7.2 离散型随机变量及其分布列教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

课题 7.2 离散型随机变量及其分布列 学科 数学 年级 高二 教学目标 1.了解离散型随机变量及其分布列，掌握离散型随机变量分布列的性质及两点分布的概念.（数学抽象） 2.会求简单的离散型随机变量的分布列.（数据分析） 重点 离散型随机变量及其分布列；两点分布. 难点 离散型随机变量分布列的性质. 教学环节 教学过程 设计意图 新课导入 复习导入：求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题．类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随机试验. 复习旧知，调动学生原有的认知，为学习新课内容做好知识准备. 新课讲授 知识点1：随机变量与离散型随机变量 教师引导讲解：有些随机试验的样本点与数值有关系，我们可以直接与实数建立对应关系． 例如，掷一枚骰子，用实数表示“掷出的点数为”；又如，掷两枚骰子，样本空间为，用表示“两枚骰子的点数之和”，样本点就与实数对应． 有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值． 例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关．如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系． 类似地，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；随机调查学生的体育综合测试成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5，4，3，2，1；等等． 教师归纳总结：对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应．即通过引入一个取值依赖于样本点的变量，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化．因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量的取值也具有随机性． 教师提问：考察下列随机试验及其引入的变量： 试验1：从100个电子元件（至少含3个次品）中随机抽取三个进行检验，变量表示三个元件中的次品数； 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量表示需要的抛掷次数． 这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量有哪些共同的特征？ 学生思考、小组讨论交流. 教师总结：对于试验1，如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点，则样本空间．各样本点与变量的值的对应关系如图所示． 对于试验2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间，包含无穷多个样本点．各样本点与变量的值的对应关系如图所示． 在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应．变量有如下共同点： （1）取值依赖于样本点； （2）所有可能取值是明确的． 随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，称X为随机变量． 试验1中随机变量的可能取值为0，1，2，3，共有4个值；试验2中随机变量的可能取值为1，2，3，，有无限个取值，但可以一一列举出来． 离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量．通常用大写英文字母表示随机变量，例如；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如． 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点相当于函数定义中的自变量，而样本空间相当于函数的定义域，不同之处在于不一定是数集．随机变量的取值随着试验结果的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件． 教师给出拓展内容，学生阅读了解：离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 区别：对于离散型随机变量而言，它所有可能的取值为有限个或者可以将它可能的取值按一定次序一一列出；可取某一区间内的一切值，无法把其中的值一一列举出来的随机变量叫连续型随机变量，例如闭区间内的一切实数． 联系：都是用来刻画随机试验所出现的结果． 知识点2：离散型随机变量的分布列及其性质 掷一枚质地均匀的骰子，表示掷出的点数，则事件“掷出点”可以表示为，事件“掷出的点数不大于2”可以表示为，事件“掷出偶数点”可以表示为，等等．由掷出各种点数的等可能性，可得，． 这一规律可以用下表表示． X 1 2 3 4 5 6 P 分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，称X取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量分布列的性质： （1），； （2）． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示（如下表），还可以用图形表示．例如，如图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数的分布列，称为的概率分布图． … … 利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率．例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为．类似地，事件“掷出偶数点”的概率为 ． 例1 一批产品中次品率为，随机抽取1件，定义求X的分布列． 知识点3：两点分布 两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P p 称X服从两点分布或01分布．实际上，X为在一次试验中成功（事件发生）的次数（0或1）． 例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示． 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及． 例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列． 跟踪训练 1.已知随机变量X服从两点分布，且.设，则( ) A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.4 2.（多选）如果X是一个离散型随机变量，那么所给命题是真命题的为( ) A.X可表示15秒内通过某十字路口的汽车数量 B.X可表示水文站观测到的江水水位数 C.X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和 D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 3.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q等于__________. X 0 1 P 通过具体的问题情境，结合生活经验，引发学生思考积极参与互动，随机试验的结果不论是否与数量有关，都可以数量化，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养. 让学生亲身经历了从特殊到一般，获得离散型随机变量概念的过程.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养. 通过举例的方式，加深学生对随机变量概念的内涵和外延的认识，这是数学概念学习的重要方法，通过上述过程提升学生的数学抽象素养. 通过从特殊到一般地概括出离散型随机变量分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性.揭示数学通常的发现过程，培养学生提炼方法，归纳概括的能力. 利用例题引导学生掌握并灵活运用离散型随机变量及分布列解决实际问题. 给出两点分布的定义，培养学生从数学的视角思考问题、分析问题和解决问题的能力. 通过具体实例，学习求离散型随机变量分布列的方法，学习如何根据离散型随机变量的分布列，求一些随机事件的概率. 通过试题检测本节课所学，提高学生的学习能力. 课堂小结 1.离散型随机变量及其分布列 2.分布列的性质 3.两点分布 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 板书设计 7.2 离散型随机变量及其分布列 1.随机变量与离散型随机变量 2.离散型随机变量的分布列及其性质 3.两点分布 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $