第26期 第十九章 二次根式 综合测评卷-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期(2026年1月) 第25期2版 二、9.5n√2m:10.5;11.50;12.36m2; 19.1二次根式及其性质 13.2026；14.2或-2. 基础训练1.B;2.A;3.π-3；4.5. 三15.(1)42；(2)3：(3)145. 5.(1)）根据题意，得3-≥0.解得≤6 16.(1)A (2)一，计算(25)2时，没有将“2”平方. (2)当x=-2时，5-=√-分×(-2)= （3)原式=21-子5. √/3+1=2 17.(1)由题意，得正方形AGFE的边长为：√192=83(cm). (3)因为二次根式/3- 的值为零，所以3-之=0 1 所以AD=AE-DE=65cm,AB=AG-BG=3cm. 解得x=6. 所以长方形木板ABCD的面积为：6√3×√3=18(cm2). 能力提高6.设长方形封皮的宽为xcm,则长为3xcm. (2)木工乙的想法可行.理由如下： 根据题意，得x·3x=210. 解得x=√0（负值舍去） 根据影意，得栽出木料的长为：2÷9.4,6(cm).因为 因为√7而<√100，所以正方形卡片不能直接装进长方形 封皮中. 46v6,6510s5=所以46<65 19.2二次根式的乘法与除法 √3.所以可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行. 基础训练L.C;2.C;3.√6. 18.(1)6-5 4.(1)21; (2)25;(3)32 (2)原式= 2-2 6-2 : (2+2)(2-2)(6+2)(6-2) (4)310 ⑧-√6 √96-94 2 (5)5mm;(6)40 5xy21 +…+ + (8+6)(⑧-6) (96+√94)（√96-94） 5.(1)6:(2)24;(3)8ab. （s+6(8-52-5+,6-2+…+ √98-96 19.3二次根式的加法与减法 基础训练1.C;2.145,50;3.4;4.-6. 5(65:(a)4,(35+77 6-g+vs-v06)=之(-2+v8)=(-万 +72)=32. 能力提高6.(1)因为x=2-3,y=2+5,所以xy= (2-3)(2+5)=1,(x-y)2=(2-5-2-3)2=12. (3)因为a=0-3所以a而+3.所以a-3 所以x2+y2-y=(x-y)2+xy=13. √10.所以(a-3)2=10.所以a2-6a=1.所以12a-2a2+6 (2)因为1<3<2，所以0<2-5<1,3<2+3< =-2(m2-6a)+6=-2+6=4. 4.所以2-3的小数部分是2-√3,2+√5的整数部分是3，即 附加题1.(1)-3+2. a=2-5,b=3.所以ax-by=(2-√3)(2-√5)-3(2+ (2)不是.理由如下： 3)=1-73. 因为(m+3)(1-3)=m-√3m+3-3=-5+33, 第25期3版 所以m-√3m=-2+23,即m(1-√3)=-2(1-√3).所以 m=-2. 题号 1 2 3456 78 所以(m+√3)+(5-5)=(-2+5)+(5-√3)=3 答案A ≠2.所以m+3与5-5不是关于1的平衡数. 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 2.(1)因为a+65=(m+5)2=m2+3n2+23mm,所以沿大正方形纸片边的方向不能剪出符合要求的长方形. 所以a=m2+3n2,6=2mn. 所以mn=3. 五2104+石=5V: 因为m,n为正整数，所以m=1,n=3或m=3,n=1. ②a++2=a+V+ 1■ 当m=1,n=3时，a=m2+3n2=28; 当m=3,n=1时，a=m2+3n2=12. (2)因为n为正整数，所以n+1>0.所以等式右边= 所以a的值为28或12. a+)V+2=√a+1)n+2 /1 2+2n+1 ‘n+2√n+2 (2)令V√4-V√10+25+√/4+√10+25=t. /n2+2n +、1 则=4-√10+25+4+√10+25 + n+2 n+2√n+ +n+2=左边.所以等式成立 1 /1 2W42-(V√10+25)2=8+2√16-10-2√5 (3)√24+20m6×√6078=2025 V2026 8+2√6-25=8+2(5-1)=6+25=(5+1)2. 3×2026=20253. 因为t>0,所以t=5+1. 23.(1)①。1 2 第26期综合测评卷 3+2:② 5+5 (2)3-√T<√T-3.理由如下： 题号12345678910 丽而Bm3因为 答案DAC B BAB BC A √3+行>T+3>0,所以3-<√T-3. 二、11.2a√2a;12.3；13.0.2ab: (3)因为x+1≥0，x-1≥0，所以x≥1. 14.35;15.3+22. 2 三、16.(1)9√6；(2)3√10. 因为y+T可+3=十后+3 17.由题意，得a<-1,b>1. 所以当x=1时，分母√x+I+x-T有最小值2. 所以a+1<0,b-1>0,a-b<0. 厅以y的最大值为：号+3三2+3 所以原式=-(a+1)+2(b-1)-(b-a)=-a-1+ 2b-2-b+a=b-3. 第27期2版 18.(1)这场雷雨大约能持续0.2h. 20.1勾股定理及其应用 (2)这场雷雨区域的直径是9km. 20.1.1认识勾股定理 四、19.根据题意，得26-（-√6)=-n-2m. 基础训练1.B;2.18;3.1. 4.(1)16+x2. 所以2m+n=-36. (2)因为BD=3,CD=x,所以BC=BD+CD=3+x 因为m,n互为相反数，所以m+n=0. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2. 所以2m+n=m+m+n=m=-36. 又因为AB=5,AC2=16+x2,所以52+16+x2=(3+ 所以n=36. x)2. 20.(1)(128+√50)×2=(82+52)×2=132 解得=乌 ×2=262(米).所以长方形ABCD的周长为262米. (2)√128×√50-2×（√13+1）×（√13-1）=80- 能力提高5.55或55. 2×12=56(平方米)，则56×30=1680（元），所以铺完整个 20.1.2勾股定理的验证 通道需要花费1680元. 基础训练1.D;2.4. 3.连接BF,图略. 21.(1)22. 因为AC=b,所以S正方形cE=b. (2)由题意，得a=2,b=22-2. 由题易得，△BAF为等腰直角三角形. 所以a+2b-42=2+2(22-2)-42=2+42- 所以S8Er=SAar+Samr=之2+分(6-a)(a+ 4-42=-2. (3)不能.理由如下： 2 因为长方形长、宽之比为2：1，所以设长方形的长和宽分 别为2xcm,xcm.由题意，得2x·x=12.因为x>0,所以x= 又因为S正方形ACDE=S四边形ABDP 6.所以2x=26.因为26=√24>16=4，即26>4， 所以=+-2 2 -2 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 所以2+28= 所以a=6,b=8. 16.△ABC为直角三角形.理由如下： 所以2+b2=c2. 因为CD是△ABC的高，所以∠ADC=∠BDC=90°.在 20.1.3勾股定理的应用 Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=42+22=20. 基础训练1.C;2.B;3.4m;4.10. 在Rt△CBD中，由勾股定理，得CB2=BD2+CD2=12+22= 5.在Rt△ABC中，AB=2米，BC=1.5米，由勾股定理，得 5.因为AB=AD+BD=4+1=5,所以AC2+CB2=20+5 AC2=AB2+BC2=6.25 =25=AB.所以△ABC为直角三角形. 所以AC=2.5米. 17.连接AB,过点C作CD上AB于点D,图略 在Rt△DEC中，DE=2.4米，EC=AC=2.5米，由勾股定 由题意可得，BC=30km,AC=40km,∠ACB=90°. 理，得CD2=EC2-DE2=0.49. 由勾股定理，得AB=AC2+BC2. 所以CD=0.7米. 所以AB=50km. 所以BD=CD+BC=2.2米. 因为Sa-4C;BC=4B;CD,所以40X30-0CD, 答：小巷的宽度为2.2米 2 2 2 2 20.2勾股定理的逆定理及其应用 解得CD=24km, 基础训练1.C;2.D;3.60;4.2. 因为24>23，所以这艘轮船沿着直线AB返航至港口B,没 5.(1)在Rt△ABC中，AB=15,BC=9,由勾股定理，得 有触礁的危险. AC2=AB2-BC2=144. 18.因为点N是FG的中点，FG=BC=6cm,所以FV= 因为AD=5,DC=13,所以AD2+AC2=169=DC2. G=3cm.因为AB=9cm,AM=3cm,所以BM三A正 所以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°. =6cm.当展开图如图1所示时，因为BF=5cm,所以BW= (2)由(1)得AC2=144,所以AC=12. BF+FV=8cm.由勾股定理，得MW2=BM+BN2=100.所 所以S5n=Sc+SAn=2AG,BC+2AG:AD 以MN=10cm. H =7×12x9+7×12×5=84, 6.(1)因为AB2+BC2=202+152=625,AC2=252= 625,所以AB2+BC2=AC2. 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90. M B P C (2)设AD=x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则 图1 图2 CD=AD=x米，BD=(20-x)米 当展开图如图2所示时，过点V作NP⊥BC于点P,则BP 在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2=BD+BC,即x2= =FN=3cm,NP=BF=5cm.所以PM=BM+BP=9cm. (20-x)2+152. 由勾股定理，得MW2=PM2+P2=106.因为100<106，所以 解得x=125 它需要爬行的最短路程是10cm. 8 附加题1.(1)>. 答：这架无人机向下飞行的距离(0的关)为空米 (2)<.理由如下： 第27期3版 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,图略.所以BD =BC+CD=a+CD.在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD,在 Rt△ACD中，AD2=AC-CD2,所以AB2-BD2=AC-CD2, 题号123456 78 即c2-(a+CD)2=b2-CD2,整理，得a2+b2=c2-2a·CD. 答案AC C A BD A D 因为a>0,CD>0,所以a2+b2<c2. 二、9.9；10.3cm:11.合格：12.12： 2.(1)方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角 13.8,10;14.28或8. 形的面积，即最后化简为c2+ab: 三、15.(1)由勾股定理，得c2=a2+b2=92+402=412, 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积和+两个直 所以c=41. 角三角形的面积，即最后化简为a2+b2+ab.根据面积相等，直 (2)因为a:b=3:4,所以设a=3k,b=4h(k>0). 接得等式c2+ab=a2+b2+ab,所以a2+=c2. 由勾股定理，得c2=a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2= (2)因为HB=4千米，设CA=AB=x千米，则AH=(x (5k)2. 4)千米，在Rt△ACH中，CH=6千米，由勾股定理，得CA2=C 又因为c=10,所以5k=10, +A,即x2=6+(x-4)2,解得x=6.5,即CA=6.5千米 解得k=2. 答：原路CA长6.5千米 3 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 第28期综合测评卷 21.(1)因为AB=20,AC=16,BC=12,所以AC+BC2 =162+122=400,AB2=202=400, 题号12345678910 所以AC+BC2=AB2. 答案C BAA C DBA CC 所以△ABC是直角三角形. (2)连接BE,图略。 二、11.6：12.4（答案不唯一）；13.北偏西60°； 1441米：15.2或空。 因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD,AE=BE. 由(1)可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. 三、16.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90. 设CE=x,则BE=AE=AC-CE=16-x 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=172- 在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE2+CB=BE,即x2+ 82=225,所以BD=15. 所以CD=BC-BD=21-15=6. 122=(16-)3,解得x=子 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=82+62 所以Sam=Sam-SE=7AC~BC-CEBC= =100,所以AC=10. 75. 17.在△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理，得BD2=AD -AB2=902-602=4500. 所以Som=宁56e-空 1 在△BCD中，BC+CD2=302+602=4500. 五、22.(1)海港C受台风影响.理由如下： 所以BC2+CD2=BD2, 如图2，过点C作CD⊥AB于点 所以△BCD是直角三角形，且∠BCD=90. D.因为AC=300km,BC=400km, 所以BC⊥CD, ∠ACB=90°，所以在Rt△ABC中，由 所以该车符合安全标准。 勾股定理，得AB2=AC2+BC2= 18.补充过程如下：所以S网边形BDE=S△ABc+S△AEF+ 图2 5002.所以AB=500km.因为S△ABc= SgcE=了ab+74b+6(6-a】=,SE=SE+ 之4C:8C=号4B:CD,所以cD=240km因为以台风中心 Se=72+7(6+a)6-a)=72+2-7d,所以 为圆心周围250km以内为受影响区域，所以海港C受到台风 8=+-,所以心+份=日 影响. (2)如图2，当EC=FC=250km时，台风正好影响海港 四、19.(1)由题意，得BC=80米，AB=100米，CD=BE C.在Rt△CDE中，由勾股定理，得ED2=CE2-CD2=4900. =1.5米，∠ACB=90°. 所以ED=70km.因为EC=FC,CD⊥AB,所以EF=2ED= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2-BC2=3600. 140km.因为台风中心移动的速度为20km/h,所以140÷20= 所以AC=60米. 7(小时)，即台风影响海港C持续的时间为7小时. 所以AD=AC+CD=61.5米. 23.(1)点M,V不是线段AB的“勾股分割点”.理由如下： 所以风筝离地面的垂直高度为61.5米. 因为AM=2,MN=3,NB=4,所以AM+MN2=22+32 (2)由题意，得BF=60米，A'B=100-32=68(米)，FG =BE=1.5米，∠A'FB=90. =13≠NB,所以以AM,MW,NB为边的三角形不是一个直角 在Rt△A'BF中，由勾股定理，得A'F2=A'B-BFP= 三角形.所以点M,N不是线段AB的“勾股分割点”. 1024. (2)①因为点M,V是线段AB的“勾股分割点”，MN为以 所以A'F=32米. AM,MN,NB为边的三角形的最长边，且AM=0.7,BW=2.4, 所以A'G=A'F+FG=33.5米. 所以MW=AM+NB2=0.72+2.42=2.52,所以MN=2.5. 61.5-33.5=28(米)，所以此时风筝下降28米 所以AB=AM+BN+MN=5.6. 20.(1)如图1所示，点P即为所求 A ②设BN=x,则MN=AB-AM-BN=12-4-x=8- D (2)如图1，过点B作BE垂直于AC于 x.因为点M,V是线段AB的“勾股分割点”，AM为以AM,MW, 点E.由题意，得A,C=AC=2cm,BE= NB为边的三角形的直角边，且AM=4,所以当BN为直角三角 10cm,CE=BD=26-4=22(cm).所以 E 形的斜边时，BN2=MW2+AMP,即x2=(8-x)2+42,解得x A,E=A1C+CE=24cm.在Rt△A,BE中， 图1 =5,此时BN=5;当BN为直角三角形的直角边时，MN2= 由勾股定理，得A,B2=AE2+BE2=676,所以A,B=26cm, AM+BW2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,此时BN=3. 即蚂蚁爬行的最短路径长是26cm. 综上所述，BW的长为3或5.《二次根式》综合测评卷 班级： 姓名 学号： 满分：120分 题号 三 四 五 总分 得分 郑 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 1.式子a-6在实数范围内有意义，则a的值可以是 A.-3 B.0 C.4 D.6 2.计算3×√5的结果为 A.15 B.10 C.22 D.2 3.若√a是最简二次根式，则a的值可能是 和 A.8 B.1.5 C.2 D.-2 4.若12+√=√27，则x的值是 A.2 B.3 C.8 D.15 5.二次根式x 化成最简结果为 A. B.-x C. -x 6.估计√21 ×(2+1) 的值应在 A.23和24之间 B.22和23之间 C.21和22之间 D.20和21之间 阳 7.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式， 也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为α，b,c,则该三角形的面积为S= 26-4+B-C.现已知△ABC的三边长分别为a=3,b=2,c=5 兴 的面积为 A子m C.√1I D.15 8.李老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图1，李老师 把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算.规则是每 人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子出现错误的是 李老师 明明 芳芳 琪琪 佳佳 F-- (2+√18 1 /1 /1 1 )÷3 !→ √2÷3+18. 3→4+ 4。。 今2+36 →21 6. 图1 A.明明和芳芳 B.芳芳和琪琪 C.琪琪和佳佳 D.芳芳和佳佳 9.若m为实数，在“(7+2)☐m”的“☐”中添上一种运算符号（在“+”“-”“×”“÷”中选 择)后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是 ( A.7+2 B.7-2 C.27 D.2-√7 10.如图2，一个长方形被分割成四部分，已知图形①②③都是正 ③ 方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为2√2，则正方形①的 ① 面积为 ( ② A.12+82 B.8+82 图2 C.24 D.28 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.化简：√8a= 12.若√x-3+√3-x有意义，则x的值为 13.设2=a,3=b,则用含a,b的式子表示0.24为 14.一切运动的物体都具有动能E(单位：焦耳)，其大小由物体的质量m(单位：千克)和运 动速度（单位：未/秒）决定，计算公式为E:=7m2,在2025年3月23日举行的全国马拉松锦 标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军.若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她 某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒（结果保留根号）. 15.已知√2-m+(n- 1一)2=0，则n"的值为 2-1 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16.计算： (1)524-4,/ 3 +√6； (2)(320-15)×2. 17.实数a,b在数轴上的位置如图3所示，试化简：√/(a+1)2+2√/(b-1)2-1a-b1. -2-10123 图3 18.某地气象资料表明：该地的雷雨持续时间()可以用公式1-√来估计，其中 d(km)是雷雨区域的直径. (1)若某次雷雨区域的直径为6km,那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)若一场雷雨持续了0.3h,那么这场雷雨区域的直径是多少千米？ 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.在平面直角坐标系中，点A(a,b),B(c,d),若c-a=d-b≠0，则称点A与点B互为“等 差点”，例如：点A(-1,3),点B(2,6),因为2-(-1)=6-3≠0，所以点A与点B互为“等差 点”.若点A(-√6,2m)与点B(2√6，-n)互为“等差点”，且m,n互为相反数，求m,n的值. 20.如图4，某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC为√128米，宽AB为 √50米，现要在长方形绿地ABCD中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部 分)，每个小长方形花坛的长为（√13+1）米，宽为(13-1)米. (1)求长方形ABCD的周长（结果化为最简二次根式）； (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的 地砖，则铺完整个通道需要花费多少元？ 图4 21.如图5，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm的大正方形纸片. (1)小正方形纸片的边长为 cm; (2)在(1)的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a,小数部分为b,求a+2b -42的值； (3)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽 之比为2：1，且面积为12cm2?若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由. 图5 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22.【观察思考】 +=2 第1个等式：1+ 1 3 第2个等式：√2+4 1 =3 1 V4 第3个等式：3+5=4√5 1 1 【规律发现】(1)①直接写出第4个等式： ②如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律： 【规律验证】(2)验证②中的运算规律； 【规律应用】(3)根据上述规律，试化简：√2024+2026 ×√6078. 23.我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫作 “分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式 比如：7-v6=(7-6)(7+6 1 √7+√6 √万+6 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，比如：比较7-√6和6-√5的大小，可以 先将它们分子有理化如下： 7-6= 1 7+6 6-5=6-5)(6+5) 、1 脚 6+5 6+5 因为7+6>6+5>0，所以√7-6<√6-5. 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①3-2=：②5-3 (2)比较√13-√11和√11-3的大小，并说明理由. (3)求y=√x+1-√x-1+3的最大值 烯 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)