边形ABCD为平行四边形， 八年级数学湘教 第27~30期 所以AB=CD,AB∥CD 因为m是正整数，所以m=9. 所以∠BEC=∠FCE. 所以他重复加的那个角的度数是： 因为Q是CE的中点，所以EQ=CQ. 1280°-(9-2)×180°=20°. ∠BOE=∠FOC. 20.解：(1)六边形ABCDEF的内角和为： 在△BEQ和△FCQ中 EO=CO (6-2)×180°=720 ∠BEQ=∠FCQ, (2)因为六边形ABCDEF的内角和为720°， 所以△BEQ≌△FCQ(ASA),所以BE=CF ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=470°， 因为BE∥CF, 所以∠GBC+∠C+∠CDG=720°-470°=250°， 因为四边形BCFE为平行四边形， 所以∠G=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG)=110° 所以S△BEF=2SAc=14cm2. 21.解：因为四边形ABCD是平行四边形，AB=4, 因为AB-BE=CD-CF,所以AE=FD. 所以CD=AB=4,AD∥BC 因为AE∥FD, 因为∠ACB=30°， 所以四边形ADFE为平行四边形， 所以∠DAC=∠ACB=30. 所以S△Pr=SAAPD=3cm2, 根据折叠的性质，得 所以阴影部分的面积为： AE=AD,CD=CE,∠ACD=90°， SARER SAPEF =14+3=17(cm2). 所以∠D=90°-∠DAC=60°， 二、填空题 所以△ADE是等边三角形， 11.2n;12.118°；13.72°；14.54；15.30°；16.6. 所以AD=AE=DE=2CD=8, 三、解答题 所以△ADE的周长为：8×3=24. 17.解：如图2，连接BD. 22.(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边形， 因为∠BCD=100°， AC=2,BD=4, 所以∠CBD+∠CDB 所以0A=4C=1,0B=BD=2 =180°-∠BCD =180°-1009 B 又因为AB=3,所以OA2+AB2=OB, 图2 =80° 所以△BAO为直角三角形，且∠BA0=90°， 因为四边形内角和为360°， 所以AB⊥AC. 所以∠A+∠ABC+∠CDE+∠E (2)解：由(1)知△BAC为直角三角形，且∠BAC=90°， =360°-（∠CBD+∠CDB) 所以BC=AB+AC. =360°-80° 因为AB=√3，AC=2, =280°. 所以BC=√AB2+AC=√(3)2+22=万. 18.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 因为AE⊥BC,AB⊥AC, 所以AD∥BC,AD=BC, 所以SBARCD=AB·AC=AE·BC, 所以∠AEB=∠DAE. 所以AE=AB·AC=22 因为AB=AE, BC 7 所以∠B=∠AEB, 23.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠B=∠DAE. 所以AB=CD,AB∥CD. AB =EA, 因为CE=AB, 在△ABC和△EAD中 ∠B=∠DAE, 所以CE=CD, BC AD. 所以∠CDE=∠CED 所以△ABC≌△EAD(SAS). =2180-∠DcE) 19.解：设这个多边形的边数是m 1 根据题意，得1280°-180°<(m-2)×180°<1280°， =90°-2∠DCE, 1 解得8)<m<9 9 所以LAD=∠CDE=90-∠DCE 八年级数学湘教第27~30期 (2)解：延长DA,FE交于点M,图略. 28期2版 因为四边形ABCD是平行四边形， 1.2.2平行四边形的判定 所以AD∥BC, 1.B;2.A;3.D;4.是. 所以∠M=∠EFB. 5.证明：因为a2+b2+c2+d=2ac+2bd, 因为E是AB的中点， 所以(a-c)2+(b-d)2=0, 所以AE=BE. 所以a=c,b=d, 由对顶角相等，得∠AEM=∠BEF 所以四边形ABCD是平行四边形. 在△AEM和△BEF中， 6.证明：由对顶角相等，得∠AOE=∠C0D. r∠M=∠EFB, ∠EAO=∠DCO. ∠AEM=∠BEF, 在△AOE和△COD中 A0=C0 AE BE, ∠AOE=∠COD. 所以△AEM≌△BEF(AAS), 所以△AOE≌△COD(ASA), 所以ME=EF,AM=BF=2, 所以OE=OD, 所以DM=AD+AM=6. 所以四边形AECD是平行四边形. 因为DF⊥BC,所以∠DFC=90°， 7.(1)证明：因为BD是△ABC的角平分线， 所以∠ADF=90°. 所以∠CBD=∠EBD. 在Rt△MDF中，由勾股定理，得 因为ED∥BC, MF=√DM+DF=62, 所以∠CBD=∠EDB, 所以EF=MF=32. 所以∠EBD=∠EDB, 所以BE=ED. 24解：(I)因为BP平分∠ABC,所以∠CBP=∠ABC 因为BE=CF,所以ED=CF 因为CP平分△ABC的外角∠ACD, 又ED∥FC, 所以∠DCP=7∠ACD 所以四边形EFCD是平行四边形. (2)解：因为BD是△ABC的角平分线，∠ABC=60°， =LA+∠ABC 所以∠ABD=号∠ABC=30 =A+ABC 因为∠ADB=100°， 在△BCP中，由三角形的外角性质，得 所以∠A=180°-∠ABD-∠ADB=50°. LDCP=∠CP+∠P=7∠ABC+LP, 因为四边形EFCD是平行四边形， 所以EF∥AC, 所以分LA+子∠ABC=方LABC+LP, 所以∠AEF=180°-∠A=130. 1.3中心对称和中心对称图形 所以∠P=号∠A=分×40=20 1.C;2.B;3.48. 故答案为20°. 4.证明：因为△AB0与△CD0关于O点成中心对称， (2)因为∠ABC+∠DCB=360°-(a+B), 所以OB=OD,0A=OC,∠D0F=∠BOE. 而∠ABC+(180°-∠DCE) 因为AF=CE, =360°-(a+B) 所以OA-AF=OC-CE,即OF=OE, =2∠PBC+(180°-2∠ECP)〉 所以△DOF≌△BOE(SAS), =180°-2（∠ECP-∠PBC) 所以FD=EB. =180°-2∠P, 5.证明：因为△ADE和△FCE关于点E成中心对称， 所以360°-(a+B)=180°-2∠P, 所以∠ADE=∠FCE,AD=CF,DE=2CD, 所以2∠P=a+B-180°. 所以AD∥CF. 1 所以∠P=2(a+B)-909 因为D是AB的中点， 八年级数学湘教 第27~30期 所以BD=AD,所以BD=CF, 所以△BCM≌△DNM, 所以四边形DBFC是平行四边形， 所以NM=CM=CN,DN=BC=3, 所以CD=BF,所以DE=BF 所以AN=AD-DN=3, 1.4三角形的中位线定理 所以AN=BC. 1.B;2.D;3.C;4.4. 因为AD∥BC, 5.解：因为P是BD的中点，E是AB的中点，F是CD的中 所以四边形ABCV是平行四边形， 点， 所以CN=AB=5,所以CM=多 所以PE=AD,P=BC 二、填空题 因为AD=BC,所以PE=PF, 11.2;12.14;13.AB=CD(答案不唯一)； 所以∠PFE=∠PEF=18°. 144:15.4:169或10 28期3,4版 一、选择题 提示： 16.解：因为点P的速度为每秒1cm, 题号 1 2345678910 所以AP=tcm. 答案DBADB C BD CC 因为点Q的速度为每秒2cm, 提示： 所以CQ=2tcm. 8.因为△ABC与△CDA关于点0成中心对称， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB=CD,AD=BC, 所以AP∥BQ, 所以四边形ABCD是平行四边形， 当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形， 所以点O就是口ABCD的对称中心 所以t=10-21或t=2t-10, ①点M和点N,点B和点D分别关于点O对称，正确： ②直线BD必经过点O,正确； 解得1=号或4=10 ③四边形ABCD是中心对称图形，正确： ④四边形DMOC与四边形BNOA的面积相等，正确： 综上，满足条件的：的值为号或10， ⑤△AOM与△CON关于点O成中心对称，正确。 三、解答题 故正确的有5个. 17.解：(1)如图2所示，点0即为新作. 9.解：根据三角形的中位线定理可知，第2个三角形的周 长C,与第1个三角形的周长C,的关系为 1 同理可得，C3= 1 20=2×1=2 图2 (2)如图3所示，△A'B'C'即为所作 2024 所以第2026个三角形的周长为Cs=(宁) 1O.解：延长CM交AD于点N,如 图1所示. 图3 因为点M是线段BD的中点， 18.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以BM=DM. 图1 所以OA=OC,OB=OD. 因为AD∥BC, 因为AE=CF, 所以∠CBM=∠NDM,∠BCM=∠DNM, 所以OA+AE=OC+CF,即OE=OF. 八年级数学湘教 第27~30期 因为BG=DH, 22.证明：(1)由题意知△ABM≌△ACM, 所以OB-BG=OD-DH,即OG=OH, △ABE≌△DCE, 所以四边形EGFH是平行四边形. 所以AB=AC,AB=CD, 19.解：延长EP交AC于点G,如图4. 所以AC=CD. 由题意，得AB=AC=4, (2)解：∠F=∠MCD.理由如下： ∠A=∠B=∠C=60. 由(1)，得∠BAE=∠CAE=∠CDE, 又PE∥AB, ∠CMA=∠BMA. 所以∠PEC=∠B=60°， 图4 因为∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF, ∠PGF=∠A=60°， 所以∠CDE=∠MPC,∠PMF=∠CMA, 所以△CEG是等边三角形，即EG=CG 所以∠MPC-∠PMF=∠CDE-∠CMA, 又PF∥BC, 即∠F=∠MCD. 所以∠PFG=∠C=60°，∠GPF=∠PEC=60°， 23.(1)证明：因为AC=AE,BC=BE, 所以△PGF是等边三角形，即PG=PF, 所以AB⊥CE,∠AEC=∠ACE,∠BEC=∠BCE, 所以CG=PE+PF. 所以∠AEC+∠BEC=∠ACE+∠BCE, 又PD∥AC, 即∠AEB=∠ACB. 所以四边形ADPG是平行四边形，所以PD=AG, 因为∠AEB=∠CAD, 所以PD+PE+PF=AG+CG=AC=4, 所以∠ACB=∠CAD, 即三条小路的总长度为4. 所以BC∥AD. 20.解：取BC的中点G,连接EG,FG, 因为CD⊥CE,所以AB∥CD, 如图5. E 所以四边形ABCD是平行四边形. 因为E,F分别是AB,CD的中点， (2)解：过点A作AG⊥CD于 AC 4 cm,BD =6 cm, G 图5 点G,如图8. 所以BG∥AC,EG=AC=2cm, 所以AG∥CF. 又AB∥CD,所以CF=AG. FG∥BD,FG=BD=3em 根据勾股定理，得 AC2 CC2 AD2 DG2, 因为AC⊥BD,所以EG⊥FG, 即42-(3-DG)2=32-DG, 所以∠EGF=90°. 根据勾股定理，得EF=√EG+FG=√I3cm. 解得0G=子 21.解：(1)如图6，与△ABC成中心对称的三角形有 所以CF=AG=√AD-DC=45 31 △CGA,△DFG,共2个.故答案为2 因为AC=AE,AB⊥CE, 所以CE=2CF=8,5 3 24.(1)证明：因为AD=BC,AB=CD, 所以四边形ABCD是平行四边形， 图6 所以AD∥BC. (2)(i)如图7-①所示（答案不唯一）： (2)解：根据题意，知BG=y,DE=t, (iⅱ)如图7-②所示； 则DG=12-y (ⅲ)如图7-③所示（答案不唯一）； 当0≤1≤氵时，CF=3,则BF=8-3边 因为AD∥BC,所以∠DBC=∠ADB. 若△DEG≌∠BFG,则BF=DE,BG=DG, ① ② ③ 即=8-3解得=2， 图7 y=12-y, ly=6. 5 八年级数学湘教第27~30期 若△DEG≌△BGF,则BF=DG,DE=BG, =0A·(PE+PP) 即，/s6, 解得2（不合题意，金去） 8-31=12-y,l1=-2. =方x(PE+PP) 1 当弩<1≤9时，BF=3-8 =3. 若△DEG与△BFG全等，则BF=DE,BG=DG或BF= 所以PE+P=号 DG.BG=DE, 7.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 即=3-8或 3t-8=12-y, 所以AB∥CD y=12-y,y=i, 所以∠BAC=∠FCO. 解得=4，成=5， 或{ 由对顶角相等，得∠AOE=∠COF. Ly =6 Ly =5. 又AE=CF, 综上，△DEG与△BFG全等的情况出现了3次：第一次时 所以△AOE≌△COF, =2第二次时1=4，y=6:第三次时1=5，y=5 所以OE=OF. y=6: (2)解：连接OB,图略。 29期2版 因为△AOE≌△COF, L.5.1矩形的性质 所以OA=0C, 1.D:2.D;3.110;4.43. 即O为矩形ABCD对角线的交点， 5.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以OA=OB,所以∠BAC=∠ABO. 所以AD∥BC,∠B=90°， 因为BE=BF,OE=OF, 所以∠DAE=∠AEB. 所以BO⊥EF. 因为DF⊥AE, 在Rt△BEO中，∠BEF+∠AB0=90. 所以∠AFD=90°=∠B. 因为∠BEF=2∠BAC, 又DA=AE. 所以2∠BAC+∠BAC=90°， 所以△DFA兰△ABE, 所以∠BAC=30°. 所以DF=AB 因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°. (2)解：因为AB=4,所以DF=4. 因为BC=2,所以AC=2BC=4. 因为四边形ABCD是矩形， 根据勾股定理，得AB=√AC-BC2=25. 所以∠ADC=90°. 1.5.2矩形的判定 因为∠FDC=30, 1.D:2.B: 所以∠ADF=∠ADC-∠FDC=6O°， 3.DE=FG(答案不唯一)；4.13. 所以∠DAF=90°-∠ADF=30°， 5.证明：因为BE∥DF, 所以AD=2DF=8. 所以∠DFC=∠AEB, 6.解：连接OP,图略. 所以180°-∠DFC=180°-∠AEB, 因为四边形ABCD是矩形， 即∠DFA=∠BEC 所以∠ABC=90°，OA=0C=0B=OD. 又DF=BE,AF=CE, 因为AB=3,BC=4, 所以△AFD≌△CEB. 所以AC=√AB2+BC=5, 所以∠DAC=∠BCA,AD=CB, 所以AD∥BC, 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以0A=0D=子， 又∠BAD=90°， 所以SAAOD=S△oP+S△D0P 所以四边形ABCD是矩形， 6.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA=OC,OB=OD. 八年级数学湘教 第27~30期 因为E,F分别是OB,OD的中点， 又因为∠DEG=∠CEF, 所以0E=20B,0F=20D. 所以△DEG≌△CEF(ASA), 所以∠G=∠EFC,EG=EF 所以OE=OF, 因为AE=AE,∠AEF=∠AEG B 所以四边形AECF是平行四边形. =90°， 因为AC⊥AB,∠AOB=60°， 所以△AEF≌△AEG(SAS), 所以∠AB0=30°， 所以∠AFE=∠G,所以∠AFE=∠EFC, 所以0A=0B=0B, 所以∠BFC=号∠AFC=(90+a)=450+受 所以AC=EF, 二、填空题 所以四边形AECF为矩形 7.(1)证明：因为AD∥BC, 1.359:122:13.6:144=280:15.子 所以∠D+∠C=180°. 16.52或45. 因为∠A=∠D=90°， 提示： 所以∠C=∠A=∠D=90°， 16.解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=90°. 所以四边形ABCD为矩形. 分两种情况： (2)解：根据折叠的性质，得 当AP=AE=5,点P在边AD上时，如图2所示. ∠BGE=∠A=90°，BG=AB=6,AE=GE. 因为∠BAD=90°， 所以∠EGF=180°-∠BGE=90°. 所以PE=√AP2+AE=√52+52=5,2； 因为E是AD的中点， 所以AE=DE,所以DE=GE. 又EF=EF,所以Rt△DEF≌Rt△GEF(HL), 所以DF=GF, 所以BF=BG+GF=6+DF E 因为四边形ABCD是矩形， 图2 图3 所以CD=AB=6. 当PE=AE=5,点P在边BC上时，如图3所示 在Rt△BCF中，根据勾股定理，得 因为BE=AB-AE=8-5=3,∠B=90°， BC2+CF2=BF2 所以PB=√PE-BE=V52-32=4, 即82+(6-DF)2=(6+DF)2, 所以底边AP=√AB2+PB=82+4=45. 解得DF=分 8 综上，等腰三角形AEP的底边长是52或45. 29期3,4版 三、解答题 一、选择题 17.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以BC=AD=8. 题号12345678910 因为AB=6,AC=10,所以AC2=AB2+BC2, 答案DDD C CC C D C B 所以∠B=90°，所以口ABCD是矩形 提示： 18.证明：因为四边形ABCD是矩形， 10.解：因为四边形ABCD是矩形， 所以AB=DC,∠B=∠C=90°. 所以∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°， 因为BE=CF, 因为∠BAF=a,所以∠AFB=90°-a, 所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE, 所以∠AFC=180°-∠AFB=90°+a. 所以△ABF≌△DCE(SAS), 如图1，分别延长FE,AD交于点G, 所以AF=DE. 则∠EDG=90°=∠C, 19.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 因为点E为CD边的中点， 所以AD∥BC,所以∠F=∠BCE. 所以DE=CE. 因为E是AB的中点，所以AE=BE. 八年级数学湘教 第27~30期 又∠AEF=∠BEC,所以△AEF≌△BEC(AAS). (2)解：四边形ABDE是平行四边形.证明如下： (2)解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90. 由(1)知，四边形ADCE为矩形， 又CD=4,∠F=30°，所以CF=2CD=8. 所以AE=CD,AC=DE. 20.解：因为矩形ABCD≌矩形AEFG, 又AB=AC,BD=CD,所以AB=DE,AE=BD. 所以AB=AE=1,∠DAB=∠FEA=90°，AD=BC=2. 所以四边形ABDE是平行四边形. 所以∠ABE=∠AEB,∠ABE+∠ADB=90°， (3)解：DF∥AB,DF=AB ∠AEB+∠DEF=180°-∠FEA=90°， 所以∠DEF=∠ADB,所以EH=DH. 24.解：(1)由折叠的性质，得AF=AB=3. 在Rt△AEH中，根据勾股定理，得EH+AE=AH, 因为AD=5,所以FD=AD-AF=5-3=2. 即(2-A2+1=AF,解得A=子 (2)若点G落在线段FD上，如图5所示. G D 21.解：线段MN的长为定值，且MN= 2 理由如下： E 图5 如图4，连接CD,过点C作CE1CCE 由折叠的性质，得FG=AF=AB=x, BD,交BD的延长线于点E,则∠E= D 所以FD=AD-AF=5-x, 90° 所以DG=FD-FG=5-2x. 因为CA⊥AB,DB⊥AB, 因为2FD=3DG,所以2(5-x)=3(5-2x),解得x=4 5 所以∠A=∠B=90°， 图4 所以四边形ABEC是矩形， 若点G落在线段FD的延长线上，如图6所示. 所以BE=AC=3,CE=AB=4, DG 所以DE=BE-BD=3-2=1, 所以CD=√CE2+DE=√42+1产=√7 因为M,N分别是PC,PD的中点， 图6 所以MN是△CDP的中位线， 由折叠的性质，得FG=AF=AB=x, 所以w=}0= 所以FD=AD-AF=5-x, 所以DG=FG-FD=x-(5-x)=2x-5. 22.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 因为2FD=3DG,所以2(5-x)=3(2x-5),解得x= 25 所以AE∥BC.又CE∥BD, 8 所以四边形BCED是平行四边形，所以CE=BD. 综上✉的值为子皮瓷 又CE=AC,所以AC=BD, 所以四边形ABCD是矩形 (3)如图7，由题意可知AF=AB=n,EF=AB=n, (2)解：因为四边形ABCD是矩形， DG 所以∠BAD=90°，BC=AD=3. H 根据勾股定理，得BD=√AB+AD=5. B E 所以四边形BCED的周长为：2(BC+BD)=16. 图7 23.(1)证明：因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线， 所以FD=AD-AF=m-n, 所以AD⊥BC,∠CD=分∠BAC. 所以S%==EF·F=2a(m-m), 所以∠ADC=90°. S四边形ABCD=AD·AB=mn. 因为AW为△ABC外角∠CAM的平分线， 因为S四边形ABGD=7S△HFE, 所以∠CAN=2LCMM, 所以mn=7×2n(m-n),整理，得5m=7m 所以∠DAE=∠CAD+∠CAN=90 30期2版 又因为CE⊥AN,所以∠AEC=90°. 1.6.1菱形的性质 所以四边形ADCE为矩形. 1.D:2.C:3.204.70°. 八年级数学湘教 第27~30期 5.证明：因为四边形ABCD是菱形， 又BD⊥AC,所以四边形AECF是菱形. 所以AB∥CD,AC⊥BD. (2)解：因为四边形AECF是菱形， 因为DE⊥BD, 所以DE=DF=2. 所以DE∥AC, 在Rt△ADB中，由勾股定理，得 所以四边形ACDE是平行四边形. AD2+BD2=AB,即42+(2+BE)2=(4+BE)2, 6.(1）证明：因为四边形ABCD是菱形， 解得BE=1,所以BF=5. 所以AB=AD. 30期3,4版 所以∠ABD=∠ADB. 一、选择题 因为AE=AB,所以AE=AD, 题号12345678910 所以∠E=∠ADE, 答案ACBCBACACD 所以2∠ADB+2∠ADE=180°， 提示： 所以∠ADB+∠ADE=90°， 10.解：因为AG∥BD,BD=FG, 所以△BDE为直角三角形. 所以四边形BGFD是平行四边形， (2)解：因为四边形ABCD是菱形， 因为CF⊥BD,所以CF⊥AG, 所以OA=OC,OB=OD. 因为AE=AB, 又因为点D是AC的中点，所以BD=DF= 所以0C=01=号DE=3m 所以四边形BGFD是菱形 设AF=x,则AC=x+2, 7.(1)解：因为四边形ABCD是菱形， 在Rt△ACF中，∠CFA=90°，FC=6, 所以4AC1BD,0A=分AC=4em, 所以AF2+CF2=AC2,即x2+62=(2+x)2, OB=BD =3 om. 解得x=8,故AC=10. 故四边形BDFG的周长=4BD=2×10=20. 根据勾股定理，得 二填空题 AB=√/OA2+OB2=5cm. 11.60°；12.AB=AD(答案不唯一)：13.24：14.76； 因为S装装m=4C~BD=AB·D, 15.203;16.16. 提示： 所以DH=4C·BD-24 cm. 2AB 5 16.连接EF交CD于点O,如右图. (2)证明：因为四边形ABCD是菱形， 因为DE∥AC,DF∥BC, 所以OB=OD,∠DAH=2∠OAB, 所以四边形CEDF是平行四边形. 所以OH=OB, 因为CD是△ABC的角平分线， 所以∠OHB=∠OBH, 所以∠FCD=∠ECD. 所以∠B0H=180°-2∠OBH. 因为DE∥AC,所以∠FCD=∠CDE, 因为∠OAB=90°-∠OBH, 所以∠ECD=∠CDE,所以CE=DE, 所以∠DAH=180°-2∠OBH. 所以四边形CEDF是菱形， 所以∠BOH=∠DAH. 所以CD1EF,LECD=2∠ACB=30, 1.6.2菱形的判定 1.B;2.D;3.AB=AC(答案不唯一) 0c=2cD=25 4.(1)证明：因为AE∥CF, 在Rt△COE中，由勾股定理，得CO2+OE2=CE2. 所以∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD. 因为BA=BC,BD平分∠ABC, 又0E=CB,所以CB=4, 所以BD⊥AC,AD=CD, 所以四边形CEDF的周长是16. 所以△AED≌△CFD(AAS), 三、解答题 所以AE=CF, 17.证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以四边形AECF是平行四边形. 所以AB=BC,∠ABP=∠CBP. 八年级数学湘教 第27~30期 又BP=BP,所以△ABP≌△CBP(SAS). 所以PA=PC. 所以PE=BP=2L=D0, 所以四边形PEQD是平行四边形. AB AD. 18.证明：在△ABC和△ADC中 因为AB=4,所以BD=8,所以DP=8-4. AC =AC. 当DP=PE时，四边形PEQD为菱形， BC DC. 所以△ABC≌△ADC(SSS),所以∠BAC=∠DAC. 所以8-4“=2，解得1=号 因为AB∥CD,所以∠BAC=∠DCA, 23.(1)证明：因为D0=A0,E0=C0, 所以∠DCA=∠DAC,所以AD=CD. 所以四边形AEDC是平行四边形. 所以AB=CB=CD=AD. 因为四边形ABC0是矩形，所以∠AOC=90°， 所以四边形ABCD是菱形. 所以A0⊥OC,即AD⊥EC, 19.证明：因为四边形ABCD是菱形， 故四边形AEDC是菱形. 所以AB∥CD,∠ABD=∠CBD. (2)解：因为四边形AEDC是菱形，∠AED=60°， 因为EF∥BC, 所以∠AE0=30°. 所以四边形BCFE是平行四边形，∠EMB=∠CBD, 因为∠A0E=90°，AE=2, 所以BE=CF,∠ABD=∠EMB,所以BE=EM, 所以CF=EM. 所以0A=分4北=1 20.证明：因为∠BAF=∠DAE, 所以E0=AE2-OA=√22-1卫=√5， 所以∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF, 所以CE=2E0=23,AD=20A=2, 即∠BAE=∠DAF. 故5em=40:CE=分×2x2万=25 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠B=∠D. 又BE=DF,所以△ABE≌△ADF(AAS), 24.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=AD, 所以B0=DO. 所以四边形ABCD是菱形. 又因为BD⊥AC,垂足为点O, 21.(1)证明：因为点E是CD的中点，所以CE=DE. 所以AC是BD的垂直平分线， 因为CF∥BD,所以∠ODE=∠FCE. 所以AB=AD,故口ABCD是菱形 (2)①证明：因为四边形ABCD是平行四边形， ,∠ODE=∠FCE, 在△ODE和△FCE中， AD =5.AC =8,BD =6. DE CE, I∠DEO=∠CEF, 所以D0=B0=BD=3,4A0=C0=74C=4 所以△ODE≌△FCE(ASA). 因为32+42=25=52， (2)解：四边形ODFC为矩形.证明如下： 所以D0+AO=AD, 因为△ODE≌△FCE,所以OE=FE. 所以△AOD是直角三角形，且∠AOD=90°， 又因为CE=DE, 所以AC⊥BD,故口ABCD是菱形 所以四边形ODFC为平行四边形 ②解：因为四边形ABCD是菱形， 因为四边形ABCD为菱形， 所以∠ACB=∠ACD. 所以AC⊥BD,即∠D0C=90°， 所以四边形ODFC为矩形. 因为∠E=号∠ACD,所以∠E=之∠ACB 2.解：四边形PEQD能够成为菱形，此时1=手 因为∠ACB=∠E+∠COE,所以∠E=∠COE, 所以C0=CE=4,所以BE=9, 理由如下： 所以BC:BE=5:9, 因为四边形ABCD是矩形， 1 所以∠A=∠C=90°，AD∥BC. 所-影三X34。 5 SAOBE 所以∠PBE=∠ADB=30°，BC⊥CD. 4 根据题意，得BP=4t,DQ=2t. 所以SOBE=5 因为PE⊥BC,所以PE∥CD,∠BEP=90°， 10缕丹苎 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 阻出。看一个以裕乐好对路8A4EC.川川裕际开 2.(102)()km图20.42X28F裕 0存山c.E.出卫食用A蓉汉江.2L图圳)安S(.2 20 ..:太-系M东国6K蔗PD PD PD g.(8))处图1B.华池一集机图C包 27期2版参考答案 1.1.1多边形的认识 1.C; 2.C:3.A 4.原多边形纸片的边数 为3或4或5.图略 1.1.2多边形的内角和 1.C 2.C;3.18; 4.10. 5.x=100 6.解：(1)60 (2)∠B=40° 1.1.3多边形的外角和 1.A;2.D;3.A 4.40°；5.72 6.这个正多边形的边数 为5。 (2)各复81C.2JMPC.i精相路P5JVCD电沐良光系· 【)k止:(1 E+BM加K银汤.E 海口L型银机M:.E片：林杭广出秋E片工5EEAA· (1)在821 2济超效银百工店MEMA江口。22图机)众0(.2 22 2)分图2183 1.2.1平行四边形的性质 1.C; 2.D3. 4.16. 5.证明略 6.(1)∠EAF=60° (2)AF=35 27期3,4版参考答案 、1.B;2.C;3.A; 4.C;5.A;6.C; 7.B:8.B:9.A 10.B. _、11.2n; 12.118°； 13.72°；14.54： 15.30°；16.6. 三、17.280° 18.证明略. 19.20°. 20.(1)720°： (2)谷汉汉江江温中·』用房业有A2BG号AEPG金华国C机出 (1):AD /BC; 24.(122)机图24。A时池滤AEC型出APRC8.4E: (2)活4:2-2.40-4.CE8K 23.(12)m图23。AC (2)∠G=110° 21.△ADE的周长为24 22.(1)证明略： (2)AE=22 AE,BC BE,LAEB 23.(1)证明略 (2)EF=32. 24.(1)20°； (2)∠P= (a+B) 90 装理锢 2026年1月14日·星期三 初中数学 第 28期总第1172期 (湘教八年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 员味方法 为半径画弧，交直线1于点B,然后延长AP作射 证明：因为AB∥CD, 线AC,最后作∠CPB的平分线PQ,PQ所在的 所以∠B+∠C=180°，∠A+∠D=1809 平行四边形的判定 直线即为所求： 因为∠B=LD,所以LA=LC, 乙：在直线1上取A,B两点（点B在，点A的 所以四边形ABCD为平行四边形. 来“列队” 右侧)，分别以点P为圆心，AB长为半径；再以 方法四、对角线互相平分的四边形是平行 点B为圆心，PA长为半径画弧，两弧相交于点 四边形 ©江西肖建勇 Q(点Q和点A在直线PB的两侧)，PQ所在的 例4如图5所示 平行四边形的判定方法较多，综合性较强， 直线即为所求. 在□ABCD中，E,F两点 涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平 对于以上两个方案，判断正确的是( 在对角线BD上，且BE= 行四边形的性质联系.判定一个四边形是否为 A.甲、乙均正确 B.甲错误、乙正确 DF,连接AE,EC,CF,FA. 平行四边形是利用平行四边形的性质解决其他 C.甲正确、乙错误 D.甲、乙均错误 求证：四边形AECF是平行四边形 问题的基础，所以平行四边形的判定定理是本 解：甲方案如图3-①，PA=PB, 证明：如图5，连接AC交BD于点O. 节的重点 所以∠PAB=∠PBA 因为四边形ABCD是平行四边形， 方法一、两组对边分别平行的四边形是平 因为PQ平分∠CPB, 所以0A=0C,0B=0D. 行四边形 所以∠CPO=∠BPO. 因为BE=DF 例1如图1，在□ABCD 所以∠CPB=∠PAB+∠PBA 所以OB-BE=OD-DF,即OE=OF, 中，AB=8,点E是AB上 =∠CPQ+∠BPQ 所以四边形AECF是平行四边形. 点，AE=3,连接DE,过点C作 方法五、一组对边平行且相等的四边形是 CF∥DE,交AB的延长线于 所以∠PBA=∠BPQ, 平行四边形 点F,求BF的长 所以PQ∥直线1，所以甲正确； 例5如图6，在四边形 解：因为四边形ABCD是平行四边形，AB=8 ABCD中，AC与BD交于点 所以DC=AB=8,AB∥CD. O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足 因为AE=3,所以BE=AB-AE=5. 分别为点E,F,且BE=DF 因为CF∥DE ∠BAC=∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四 所以四边形DEFC是平行四边形 边形 所以EF=DC=8, 乙方案如图3-②，PA=BQ,PQ=AB 证明：因为∠BAC=∠DCA 所以BF=EF-BE=3 所以四边形ABQP是平行四边形 所以AB∥CD. 方法二、两组对边分别相等的四边形是平 所以PQ∥直线1，所以乙正确 因为BE⊥AC,DF⊥AC, 行四边形 故选A. 所以∠AEB=∠CFD=90° 例2 如图2，对于几 方法三、两组对角分别相等的四边形是平 ·∠BAE=∠DCF, 何作图“过直线1外一点P 行四边形 在△ABE和△CDF中，{∠AEB=∠CFD 作这条直线的平行线”， 例3如图4，在四边形 BE DF. 甲、乙两位同学均设计出 ABCD中，AB∥CD,∠B= 所以△ABE≌△CDF(AAS), 自已的尺规作图方案： ∠D.求证：四边形ABCD为A 所以AB=CD 甲：在直线1上取点A,以点P为圆心，PA长 平行四边形 所以四边形ABCD是平行四边形 …十”十…十十十4十 十4十”十十十十十十十十十十十十十十十十十十 专题辅导 解：在Rt△ABC中，∠A=30° 分别是AB,AC的中点，D,E为BC 三角形中位线 所以∠B=90°-∠A=60° 边上的点，连接ND,ME.若AB= 因为D,E分别是AC,BC的中点， 13 cm,BC 10 cm,DE 5 cm. 应用宝典 求图中阴影部分的面积 所以DE∥AB, 分析：连接MW,ME与ND相交 。湖南陈小杰 所以LCED=∠B=60°， 于点O,根据三角形中位线定理，可 图3 三角形中位线定理在一个题设下，有两个 二、求周长 得出MN=5cm,图中阴影部分的面积为△AMN, 结论：一个是线段之间的位置关系，另一个是线 例2如图2，在△ABC △OMN与△ODE的面积和 段之间的数量关系.这个定理在证明、计算、作 中，D,E,F分别是BC,AC,AB 解：如图3，连接MN,过点A作AG⊥BC于 图中都有广泛的应用，是三角形的重要性质之 的中点.若AB=6,BC=8, 点G,设ME与ND相交于点O. 一.当三角形中有中点时，往往借助三角形中位 求四边形BDEF的周长 因为BC=10cm,M,N分别是AB,AC的中点， 线定理来解决相关问题 分析：根据三角形中位线定理解答即可： 所以MN=3BC=5em 一、求角度 解：因为D,E,F分别是BC,AC,AB的中点， 例1如图1，在 因为AB=AC,AG⊥BC 所以DE=BF= Rt△ABC中，∠A=30°，点D 2AB=3, 所以Bc=c=5cm E分别是直角边AC,BC的中 点，连接DE,求∠CED的度 FE BD=7BC =4. 由勾股定理，得AG=√AB2-BG= 12cm, 数 所以四边形BDEF的周长是： 所以图中阴影部分的面积为： 分析：根据直角三角形的性质求出∠B的 2(DE+FE)=14 度数，根据三角形中位线定理得到DE∥AB,根 三、求面积 SAAMY SAow S&ODE =5x 12 据平行线的性质解答即可. 例3如图3，在△ABC中，AB=AC,M,N30(cm2). 2 素养专练 数理极 1.22平行四边形的判定 7.如图4，已知BD是△ABC的角平分线，点 5.如图4，D是AB的中点，△ADE与△FCE关 1.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平 E,F分别在边AB,BC上，且BE=CF,ED∥BC: 于点E成中心对称，连接BF.求证DE=}BR 行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相 (1)求证：四边形EFCD是平行四边形； 等就可以了，依据是：两条铁轨和夹在铁轨之间的 (2)若∠ABC=60°，∠ADB=100°，求 两根枕木构成一个平行四边形，即可得到两条铁 ∠AEF的度数， 轨平行.判定铁轨和枕木构成平行四边形的依据 是 A.夹在两条平行线间的平行线段相等 B.一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形 C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2.如图1是由4个全等的正三角形拼成的，则 图中平行四边形有 A.4个 B.3个 1.4三角形的中位线定理 C.2个 D.1个 1.如图1，CD是△ABC的中线，E,F分别是 AC,DC的中点，EF=1,则BD的长为() A.1 B.2 C.3 D.4 1.3中心对称和中心对称图形 图1 图2 1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今 3.如图2，在口ABCD中，点E,F分别在CD,已有4000多年的历史以下是在棋谱中截取的四 BC的延长线上，AE∥BD,EF⊥BF,CF=5,EF个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形 图1 图2 X =3,则AB的长是 2.如图2，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC ( 的是 的中点.若∠B=40°，则∠BDE的度数是 A号 B.1 制接解粹 () A.50°B.40° C.150°D.140° D.5 3.如图3，在△ABC中，AB=BC=10,BD平 4.在四边形ABCD中，∠A=∠C=60°，∠B1 2.如图1，△ABC与△A'B'C'关于点0成中心 分∠ABC交AC于点D,点F在BC上，且BF=4, =∠D=120°，则四边形ABCD 平行四对称，下列结论中不成立的是 连接AF,点E是AF的中点，连接DE,则DE的长 边形（填“是”或“不是”） A.OB OB' 是 5.已知四边形ABCD的四条边顺次为a,b,c, B.∠ACB=∠A'B'C A B.2 C.3 D.4 d,且a2++c2+d2=2ac+2bd.求证：四边形 C.点A的对称点是点A ABCD是平行四边形. D.BC∥B'C 图3 图4 4.如图4，在四边形ABCD中，∠ADC=140° 网1 图 E,F分别是AB,AD的中点，且∠AFE=50°.若 3.如图2，长方形ABCD和长方形A'B'C'D关BC=10,CD=6,则EF= 于点D成中心对称.已知AB=3,BC=4,则阴影 5.如图5，在四边形ABCD中，点P是对角线 部分的周长是 BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点.若AD= 4.如图3，已知△AB0与△CD0关于0点成 BC,∠PEF=18°，求∠PFE的度数 中心对称，点E,F在线段AC上，且AF=CE.求 6.如图3，在四边形ABCD中，AC与BD相交证：FD=EB. 于点O,且A0=CO,点E在BD上，满足∠EAO= ∠DCO.求证：四边形AECD是平行四边形 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 , 15.如图13，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D,E,F分别是边 1.2.2.1.4能力达标自评卷 AB,BC,CA的中点，若DE+BF=8,则BF= 16.如图14，在□ABCD中，AB=6cm,AD=10cm,点P在AD ◆数理报社试题研究中心 边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在CB边上，以每 (答题时长120分钟，满分120分)】 8.如图6，已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称，过点0作 秒2cm的速度从点C出发，在CB之间做往返运动，两个动点同时出 直线MW分别交AD,BC于点M,N.下列结论：①点M和点V,点B和 发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为(s)(1> 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中， 点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O;③四边形ABCD是 0).在点P,Q的运动过程中，当t= s时，四边形APQB为平 行四边形 既是轴对称图形又是中心对称图形的是 中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等； ⑤△AOM和△CON关于点O成中心对称其中正确的有( 三、解答题（本题共8小题，共72分）》 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 17.(6分)(1)如图15所示的两个图形成中心对称，请找出对称 9.如图7，已知△ABC的周长为2，连接△ABC的三边的中点构 中心 成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角 形，依次类推，则第2026个三角形的周长为 ( 2.如图1，A,B两点被一座山隔开，M,N分别是AC,BC的中点， 测量MW的长度为30m,那么AB的长度为 初 A.30m B.60m C.120m D.160m 图15 初 中 中 数 (2)如图16，在正方形网格中，△ABC的顶点及点O都在格点 数 上，画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A'B'C' 学 湘 图7 教 A 湘教 10.如图8，四边形ABCD中，AD∥BC,BC=3,AB=5,AD=6. 军 3.小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如 若点M是线段BD的中点，则CM的长是 级 图2，将两根木条AC,BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形 能 B.2 D.3 ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是 c 达 标 A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 图16 B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 11.如图9，△ABC与△DEC关于点C成中心对称.若AB=2,则 八年级能力达标自评卷 评 C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 DE 18.(6分)如图17，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，点 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE=CF,点G,H均 4.已知四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比，能判定 在线段BD上，且BG=DH.求证：四边形EGFH是平行四边形， 四边形ABCD是平行四边形的是 ( A.1:2:3:4 B.1:2:2:1 C.2:2:3:4 D.2:3:2:3 1 图11 5.如图3，DE是△ABC的中位线，△ADE的面积为1，则四边形 12.如图10，当x= 时，四边形ABCD是平行四边形 DBCE的面积为 ( ) 13.如图11，四边形ABCD的对角线相交于点O,∠ABD= A.4 B.3 C.2 D.1 ∠CDB,请添加一个条件 使四边形ABCD是平行四边形 6.某街区街道如图4所示，CE垂直平分AF,BD∥CF,BC∥ (只填一种情况即可) DF.从B站到E站有两条公交线路.线路1是B→D→A→E,线路 14.如图12，点0是平行四边形ABCD对角线的交点，则图中关 2是B→C→F→E,则 于点0成中心对称的三角形有 A.线路1较短 B.线路2较短 C.两条线路长度相等 D.两条线路长度无法确定 7.如图5，已知AE=√13，AC=1,∠D=90°，△DEC与△ABC 关于点C成中心对称，则BC的长是 ) A.3 B.10 C.23 D.无法确定