第28期 第二十章 勾股定理 综合测评卷-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

《勾股定理》综合测评卷 新) 班级： 姓名： 学号： 满分：120分 题号 二 三 四 五 总分 米 得分 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 答案 1.一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为 A.8 B.9 C.10 D.11 2.下列四组数据中，不是勾股数的是 A.3,4,5 B.5,6,7 C.5,12,13 D.6,8,10 3.如图1是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三 角形.若正方形A,B,C,D的面积分别是3,5,2,3，则正方形E的面积是 A.13 B.11 C.8 D.6 黄实 图1 图2 图3 一国 4.市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分.如图 2是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是6cm,水杯的内侧高度为 解 8cm,若勺子的长度为14cm,则勺子漏出杯子的部分至少为 A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 5.赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形.图中包含四个全等的勾股形和一个小正方 形，其面积称为朱实和黄实.如图3，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b,若ab=8,且 a2+b2=25,则黄实为 A.25 B.16 C.9 D.3 6.已知一个三角形的三边长分别为3,4，x,若此三角形是直角三角形，则x的值是( A.4 B.5 c.7 D.5或7 7.如图4，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点， 点E,F都在格点上，连接AE,AF,则∠EAF的度数为 A.30° B.45° C.60° D.75° E D 20 B B 图4 图5 图6 8.如图5是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是20dm,3dm,2dm,A和B是这个 台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁沿台阶面爬行到B 处的最短路程为 ( A.25 dm B.26 dm C.24 dm D.27 dm 9.定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的 “中偏度值”.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,则△ABC中AB边的“中偏度值”为 () A.2 B.3 n号 10.如图6，在长方形ABCD中，AB=8,AD=12,将其沿EF折叠，点A,B分别落到点A'与 点B'处，恰好点C在A'B'上，且EG=CG,则线段CF的长度为 A.5 B号 c号 027 4 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=2,AB=1,BC=a,则代数式(a-1)2+2a的值为 12.将小棍AB,BC和CD在同一平面内首尾顺次相接，AB1BC,小棍CD可绕点C转动，在 A与D之间用有弹性（可伸缩）的绳子连接，小棍长度如图7所示，绳子长度为x,请写出一个满 足条件的x的整数值： 4米 C 图7 图8 图9 图10 13.如图8，甲、乙两艘客轮同时离开港口0，航行的速度都是40m/min,甲客轮用15min到 达点A,乙客轮用20min到达点B.若A,B两点的直线距离为1000m,甲客轮沿着北偏东30°的 方向航行，则乙客轮的航行方向是 14.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图9所示的隧道，则卡车的外形高必须低于 15.如图10，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发，沿射线 BC以2cm/s的速度移动.当运动的时间为■ 时，△ABP为直角三角形. 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16.如图11，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB=17,BC=21,AD=8,求AC的长， ■ D 图11 17.如图12-①是某品牌婴儿车，图12-②为其简化结构示意图，现测得AB=CD= 60cm,BC=30cm,AD=90cm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD =90°)，根据安全标准需满足BC⊥CD,通过计算说明该车是否符合安全标准。 图12 18.我国古代数学家赵爽利用弦图验证了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼 接验证勾股定理.他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸 片，如图13-①所示，拼成如图13-②所示的图形，利用面积的不变性也可验证勾股定理ù2+ 2=2.下面是小明验证勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写验证过程， C a B ① ② 图13 解：如图13-②，连接EB,由题意，得∠AEF=∠BAC,∠AEF+∠EAF=90°， 所以∠BAE=∠BAC+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°. 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分）》 19.某校“综合与实践”活动小组的同学们到广场做实践课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研 问题背景 制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度。 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段AB),小组成员测量了相关数据，并画如下示意图14 测量数据 -①，测得水平距离BC的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地 面的距离BE为1.5米. A' 抽象模型 D G ① ③ 图14 (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； 问题产生(2)如图14-②，若通过操控手中风筝线，使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中剩 余风筝线32米，此时风筝下降多少米？ 问题解决 … 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程. 20.如图15-①，圆柱形容器高为26cm,底面周长为20cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处 有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜， 蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B处， (1)如图15-②是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P,使蚂蚁沿A-P-B路 线爬行，距离最短； C D (2)求蚂蚁爬行的最短路径长 蚂蚁A B蜂蜜 B ① 图15 21.如图16，在△ABC中，AB=20,AC=16,BC=12,DE是AB的垂直平分线，DE分别交 AC,AB于点E,D. (1)试说明：△ABC是直角三角形； (2)求CE的长及△AED的面积. 图16 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极 强的破坏力.如图17，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点 C与直线AB上两点A,B的距离CA,CB分别为300km,400km,∠C=90°，以台风中心为圆心 周围250km以内为受影响区域， (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为20km/h,台风影响海港C持续的时间有多长？ 图17 23.综合与探究 定义：如图18，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB.若以AM,MN,NB为边的三角形是 个直角三角形，则称点M,N是线段AB的“勾股分割点”. 数学思考： (1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB.若AM=2,MN=3,NB=4,则点M,N是线 段AB的“勾股分割点”吗？请说明理由. 深入探究： (2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”. ①“善思小组”提出问题：若MN为以AM,MN,NB为边的三角形的最长边，且AM=0.7,BN 时 =2.4,求AB的长 ②“智慧小组”提出问题：若AM为以AM,MN,NB为边的三角形的直角边，且AM=4,AB= 12,请直接写出BW的长 M B 图18 些 擗 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY) 第25~28期(2026年1月) 第25期2版 二、9.5n√2m;10.5;11.50;12.36m2; 19.1二次根式及其性质 13.2026;14.2或-2. 基础训练1.B;2.A;3.T-3;4.5. 三、15.(1)42；(2)3；(3)145. 5()根据题意，得3-之≥0，.解得x≤6 16.(1)A. (2)一，计算(25)2时，没有将“2”平方. (2)当x=-2时，入 3-7=√3-x(-2)= 1 (3)原式=21-子5 /3+1=2. 17.(1)由题意，得正方形AGFE的边长为：√192=85(cm). (3)因为二次根式/3- 7的值为零，所以3-之=0 所以AD=AE-DE=65cm,AB=AG-BG=√5cm 解得x=6. 所以长方形木板ABCD的面积为：65×√5=18(cm2). 能力提高6.设长方形封皮的宽为xcm,则长为3xcm. (2)木工乙的想法可行.理由如下： 根据题意，得x·3x=210. 解得x=√70（负值舍去）. 根据题意，得栽出木料的长为：2÷=4,6(cm).因为 因为√0<00，所以正方形卡片不能直接装进长方形 封皮中 46=,65-后=所以46<659< 19.2二次根式的乘法与除法 √5.所以可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行： 基础训练1.C;2.C;3.6. 18.(1)6-5. 4.(1)21; (2)25；(3)32 2-√2 6-2 ； (2)原式= (2+2)(2-2)(6+2)(6-2) (4)3⑩ ⑧-6 96-94 2 (5)5mVm;(6)4/0 5xy (8+6)(⑧-6) (√6+4)(6-4) 5.(1)6;(2)24;(3)8a6. (佩+6（网V%2-万+6-2+…+ √/98-√96 19.3二次根式的加法与减法 基础训练1.C;2.145,50;3.4;4.-6. 5a65:2)4,35万+7万. 6-所+-6)=之(-万+⑧)=(-万 +7,2)=32 能力提高6.(1)因为x=2-5,y=2+5,所以y= (2-5)(2+5)=1,(x-y)2=(2-5-2-5)2=12. (3)因为a=0-3所以a=而+3.所以a3 所以x2+y2-y=(x-y）2+xy=13. 10.所以(a-3)2=10.所以a2-6a=1.所以12a-2a2+6 (2)因为1<5<2，所以0<2-5<1,3<2+5< =-2(a2-6a）+6=-2+6=4. 4.所以2-5的小数部分是2-5,2+3的整数部分是3，即 附加题1.(1)-3+√2 a=2-5,b=3.所以ax-by=(2-5)(2-5)-3(2+ (2)不是.理由如下： 5)=1-75. 因为(m+5)(1-5)=m-5m+5-3=-5+335, 第25期3版 所以m-5m=-2+23,即m(1-5)=-2(1-√5).所以 m=-2. 题号12345678 所以(m+3)+(5-5)=(-2+√5)+(5-5)=3 答案ACBACBDA ≠2.所以m+3与5-3不是关于1的平衡数. 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 2.(1)因为a+65=(m+5n)2=m2+3n2+2√阝mn,所以沿大正方形纸片边的方向不能剪出符合要求的长方形. 所以a=m2+3n2,6=2mn. 所以mn=3. 五2204+石=5V后 因为m,n为正整数，所以m=1,n=3或m=3,n=1. ②+-a+ 1 当m=1,n=3时，a=m2+3n2=28; 当m=3,n=1时，a=m2+3n2=12. (2)因为n为正整数，所以n+1>0.所以等式右边= 所以a的值为28或12. a++=√a+0n+2 /1 m+2n+1 ‘n+2=√n+2 (2)令√4-10+25+√4+√10+25=t /m2+2n +1 则2=4-10+25+4+√10+25 Nn+2 n+2√n+ +n+2=左边.所以等式成立. + 1 1 2√42-(W√10+25)2=8+2√/16-10-25 (3)√224+20m×V6078=2025 V2026 X 8+2√6-25=8+2(5-1)=6+25=(5+1)2. √3×2026=20255. 因为t>0,所以t=5+1. 23.(1)①。1 ②2 第26期综合测评卷 5+2: 5+5 (2)√3-√<-3.理由如下： 题号12345678910 压m而m3 一，因为 答案DACBBABB CA 3+厅>厅+3>0，所以3-厅<√厅-3. 二、11.2a√/2a;12.3;13.0.2ab: (3)因为x+1≥0，x-1≥0，所以x≥1. 14.35；15.3+22. 2 三、16.(1)96；(2)3√10. 因为y=打-可+3十后+3， 17.由题意，得a<-1,b>1. 所以当x=1时，分母√x+1+x-I有最小值2. 所以a+1<0,b-1>0,a-b<0. 所y的绿大值为后+3：反+3 所以原式=-(a+1)+2(b-1)-(b-a)=-a-1+ 2b-2-b+a=b-3. 第27期2版 18.(1)这场雷雨大约能持续0.2h. 20.1勾股定理及其应用 (2)这场雷雨区域的直径是9km. 20.1.1认识勾股定理 四、19.根据题意，得26-(-√6)=-n-2m 基础训练1.B;2.18;3.1. 4.(1)16+x2. 所以2m+n=-36 (2)因为BD=3,CD=x,所以BC=BD+CD=3+x 因为m,n互为相反数，所以m+n=0. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2. 所以2m+n=m+m+n=m=-36. 又因为AB=5,AC2=16+x2,所以52+16+x2=(3+ 所以n=36. x)2. 20.(1)(128+√50)×2=(82+52)×2=132 解得=乌 ×2=262(米).所以长方形ABCD的周长为262米. (2)128×√50-2×（√3+1）×(13-1)=80- 能力提高5.55或55. 20.1.2勾股定理的验证 2×12=56(平方米)，则56×30=1680（元），所以铺完整个 通道需要花费1680元. 基础训练1.D;2.4. 3.连接BF,图略. 21.(1)22. 因为AC=b,所以S正方形cE=B. (2)由题意，得a=2,b=22-2. 由题易得，△BAF为等腰直角三角形. 所以a+2b-42=2+2(22-2)-42=2+42- 4-42=-2. 所以5w=5a+5am=子2+宁b-aa+ (3)不能.理由如下： )=+28-72 因为长方形长、宽之比为2：1，所以设长方形的长和宽分 别为2xcm,xcm由题意，得2x·x=12.因为x>0,所以x= 又因为S正方形ACDE=S四边形ABDF: 6.所以2x=26.因为26=24>16=4，即26>4， 所以=2+- 2 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 所以+= 所以a=6,b=8. 16.△ABC为直角三角形.理由如下： 所以a2+b2=c2. 因为CD是△ABC的高，所以∠ADC=∠BDC=90°.在 20.1.3勾股定理的应用 Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=AD+CD2=42+22=20. 基础训练1.C；2.B;3.4m;4.10. 在Rt△CBD中，由勾股定理，得CB2=BD2+CD2=12+22= 5.在Rt△ABC中，AB=2米，BC=1.5米，由勾股定理，得 5.因为AB=AD+BD=4+1=5,所以AC2+CB=20+5 AC2=AB2+BC2=6.25. =25=AB2.所以△ABC为直角三角形. 所以AC=2.5米. 17.连接AB,过点C作CD⊥AB于点D,图略. 在Rt△DEC中，DE=2.4米，EC=AC=2.5米，由勾股定 由题意可得，BC=30km,AC=40km,∠ACB=90°. 理，得CD2=EC2-DE2=0.49. 由勾股定理，得AB2=AC2+BC. 所以CD=0.7米. 所以AB=50km. 所以BD=CD+BC=2.2米 因为Sam=4C;BC=4B;CD,所以40×30-0CD, 答：小巷的宽度为2.2米 2 2 2 2 20.2勾股定理的逆定理及其应用 解得CD=24km, 基础训练1.C;2.D;3.60;4.2. 因为24>23，所以这艘轮船沿着直线AB返航至港口B,没 5.(1)在Rt△ABC中，AB=15,BC=9,由勾股定理，得 有触礁的危险， AC2=AB2-BC2=144. 18.因为点N是FG的中点，FG=BC=6cm,所以FW= 因为AD=5,DC=13,所以AD2+AC2=169=DC2. FG=3cm因为AB=9cm,AM=3cm,所以BM=AB-AM 1 所以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°， =6cm.当展开图如图1所示时，因为BF=5cm,所以BW= (2)由(1)得AC2=14,所以AC=12. BF+FN=8cm.由勾股定理，得MW2=BM+BWN2=1O0.所 所以San=Sx+5aa=合AC,BC+分4C:AD 以MW=10cm. =3×2x9+3×12×5=84, 夕 6.(1)因为AB2+BC2=202+152=625,AC=252= 625,所以AB2+BC2=AC2 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90° M B P (2)设AD=x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则 图1 图2 CD=AD=x米，BD=(20-x)米. 当展开图如图2所示时，过点N作NP⊥BC于点P,则BP 在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD=BD2+BC2,即x2= =FN=3cm,NP=BF=5cm.所以PM=BM+BP=9cm. (20-x)2+152. 由勾股定理，得MW2=PM2+PW2=106.因为100<106，所以 解得x=125 它需要爬行的最短路程是10cm. 8 附加题1.(1)>. 答：这架无人机响下飞行的距商(4D的长)为紧米 (2)<.理由如下： 第27期3版 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,图略.所以BD =BC+CD=a+CD.在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2,在 Rt△ACD中，AD2=AC2-CD,所以AB2-BD2=AC2-CD2, 题号12345678 即c2-(a+CD)2=2-CD2,整理，得a2+b2=c2-2a·CD. 答案A C CABDA D 因为a>0,CD>0,所以a2+b2<c2 二、9.9；10.3cm;11.合格；12.12； 2.(1)方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角 13.8,10；14.28或8. 形的面积，即最后化简为c2+ab; 三、15.(1)由勾股定理，得c2=a2+62=92+402=412, 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积和+两个直 所以c=41. 角三角形的面积，即最后化简为a2+b2+ab.根据面积相等，直 (2)因为a:b=3:4,所以设a=3k,b=4k(k>0). 接得等式c2+ab=a2+b2+ab,所以a2+b2=c2. 由勾股定理，得c2=a2+62=(3k)2+(4k)2=25k2= (2)因为HB=4千米，设CA=AB=x千米，则AH=(x (5k)2. 4)千米，在Rt△ACH中，CH=6千米，由勾股定理，得CA2=C 又因为c=10,所以5k=10, +A,即2=62+(x-4)2,解得x=6.5,即CA=6.5千米 解得k=2. 答：原路CA长6.5千米. —3 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 第28期综合测评卷 21.(1)因为AB=20,AC=16,BC=12,所以AC2+BC2 =162+122=400,AB2=202=400, 题号12345678910 所以AC+BC2=AB2. 答案CBAACDBA CC 所以△ABC是直角三角形 (2)连接BE,图略。 二、11.6；12.4（答案不唯一）；13.北偏西60°； 因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD,AE=BE. 1441米：15.2s或跨。 由(1)可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， 三、16.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90° 设CE=x,则BE=AE=AC-CE=I6-x. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=172- 在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE+CB=BE,即x2+ 82=225,所以BD=15. 122=(16-x)2,解得x=2 7 所以CD=BC-BD=21-15=6. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD+CD=82+62 所以Saue=Sar-SacE=4C·BC-CE·BC= =100,所以AC=10. 17.在△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理，得BD2=AD 75 -AB2=902-602=4500, 所以5=分5空 在△BCD中，BC2+CD2=302+602=4500, 五、22.(1)海港C受台风影响.理由如下： 所以BC+CD2=BD2. 如图2，过点C作CD⊥AB于点 所以△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°. D.因为AC=300km,BC=400km. 所以BC⊥CD, ∠ACB=90°，所以在Rt△ABC中，由 所以该车符合安全标准， 勾股定理，得AB2=AC+BC2= 18.补充过程如下：所以S四边形BDE=S△Bc+S△F+ 图2 S长方形DCFE= 6+分b+66-o）=6,S能=5s+ 1 5002.所以AB=500km.因为S AABC= 24CBC=分4B.GD,所以CD=240km因为以台风中心 Se=+(b+@)b-a)=2+22-d,所以 为圆心周围250km以内为受影响区域，所以海港C受到台风 =之+6-2，所以心+= 影响. (2)如图2，当EC=FC=250km时，台风正好影响海港 四、19.(1)由题意，得BC=80米，AB=100米，CD=BE C.在Rt△CDE中，由勾股定理，得ED2=CE2-CD2=4900. =1.5米，∠ACB=90° 所以ED=70km.因为EC=FC,CD⊥AB,所以EF=2ED= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2-BC2=3600. 140km.因为台风中心移动的速度为20km/h,所以140÷20= 所以AC=60米. 7(小时)，即台风影响海港C持续的时间为7小时. 所以AD=AC+CD=61.5米. 23.(1)点M,N不是线段AB的“勾股分割点”.理由如下： 所以风筝离地面的垂直高度为61.5米. (2)由题意，得BF=60米，A'B=100-32=68(米)，FG 因为AM=2,MN=3,NB=4,所以AM2+MW2=22+32 =BE=1.5米，∠A'FB=90 =13≠NB2,所以以AM,MW,NB为边的三角形不是一个直角 在Rt△A'BF中，由勾股定理，得A'FP=A'B2-BFP= 三角形.所以点M,N不是线段AB的“勾股分割点” 1024. (2)①因为点M,N是线段AB的“勾股分割点”，MW为以 所以A'F=32米 AM,MN,NB为边的三角形的最长边，且AM=0.7,BN=2.4, 所以A'G=A'F+FG=33.5米. 所以MN2=AM+NB2=0.72+2.42=2.52,所以MW=2.5. 61.5-33.5=28(米)，所以此时风筝下降28米. 所以AB=AM+BN+MN=5.6. 20.(1)如图1所示，点P即为所求. A ②设BW=x,则MW=AB-AM-BN=12-4-x=8- (2)如图1，过点B作BE垂直于AC于 x.因为点M,N是线段AB的“勾股分割点”，AM为以AM,MW, 点E.由题意，得A1C=AC=2cm,BE= NB为边的三角形的直角边，且AM=4,所以当BW为直角三角 10cm,CE=BD=26-4=22(cm).所以 形的斜边时，BW2=MW2+AM,即x2=(8-x)2+42,解得x A,E=A1C+CE=24cm.在Rt△A,BE中， =5,此时BW=5;当BW为直角三角形的直角边时，MW2= 图1 由勾股定理，得AB2=AE2+BE2=676,所以AB=26cm, AM2+BW,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,此时BN=3. 即蚂蚁爬行的最短路径长是26cm. 综上所述，BW的长为3或5. 4