第31期 16.1 变量与函数 16.2 函数的图象-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大八年级第27~31期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大八年级 第27~31期(2026年1月) 第27期2版 第27期3版 15.1分式及其基本性质 题号12345678 15.1.1分式 答案BAA CDBCA 基础训练1.C;2.B;3.x≠1. 4.(1)m≠0；(2)x为全体实数； 二9≠19：105或 (3)2a≠b;(4)x≠3且x≠2. 12.1或2. 5.()修这段路实际用的天数00它是分式 三、13.(1)最简公分母是a62 1500 (2当x=135时，原武=2×135+30=5 1 b 、2 2 6=a不，扇 a263 答：当x=135时，实际修完这段路用了5天 (2)最简公分母是x(x+y)(x-y). 15.1.2分式的基本性质 1 Y 基础训练1.C;2.C;3.B;4.A. -7=x(x+y)(x-刀=- 5.(1)2m;(2)9-29 1 x-Y a +2b 2+yx(x+y)(x-y=2 6.(1)最简公分母为10a2b2c. 14.(1)6xy;(2)a+5; 3a-3a·2a2-6a3 5b2c=10a262c=10a262c )算：a6 7c -7c·bc7bc2 10a6=10a8c=10dbe 15甲工程队修90m所用的时间为，”：天，乙工程认修 (2)最简公分母为2x(x+1)(x-1). xX2(x-1) x3-x2 60m所用的时间为，600 2+2x2x(x+1)(x-1)）=2x-2x （a-2)无 ”a2"0+。-o-8:- 900 600 900 1 2(x+1) 2x+2 2(a+2) 2-x=2x(x+1)x-1=2-2 3a-6 15.2.1分式的乘除 2a+4 15.2.1.1分式的乘除 答：甲工程队修900m所用的时间是乙工程队修600m所 基础训练1.B;2.C: 3.+2y+2 用时间的2，兰格。 x-Y 16.a+b 4.(1)a+a 15b (2) 6(3)-1. a+(a-b)证明如下： a23+b3 (a+b)(a2-ab+b) 5.(1)③. a2+(a-b)=[a+(a-b)][a2-a(a-b)+(a-b) (2)原式=m-4.2-m (a+b)(a2-ab+62) m2-4m+42 [a+(a-b)](a2-ab+b2) =(m+2)(m-2).2-m a+b (m-2)2 2 a+(a-b) =-m+2 附加题1.因为abc=1,所以1 ab+b+1=ab +b+abe 2 ac 15.2.1.2分式的乘方 a+l+ae'le +c+1=a(be+e+1)=abe+ae+a=I+ac+a 基础训练1.C；2.-3. 2.因为2x+y≠1，所以2x+y-1≠0.所以 3.1)(2)0:(3)- ·丹 2x2-x-y-x+y 初中数学·华东师大八年级第27~31期 (x+)(2x+y-1=+Y因为2+xy-2y2=0,所以(x+ (x-y)(2x+y-1)x-y 16(1)令x=0,得a-合=2： 2y)(x-y）=0.根据分式有意义的条件，得x-y≠0.所以x+ 令x=-2,得-a-b=-6. 2y=0所以=-2水所以原式=二多=分 所以台-2，得 lb=3. 第28期2版 1-a-b=-6. 15.2.2分式的加减 15.2.2.1同分母分式相加减 2+=号-+2 x2-1 基础训练1.A;2.D;3.B; 兴 4.(1)x-1,(2)±5. 522 所以P+g=-3·解得=-2， L-p+g=1. lg=-1. 6.原式=a+￡ 附加题1.(1)因为9+=3,6+9=4，+4=5，所以 ab be ca a-b 日+ + 1 当a=3,6=-2e=-1时，原式=号 -=4,1+=5 a c 15.2.2.2异分母分式相加减 所以2（合+片+之）=3+4+5e2 a 基础训练1.B;2.C；3.B;4.16. 5w2,2合：(3)2+台 所以片+古+=6 a-b (2)b+bc+c0=1+1+⊥=6. 能力提高6B. abc a b 15.2.2.3分式的混合运算 因为+片+=6日 11 11 ,a+=3，方+ =4. 基础训练1.C:2.1 "a-4 +=5所以日=2=1，=3 3.(1)a+1:(2)+2 x+3 所以a=宁b=1e=子 4.原式=x-1.根据分式有意义的条件，得x-1≠0，x- 2.(1)C是D的“差常分式”.证明如下： 2≠0.所以x≠1，x≠2.当x=3时，原式=2. 能力提高5.B. 因为C-0=品号=3>0，所以c是 x+1 第28期3版 D的“差常分式”，C关于D的“差常值”为3. 题号12345678 (2)由题意，得E-F=（x+1)(x-_(x-6= x+2 答案CBCCABAA x+2 2-a心+x-a-2+c=6-a+1)x-0=2 二、9.1；10.1；11.2025.5；12.16. x+2 x+2 三13.(10a+b:(2)36:(3)5-x 1 所以(b-a+1)x-a=2x+4. 所以b-a+1=2,-a=4. 14.(1)根据题意，得所捂部分为：x+1 .x2-x+1 解得a=-4,b=-3.所以a+b=-7. 第29期2版 422山少 一十 (x+1)2 x+1 15.3可化为一元一次方程的分式方程 +-1 x2 15.3.1分式方程的定义及解法 +i=+面 基础训练1.B;2.D;3.C;4.0或12；5.-1. (2)因为x2-x-1=0,所以x2=x+1. 6.()x=1;(2)x=号；(3)无解 所以 15.3.2分式方程的应用 s124-8-6心t08业： 基础训练1.B;2.B;3.600. a(a+b) 4.设斗容1.0立方米的装载机每小时装车x立方米，则斗 a2 ab+b2 容0.5立方米的装载机每小时装车(x-180)立方米. a2 +ab 若4A斯岩华6 根据题意，得2×170=200解得x=40 经检验，x=440是原分式方程的解，且符合题意 等式两边同时乘以2a(a+b),得a2+2ab+b2=4ab. 所以x-180=260. 化简，得a2-2ab+b2=0,即(a-b)2=0. 答：斗容1.0立方米的装载机每小时装车440立方米，斗容 所以a=b. 0.5立方米的装载机每小时装车260立方米， 2 初中数学·华东师大八年级第27~31期 5.(1)设乙数据中心每小时迁移xTB数据，则甲数据中心这款书签2x个 每小时迁移5xTB数据. 根据题意，得000-1600=1.解得x=200. 根据题意，得30-10=5.解得x=2. 2x x 5x 经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意.所以2x 经检验，x=2是原分式方程的解，且符合题意 =400. 所以5x=10. 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款 答：甲数据中心每小时迁移10TB数据，乙数据中心每小 书签400个 时迁移2TB数据。 (2)设第一次销售时每个书签的售价为m元， (2)设甲数据中心工作y小时，则乙数据中心工作(8-y) 小时. 根据题意，得20m+40×号m+40x1-号m×0.5 根据题意，得10y+2(8-y)≥56. ≥1880+1000+1600.解得m≥8. 解得y≥5. 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元 答：甲数据中心至少需要工作5小时. 附加题1.(1)x=6. 15.4零指数幂与负整数指数幂 (2)1 1 15.4.1零指数幂与负整数指数幂 74644+ (3)答案不惟一，如1 1 基础训练1.C；2.C;3.0.0000076;4.< 知x-n+2x-n+1=x-n, 30927:85 x-几-2这个方程的解为x=n 1 15.4.2科学记数法 2.(1)①×；②√；③×. 基础训练1.A;2.2×107. 3.(1)0.43=6.4×10-2(m3), (2)因为数对[n2-3,-n2]是关于x的分式方程a+1= 所以这个盲盒的体积是6.4×102m3; 6的“关联数对，所以心，3+1=-心的解为x=一3元 1 (2)6.4×102÷(1×103)3=6.4×10(个)， 所以需要6.4×10？个这样的小立方块才能将盲盒装满. 第29期3版 n2+1 题号 12345678 (3)因为数对[m-k,k]是关于x的分式方程a+1=b的 “关联数对，所以“1=k的解为=0一1=六所 1 x 1 二9.310.3y-2y-1=0:1山.3；12.方案三 以m(m-)+1=k所以k=m2+1 三、13.(1)x=11；(2)x=0；(3)无解 m+1 14.设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均 第30期综合测评卷 每小时包(x+20)个粽子. 根银题京，得9。-2四解得x=m 题号12345678910112 x 答案DBBDBAABD BCB 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意 所以x+20=100. 二13牙；147：15.m；162或6或8 答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每 小时包80个粽子 三、17.(1)abc2；(2). x+2 15.(1)A=-4 18.(1)x=3;（2)无解. x-1 19.设该工程队原计划每天完成x米，则在完成600米的施 （2)A+B=二4+二2m=2m4红=1.根据分式有 x-1 1-x x-1 工任务后每天完成1.5x米. 意义的条件，得x≠1，x≠-1，x≠4,2m4红=1两边同乘(x 根据题意，得300-600_3000-60=4.解得x= x-1 1.5x 200. -1),得2m-4x=x-1.解得x=1+2m.因为A+B=1的 5 经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意. 解是非负数，所以x≥0，即+2m≥0且+2m≠1,1+2m≠ 答：该工程队原计划每天完成200米. 5 5 5 4解得m≥-子且m≠2m≠号所以m的取值范围是m≥ 20(1)因为日+子=1，所以2a+b=k所以，治= a atb b+2a-0=a+b= 子且m≠2，m≠号 a+b 0*6s1. .11 16.(1)设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进 (2)因为了=m,所以y=m所以x-y= 一3 初中数学·华东师大八年级第27~31期 -mxy.所以2-3y-2y=2(x-y）-3y=-2my-3y 5.(1)点A,B,C,D的坐标依次为：A(3,2),B(-3,4), x+xy-y x-y xy -mxy xy C(-4,-3),D(3,-3); =-2m-3)y=-2m-3=7 (-m+1)xy m+=3解得m=16. (2)图略，得到的封闭图形是一个直角三角形. 16.2.2函数的图象 21.(1)当m=3时，该方程的解为x=-4. (2)方程两边同乘(x+1)(x-2),得2x+2+mx=3x- 基础训练1.D;2.C；3.-1<x<1或x>2; 6.整理，得(m-1)x=-8.由分式方程无解，得m-1=0或(x 4.25. +1)(x-2)=0.解得m=1,x=-1或x=2.当x=-1时， 5.图略.当x=1时，y=2x+1=3<√10.所以点(1， m-1=8,解得m=9;当x=2时，2(m-1)=-8,解得m= √0)在该函数图象的上方. -3.综上所述，m的值是1或9或-3. 6.(1)由图象可知，A点表示小王开始收割前微信零钱有 22.(1)设95号汽油的单价为x元/升. 2000元. 由题意，得0+10=0解得x=8 x (2)由图象可知，收割20亩后，微信零钱为3600元.所以 收割机收割一亩小麦：(3600-2000)÷20=80（元）. 经检验，x=8是原分式方程的解，且符合题意. (3)a=2000+50×80=6000. 答：95号汽油的单价为8元/升 275号 (4)全天收割小麦共收入：2840+4000=6840（元）. 第31期3版 (3)金额.理由如下： 题号12345678 甲、乙两人同时去同一家加油站加两次95号汽油，两次的 答案BAACACCB 汽油价格有变化，第一次x元/升，第二次y元/升，且x≠y.两 人的加油方式也不同，其中甲每次总是加汽油a升，乙每次总 二、9.(-2,3)；10.8；11.y=1.8x+32;12.(224,0) 是加汽油b元。 三、13.(1)学校、汽车站的坐标分别为(1,3)，(2，-1)： 所以甲两次加浦的平均单价为：2“：生（元/升： (2)他路上经过的地方有：商店、公园、汽车站、水果店、学 校、娱乐城、邮局 乙两次加油的平均单价为：力+6=2y(元/升). 14.(1)将x=1,y=4代人y=2x+b,得2+b=4.解得 b b=2. 因为-=“”- (2)图略. 2(x+y) 2(x+y)x≠y,且 15.(1)因为点P在AB上运动，所以0≤x≤4.根据题意， t>0,y>0,所以(x-y)2>0,2(x+)>0.所以x-少 > 2(x+y) 得y=4×8-分×8=-4标+320≤≤4 0.所以产十Y-2丝>0，即甲两次加油的平均单价比乙两次加 (2)当阴影部分的面积等于20，即y=-4x+32=20.解 2 x+y 得x=3.所以PB=3. 油的平均单价高，故建议按相同金额加油更合算. 16.(1)当x=-3时，y=-2×(-3)+1=7; 第31期2版 16.1变量与函数 当=2时y=分x2-子=宁 2 ①变量与函数 (2)A. 基础训练1.C;2.单价 (3)①当x<1时，-2x+1=1,解得x=0,符合题意； 3.(1)常量是6；变量是n,t. (2)常量是40：变量是s,t ②当发≥1时，宁是=1，解得x=5,符合题意。 3 4.(1)190: 综上所述，输人的x值为0或5. (2)水池的容积是常量；抽水时间、抽出水的体积、水池中 附加题1.(1)根据题意，得2-m=-1.解得m=3.所 水的体积是变量. 以M(-1,1).所以MN=1-(-4)=5. ②变量与函数 (2)根据题意，得-(2m-5)-（2-m)=4.解得m= 基础训练1.B;2.D;3.y=24x+3. -1.所以2-m=3,2m-5=-7.所以点M的坐标为(3，-7). 4.(1)y是x的函数.理由如下： 存在两个变量：买地砖需要的钱数y和小路的宽度x,对于 2.(1)1:点B表示乙行骏弩h时，甲，乙两人相遇；点C表 每一个x的值，y都有惟一确定的值与之相对应，符合函数的定 示乙行驶5h时，甲、乙两人相距35km. 义，所以y是x的函数. (2)设甲的速度为akm/h,乙的速度为bkm/h. (2)当x=3时，两条小路的面积和为：32×3+20×3-3 8, 5 =147(平方米).地砖的费用为：60×147=8820（元）. 36s 3, 根据题意，得 解得a40, 16.2函数的图象 5-号a-)=35 【b=25. 16.2.1平面直角坐标系 基础训练1.A;2.B;3.D;4.y 答：甲的速度为40km/h,乙的速度为25km/h. 4素养·拓展 数理极 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 、新定义型 专题辅导 报纸发行质量反馈电话 例1若定义一种 0351-5271248 新运算：a⑧b 表格之中觅规律 上接4版参考答案) 示函 ra-b(a≥2b), 19. 程 例 设该 、原 a+b-6(a<2b), 划悔天完成x米，则在完成 ◎山东邱嘉颖 600米的施工任务后每天 如：3☒1=3-1=2； 表格在生活与生产中应用广泛，培养对表 所以当销量是2.5千克时的售价是21元 完成1.5x米.根据题意，得 3000-600 -3000 -600 5⑧4=5+4-6=3，则格的阅读、分析能力是学习两个变量之间关系 二、时间变化规律 1.5x 数的新 四函数y=(x+2)⑧(x- =4.解得x=200.经检验， 的重点之一.这就要求我们能从表格中发现两 例2某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时， x=200是原分式方程的 川1)的图象大致是( 个变量之间存在的规律，归纳出相应的关系式， 主要依据的是下表的数据： 解，且符合题意 答：该工程队原计划 每天完成200米. 姚瑞光 能根据表格数据对变化趋势进行初步预测 鸭的质量/千克0.511.522533.54 一、价格变化规律 烤制时间/分钟406080100120140160180 20.)因为 12345x-1012345 例1某商店出售商品时，在进价的基础上 =1,所以2a+b=ab.所以 又加了 定的利润，其销量x与售价y的关系如 设鸭的质量为x千克，烤制时间为分钟，估 ab -a b+2a-a a +b a+b 面貌 下表： 计当x=3.2时，t的值为 ( a +o 1. a+b B.138 销量x/千克 1 2 34 A.140 (2)因为 12345 -1012345x 售价y/元 8.416.825.233.6 C.148 D.160 D 所以y- 分析：观察表格可知，当x=1时，1=60；当x Y=-mxy. 解：当x+2≥2(x-1)时，x≤4. 请根据表中所提供的信息，写出售价y与销 2x-3y-2王-2(x-y）-3y =2时，t=100=60+40:当x=3时，t=140= x+xy-y x-y+xy 所以当x≤4时，y=(x+2)☒(x-1)= 量x之间的关系式，并求出当销量是2.5千克时 -2mxy -3xy 的售价 60+2×40:当x=4时，t=180=60+3×40,…, mcy +xy (x+2)-(x-1)=x+2-x+1=3; 分析：从表格可发现，当x=1时，y=8.4:当所以t与x之间的关系式为t=40x+20,再将x= (-2m-3)y (-m+1)y 当x>4时，y=(x+2)⑧(x-1)=(x+ 2)+(x-1)-6=x+2+x-1-6=2x-5. x=2时，y=16.8=2×8.4;当x=3时，y=25.23.2代入即可求出1的值. 子解得m=16 =3×8.4,当x=4时，y=33.6=4×8.4,…,所 解：从表格中可以看出，烤鸭的质量每增加 21.(1)当m=3时， 故选A. 该方程的解为x 二、程序运算型 以y与x之间的关系式为y=8.4x 1千克，烤制的时间增加40分钟，所以t=40x+ (2)方程两边同乘( +1)(x-2),得2x+2+mx 例2根据如图1所示的程序计算函数y的 解：根据表格中的信息，可得售价y与销量x20. =3x-6.整理，得(m-1)x 值，若输入x的值是2时，则输出的y的值是6， 之间的关系式为y=8.4x. 当x=3.2时，t=40×3.2+20=148. =-8.由分式方程无解，得 0或(x+1)(x-2 若输入x的值是3，则输出的y的值是 当x=2.5时，y=8.4×2.5=21 故选C =0.解得m=1,x=-1或 “十十十十4十十十“十十“十”十十十十“十十十 十“十十“十 =2.当x=-1时，m-1 x为偶数时 8,解得m=9;当 y=2x+b 第29期2版参考答案 意义的条件，得≠1，≠-1，≠4.24红=1两边同乘(x 时，2(m-1)=-8,解得m 输入x 输出y 15.3可化为一元一次方程的分式方程 t1 =-3.综上所述，m的值是 t为奇数时3x-b 15.3.1分式方程的定义及解法 1),得2m-4x=x-1.解得x=1+2m因为A+B=1的解是 1或9或-3. 基础训练1.B;2.D;3.C;4.0或12：5.-1. 5 (1)设95号汽 图1 6.1)x-1:(2)x=9:(3)无解 非负数所以≥0，即≥0且≠1,2≠4解 的单价为x元/升.由题 A.6 B.7 C.8 D.9 15.3.2分式方程的应用 得m≥-且m≠2，m≠”所以m的取值范围是m≥- 意，得20+10-9解得 解：因为输入x的值是2时，输出的y的值是6， 基础训练1.B:2.B:3.600. x=8.经检验，x=8是原分 容1.0立方米的装载机每小时装车440立方米，斗容 且m2，m 式方程的解，且符合题意。 所以6=2×2+b. 0.5立方米的装载机每小时装车260立方米。 16.(1)设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购过 答：95号汽油的单价 解得b=2. 5.(1)设乙数据中心每小时迁移xTB数据，则甲数据中心 为8元/升. 每小时迁移5xTB数据 这款书签2x个.根据题意，得100_1600=1.解得x=200.经 2x 所以若输入x的值是3，则输出的y的值是： （2n.5号 根据题意，得30-100=5. :=200是原分式方程的解，且符合题意.所以2三400 (3)金额.理由如下： y=3×3-2=7. 5x 检验：谈商店第 次购进这款书签200个，第 次购进这款书 解得x=2 签400个 甲、乙两人同时去同 故选B. 经检验，x=2是原分式方程的解，且符合题意 (2)设第一次销售时每个书签的售价为m元.根据题意，得 一家加油站加两次95号汽 所以5x=10. 油，两次的汽油价格有变 三、实际问题型 答：甲数据中心每小时迁移10TB数据，乙数据中心每小时 200m+400×号m+400×(1-号)m×0.5≥180+100+ ,第一次龙元/开，第 例3将一盛有部分水的圆柱 迁移2TB数据， 1600.解得m≥8. 元/升，且x≠.两人 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元 h (2)设甲数据中心工作y小时，则乙数据中心工作(8-y) 油方 也不同，其 中 形小水杯放入事先没有水的大圆 小时. 附加题1.(1)x=6 甲每次总是加汽油a升，乙 1 每次总是加汽油b元. 柱形容器内，现用一个注水管沿大 根据题意，得10y+2(8-y)≥56 所以甲两次加油的平 解得y≥5. (2)+7x+6=x+4+3 1 1 容器内壁匀速注水，如图2，则小水 答：甲数据中心至少需要工作5小时 均单价为：+ 2a 杯内水面的高度h(cm)与注水时 15.4零指数幂与负整数指数幂 (3)答案不雅一，如x-n+2x-n+行x-n- 15.4.1零指数幂与负整数指数幂 图2 -n-2这个方程的解为x=几 (无/)： 间t(min)的函数图象大致为图中 基础训练1.C;2.C;3.0.0000076;4.< 2.(1)①×；②V;③×. 乙两次加油的平均单 的 5.(1)9:(2) (2)因为数对[2-3，-2]是关于x的分式方程兰+1 Ah/cm Ah/cm h/cm Ah/cm 15.4.2科学记数法 1 基础训练1.A;2.2×10 6的关联数对”，所以3+1=-㎡2的解为x=足一弓-元 /升). 3.(1)0.43=6.4×10-2(m3). O V/mir O /min 所以这个盲盒的体积是6.4×10-2m3: =分所子解得=±5 因为-2 x+y (2)6.4×102÷(1×10-3)3=6.4×107(个) (x+y）)2-4y C 所以需要6.4×107个这样的小立方块才能将盲盒装满， (3)因为数对[m-k,k]是关于x的分式方程a+1=b的 2(x+y) 第29期3版参考答案 “关联数对”，所以+1=的解为n一+六所 2(x+*,且>0, (x-y)2 解：将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入 事先没有水的大圆柱形容器内，小水杯内的水 题号12345678 以m(m-)+1=k.所以k=+ y>0,所以(x-y)2>0, 2(x+y)>0.所以 原来的高度一定大于0，用一注水管沿大容器内 答案CBDA C BCA 第30期综合测评卷参考答案 壁匀速注水，水开始时不会流入小水杯，因而这 -少>0.所以产2 2(x+y) 2 二、9.3；10.3y2-2y-1=0:11.3；12.方案三 段时间h不变，当大水杯中的水面与小水杯的高 题号12 345678910112 2xy>0,即甲两次加油的 三、13.(1)x=11;(2)x=0;(3)无解. 度水平时，开始向小水杯中流水，h随t的增大而 14.甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小 答案D BB D BAA B D BC B 平均单价比乙两次加油的 平均单价高，故建议按相 增大，当水注满小水杯后，小水杯内水面的高度 时包80个粽子 15.(1)A=-4 =13.号；14,7；15.m2；16.2或6或8， 同金额加油更合算 x-1 (全文完) h不再变化 三、17.(1)ae2；(2)x+2 故选B. (2)A+B=-4+2m2m-4=1.根据分式有 18.(1)x=3;(2)无解 （下转1,4版中缝) 数理报 2026年1月28日·星期三 初中数学 第31期总第1175期 华东师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-206 任何值，y都有惟一的值与之相对应，所以只有 门向导 选项C不满足条件 函数关系“现形”记 故选C. 三、从几何关系理解函数 紧扣函数的定义，仍然是先看是否只有两 ⊙江西李海生 个变量，再看对于自变量x的每一个确定的值，y 一、从关系式理解函数 确定的值与它对应，所以y是x的函数；y= 是否都有惟一确定的值与它对应. 根据函数的定义，在一个变化过程中，有两±√：，对于每一个确定的x的值，y有一个或两 例3判断下列变量之间是不是函数关系 个变量x和y,对于自变量x的每一个确定的值，个值与它对应，所以y不是x的函数. (1)长方形的宽一定时，其面积与长： y都有惟一确定的值与它对应.当x取不同的值 故选D. (2)等腰三角形的面积与底边长 时，y的值可以相等也可以不相等，但如果一个x 二、从图象理解函数 解：(1)当长方形的宽一定时，其长所取的 值对应着两个不同的y值，那么y一定不是x的 根据函数的定义，每一个x值只能对应惟一 每一个值，面积都有惟一确定的值与之对应，所 函数.根据这一点，我们可以判断一个关系式是的y值，因此要判断哪些图象表示的是函数关 以长方形的面积与长是函数关系 否表示函数关系 系，只要在所给的自变量的取值范围内任作一 (2)因为等腰三角形的大小不确定，所以它 例1下列式子中，y不是x的函数的是 条垂直于x轴的直线，若直线与所给图象只有一 的面积受底边长和底边上的高两个因素的影 ( ) 个交点，则说明这个图象表示的是函数关系；若 响.当底边长取一个值时，等腰三角形的面积会 A.y=x2 B.y=2x-3 交点不止一个，则说明这个图象表示的不是函 受到高的影响，不能有惟一确定的值和底边长 x-4 数关系 相对应.所以等腰三角形的面积与底边长不是 C.y =x -1 D.y=±√x 例2 下列各曲线表示的y与x之间的关系 函数关系， 解：y=x2,对于每一个确定的x的值，y都中，y不是x的函数的是 有惟一确定的值与它对应，所以y是x的函数；y :红子，对丁每一个确定的：的小客有唯一 确定的值与它对应，所以y是x的函数；y= A 0 16.1变量与函数 √x-I,对于每一个确定的x的值，y都有惟 解：根据函数的定义可知：对于自变量x的 16.2函数的图象 ⊙品味方法。 学习目标：1.在具体情景中理解常量、自 变量和因变量」 抓住特点 巧求坐标 2.掌握函数关系的三种表示方法 ⊙江苏赵飞瑜 3.根据实际问题建立适当的直角坐标 一、求各象限内点的坐标 所以点M的坐标是(-1,0) 系，并能写出各点的坐标 故选B. 点P(x,y)在第一象限曰x>0,y>0; 4.能够识别和画出函数图象 三、求平行于坐标轴的直线上点的坐标 点P(x,y)在第二象限台→x<0,y>0; 点P(x,y)在第三象限x<0,y<0; 平行于x轴的直线上所有点的纵坐标 例4已知点P,Q的坐标分别为(2m-5, 点P(x,y)在第四象限x>0,y<0. 都相等，横坐标不相等： m-1),(n+2,2n-1).若点P在第二、四象限 十+十+++++十+…+…+十++十十十 平行于y轴的直线上所有点的横坐标 的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线 例1点P(-1,3)所在的象限为( 上，则m”的值为 A.第一象限 B.第二象限 都相等，纵坐标不相等 解：因为点P(2m-5,m-1)在第二、四象 C.第三象限 D.第四象限 例3在平面直角坐标系中，点A的坐标是 限的角平分线上， 解：因为点P的横坐标为负，纵坐标为正， (2,-1).若AB∥y轴，且AB=9,则点B的坐标 所以2m-5+m-1=0. 所以点P(-1,3)所在的象限为第二象限， 是 解得m=2. 故选B. 解：因为AB∥y轴，所以A,B两点的横坐标 因为点Q(n+2,2n-1)在第一、三象限的 二、求坐标轴上点的坐标 相同. 角平分线上， 十4十十十4十十十十十十 点P(x,y)在x轴上，则y=0: 又因为AB=9,所以点B的纵坐标为：-1 所以n+2=2n-1. 点P(x,y)在y轴上，则x=0. +9=8,或-1-9=-10. 解得n=3. 特别地，当点P(x,y)为原点时，则有x 所以点B的坐标为(2,8)或(2，-10) 所以m”=23=8. =0,y=0 故填(2,8)或(2，-10) 故填8. 十++++十+++++++++十十 四、求各象限角平分线上点的坐标 例2在平面直角坐标系中，点M(m-1, 十…十4十十…十十十…十十…十“十十十“十 整牛刀小宝 2m)在x轴上，则点M的坐标是 点P(x,y)在第一、三象限的角平分线 A.(1,0) B.(-1,0) 上台点P的横、纵坐标相等，即x=y; 1.下列各点中，在第三象限的是 C.(0,2) D.(0,-1) 点P(x,y)在第二、四象限的角平分线 A.(1,-2) B.(2,1) 解：因为点M(m-1,2m)在x轴上， C.(-2,-1) D.(-1,2) 上一点P的横、纵坐标互为相反数，即x 所以2m=0. 2.在平面直角坐标系中，点P(6-2m,4 =-y或x+y=0. 解得m=0. m)在y轴上，则m的值是 2 素养专练 人 数理极 请根据上表中的数据写出需付总金额y(元) C.7岁 D.10岁 跟踪训练 与采摘草莓质量x(kg)之间的关系式： 2.东东用仪器匀速向如图2容 4.如图，长为32米，宽为20米的长方形地面 器中注水，直到注满为止.用t表示 GENZONGXUNLIAN 上，修筑宽度均为x米的两条互相垂直的小路（图 注水时间，y表示水面的高度，下列 16.1变量与函数 中阴影部分)，其余部分作耕地如果将两条小路 图象适合表示y与t的对应关系的 ①变量与函数 铺上地砖，选用地砖的价格是60元/米2 是 (1)买地砖需要的钱数y(元)是小路宽度 垦础训练 x(米)的函数吗？请说明理由 1.一支笔2元，买x支共付y元，则2和y分别 (2)当x=3时，计算地砖的费用. ∠ 是 ( B A.常量，常量 B.变量，变量 3.如图3是y关于x的函数图象（与x轴只有 C.常量，变量 D.变量，常量 三个交点)，请写出当y<0时，自变量x的取值范 2.李师傅到单位附近 围是 134.64金额/元 的加油站加油，如图是所用 W米 18 数量/升 的加油机上的数据显示牌， 150 7.48单价1（元/升） 则其中的常量是 3035x/秒 3.写出下列各关系式中的常量与变量： 图3 图4 (1)分针旋转一周内，旋转的角度n(度)与 16.2函数的图象 4.火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长 度y(米)与火车行驶时间x(秒)之间的关系用图 旋转所需要的时间（分钟）之间的关系式n=6; 16.2.1平面直角坐标系 象描述如图4所示，火车整体都在隧道内的时间 (2)一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速 直线行驶时，汽车行驶的路程s(千米)与行驶时 屋础训练 为 1.在平面直角坐标系中，点M(1,2)关于y轴 5.已知函数y=2x+1,在如图5所示的平面 间（小时）之间的关系式s=40. 直角坐标系中画出该函数的图象，并判断点(1， 对称的点的坐标为 ( ) A.(-1,2) B.(1,-2) /10)在该函数图象的上方还是下方. C.(-1,-2) D.(2,1) 2.如果点A(m+3,m+1)在y轴上，则点A的 坐标为 A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(4,0) 32023 4.某工厂有一个容积为280立方米的水池 3.在平面直角坐标系中，点4(-5，-9)到x 现用3台抽水机从蓄满水的池中同时抽水，已知 轴的距离是 ( 每台抽水机每小时抽水15立方米. A.-5 B.-9C.5 D.9 图5 (1)抽水两个小时后，池中还有水 立 4.在平面直角坐标系中，已知点A(2,-3), 方米； 点B(2,3),则连结点A,B所成的线段与 (2)在水池的容积、抽水时间、抽出水的体 轴平行. 6.今年小麦大丰收，收割方式基本以收割机 积、水池中水的体积中，哪些是常量？哪些是变量？ 5.点A,B,C,D在平面直角坐标系的位置如 收割为主，农户支付收割费用的付款方式有现金 图所示 支付和微信支付两种.收割小麦全天结束后，收割 (1)分别写出点A,B,C,D的坐标： 机机主小王让上初中的弟弟帮自己算算一天的收 (2)依次连结A,C,D得到一个封闭图形，判 入情况.当天共收现金2840元，如图6是弟弟根 断此图形的形状. 据小王收款的微信零钱记录绘制的微信零钱 y(元)与收割小麦数量x(亩)之间的关系图象 (1)图象中A点表示的意义是什么？ (2)收割机收割一亩小麦多少钱？ (3)图象中a表示的数值是多少？ 2÷1.0)1 (4)全天收割小麦共收入多少元？ ②变量与函数 W元 垦础训练 3600 1.已知关系式y=3x-1,当x=3时，y的值 2000A 是 ( A.9 B.8 C.7 D.6 01020304050x/亩 图6 2在函数了~士中，自变量x的取值范围是 16.2.2函数的图象 () A.x≤0B.x<0C.x≥0 D.x≠0 垦础训练 3.春暖花开，正是草莓成熟的时节.草莓园给 1.如图1，曲线表示某同 个增长速度（厘米/年）》 每位人园采摘草莓的顾客配一个篮子.每位顾客 学身高的增长速度（厘米/55 采摘草莓需付总金额y(元)与采摘草莓质量 年)随年龄（岁）的变化情 x(kg)的关系如下表： 况，则该同学身高增长速度 710 年龄/岁 采摘草莓质量x/kg12345… 图1 最快的年龄约为 ( 数理报社试题研究中心 需付总金额y/元27517599123. A.5.5岁 B.6.5岁 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 16.(16分)如图6是一个“函数求值机”的示 同步检 意图，其中y是x的函数，当输入不同的x值时，将 输出对应的y值 (1)当输入x的值分别为-3和2时，输出的y TONGBUJIANCE 值分别是多少？ 【检测范围：16.1~16.2】 (2)下列图象中，可以是“函数求值机”中函 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 11.已知华氏温度y(℉)与摄氏温度x(℃)之 数的对应图象的是 题号 2 345678 :间的关系满足下表： 答案 摄氏温度/℃…-100102030 华氏温度/℉…1432506886… 01 1.如图1，把两根木条的一端 由上表可知，华氏温度y与摄氏温度x之间的 用螺栓固定在一起，木条可自由 函数关系式是 (3)要使输出结果为1，求输入的x值. 转动.在转动过程中，是常量的为A 图1 12.如图3，动点P在平面直角坐标系中按图 输入x ( 中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1， 当x<1时当x≥1时 A.∠BAC的度数 B.AB的长度 1),第2次运动到点(2,0)，第3次接着运动到点 C.BC的长度 D.△ABC的面积 (3,2),…,按这样的规律运动下去，经过第224次 -2+ 2.在平面直角坐标系中，点A(6,24)在 :运动后，动点P的坐标是 ( y (32) (7,2) (11,2) 输出 A.第一象限 B.第二象限 图6 C.第三象限 D.第四象限 3.变量x与y之间的关系式是y=35x+20.当 (2,0)(4,0)(6,0)(8,0)(10,0)(12,0) 图3 自变量x=2时，因变量y的值是 ( 三、耐心解一解（共52分） A.90B.65 C.70 D.75 13.(10分)如图4，标明了郑强同学家附近的 4.小明现已存款500元，为赞助“希望工程”， 些地方 附加题⊙ 他计划今后每月存款20元，则存款总金额y(元) (1)根据图中所建立的平面直角坐标系，写出 (以下试题供各地根据实际情况选用) 与时间x(月)之间的关系式是 学校、汽车站的坐标； 1.(8分)在平面直角坐标系中，已知点M(2- A.y =20x B.y=500x (2)某星期日早晨，郑强同学从家里出发，沿m,2m-5). C.y=500+20x D.y=500-20x 着(-2，-1)，(-1，-2)，(1，-2)，(2，-1)，(1， (1)若点N(-1,-4),且直线MN∥y轴，求 5.下列表达式中，y不是x的函数的是( -1),(1,3),(-1,0),(0,-1)的路线转了一圈线段MN的长： A.y=±6x B.y=6x2+x+1 然后回家，写出他路上经过的地方 (2)若点M在第四象限，且它到x轴的距离比 C.y=6x+3 D.y=6 到y轴的距离大4，求点M的坐标. 6.已知点A(a-1,3),B(-3,a+1),且直线 AB∥x轴，则a的值为 A.1 B.-1C.2 D.-2 娱乐城 32101 34 7.已知y,和y,均是以x为自变量的函数，当x 郑强家部局永某店汽车竭 =n时，函数值分别是N1和N2.若存在正数n,使 商店斗公国 得N,+N2=1,则称函数y,和y2是“正和谐函数”. 图4 下列函数1和？是“正和谐函数”的是( 14.(12分)已知函数y=2x+b,当x=1时， A.y1=2x+1和2=3x+2 y=4. B.y1=-x+3和y2=2x-1 (1)求b的值： C.y1=-x-1和y2=3x-2 2.(12分)甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一 (2)画出该函数的图象、 D.y1=-x+1和y2=2x+3 条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后 甲再出发，甲、乙两人分别到达Q地后停止.已知 8.阳光中学举行学s米个 80 生运动会，小汪和小勇参 P,Q两地相距200km,设乙行驶的时间为t(h), 加了800米跑.路程 小勇 甲、乙两人之间的距离为y(km),表示y与t的函数 s(米)与时间（分钟）之 :关系的部分图象如图所示 (1)由图象可知，甲比乙迟出发」 h 间的函数图象如图2所 钟 15.(14分)如图5，长方形ABCD中，AB=4, 解释图象中点B与点C的实际意义； 示，两位同学在跑步中均 图2 BC=8,点P在AB上运动，设PB=x,图中阴影部 (2)求甲、乙两人的速度. 保持匀速，则下列说法错误的是 分的面积为y y/km A.小勇的平均速度为160米/分 (1)求阴影部分的面积y与x之间的函数关系 35 B.到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度式，并直接写出自变量x的取值范围； 快80米/分 (2)当阴影部分的面积等于20，求出此时PB C.小勇和小汪同时达到终点 的长 D.小汪和小勇的平均速度相等 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 9.在平面直角坐标系中，点P(2,-3)关于原 图5 点O对称的点的坐标是 10.某工厂剩余材料量y吨与天数x满足函数 关系式y=90-8x,则该工厂每天使用的材料是 数理报社试题研究中心 吨 (参考答案见下期)