重难点02 函数零点问题5考点（期中真题汇编，天津专用）高二数学下学期人教A版

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 重难点02函数零点问题 ☆5大高频考点概览 考点01零点个数 考点02已知零点个数求参数 考点03存在零点求参数 考点04讨论零点个数 考点05利用比值代换解决零点 目目 考点01 零点个数 1.C4:25高二下天津益中学校期中)已知函数fx=+X-1 则下列结论正确的有() e+ ①函数fx存在两个不同的零点 ②函数fx既存在极大值又存在极小值 ③当-e<k<0时，方程fx=k有且只有两个实根 ①若x∈k,+o时.fx=号，败的最小值为2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(23-24高二下·天津河东区·期中)已知函数f(x)=x3-X+1,则() A.f(x)有三个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 3.(22-23高二下·天津河西区·期中)已知函数fx=x+sinx-X COS x的定义域为-2π，2π，则下列说法正 确的个数是() ①f0=0: ②fx在0，π上单调递增； ③函数fx有2个零点； ④fx有且仅有4个极值点. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.23-24高=下天津河北区：期中)关于函数fx=2+nX,下列判断正确的序号是 X ①fx的单减区间为-oo,2: 1/6 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ②x=2是fx的极大值点： ③函数y=fx-x有且只有1个零点： ④存在正实数k,使得fx>kx恒成立. 5.2-23商二下天津部分区期中已知函数fX=nX-X-1,9x=写0x-a议a>0 (1)判断fx的零点个数，并说明理由： (2)若对任意的x1∈1，e,总存在x2∈1，e,使得fx1=gx2成立，求a的取值范围. 目目 考点02 已知零点个数求参数 1.(24-25高二下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)已知函数fx=乙.若函数y=fx-afx+2有8个不 同的零点，则a的取值范围是() A.(-22,+0U-∞，-2V2 B.22,8 c2吃 D.2V2,3 2.24-25高二下-天津第五十五中学期中)已知函数f(x)=X++3a,gx)=-nx,用minm,m,表 4x 示m,m中的最小值，设函数hx)=minf),gx(x>0y则当怡有-个零点，时实数a的取值范 围为 3.(24-25高二下，天津第一中学滨海学校期中)已知函数fx=ae*+1-x-1,a∈R. (1)当a=1时，求函数fx的图象在0，f0处的切线方程： (2)若函数fx有两个零点，求a的取值范围： (3)若函数fx)的两个零点为x1x2x1<x2,求证：a< 1 x1+1x2+1 4.(24-25高二下·天津耀华中学·期中)己知函数fx=lnx-mx2+2-mx. (1)若函数fx的极值点在(2,3)内，求m的取值范围： (2)若fx有两个零点，求m取值的范围. 2/6 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点03 存在零点求参数 1.(22-23高二下·天津武清区杨村第一中学期中)若函数fx=x一lnx-2在区间k,k+1k∈N上有零点， 则实数k= 2.(24-25高二下，天津滨海新区汉沽第一中学·期中已知函数fx=lnx-x-xe-k有零点，则实数k的 取值范围是 3.(23-24高二下·天津四校联考·期中)已知函数fx= +aIn(x+1). X (1)当a=0时，求曲线y=fx在x=1处切线的斜率； 2当a>时，证明：当x>0时，fx>1: (3)若hx=xfx在0，+∞上存在零点x,求实数a的取值范围，并说明fx在0，+o∞上的最小值为fxo· 4.(23-24高二下·天津部分区·期中)已知函数fx=xe*-X-a,gx=x2-2x,a∈R. (1)求函数y=f-x的导数： (2)若对任意的x1∈1，e,x2∈1,2，使得fx1≥gx2成立，求a的取值范围： (3)设函数hx=fx-lnx,若在区间0，e上存在零点，求a的最小值. 5.(22-23高二下·天津河西区·期中)已知函数fx=lnx-x. (1)求fx在点1，f1处的切线方程： (2)求证：fx≤-1： ③)若函数h(x)=af(x)+文(a∈R)无零点，求实数a的取值范围。 考点04 讨论零点个数 1.(24-25高二下，天津滨海新区大港第一中学期中)已知函数fx=x+0-a-1nx-2,其中(a∈R) X (1)当a=0时，求fx在1，f1处的切线方程： (2)若fx存在唯一极值点，且极值为0，求a的值： (3)讨论fx在区间1，e上的零点个数. 3/6 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2.(24-25高二下天津实验中学滨海学校期中)已知函数fx=1+3ax+3-anx X (1)当a<0时，讨论fx的单调性， (2若a=1,gx=m+3x+e-X2+,讨论函数y=fx-gx的零点个数。 3.24,25商=下天津第九十五中学期中E知函数fX=0-一a+1f+x+1a≥1。 0诺a=3求曲线y=fx在点1，f1)处的切线方程： (2)若fx在R上无极值点，求a的值； (3)当x∈时，讨论函数fx的零点个数，并说明理由. 4.(22-23高二下天津河北区·期中)已知函数fx= + (1)判断函数fx的单调性，并求出函数fx的极值： (2)画出函数fx的大致图象： (3)讨论方程fx=aa∈R的解的个数 -…i 5.(20-21高二下天津紫云中学期中)设函数f(x)=号x2+alnx(a<0). (1)若函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线斜率为号， 求实数a的值； (2)求f(x)的单调区间： (3) gx=X-1-ax当as-1时，讨论fx卢gx 图象交点的个数. 考点05 利用比值代换解决零点 4/6 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(24-25高二下·天津第二十一中学期中)已知函数fx= 1+1I(x+1l,g(x)=Inx+x2-axlaER). x2 (1)求曲线y=fx在x=2处的切线斜率； (2)当x>0时，求证：fx>1: (设gx在两个极信点xk且x<%花0X宁求证：9X-gX为>子1h2 2.(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数， fx=Inx-x2+x'g x=ax+b (其中a,b∈R). (1)当a=2时，直线y=gx是曲线fx)的一条切线，求实数b的值： ②当b=0时，若x,∈0,2？使得fX,≥gX,求实数。的取值范围 3)诺方程fx=入-1x+1入ER有两个不同的实数根m,nm<n,证明：m2+n21+上-}>e+1 n m 3.(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学期中)已知函数. f(x)=xInx-1'g(x =ax2-(a-2x (1)若m-1<f(x)恒成立，求实数m的取值范围： 2已知<0设函数(x=fX-g(x讨论hx的单调性： 3)设函数Gx=gx+a-2X若函数fx的图象与Gx的图象有AX,y,广BX,y两个不同的交点， 证明：1nx1x2>2+ln2 4.2425商-下天津第五五中学月中吧知fX=-2X-3n,gx=名+-0nx 0求fx在1，f1处的切线方程： ②若不等式xfx-9X>fx+号x-号x+a-4对任意X>1成立，求a的最大整数解， X 3 3 3)Fx=gx-x的两个零点为xX,(x<x,且x,为FX的唯一极值点，求证：X+3x,>4X 6 5.(24-25高二下·天津经济技术开发区第二中学（滨海泰达中学）·期中)已知函数 f(x)=2Inx+bx2-2xb>0 5/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)讨论函数g(x)=f(x)-2bx的单调性： ②设X1,X,X,<x,是函数fx 的两个极值点，证明：fx-fx2<2b-1川x,-x2 6/6 重难点02函数零点问题 5大高频考点概览 考点01 零点个数 考点02 已知零点个数求参数 考点03 存在零点求参数 考点04讨论零点个数 考点05 利用比值代换解决零点 地 城 考点01 零点个数 1．(24-25高二下·天津益中学校·期中)已知函数，则下列结论正确的有（   ） ①函数存在两个不同的零点 ②函数既存在极大值又存在极小值 ③当时，方程有且只有两个实根 ④若时，，则的最小值为2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于①，由，求解即可；对于②，求导，判断函数的单调性求解；对于③④，结合函数的图象进行判断求解． 【详解】对于①，由，得，解得，故①正确； 对于②，， 由，得， 由，得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，故②正确； 对于③，当时，， 函数的图象如图所示： 函数的最小值是， 当时，方程有且只有两个实根，故③正确； 对于④，，由图象知，若时，，则t的最大值是2，故④错误． 故选：C 2．(23-24高二下·天津河东区·期中)已知函数，则（    ） A．有三个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】C 【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B；令，得到是奇函数，是的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D. 【详解】对于A，由题，， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 所以是极值点，故A不正确； 对应B，因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 对于C，令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：C 3．(22-23高二下·天津河西区·期中)已知函数的定义域为，则下列说法正确的个数是（    ） ①； ②在上单调递增； ③函数有2个零点； ④有且仅有4个极值点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，利用导数的运算法则、基本函数的导数公式和导函数值的定义即可求解；对于②，利用函数的单调性与导数的正负的关系即可求解；对于③，利用函数的零点的等价条件转化为函数和函数在上交点的个数，分别作出函数的图象即可求解；对于④，利用③的结论及函数极值点的定义即可判断. 【详解】对于①，，所以，故①错误； 对于②，，当时，，所以在上单调递增，故②正确； 对于③，在上的零点为方程在上的根，易知0不是零点，所以在上的根，作出函数和函数在上的图象，如图所示    所以函数和函数在上有个交点，所以函数有个零点，故③错误； 对于④，由③可知，有且仅有4个极值点，故④正确. 故选：B. 4．(23-24高二下·天津河北区·期中)关于函数，下列判断正确的序号是_____________. ①的单减区间为； ②是的极大值点； ③函数有且只有1个零点； ④存在正实数，使得恒成立. 【答案】③ 【分析】对于①，利用导数可判断②；令，利用导数判断出的单调性可判断③；转化为，令，利用导数判断出的单调性，求出值域可判断④. 【详解】对于①，， 当时，，单调递减，单调递减区间为，故①错误； 对于②，当时，，单调递增， 所以是的极小值点，故②错误； 对于③，，令， 所以， 所以在单调递减， 又因为，， 所以有且只有1个零点，且，故③正确； 对于④，由得，因为，所以， 即求， 令，， 令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 可得，单调递减，当时，，无最小值， 所以的大致图象如下， 所以，要使，结合图象可得，，故④错误.    故答案为：③. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解． 5．(22-23高二下·天津部分区·期中)已知函数，. (1)判断的零点个数，并说明理由； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求a的取值范围. 【答案】(1)0，理由见解析 (2) 【分析】（1）求导，得到函数单调区间，计算最值得到答案. （2）根据函数单调性得到，确定函数在时单调递增，计算值域得到，解得答案. 【详解】（1），，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， ，故函数没有零点. （2），单调递减，故，即； 当时，恒成立，故函数单调递增， 故，即， 故，则，解得，即. 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的零点问题，恒成立和能成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将恒成立和能成立问题转化为函数的值域的关系是解题的关键. 地 城 考点02 已知零点个数求参数 1．(24-25高二下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)已知函数.若函数有8个不同的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象并利用函数与方程的思想结合图象可知方程有两个不相等的实数根，且，再由二次函数根的分布解不等式可得a的取值范围. 【详解】根据题意对于函数可得； 当时，令，可得， 所以时，，可得在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减； 因此在处取得极小值，也是最小值； 画出函数的图象如下图所示： 令，可得， 若函数有8个不同的零点，可知方程有两个不相等的实数根， 结合图象可知， 所以需满足，解得 故选：D 【点睛】方法点睛：在求解复合函数根的个数问题时，经常利用函数与方程的思想画出函数图象并根据图象之间的交点个数来限定参数所满足的不等关系，解不等式即可得出结论. 2．(24-25高二下·天津第五十五中学·期中)已知函数，，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数，则当h(x)恰有一个零点时，实数a的取值范围为________ 【答案】或 【分析】利用导数求出函数的单调性及极值，在同一坐标系作出，的图象，数形结合得解. 【详解】因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 又在上单调递减，且， 因为恰有一个零点， 如图: 所以或，即或， 解得或 故答案为：或 【点睛】关键点点睛，利用函数图象，可知恰有1个零点需满足的条件，建立不等式求解. 3．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求的取值范围； (3)若函数的两个零点为，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出切点坐标和切线斜率，则得到切线方程； （2）分离参数得，设，利用导数求出其值域，则得到的范围； （3）根据题意得，设，将不等式转化为证明，设新函数，利用导数即可证明. 【详解】（1）由，得，则切点为． 函数求导得，故切线斜率， 所以切线方程为：． （2）等价转换为：，记， 对求导可得：， 时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又因为当时，时，， 且， 的取值范围为． （3）由（2）可得，， 且． 设，则，其中， 两式相乘得：． 需证明：， 构造函数， 时，单调递减；时，单调递增． ， 综上，，因此，原不等式得证． 4．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)已知函数. (1)若函数的极值点在内，求m的取值范围； (2)若有两个零点，求m取值的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，转化问题为在上有解，进而求解即可； （2）求导，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由, 则， 要使函数的极值点在内， 则在上有解， 即在上有解，则，解得， 即m的取值范围为. （2）由，， 则， 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，，令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又时，，时，， 要使有两个零点，则恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则，解得. 综上所述，m取值的范围为. 地 城 考点03 存在零点求参数 1．(22-23高二下·天津武清区杨村第一中学·期中)若函数在区间上有零点，则实数__________． 【答案】3 【分析】先利用导数分析函数的单调性与极值，再根据零点存在性定理求出函数的零点所在区间，进而确定的值. 【详解】由， 得， 令，则；令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数的极小值为， 又， 所以函数在上存在唯一零点，此时（舍去）； 因为，， 所以函数在上存在唯一零点，此时. 综上所述，. 故答案为：3. 2．(24-25高二下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)已知函数有零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】对函数求导，判断其单调性，得到函数的最值，结合题意可得到实数的取值范围． 【详解】函数的定义域为，， 令，，则恒成立， 在上单调递增，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ， 函数有零点，则，解得． 故答案为：． 3．(23-24高二下·天津四校联考·期中)已知函数． (1)当时，求曲线在处切线的斜率； (2)当时，证明：当时，； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围，并说明在上的最小值为． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，说明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解； （2）不等式等价于，构造函数，利用导数判断函数的单调性，证明函数的最小值大于0； （3）首先求，再分情况讨论函数的单调性和最值，从而说明存在零点时的的取值范围；同时根据与的关系，即可说明在上的最小值为. 【详解】（1）当时，，， ，， 所以曲线在处切线的斜率为； （2），等价于，，， 设，， 当，时，恒成立，所以在单调递增， 即， 则恒成立，，， 所以当时，当时，； （3）， ， ，， 当时，，单调递减，所以，函数无零点； 当时，，单调递增，所以，函数无零点； 当时，，单调递减，所以，函数无零点； 当时，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的最小值，当时，， 所以在上有且仅有一个零点， 所以的取值范围是； 因为，，即， 并且当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是转化不等式，从而构造函数解决问题；第三问的关键是对分情况讨论. 4．(23-24高二下·天津部分区·期中)已知函数，，． (1)求函数的导数； (2)若对任意的，，使得成立，求a的取值范围； (3)设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)1. 【分析】（1）求出函数，再结合复合函数求导法则求导即得. （2）求出函数在上的最小值，在上的最大值，再由给定恒成立建立不等式求解. （3）求出函数，由分离参数，构造函数，利用导数探讨值域即可得解. 【详解】（1）函数，则， 由，求导得， 所以函数的导数是. （2）函数，求导得，， ，则，， 函数在上单调递增，于是． 又，则在上也是单调递增，， 由对任意的，，使成立，等价于， 因此，解得， 所以实数a的范围是． （3）依题意，，由，得， 令，，求导得， 令，，求导得，即函数在上单调递增， 显然，，则存在唯一的，使得，即， 即，，则当时，，当时，， 函数在上单调递减，函数在单调递增， 因此， 当时，令，求导得， 令，当时，，即函数在上递增， ，函数在上递增，， 于是当时，，而函数在上递减，值域为， 因此当时，函数无最大值，值域为，函数在的值域为， 要使在存在零点，则，所以a的最小值为1． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 5．(22-23高二下·天津河西区·期中)已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若函数无零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义及函数值的定义，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）利用导数法求函数的最大值的步骤即可求解； （3）根据（2）的结论及利用导数法求函数的最值，结合函数的零点的定义即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以在点处的切线的斜率为， 故在点 处的切线方程为，即. （2）依题意知，函数的定义域为， ， 令，则，解得； 令，则，解得或； 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得最大值为， 所以. （3）依题意得， ， 当时，，在定义域上无零点；满足题意. 当时，，所以， 令，得； 令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得最大值为， 因为无零点, 所以，解得； 当时，因为， 所以，即， 所以在定义域上无零点；满足题意. 综上所述，实数a的取值范围 地 城 考点04 讨论零点个数 1．(24-25高二下·天津滨海新区大港第一中学·期中)已知函数，其中（） . (1)当时，求在处的切线方程； (2)若存在唯一极值点，且极值为，求的值； (3)讨论在区间上的零点个数 . 【答案】(1) (2)或； (3)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数得导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的极值为0，得到关于的方程即可求解； （3）通过讨论的范围，讨论极值点与区间的位置关系，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】（1）当时，，则， 因为，所以， 所以在处的切线方程为， 整理得. （2），定义域为， 所以， ①若，则当时，恒成立， 故在单调递增，与存在极值点矛盾； ②若时，则由解得， 所以时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以存在唯一极小值点， 所以， 解得或. （3）由题意可得， ①时，在上恒成立，故在上单调递增， 因为，， 所以由零点存在性定理可得在上有1个零点； ②当时，当时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时在上无零点； ③当时，在上恒成立，故在上单调递减， 因为，， 所以在上有1个零点； 综上：当时，在上无零点， 当或时，在上有1个零点． 2．(24-25高二下·天津实验中学滨海学校·期中)已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先求得导函数，再求导函数的零点，对两个零点分类讨论即可求得的单调性； （2）令，得，即，发现其结构相同， 再令，可得，故，问题转化为求函数的值域， 分析其图象与直线的交点个数即得答案. 【详解】（1）的定义域为 ，令得 ①当时，恒成立，则无递增区间，递减区间为； ②当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和； ③当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和， 综上：当时，无递增区间，递递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为和； 当时，的递增区间为，递减区间为和. （2）若， 令，得，即， 也即，再令， 则在单调递增，故，所以， 可得，令， 令得，所以在上单调递增，在上单调递减， 且当；，所以， 综上：当时，该函数有0个零点； 当或时，该函数有1个零点； 当时，该函数有2个零点. 3．(24-25高二下·天津第九十五中学·期中)已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程; (2)若在上无极值点，求的值; (3)当时，讨论函数的零点个数，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由导数的几何意义,切线的斜率,先求，，,利用直线方程的点斜式求解. （2）因为,所以若在上无极值点,则，即，，解得. （3）讨论当时,在上的符号,函数的单调性、极值情况,从而分析 函数的图像与轴的交点个数,得出函数的零点个数. 【详解】（1）当时，， ，，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2），，依题意有，即， ，解得. （3）①时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点. ，，依题意有恒成立，即， ，解得. ②时： 当，，函数为增函数； 当，，函数为减函数； 当，，函数为增函数. 由于，此时只需判定的符号： 当时，函数在上无零点； 当时，函数在上有一个零点； 当时，函数在上有两个零点. 综上，时函数在上无零点； 当时，函数在上有一个零点； 当时，函数在上有两个零点. 4．(22-23高二下·天津河北区·期中)已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出函数的极值； (2)画出函数的大致图象； (3)讨论方程的解的个数. 【答案】(1)在上递增，在上递减，极大值； (2)函数图象见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，求出极值作答. （2）由（1）分析函数的性质，作出图象作答. （3）结合（2）中函数图象，探讨方程的解的个数作答. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，，当时，，因此， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，，无极小值. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，，， 当时，恒成立，因此当时，随x的增大，的图象在x轴的上方与x轴无限接近， 函数的大致图象如图所示： （3）令，，当时，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，，即，有， 当时，，，而函数在上单调递增， 其值域为，因此函数在上无最小值，取值集合为， 方程的解的个数等价于函数的图象与直线的公共点个数， 在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图， 观察图象知，当时，方程的解的个数为0， 当或时，方程的解的个数为1， 当时，方程的解的个数为2. 5．(20-21高二下·天津紫云中学·期中)设函数． （1）若函数的图象在点处的切线斜率为，求实数的值； （2）求的单调区间； （3）设，当时，讨论与图象交点的个数． 【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3)1个. 【分析】(1)由导函数与切线的斜率的关系得到关于实数的方程，解方程可得 ; (2)求解函数的导函数，由导函数研究函数的单调性分类讨论，即可得到函数的单调区间； (3)利用题意构造函数，分类讨论函数零点的个数即可确定与图象交点的个数为1个. 【详解】（1）函数的导数为， 由函数的图象在点处的切线斜率为， 可得，解得； （2）函数的定义域为，， 当， ， 所以当时，的单调递增区间是， 单调递减区间是； （3）令 ， 问题等价于求函数的零点个数． 当时，， 由时，在上单调递减， 由， 由零点存在定理可得在内存在一个零点； 当时，即时，单调递减区间是， 单调递增区间是， 的极小值为， 极大值为， 由时，，可得存在一个零点． 综上可得，当时，与图象交点的个数为1． 地 城 考点05 利用比值代换解决零点 1．(24-25高二下·天津第二十一中学·期中)已知函数 (1)求曲线在处的切线斜率； (2)当时，求证：； (3)设存在两个极值点且，若，求证： 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率； （2）分析可知原题意等价于，构建函数，利用导数证明不等式即可； （3）分析可知在内有2个零点，利用韦达定理可得，构建函数，利用导数证明不等式即可. 【详解】（1）因为，则， 可得，所以曲线在处的切线斜率. （2）若，且，等价于， 构建，则， 构建，则， 可知在内单调递增，则，即， 可知在内单调递增，则， 所以. （3）由题意可知：的定义域为，且， 设， 若存在两个极值点，则在内有2个零点， 可得，解得， 此时的对称轴， 可知在内单调递减，且，则，可得， 且，则，可得， 因为 ， 即，且， 构建， 则， 可知在上单调递减，则， 所以. 2．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数，，（其中）． (1)当时，直线是曲线的一条切线，求实数的值； (2)当时，若，使得，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不同的实数根，证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程表达式即可得的值； （2）根据不等式有解，构造函数并求得函数的最大值即可求得实数的取值范围； （3）由方程根的个数利用同构思想令，结合其单调性可得，又因为的两实数根，令并求出其单调性并由换元法可证明，可得出结论. 【详解】（1）易知 由，可得． 又，设切点为 则，解得或（舍） 因此 ，即切点， 将切点代入，所以可得． （2），，使得， 即能成立， 因此在能成立，即， 令，，， 令，， 在上单调递减，， 因为，时，，此时 当时，，此时； 在单调递增，在单调递减， 可得， 因此实数的取值范围为. （3）由，得， 若有两个不同的实数解，则，， 两式相减得，即，所以． 不妨设，，则， 所以在上单调递增，此时，所以． 所以，即，所以① 由，得有两个不同的实数解， 令，， 当时，，单调递增，当时，单调递减， 由，，所以，． 令，则方程有两个不同的实数解，． ， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，则． 所以，则有． 设，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 此时，即，故， 当且仅当时等号成立． 不妨设直线与直线，交点的横坐标分别为，， 则， 所以．②． 综上． 3．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知函数．，． (1)若恒成立，求实数m的取值范围； (2)已知，设函数，讨论的单调性； (3)设函数，若函数的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出函数单调性，求得函数的最小值，解不等式即可得出结论； （2）对函数求导，对参数进行分类讨论，利用导函数符号即可得出其单调性； （3）根据交点坐标满足的关系式，构造函数，再利用导数和基本不等式证明即可得出结论. 【详解】（1）易知 令，得，所以在上单调递增； 令，得，所以在上单调递减． 所以的最小值为 由恒成立知，， 故. （2）由题知，定义域为， 所以； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得， 所以在，上单调递增； 令，得，所以在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 所以在，上单调递增； 令，得，所以在上单调递减； 综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； （3）显然， 因为函数的图象与的图象有两个不同的交点． 所以关于的方程，即有两个不同的根． 由题知①，②， 得③， 得④， 由得， 不妨设，记 令，则， 所以在上单调递增，所以, 则，即， 所以 因为，（利用基本不等式时，，故等号取不到）， 所以，即 令，则在上单调递增． 又， 所以， 即，所以； 两边同时取对数可得，得证． 4．(24-25高二下·天津第五十五中学·期中)已知， (1)求在处的切线方程； (2)若不等式对任意成立，求a的最大整数解． (3)的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：． 【答案】(1) (2)3 (3)证明过程见解析 【分析】（1）求定义域，求导，利用导数几何意义得到切线方程； （2）参变分离得到对任意成立，令，，求导，结合零点存在性定理得到的最小值为，从而，a的最大整数解为3； （3），求导得到的单调性，要使得有两个零点，需满足，求出，，令，由得，要证，只需证，令，二次求导，得到的单调性，，所以. 【详解】（1）的定义域为， ，，又， 所以在处的切线方程为， 即； （2），， ， 即， 即对任意成立， 令，，则， 令，， 故，所以在上单调递增， ，， 由零点存在性定理得，使得，即， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为， 所以，a的最大整数解为3； （3），定义域为， 当时，在上单调递增，此时不存在两个零点， 所以，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，故， 要使得有两个零点，需满足， 即，解得， 因为，所以， 令，由得， 所以， 要证，只需证， 即证，即证， ，只需证， 令，则， 令，则， 当时，，故在上单调递增，， 故在上单调递增，， 所以. 5．(24-25高二下·天津经济技术开发区第二中学（滨海泰达中学）·期中)已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）明确函数的解析式，求导，结合分类讨论思想的应用，利用导函数的符号确定函数的单调区间. （2）先根据是函数的两个极值点，得到的关系，再把转化成，在利用换元法，设，，则，.设函数，，只需证即可. 【详解】（1）由题知： . ， 令得或， 当时，或，，单调递增； ，，单调递减 ； 当时，，单调递增 ； 当时，或，，单调递增. ，，单调递减 . 综上，当时，在区间和上单调递增，在上单调递减； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在上单调递减. （2）由题意可知，， 有两个极值点，是的两正根， 则， 且. . ， ∴要证， 即证，  即证， 即证， 即证， 令，则证明， 令，则，在上单调递增， 则，即， 所以原不等式成立． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $