7.4.2 超几何分布教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

课题 7.4.2 超几何分布 学科 数学 年级 高二 教学目标 1.理解超几何分布，会求服从超几何分布的随机变量的概率和均值.（数学抽象、数学运算） 2.能用超几何分布的概率模型解决实际问题.（数据分析） 重点 超几何分布. 难点 超几何分布及其实际应用. 教学环节 教学过程 设计意图 新课导入 问题导入：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列． 答案：如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即． 通过具体的问题情境，复习二项分布，同时引入本节课所研究的内容. 新课讲授 知识点1：超几何分布 教师提问：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数是否也服从二项分布？如果不服从，那么的分布列是什么？ 学生思考、提出猜想，小组讨论. 教师归纳讲解：采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合重伯努利试验的特征，因此不服从二项分布．可以根据古典概型求的分布列．由题意可知，可能的取值为0，1，2，3，4．从100件产品中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的．其中4件产品中恰有件次品的结果数为．由古典概型的知识，得的分布列为，． 计算的具体结果（精确到0.00001）如表所示． X 0 1 2 3 4 P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002 教师追问：计算结果数时，考虑抽取的次序和不考虑抽取的次序，对分布列的计算有影响吗？为什么？ 学生回答：没有影响，因为不考虑抽取次序时，，，考虑抽取次序时，，， 故是否考虑抽取次序对分布列的计算没有影响． 超几何分布：一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品．从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，．其中，，，，．如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布． 例4 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率． 例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． 知识点2：超几何分布的均值 教师提问：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 引导学生猜想，再去计算的方式验证. 教师讲解：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，猜想，即． 实际上，令，，由随机变量均值的定义：当时，有．（1） 因为，所以． 当时，注意到（1）式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立． 例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用表示样本中黄球的个数． （1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列； （2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率． 分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验．摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布． 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同．对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似． 跟踪训练 1.某校团委举办“鉴史知来”读书活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定作品播出顺序，则高二年级5名同学的作品在前7顺位全部被播放完的概率为( ) A. B. C. D. 2.生产方提供了共50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则如下：从该批产品中任取5箱进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品.该批产品被接收的概率为_________. 引发学生思考积极参与互动，说出自己见解，从而引入超几何分布的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养. 在超几何分布中，考虑摸出次品的次序和不考虑摸出次品的次序，得到的分布列是一样的.反映了超几何分布模型的特征. 体会从特殊到一般的抽象过程，发展学生的数学抽象核心素养. 通过典例，深化对超几何分布的理解，发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养. 超几何分布的均值计算要用到组合恒等式，计算难度较大，所以先猜想，再验证，验证部分让学有余力的学生掌握即可. 对超几何分布和二项分布做出区分和联系，发展了学生数学建模、数学运算和数学抽象的核心素养. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养. 课堂小结 1.超几何分布 2.超几何分布的均值 进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 板书设计 7.4.2 超几何分布 1.超几何分布 2.超几何分布的均值 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $